2023年人教版高考数学总复习第二部分考点培优训练考点四十九直线与圆、圆与圆的位置关系

四十九直线与圆、圆与圆的位置关系基础落实练• 30分钟6。分一、单选题（每小题5分，共20分）（2021•镇江模拟）已知力是正实数，则“加216”是“圆V+/=l与圆（X一4T+（y+3）2="有公共点”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件TOC\o"1-5"\h\z【解析】选B.V+/=l的圆心。（0,0）,半径r=l,（x—4）2+（y+3）2=/的圆心力（4,-3）,半径仁g?，加＞0,两圆圆心距|测=黄彳手=5,两圆有公共点-1 +1,z»e[16,36],显然[16,36]£[16,+°°）.（2021•北京模拟）已知直线x—y+a=0与圆0：x+y=4相交于A,8两点（。为坐标原点），且△力必为等边三角形，则实数a=（ ）A. B.±C.y/2 D.土木【解析】选B.圆。：f+/=4的圆心〃为原点，半径为2,当如为等边三角形时，圆心到直线的距离为十，即d=品,故a=土季.（2021•吐鲁番模拟）圆G：Y+y-2x=0与圆G：x+y+4y=0的公共弦所在的方程为（）A.x+2y=0 B.x—2y=0C.y-2x=0 D.y+2x=0【解析】选A.设两圆交点力（莅，乂），B（xz，%）,圆G：x+y—2x=0（l）,圆G：x+y+4y=0（2）,①—②得x+2y=0,因为*+2%=0,a+2〃2=0，即点46在直线x+2y=0上，而过点46的直线有且只有一条，所以公共弦46所在的方程为x+2y=0.（2022•重庆模拟）若直线/：磔一y+加+1=0与圆/一24+/-8=0相交于46两点，则弦长14例的最小值为（）

A.2^3B.4C.2乖 D.6【解析】选B.由圆V—2x+/—8=0得（x—1y+/=9,所以圆心为（1,0）,半径为广=3,直线/：加x—y+勿+1=0过定点（一1,1）,圆心到直线/的最大距离为4（1+1）2+1=乖,所以弦长|力冽的最小值为2犷M=4.二、多选题（每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）（2022•深圳模拟）已知圆C：/+/—6x—8y+21=0,。为坐标原点，以0。为直径的圆C与圆C交于46两点，则（）A.圆C的方程为*+7—3x—4y=0B.直线48的方程为3x—4y—21=0C.OA,如均与圆。相切D.四边形。出的面积为4而【解析】选AC.由圆Gf+y-6x-8y+21=0,得（*一3）2+（y-4）?=4,则圆心。（3,4）,线段"的中点坐标为（|，2）,则以0。为直径的圆的方程为卜一|）2+（y-2）2=y,整理得X+/-3x-4y=0,即圆C'的方程为即圆C'的方程为*+/-3*—4尸0,所以A正确；联立Y+y—3x—4y=0f+/一6x-8y+21=0两式作差得3x+4y—21=0,即直线四的方程为3x+4y-21=0,所以B错误；因为48在以。。为直径的圆上，所以OLOA,CBLOB,由圆心与切点的连线与切线垂直，可得物，如均与圆。相切，所以C正确；因为。_1_/，且庞—5,CA=2,所以OA=No"C#=）25-4=向，所以四边形。阳的面积为S=2xgX2X匹=2而，所以D错误.26.若直线3x+4y+〃=0(〃eN*)与圆G(x—2)?+y=a(a„>0)相切，则()flB.数列｛4｝为等差数列

C.圆。可能经过坐标原点D.数列｛4｝的前10项和为232【解析】选BCD.由圆G(x-2)2+/=a(a〃〉0),则圆心。(2,0),半径为4，因为直线n2所以圆心。(2,0)到直线3x3x+4y+〃=0(〃《N*)与圆C：(x—2尸+/所以圆心。(2,0)到直线3x+4y+〃=0(〃+4y+〃=0(〃6N*)的距离为a.,即I2X3+0X4+/?| 〃+6、9+167=a“，贝壮尸g,所以A错误;E江〃+6 „. 1因为an=T—,贝IJan+l-an=-5 5所以｛4｝是其为公差的等差数列,所以B所以｛4｝是其为公差的等差数列,所以B正确；将(0,0)2代入圆C：(x—2)'+/=an।6解得4=2,则一=2,解得〃=4,所以当〃=4时，圆。经过坐标原点，所以C正确；设(7〃+6]血｝的前〃项和为S,则S="」,所以S0=/X(；：+"'=23,所乙 1V 1V以D正确.三、填空题(每小题5分，共10分)(2022•绵阳模拟)已知圆4：/+/—2ax=0(a>0)被直线x+y—2=0截得的线段长为:，则圆A与圆B：x+y2+4%+4j-5=0的位置关系是.【解析】圆4t+析一2ax=0(a>0),即(x—a)'+即(x—a)'+/=a一则圆力的半径r=a,圆心(a,0)到直线x+y—2=0的距离为d=解得a=l或a=-5(舍去)，故r=l,圆月：f+y+4x+4y—5=0,即(x+2)?+(y+2)2=13,则圆6的半径,设两圆心之间的距离为d，由题意有7?一Kd尸7(1+2)：+22=/<R+r,故两圆相交.答案：相交已知点"在以G(a,a—2)为圆心，以1为半径的圆上，距离为24的两点R0在圆C：

比-(f)22*+4—8y+12=比-(f)22则/=而+DP,MQ=MD+施，所以痂•丽=迹2-3,因为| ==1,所以〃在以1为半径，以G为圆心的圆上，因为ICzCx\—yja+[(a—2)—4]2=72(a-3)」+1823m,所以|必|s=|CG|百„一匕〃|一|阳|=3*故痂•MQ(3^2-2)2-3=19-12^2.答案：19-124四、解答题(每小题10分，共20分)(2022•北京模拟)已知圆Gx+/-6a—8y+21=0,直线/过点4(1,0).(1)求圆C的圆心坐标及半径长；(2)若直线/与圆C相切，求直线/的方程；(3)当直线/的斜率存在且与圆。相切于点4时，求|力划.【解析】把圆。的方程化成标准式方程，为G—3)「+4)2=2)(1)圆。的圆心坐标是(3,4),半径长是2.(2)①当直线/的斜率不存在即其方程是x=l时，满足题设.②当直线/的斜率存在时，可设直线/的方程是尸A(x—O即Ax—y—%=0.I3A—4—AI 3由圆心(3,4)到直线/的距离等于圆。的半径长2,即। ।=2,解得4=彳，此时4片+1 4直线1的方程是3x—4y—3=0.综上，直线，的方程是x=l或3x—4y—3=0.(3)由(2)得直线1的方程是3x—4y—3=0.设圆。的圆心是点£(3,4),则［£=［什16=24，所以|四|=yl|AE\2-\eb\2=a/20-22=4.10.已知圆GV+(y—1L=5,直线/：/Z7x—y+1—/=0,(1)设直线/与圆。交于不同两点力，B,求弦的中点〃的轨迹方程；(2)若定点P(l,1)分弦也为"：咫=1：2,求此时直线/的方程.【解析】(1)直线/：gly+1—7=0,变形为勿(x—1)—y+l=0,可知直线/恒过点(1,1),由圆。的方程可知圆心。(0,1),过。作加/于〃，可知〃为直线/的中点，设欣x,y)>则有，+(y—1)'+(x—1尸+(y-1尸=1:化简得/+/—x—2y+l=0,点(1,1)也满足此方程，故〃的轨迹方程为x+y2—%—2y+l=0., ,AP1⑵设yi),B(xz,y2)»由瓦=2得,1—(生一1),化简得生=3-2"1,①fz;zx—y+1—/z?=0,又由〈,，,八2L[V+(y-1)2=5,消去y得(1+/2)x?-2方x+/?一5=0,(*)所以莅+%=长，②Q1 2由①②解得Xi=—Z,带入(*)式解得加=±1,1十加所以直线1的方程为X—y=0或x+y—2=0.素养提升练 2()分钟35分1.(2021•重庆模拟)已知两圆+/+4ax+4,-4=0和V+/-2Z?y+Z?2—1=0恰有三条公

切线，若切线，若aGR,6GR,且*0,则*+1的最小值为（TOC\o"1-5"\h\z4A.3B.1C. - D.-9 9【解析】选B.因为两圆系+/+4.+44—4=0和产+/—2办+62—1=0恰有三条公切线,故两圆外切，则圆心(一240)到圆心(0,6)的距离等于半径2和半径1的和，解得/=5+20=25,解得r=±5,又由 X(1X|48|)X|=3XrtXr2,解得|44|=4.答案：44.已知圆G，+(y—3”=8和动圆月(x—a)z+/=8交于4月两点.(1)若直线46过原点，求a；(2)若直线48交x轴于。，当△A0C面积最小时，求|月".【解析】(1)由圆Gf+(y—3y=8和动圆月(x—a)2+V=8,可得圆心坐标分别为。(0,3),P{a,0),半径都是r=2啦，因为圆G*+(y—3)2=8和动圆月(x—a)2+y=8交于力，8两点，可得圆心距小于半径之和，|囹<4蛆，即a?+9<(4/产，解得一便<a<F,又由两圆相减，可得公共弦直线4合一6y+9=-2ax+a2,因为直线43过原点，可得，=9,解得a=±3,检验成立，所以实数a的值为±3.(2)由直线46：—6y+9=-2ax+a?,即一2ax+才即一2ax+才=9,解得9a——令y=0,TOC\o"1-5"\h\z1(9、 1 9则1尸0=於一1-=n ，乙、aj 乙 cl1 319 9 1-所以IPQ\,3=-方a+- ，当且仅当a=±3时取得等号,且满足aG(一，为，•\/23),此时直线48：y=+x,3又由圆心到直线距离为d=一尸，

所以弦长为2所以当面积最小时，|力用的值为，逋.5.(能力挑战题)(2021•成都模拟)已知点£与两个定点4(1,0),6(4,0)的距离的比为⑴记点£的轨迹为曲线C,求曲线。的轨迹方程.(2)过点6(2,3)作两条与曲线。相切的直线，切点分别为机N,求直线脉的方程.(3)若与直线/：y=x-2y{2垂直的直线/与曲线C交于不同的两点尸，Q,若/如。为钝角，求直线/在y轴上的截距的取值范围.【解析】(1)设点£的坐标为(x,y),由题意知点£与两个定点4(1,0),8(4,0)的距离之(*-1)_1得(x—4)旺"整理得3f+3/-12=0,所以曲线。的方程是Z+/=4.(2)过G点(2,3)作两条与曲线C相切的直线，G点在圆外，连接宛，OM,由题意知|%|=卷不于=a/13,|掰=N初一*=3,所以以G为圆心，|GM\为半径的圆的方程为(x—2)?+(y—3尸=9①，又圆。的方程为岁+/=4②，由①一②得直线腑的方程是2x+3y-4=0；(3)设直线/的方程为：y=~x+b,联立/+4=4,得2f—26x+Zf—4=0,设直线/与圆C的交点尸（乂，必），。（如夕2），由4=（-26）2—8（。2—4）>0,得次8,Z?2—4+x2=b,xt•x2=一~一,因为/尸。。为钝角，所以游•OQ<0,即川也+必必”，且涉与而不是反向共线，又%=一用+6,y2=-x2-\-b,所以莅质+%先=2为至一6（汨+*2）+4<0，下一4又因为Xi+*2=6，X\X.尸2 ，为汨+必必=62—4—Z/+6N0,得方<4,即一2〈伙2,当办与沏反向共线时，直线y=-x+6过原点，此时6=0,不满足题意，故直线/在y轴上的截距的取值范围是一2〈伙2,且6W0.即4(-2a)2+今=3整理得4a2+4=9,j1.1 1,2,,2x/1,1、 1/,4a?,万、、1,, /4a*21)、故F+不=G(4a+6)(f+力)=-(5+-;t+—) (5+2A )=1,ab9 ab9ba9vZ?a(2j2当且仅当号=F,4a2+4=9时，ba3即a2=,。2=3时取得最小值1.2.（2021•天津模拟）已知直线/过点（一1,0）且与直线2x—y=0垂直，则圆父+/-4*+8y=0与直线1相交所得的弦长为.【解析】由题意可得，/的方程为x+2y+l=0,因为*+/—4x+8y=0可化为(x—2)