2022年新高考数学数列经典题型专题提升：第20讲数列中的存在性问题（解析版）

第20讲数列中的存在性问题参考答案与试题解析一.选择题（共2小题）（2021•永州月考）在数列｛〃"｝中，4=〃+—，则一七1+1出一41+…+1%-％1=（A.25A.25B.32C.62D.72【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用：等差数列与等比数列：数学运算【分析】令f（x）=x+”,xe［l,+00）,可得函数/（x）的单调性，进而去掉I,一旦［+&-引+…+|% ］的绝对值符号，即可得出结论.【解答】解：令/（x）=x+至，xe［l»+oo）,x则/（x）在［1,5）上单调递减，在（5,y）上单调递增，•14一02।+I々2-4।+…+1a24-%।=（《一/）+（生一％）+…+（々4一。5）一（々5一。6）一 一（出4一%5），一4一火+七=32,故选：B.n(n+2)（2021•龙岩期末）已知数列｛《,｝的通项公式为q=—?—,前”项和为5“n(n+2)TOC\o"1-5"\h\z足（-1）”丸<3+（-1产5对任意正整数〃恒成立，则实数丸的取值范围是（ ）a 10,9 D 10.9 c9 ,10 卜9 110A. <4,— B. <A<— C.——<4,— D.——<A<—3 4 3 4 4 3 4 3【专题】35：转化思想；4C：分类法；55：点列、递归数列与数学归纳法n(n+2)2nn+2【分析】求出《=—!—=-（--——）n(n+2)2nn+2得｛S,,｝为递增数列，求得最值，讨论〃为奇数和偶数，由恒成立问题解法，求得2的范围，即可得到所求范围.前〃项和为S=l(i-A+l-l+l-l+...+-! +1--!_"2 32435 n-\n+1nn+2=—(1H )= ( 1 )，2 2〃+1n+2 42〃+1n+2可得｛SJ为递增数列，且有E取得最小值g；且凡"，当"为偶数时，(-1)"2<3+(-1)"+,5„对任意正整数〃恒成立，即为义<3-5.对任意正整数〃恒成立，1113—S>3—=―»" 44可得4,2①4当〃为奇数时，(-1)"4<3+(-1)"勺”对任意正整数〃恒成立，即为-2<3+S“对任意正整数"恒成立，TOC\o"1-5"\h\z由3+S..3+S.=3+-=—," ' 33可得t<W,即义>_12②3 3由①@解得-W<z,2.3 4故选：A.二.填空题(共1小题)3.已知等差数列｛q｝的首项为a,公差为b,等比数列也｝的首项为b,公比为a,其中a,6都是大于1的正整数，且<03,对于任意的〃£N*,总存在机£N*,使得。,“+3=勿成立,则"2,an=.【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算【分析】先利用q，4<生，以及。，b都是大于1的正整数求出。=2,再利用am+3=bn求出满足条件的人的值即可求出等差数列｛an｝的通项公式.【解答】解：・.・a|V4，4<。3，:.a<b以及ba<a+2bb(a-2)<a<bfa—2<l=>a<3,・・・a，b都是大于1的正整数，a=2•又因为+3=na+（6一l）b+3=b•an~l.

又♦.♦a=2,双机一1)+5=62"T,则&(2"i_/n+l)=5.乂A.3,由数的整除性，得6是5的约数.故2"T-m+l=l,h=5,an=a+b(n—1)=2+5(〃-1)=5〃-3.故答案为：2；5n—3.三.解答题(共19小题)(2021•天津模拟)设｛《,｝是公差不为0的等差数列，q=l,4是々和外的等比中项，数列也｝的前"项和为S“，且满足3bn-2s“=2(〃eN*).(1)求｛q｝和｛2｝的通项公式；(2)对任意的正整数〃，设数，求数列｛《｝的前2〃+1项和.也，”为偶数【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列：点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理；数学运算【分析】(1)直接利用等差数列的性质的应用和递推关系式的应用求出数列的通项公式：(2)利用(1)的结论，进一步利用分组法的应用求出数列的和.【解答】解：(|)设等差数列｛4｝的公差为d，因为4=1,4是和的等比中项，所以即(l+3d)2=(1+d)(l+7d),解得d=i或d=o.又因为dxO，所以〃=1.所以4=1+(〃-1)x1=".因为30-2S“=2(〃eN*),所以，当机.2时，3仇_1一25,_|=2,b所以3S“-dT)-2(S“-S“T)=O,所以3(仇-〃一)-»,,=0，即告=3(〃..2).当〃=1时，3々-21=2,又因为S]=4，所以4=2,所以数列｛"｝是以2为首项、3为公比的等比数列.所以2=4p"T=2x3"T.(2)因为c„(2)因为c„=<〃+22x3"一(〃为奇数)

i〃为偶数j故数列｛cj的前 2/7+1 项和为%=(3+5+7+…+2〃+3)+涧+3、35+…+3个=如野3+唱。、4〃+%?(2021春•南京月考)已知数列数列｛凡｝的前"项和且S“，a,户0,4=1,且2alimH(1)求生的值，并证明：an+2—an=2i(2)求数列｛《,｝的通项公式：(3)求10G的值.【专题】计算题；转化思想；综合法；转化法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算【分析】(1)令〃=1，可求得a?的值，由2aMi.1=4S“-3,可得应+C2=4S“+i-3,两式相减即可得an+2-an=2:(2)由(1)可知数列｛(｝的奇数项和偶数项均成等差数列，利用等差数列通项公式分别求奇数项和偶数项的表达式，最后写出分段函数形式即可；(3)利用等差数列前"项和公式，分别求出前100项中奇数项和偶数项的和，即可求解.【解答】解：(1)令〃=1,得201a2=44-3,又4=1,所以々=；，由题可得，2a,4M=4S“-3,①2=4"3,②②一①得，2an+l(。“+2-4)=4%，因为a“*0,所以a“+2-a“=2.(2)由(1)可知：数列q,%，4，…%J，…为等差数列，公差为2,首项为1,所以%1T=1+2伙-1)=2%-1,即〃为奇数时，a„=n;数列〃2,4,4,…％，…为等差数歹九公差为2,首项为g，所以%=；+2(2-1)=2%-(，即n为偶数时，a=n-—y1 2为奇数综上所述，an=- 3j/m4£,•n-一，〃为偶数I2(3)由(2)可知S]qq=4+6^2+/+•••+4()0=(4+/+45+•••+^99)+(a)+々4+4+•••+q(M))159 197=(14-3+5+...+99)++-+—

=50（1+99）」叼+丁2 2=2500+2475=4975.（2021•徐州三模）已知数列｛4｝是各项均不为0的等差数列，S“为其前”项和，且满足d=s，“T，令"=―｝—，数列他“｝的前”项和为a」a“+i（1）求数列｛an｝的通项公式及数列｛2｝的前”项和为7；；（2）是否存在正整数加，n（\<m<n）,使得工，Tm,7；成等比数列？若存在，求出所有的m,"的值；若不存在，请说明理由.【专题】计算题【分析】（1）把等差数列的求和公式代入$22整理后可求得代入"=」一利用a/％裂项法求得7；.（2）根据（1）中求得7；分别表示出7；,Tm,7；根据等比中项的性质建立等式，化简整理即可求得机的范围，进而根据m和〃均为正整数求得团，进而”【解答】解：（I）因为他“｝是等差数列，由&= =（4+%Q）（2"7）=（2“-I）/,又因为4工0,所以=2〃-1,由“一!一= 5 =-（— —）,a,4+i（2〃-1）（2〃+1）22n-l2〃+1所以7所以7；=」（1一•1+2-j++2n+l（2）由（1）知，T=—^一"2m+1所以工=>=白32m+1 2〃+1若小Tm,7；成等比数列，贝2帆+1 32〃+1m24m2+4m+16〃+32in~4/n2+4〃z+16〃+3_日_日3-2m2+4ni+1可得一二m2所以一2/+46+1>0,从而：1一，6<〃7<1+1四，又meN,且机>1,2 2所以,”=2,此时〃=12.故可知：当且仅当加=2,〃=12使数列｛「｝中的7；,Tm,7；成等比数列.已知数列｛q｝是各项均不为0的等差数列，公差为d,5.为前”项和，且满足a：=5*|,nwN*，数列｛2｝满足b"=——,「为数列｛仇｝的前”项和.(1)求数列｛a„｝的通项公式a„和数列｛逮｝的前"项和Tn；(2)若对任意的〃eN*,不等式27；<8(-1)"-10恒成立，求实数7的取值范围.【专题】32：分类讨论；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列；65：数学运算【分析】(1)先利用等差数列的前”项和公式及性质求得凡,然后求得£,再利用裂项相消法求得数列｛"｝的前〃项和；(2)先对"分奇数、偶数两种情况分别求出使不等式47；<8(-1)"-10恒成立的4的取值范围，再求其交集即可.【解答】解：(1)a；=5211T，nwN*，；莅=所多+、)=(2n_1)《,arl#0»/.=2〃-1,,111z11、TOC\o"1-5"\h\z,・‘b”= = =—( )»勺乜向(2n-l)(2n+l)22n-\2/1+1『L/l1、/1、,I1、、1八1、 〃Tn=[( )+( )+…+( )1=(1 )= ;〃213 35 2/?-12/1+1 2 2〃+12〃+1(2)•.丫7；<8x(-1)"-10恒成立，”<8x(-1)"-10恒成立,2n+l①当"为奇数时，有几<一18(2+1)恒成立，解得：2<-18(2+-)=-54；n 1②当〃为偶数时，有人<-2(2+1)恒成立，解得：A<-2(2+-)=-5:n 2综合①②知：A<-54,4的取值范围为(-00,-54).(2021•广陵区校级期中)已知｛q｝为等差数列，前〃项和为S“(〃eN')，｛"｝是首项为2的等比数列，且公比大于0,4+4=12，仇=%-2q,S“=l电.(1)求｛《,｝和｛2｝的通项公式；(2)求数列3也“一」的前〃项和(〃eN*)；(3)设q=log2d”「2为数列［四一］的前"项和，求不超过4H9的最大整数.1clic.,J【专题】34：方程思想；4”：作差法；54：等差数列与等比数列；65：数学运算【分析】(1)设等差数列｛6｝的公差为d，等比数列｛"｝的公比为g,q>0,运用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差、公比，进而得到所求通项公式；(2)求得生也i=(3〃-1)x4",运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和：(3)求得左,।=222,%=log,22m=2〃-1.,±L=1+lx(_! 1_),运用数列的C"C-i2 2n-\2〃+1裂项相消求和，化简可得所求和匕，计算可得所求最大值.【解答】解：(1)设等差数列｛”“｝的公差为〃，等比数列｛2｝的公比为q,4>0,由％,+4=12,得b［(q+屋)=12,而4=2,r./+q—6=0.由g>0,解得q=2.bn=2".由4=%-2"，可得3d-a,=8①，由品=1也，可得4+54=16②,联立①②，解得4=1,d=3,由此可得a“=3〃—2.数列｛aj的通项公式为4=3〃-2,数列｛仇｝的通项公式为bn=2".(2)设数列｛生也的前”项和为4，由%=6〃-2,b2n_t=2x4"T,有a2llb2n_t=(3n-l)x4",TOC\o"1-5"\h\z7；=2x4+5x42+8x43+...+(3n-1)x4" ,47；,=2x42+5x43+8x4"+…+(3〃-4)x4"+(3〃-1)x4"",上 述 两 式 相 减， 得-37；=2x4+3x42+3x4,+…+3x4"-(3〃-1)x4"'=@^幺-4-(3“-1)、4""=-(3"-2"4""-8得7；=加萨x4n+l+g.；•数列｛%也｝的前"项和为期萨x4n+1+1.(3)由(1)知：6211T=221,贝lJq=log222"T=2〃一l.4/ 4n2 4n2 , 1 ,1z1 1、 = =—；=1+ =1+—X( ),c„cn+)(2"-1)(2"+1)4n2-l (2n-l)(2n+l) 22n-l2n+l

Pn=[1+( -)]+[1 •(- )]+...+[14--(- 〃 213 235 22n-\1、r 〃 )]1、r 〃 )]=〃+ 2〃+1 2〃+14039不超过々“9的最大整数为2021.(2021春•宜昌月考)已知数列｛q｝的前〃项和为S“，且S,,=1〃2+U〃.数列｛"｝满足4+2-次+i+4=℃〃eN*),且4=11，前9项和为153.(1)求数列｛《,｝，｛0｝的通项公式；(2)设c“=(2a二i；(2〃二1)'数列｛J｝的前"项和为,，求及使不等式(〈募对一切〃都成立的最小正整数k的值：(3)设/= = )问是否存在相€乂，使得八%+15)=5/(⑼成立？若存[btl(n=2l、neN)在，求出m的值；若不存在，请说明理由.【专题】综合题；函数思想：综合法：等差数列与等比数列【分析】(1)由数列的前〃项和结合为=1-5,1(〃..2)求得数列｛q｝的通项公式，再由勿+2-»,用+〃=0,可得("｝为等差数列，由已知求出公差，代入等差数列的通项公式得答案：(2)把数列｛”,,｝，｛〃,｝的通项公式代入c.= 然后利用裂项相消法求和,(2a„-ll)(2bn-l)可得使不等式7；〈一丝对一切〃都成立的最小正整数A的值；(3)分m为偶数和奇数分类分析得答案.【解答】解：(1)由s,,=1〃2+U〃.故当〃..2时，an=Sn-S„,(=(^n2+yn)-[^(n-l)2+y(n-l)]=n+5.〃=1时，4=E=6,而当〃=1时，〃+5=6,:.an=〃+5(〃eN"),又2+2-2&„+l+a=0，即bn+2-bn+l=%-£(〃eN*)，.•・｛d｝为等差数列，于是浊产2=153.23—11而4=11,故伪=23,d= =3,因此，=4+3(〃-3)=3〃+2,即d=3〃+2("wN*)；

(2)3(2)3(24-11)(2"7)3 [2(n4-5)-ll][(2(3/?+2)-l]11z11、 =一( )(2〃一1)(2〃+1)22/t-l2n+l：TnH：TnH+…+G=^[(l-^)+(1-^)+(^-y)+...+(]2〃—1 )]=—(1- )= 2n+l2 2〃+1 2〃+1l 1易知单调递增，由得々>20147；,,而故七.1007, =1007；/(〃)=< .,[3n+2,(n=2/,/G^V).①当机为奇数时，m+15为偶数.此时/(m+15)=3(m+15)+2=3m+47,5f(m)=5(m+5)=5/n+25,...3m+47=5m+25,zn=11.②当m为偶数时，机+15为奇数.此时/(/n+15)=/7i+15+5=/n+2O.5/(w)=5(3/n+2)=15/n+10..'.m+20=15m+10，m=—iN*(舍去).7综上,存在唯一正整数加=11,使得/>+15)=5f(m)成立.(2014•荷泽一模)已知数列｛q｝是等差数列，数列｛〃｝是等比数列，且对任意的〃wN*,都有<7|Z?|+a2b2+a,3+,■■+",/"=〃.2"".(I)若电｝的首项为4,公比为2,求数列｛%+4)的前〃项和S.：(H)若4=4”+4,试探究：数列｛〃,｝中是否存在某一项，它可以表示为该数列中其它「(reN,，..2)项的和？若存在，请求出该项；若不存在，请说明理由.【专题】15：综合题；54：等差数列与等比数列【分析】(【)再写一式，两式相减，可得数列的通项，即可求数歹1」®+。｝的前"项和S.；(H)因为q=4w+4,a也=(〃+l).2"g,所以)=2",假设数列｛以｝中第1项可以表示为该数列中其它r,rwN,r..2)项与，…，blr,(4 <…〈0)的和，可得1根据等比数列的求和公式，可得从而可得结论.【解答】解：(I)因为q4+她+%"+…+4々=机2"3,所以JI.2时,《A+02b2+a3b3+…+ —(n—l)»2n,*,

两式相减，得=〃.2"+3-(〃-1).2"+2=(〃+1).2"+2,而当〃=1时，afy=16,适合上式，从而“也=(〃+1).2*2,…(3分)又因为｛"｝是首项为4,公比为2的等比数列，即4=2向，所以q=2〃+2,…(4分)从而数列｛/+么｝的前〃项和S,,="(4+2”+2)+4(1-2")=2"*2+〃2+3〃一4；...(6分)2 1—2(II)因为4=4〃+4,anbn=(n+l)«2rt+2»所以b〃=2",….(8分)但'&数列｛4｝中第2项可以表示为该数列中其它一，ivN,匚.2)项"，...，.，<t2<...<rr)的和，即4=%+…+2,从而2=2"+…+2'易知(*)...(9分)又2*=2"+…+2”,,2+2?+…+2"=2"Z?)=2'川-1<2"+1,所以左此与(*)矛盾，从而这样的项不存在.…(12分)(2021•岳阳县模拟)在数列｛〃“｝中，已知4=2,an+xan=2an-aM+I(//eN*).(1)证明：数列为等比数列；(2)是否存在正整数m、“、k,且切<〃<左，使得a“,、a“、4成等差数列？若存在,求出机、”、k的值；若不存在，请说明理由.%-,变形为「--1【专题】方程思想；反证法；转化法；等差数列与等比数列；数学运算【分析】(1)由a„^an=2a.一1,%-,变形为「--1可证明结论.(2)由(I)可得：可得：a„=^—.假设存在正整数m、〃、k(m<n<k)满足题意，则可得含=舌+三，整理化简，利用数的奇偶性进而得出结论.X--i=--*o,故数列X--i=--*o,故数列a,2为等比数列;(2)解：由(1)可得:——(2)解：由(1)可得:——1=—(—)n，可得:an4 2T20-l假设存在正整数机、k(m<n<k)满足题意，则2an=am+ak>22T2A = 1—；

2n-l2m-l21-!即2n+l(2W-1)(2*-1)=2m(2n-1)(2*-1)+2"(2”—1)(2'"—1)两边同除以2"<得,2"一"向(2叫-1)(2*-1)=(2"-1)(2"-1)+2j(2"-1)(2"-1)(*)由根<〃<左得，k—nt.2.n—m+l..2；所以(2"-1)(2*-1)为奇数,W2"-m+l(2m-lX2*-l),21(2"-1)(2时-1)均为偶数,故(*)式不能成立：即不存在正整数小、n、k,且〃<人使得%,、a“、4成等差数列.(2021•重庆模拟)已知数列｛.“｝的前"项和为S.，且6,2S„,%成等差数列.(1)求生;(2)是否存在mgN*,使得4%+%。3+…+44+1>6aHi对任意nwN*成立？若存在，求m的所有取值；否则，请说明理由.【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理：数学运算【分析】(1)直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；(2)利用(1)的结论，进•步利用数列的前〃项和公式和恒成立问题的应用求出m的值.【解答】解：(1)数列｛《,｝的前〃项和为S“，且6,2S“，a,,成等差数列.故4S“=6+a,①，当〃=1时，解得q=2,当”..2时，4s,,_|=6+%②，①一②得：—2-=--(常数)，an-\3所以数列｛。“｝是以2为首项，为公比的等比数列；所以4=2x(—1)"-'.(2)由(1)得：《4+1=4x(——)2,,"|<

iii(-：)x(i-j)i%%+%%+―+aA+1=4x[(--)'+(--)3+...+(--)2"-']=4x>12x(-,1-9所以](1一白<(4"2对任意的nwN恒成立.由于i且“+8时，i--?——>1,9〃 9〃所以(一1广2…。，故为偶数，3 8当加=2时成立，当机.4时,故％=2.（2021•黄浦区校级月考）已知各项均为不为零的数列｛”“｝满足q=l,前〃项的和为S”,S2-S2 、且_2 ±±=〃2,nwN*,n..2,数列｛/?“｝满足=a“+a“+1,nwN*.4(1)求a?,a3；(2)求S,(〃gN*)；（3）设有穷数列也•C：｝,k=1,2,…，〃的前”项和为Tn,是否存在mwN*,使得Tm=2020成立？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由.【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算【分析】（1）由数列的递推式可得S,,+S“t=〃2,结介4=1,依次求得。2，%的值；（2）由S“+S“_|=〃2（〃..2）,得S,+|+S“=（“+1）2,两式作差可得a”+a”.|=2〃+1,结合等差数列的通项公式和前"项和求5.；（3）运用组合数公式的性质求得AC：=〃《：，再由二项式系数的性质可得7；=（n+l）-2"-l,即可判断存在性.【解答】解【解答】解：（1）由$一电=〃2nsN*，几.2,—r汨(S—5।)(5+SI)可得一——以〃——=n-,氏由4=5”一S“t,可得S.+S“_|=〃2.由4=1,可得$2+5=4,即弓+24=4,解得生=2;山S3+S2=9,即/+2s2=9,解得a3=3；(2)由S“+5“t=〃2(*2)，得5向+S“=(〃+T，两式作差可得：Sn+1-Sn_1=2n+1(/I..2).即an+a“+i=2n+l(n..2).又4,+i+。”+2=2〃+3(”..2).两式相减可得a,—-4=2(〃..2),可得数列｛。”｝中奇数项和偶数均为公差为2的等差数列，I1.fl]=1.%=2，43=3，可得。“=〃，S“="())；(3)由&C：=女——--=n———=nC,：," k'.(n-k)! (k-l)!(n-k)!7；=(2+1)C：+(4+1)C；+...+(2〃+1)C：=2(C：+2C：+...+仁)+(C：+C；+...+0)=2〃(*+C：t+...+C：；)+2"-l=2〃-2"T+2"-l=(〃+l).2"-l,由于〃为正整数，可得+ 为奇数，即7；为奇数，故不存在meN*,使得7；=2020成立.(2021•九龙坡区期中)设等差数列伍“｝的前”项和为S"，已知4+4=1。，=180.数列｛4｝满足々=4，〃+|-bn=5—.(I)求数列｛%｝和｛〃,｝的通项公式；(II)是否存在正整数m,〃(切W〃)，使得hm,々成等差数列？若存在，求出"?，"的值；若不存在，请说明理由.【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理；数学运算【分析】(I)直接利用等差数列的性质和叠加法的应用求出数列的通过项公式；(II)利用存在性问题的应用求出结果.【解答】解：(I)设公差为d的等差数列｛4｝的前〃项和为S,,,已知/+%=10,所以24=10,解得%=5,由于6・56=180.则1=36所以6>("；+4)=36,解得4=7,故d=2,所以。“=2〃一1.

1数列｛2｝满足&=1数列｛2｝满足&=at，(2〃-1)(2〃+1)22〃-127?+1)，所以d-dI=’(—' -).…，b,-b,=-(1--),""T22n-32n-l 2 '2 3所有项的和为2-bt=-(1--+---+...+―! !—),"'2 335 2〃-32n-l整理得b=四二2,(首项符合通项)，"2n-13n-22n-l(II)假设存在这样的正整数机和n使得打，心，勿成等差数列,所以出=&+仇，由于b,=g,么=四二2=』———,bm=-——!—,23 "2n-l24n-2m24m-2整理得]2m—1整理得]2m—1所以3(3-——3 24〃一24/m-2)化简得：2m=7 -»〃+111H+1—=301»即〃=2,m=2(舍去)，当〃+1=9，即〃=8，777=3,符合题意，故存在这样的正整数帆=3和〃=8，使得仇，bm, 成等差数列.(2021•鼓楼区校级模拟)已知｛〃〃｝是各项均为正数的无穷数列，且满足q=〃，5-4=>Jd(an+l+a„).(1)若d=1,a,=6>求a的值：(2)设数列｛或｝满足或=a,川-a“，其前〃项的和为S“.①求证：｛仇｝是等差数列；②若对于任意的〃eN*,都存在meN*,使得成立.求证：S„„(2"-l)b,.【专题】综合题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用；数学运算【分析】(1)由条件分别令〃=2,n=l,解方程可得。的值；(2)①由题意可得...0,分别考虑d=0,d>0,结合等差数列的定义和作差法，化简整理即可；②运用等差数列的求和公式，结合构造数列法，运用数列的单调性，即可得证.【解答】解：(1)因为%+1-4= ，4=6,所以令〃=2,得%一。2=\]%+。2，即6-4=/6+4(。2<6)，平方整理得(%-10)(%-3)=0.因为％<6,所以%=3,同理令〃=1,得/一〃।= +q，即3-4=J3+4(4<3),平方整理得(％-1)(4-7)=0.因为4<3,所以4=1,因此。=1.(2)证明：①由题意，得d..O.当d=0时,an+1-an=0»所以｛〃｝是公差为0的等差数列.当dwO时，因为-+4,)，所以(。向一a")？=d(4+i+可)①，从而凄J(4—4—1)，=d(an+an_x)②.①一②,得(。川一尸一(〃"一an-\)2=仇(。〃+|+。〃)-3“一an-\)]»化简得[(% +*)](4+]-%)=d(6-*)・因为。+「。=/(4“+。)，且数列仅〃｝的各项均为正数，〃>0，所以4+1-4>。，从而因此(。〃+「4)-(4+47)="・因为2=4+i-4，所以"-岫=(1.综上，口,｝是公差为d的等差数列.②因为血』是公差为d的等差数列，所以S〃=的+若因为对于任意的〃wN*,都存在me",使得S”=〃〃，所以有〃4+“(；,)d=bx+(m-\)d,整理得(加一l)d=(〃-1)4+""；Dd.i.若d=0,则4=0,结论成立.ii.若d>0,(/n-1)=(n-1)—+ .d2当〃=1时，m=\；当〃..2时，区必为整数，即〃=朋.因为4+1-%>。，所以々..0，d>0,所以AeN*,从而Sn=nbx4-——-——d=nd(k4--^―).要证S*(2"-岫.下证〃姐+”(〃7)d,,(2n-w,即证川”D,,(2n-n-1)k,从而只要证吐2因此要证2"M-〃2-〃-2..O.记/(n)=2/J/_〃_2,则/(〃+1)_/(„)=2[2"-(n+1)].记g(〃)=2"-(〃+1),则g(n+1)-g(〃)=2"-1>0,所以g(〃)=2〃-(〃+l)..g(1)=0，从而/5+1)-/5)..0,所以f(〃)=2日一〃2一打一2・・/(1)=0.(2021•思明区校级期中)在数列｛4｝中，前"项和为'，且邑=驾工.记7；为等比数列｛仇｝的前"项和，且"+”=20,4=30.(I)求数列｛《｝和｛或｝的通项公式：(II)记幺+&+_+”=%,是否存在m,nwN，使得％=品，若存在，求出所有满4b2b„足题意的加，”若不存在，请说明理由.【专题】34；方程思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列；65：数学运算【分析】(I)运用数列的递推式：〃=1时，q=R；〃..2时，a--，化简可得｛4｝的通项公式；等比数列｛么｝的公比设为q，运用等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公比，进而得到｛"｝的通项公式；(II)求得青=〃•(》"，运用数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，可得所求和”」由不等式的性质和解方程可判断存在切，n.【解答】解：(I)S"="(n；D,可得〃=1时，=S,=1；〃..2时，4,=5"-'=迎型-迎心=〃，对〃=1也成立，则数列｛a„｝的通项公式为an=n；等比数列｛"｝的公比设为q,由仇+仇=20,7；=30,

可得qwl,则6q+4/=20,里匕£2=30,1一9解得。=4=2,即4=2"；(II)/=〃.(;)"，则区则区相减可得，…2"248 2 222可得=2-(”+2)《；)”<2,假设存在加，neN*，使得”“=品，可得2_(〃+2)«g)"=m,则m=l,解得〃=2,故存在,〃wN*,且zn=l,n=2>使得，17.(2021春•启东市校级月考)设仅“｝是公差不为零的等差数列，满足％=5,a；+《=裙+4,数列｛"｝的通项公式为d=3〃-11(1)求数列｛4｝的通项公式；(2)将数列｛”"｝,｛以/中的公共项按从小到大的顺序构成数列｛%｝，请直接写出数列｛&｝的通项公式：(3)记4=生，是否存在正整数〃(mH"w5),使得4，dm,d“成等差数列？若存%在，求出机，”的值；若不存在，请说明理由.【专题】32：分类讨论；49：综合法：54：等差数列与等比数列；11：计算题【分析】(1)设公差为“，则由性质得-3d(aa+q)=4(“4+4)，由此能求出的通项公式.(2)c“=6〃+1.(3)假设存在正整数m,n,使得4,d,„,dn成等基数列，则4+d„=2d,,,.d.=加二Uj ，“ ，， j，， ，，r ricr2n-7

从而2m=13 ,由此存在正整数仅=11，/?=1：m=2t〃=3：j〃=6,〃=11使得"，n-2心，打成等差数列.【解答】解：（1）设公差为d，则d=片一《，由性质得一3d（4+%）=d（4+4），因为4/0,所以4+%=0，即2%+5d=0，又由4=5得4+5d=5,解得q=—5,d=2,所以｛〃〃｝的通项公式为=2〃-7 （5分）（2）cn=6n+l （10分）（3）假设存在正整数机、〃，使得4，%，d“成等差数列,则4+4=2d则4+4=2d〃,.43n-ll2n-l所以士+叫二JJ=2x网二JI,化简得：2m=13-—— （13分）32n-7 2m-7 n-2当m—2=—1,即〃=1时，/n=11»符合题意;当〃一2=1,即〃=3时，〃7=2,符合题意当〃一2=3,即九=5时，m=5（舍去）；当〃一2=9，即〃=11时，777=6»符合题意.所以存在正整数m=11,n=l；m=2,〃=3;m=6,n=l1使得打，bm»或成等差数列.…（16分）18.（2021•徐州期中）己知数列｛〃“｝各项均为正数，q=l,4=3,且/+%钻=%+i+T+2对任意〃wN*恒成立.（1）若q=4，求%的值；（2）若％=5,（i）求证：数列｛4｝是等差数列；（ii）在数列｛〃“｝中，对任意〃£N*,总存在机，keN”,（其中〃vmvQ,使a,”，可构成等比数列，求出符合条件的一组（肛Q.【专题】证明题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列【分析】（1）令数列｛2｝为〃=an+l-an»则〃+2=",从而％*]=2,%=1,由此能求出a5.（2）（i）由4=5,得至场“=%=2,由此能证明数列｛〃“｝是等差数列.（ii）由。各（2加—1）2=（2〃—1）（22=1）,假设一奇数〃使得：2〃.l=p（2"l），则2k—1=/?"（2n—1）>2/n—1»由此能求出结果.【解答】解：（1）・.・数列｛4｝各项均为正数，4=1,a2=3,且a“+a-=a.+i+。,+2对任意”€河恒成立.令数列｛勿｝为勿=-a1t，：%+/+3=4+1+联，•也2=4'%+i=2,b2n=l,角=2+&+仇=4+2+1=7.证明:⑵(I)vZj3=5tb2n=b2n+l=2,；•%一%=2.，数列｛《,｝是等差数列.解:(/i)am2-anak,.-.(2m-l)2=(2n-l)(2fc-l),假设一奇数夕使得：2〃?-1=p(2〃-l),则2A-1=p2(2n-l)>2m-l,k>m>p1>p综合，得：可构造一组解为⑺，稻=(“+上止，卫)，2 2p=2i+1,ieN*.(2021•通州区期中)已知数列｛%｝的前"项和S.5eN*)满足5“=2q-1,数列｛4｝满足d=2+log2an.(I)求数列｛%｝和数列｛"｝的通项公式；(II)令c,=%,若%,/-2犬-1对于一切的正整数"恒成立，求实数x的取值范围；（111）数列｛0“｝中是否存在4,“,《,,为（，””左且加,〃，左€乂'），使a”,，a”,4成等差数列？若存在，求出m,",女的值；若不存在，请说明理由.【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列【分析】（I）利用已知条件通过q=Sn-S„_t,说明数列｛a„｝是首项为1,公比为2的等比数列.求出通项公式，然后求解”,的通项公式.（H）求出c=4，判断数列的单调性，结合弓,丁-2x7对于一切的正整数〃恒成立，an得到1求解即可.（III）假设存在 eN*）,使外，＞%成等差数列，推出2.2'-1=2-'+2*-1.说明是与条件矛盾，得到结论.［解答］解：（I）根据题意,数列｛4｝满足S”=2ali—1,"j"=］时，Oy=Sf=1•（］分）当刀.2时,a-1=3a„=2an-2an_,,TOC\o"1-5"\h\z即an=2«„_,.（2分）所以数列（4｝是首项为1,公比为2的等比数列.（3分）所以％=2'i,nwN*； （4分）乂由已知a=2+log2%，得此=2+108*1=〃+1. （5分）（II）依题意得6哈=黑=（"+吗尸，neN*.. （6分）因为附=（〃+2）5-（〃+呜产=（；尸（等一"一1）=一统尸＜0（7分）所以当肛=1时，句取得最大值g=2. （8分）因为%,f_2x-l对于•切的正整数〃恒成立，所以2,V—2x-1. （9分）解得用,-1或工.3,所以实数尤的取值范围是｛x|怎，-1或x..3｝：（10分）（III）假设存在a”,,a“，4（机＜〃＜A,"z,",keN*）,使a,“，an.a*成等差数列,则2%=册+4，即2・2"T=2'"T+2i. （11分）两边同时除以2—,得2"-机”=1+2"机①.（12分）因为2"-"用为偶数，l+2*f为奇数，这与①矛盾.（13分）所以不存在（m,使a,“，an,a*成等差数列.（14分）(2021•钦州三模)数列｛4｝中，4=1,an-an+l=anan+i9nwN*，数列｛4｝的前〃项和为7；，且以=丁二・(1)求数列｛4｝的通项公式；(2)是否存在机，mN",使得7；=-!-,若存在，求出所有满足题意的机，叫若不存在，%请说明理由.【专题】35：转化思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列【分析】(1)对等式两边同除以4a田，结合等差数列的定义和通项公式可得所求通项；(2)运用数列的求和方法：错位相减法，可得7；,再山方程思想，可得m，w的值.【解答】解：(1) =1,4-4+1= ，〃wN*，4+1an.•・数列是等差数列，公差为1,首项为1.—=1+(〃-1)=〃，可得a=工；%〃(2)由题意，易得”2〃.12 3n(二万+齐+声+…+下，. 123n222324 2"*|两式相减得/=4+H…+L-二2n248 2"2n+'-(1-—)=2X__n~,1尸1 2.1n=1 12"2n+l所以7；=2-”工，" 2"由于7；＜2,又2-苫^=机，/.m=1,解得n=2.故存在/n=l，〃=2使得[a„,(2021•武侯区校级一模)已知｛4｝是递增数列，其前"项和为S.，q>l,且10S“=(2a,,+l)(a“+2),nwN*•(I)求数列｛/｝的通项a.；(II)是否存在m,n,左e