五年(2018-2022)全国各省份高考数学真题分类汇编(全国卷新高考卷北京天津卷等)专题25圆锥曲线解答题(解析版)

2018-2022五年全国各省份高考数学真题分类汇编

专题25圆锥曲线解答题圆锥曲线解答题一、解答题2 2(2022高考北京卷•第19题)已知椭圆：E:=+与=l(a〉b〉0)的一个顶点为4(0/)，焦距为2道.ab(1)求椭圆E的方程；(2)过点尸(-2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点8,C,直线A8,AC分别与x轴交于点M,N,当|MN|=2时，求k的值.【答案】解析:⑴依题意可得力=1,2c=26,又。2=/一〃2,2所以。=2,所以椭圆方程为三+丁=1；⑵解：依题意过点P(-2,l)的直线为y-l=Z(x+2),设8(不必)、不妨令一24M</42,卜-1=攵（犬+2）由1方2 , ，消去丁整理得（1+4%2+（1642+8A）x+1622+16%=0,It+>-所以△=（16/+8以一40+4/）06二+原）>0,解得女<0,所以为+所以为+%=-16/+8攵1+4公16k2+16%1+4公TOC\o"1-5"\h\z,X—1 X.直线A8的方程为丁-1=二一X,令y=O,解得/=「!一X If直线AC的方程为令y=0,解得4=产X2 1-必所以 -Xm|= —=―rA2-r——=| r A|-r——=r1-%1-Ji1- +2）+1] +2）+1]_再 X]_（与+2）X-*2（X+2） 2,一q_2—4（超+2）&（工]+2） &（々+2）（工]+2） 网（赴+2）（X]+2）所以打一百=网5+2)(西+2),J（X1+x2）--4X1X2=阳[工2%+2（x,+xJ+4]I6k2+Sk1I6k2+Sk1+4公2 •。 •.16k~+16Z）,i-4x -=\k\1+4左216k2+16左A~7^T+2[~\6k2+Sk即J庐 +行_0+软2）俨+k）=-J^L[16左2+16攵一2（16左2+8左）+4（1+4左2）]整理得8G=4同，解得左=-4【题目栏目】圆锥曲线'椭圆'直线与椭圆的综合问题【题目来源】2022高考北京卷•第19题（2022年高考全国甲卷数学（理）•第20题）设抛物线C:y2=2px（p>0）焦点为F,点。（。,0）,过F的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时，|MF|=3.（1）求C的方程；（2）设直线M2M）与C另一个交点分别为A,B,记直线MN,48的倾斜角分别为。,夕.当a一夕取得最大值时，求直线A8的方程.【答案】⑴y2=4x； （2）AB:x=42y+4.【解析】（1）抛物线的准线为》=-微，当A/D与x轴垂直时，点M的横坐标为p,此时所|=p+5=3,所以p=2,所以抛物线C的方程为丁=以；（2）设M[,，y），'[?，必），+字,以],81系，，4）>直线MN:x=my+1,由’；_4可得y，-4/ny-4=0,△>°，乂必=T，TOC\o"1-5"\h\zk―一―必一4 3'「必 4由斜率公式可得MN~±_yl~yt+y2..一£_因一%+以，4 4 4 4直线“£>:x=士W.y+2,代入抛物线方程可得y2-4（&-2）丫-&=0,△>0，%必=-8,所以％=2%，同理可得以=2%，4 4k所以心B=^—=KT^=于必+”2（弘+必）2ktnnty又因为直线MMA8的倾斜角分别为a],所以k^ntan尸=寸=詈，若要使a-£最大，则夕3(a t-a-tan-一”一14 1一夜TOC\o"1-5"\h\z设L=2%=2%>0,则 1+lanalan夕1+2二£ ~11 4，7■十zk2J—•2kk\k当且仅当工=2%即％=也时，等号成立，k 2Ji. L所以当a-4最大时，kAB= .设直线AB:x=&y+〃，代入抛物线方程可得丁-4x/iy-4〃=0,A>0,y3y4=-An=4y)y2=-16,所以〃=4,所以直线48"=夜》+4.【题目栏目】圆锥曲线'抛物线、直线与抛物线的综合问题【题目来源】2022年高考全国甲卷数学(理)•第20题(2022年浙江省高考数学试题•第21题)如图，已知椭圆工+V=1.设4B是椭圆上异于P(O,1)的12-(2)求ISI的最小值.［答案】解析:⑴设Q(2百cos6,sin8)是椭圆上任意一点,尸(0,1)，则|PQ『=12cos2e+(l-sine)2=13—llsii?。-2sin6=—ll(sine+\)+含《含，当且仅当sind=--5■时取等号，故|PQ|的最大值是为叵.1111=1联立，可得（二+*x2+kx--=0,设A[xi,yi),B(x2,y2),=1联立，可得（二+*x2+kx--=0,设A[xi,yi),B(x2,y2),所以＜于C厕％=kx+z= pk2+-x}x2=—4Xj公12,因为直线PA:y=上二3 x}4mx+1与直线y=_，x+3交2X)+2y1一2(2k+1)X|-1，同理可得,二4x2x?+2y2—2 (2k+l)x2—1|CO|=4x?2(2^+1)%1-1(2Ar+l)x2-1X,-x2[(2)l+l)x1-l][(2Z:+l)x2-l]Qk+1)~为工2—Qk+1)(f+x))+13石J16r+16垂＞166+1，,+13

4)lx-+lxl42伙+1| 5伙+1]6石，当且仅当&=3时取 161 丫2⑵设直线18:y=kx+一，直线A3方程与椭圆二+产2 12等号，故|CD|的最小值为述.【题目栏目】圆锥曲线'椭圆'直线与椭圆的综合问题【题目来源】2022年浙江省高考数学试题•第21题2 2（2022新高考全国II卷•第21题）已知双曲线C:=-2=l（a>°，6>°）的右焦点为尸（2，°），渐近线cTb~（1）求C的方程;（2）过厂的直线与C的两条渐近线分别交于/,8两点，点尸（七,乂）,。（七,％）在。上，且.M>w>o,y>o.过〃且斜率为-的直线与过o且斜率为6的直线交于点机从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立:①"在A3上；②PQ〃A8；③|M4|=|M8].注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】⑴/_2_=13（2）见解析b f—解析：⑴右焦点为b（2,0）,二c=2,I,渐近线方程为y= （.**—=v3，:.b=>/3a>a2c2,=a1+b2=4a2=4>tz=1>•,-/?=>/3. ；.C的方程为：x2---=1；3（2）由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线AB的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB的斜率存在且不为零：若选①③推②，则”为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M在％轴上，即为焦点F,此时由对称性可知P、。关于X轴对称，与从而已知不符；总之，直线AB的斜率存在且不为零.设直线AB的斜率为左,直线AB方程为y=攵（犬一2）,则条件①M在A8上，等价于%=k（%—2）。矽0=/（毛一2）:两渐近线方程合并为3/-丁=0,联立消去y并化简整理得：（公一3）9一4k2%+4公=。设4（项,％），8（七,”），线段中点N（%,丁'）,则/="区=咎1，%=%（/-2）=坦，2K—3 k—3设 则条件③ 等价于（％-七『+（%-%）2=（不一%）2+（%一%）2,移项并利用平方差公式整理得：（七一兀）［2%-（X,+%）］+（%-乂）［2%-（％+乂）］=。,［2/一（七+3）］+^5^［2%-（％+”）］=°,即4-xN+&（%—%）=0,X3~X4即天+饭三：K-D由题意知直线的斜率为-6，直线的斜率为JJ,...由乂一%=一6（％一七）=6（/一%），y-必=Y（X+/-2毛），

所以直线PQ的斜率加="Z&=-自主士细%~X2直线PM:y=-6（》-入0）+%,即y=%+5/5式0—百工,代入双曲线的方程3/-/一3=0,即（Gx+y）（、/Ix-y）=3中,得：（%+80）［2后-（%+伤0）=3,।। 3解得P的横坐标：X=-7=

25/311y0+V3xq二饭=&2（%一2）,.,.①成立..•.”=也， 条件②PQ〃.•.”=也， 条件②PQ〃/18等价于机=左。5=3x0,综上所述:%条件①M在AB上，等价于@°=公（占一2）条件②PQ//AB等价于kyQ=3xq；条件③|AM|=|BM］等价于拓+轨=:k—3选①②推③：2k2由①@解得：/=多一,.・・%+60=4%=孚一，・・念成立°k2-3 ° ° 0k2-3选①③推②：2k2 6k2由①©解得：与=力一，kyQ=-^~,°k2-3 °k2-3二机=3%,.•.②成立:选②③推①：由②③解得:6E.由②③解得:6E.c_ 6以=正音‘。淳M【题目栏目】圆锥曲线'双曲线'直线与双曲线的综合问题【题目来源】2022新高考全国II卷•第21题, x2v~（2022新高考全国I卷•第21题）已知点42,1）在双曲线C：々一一2—=1（。>1）上，直线/交。于P,CTU~—1。两点，直线AP,AQ的斜率之和为0.（1）求/斜率；（2）若lanNPAQ=20,求△P4Q的面积.【答案】（1）-1;⑵谑.9V2 V2 4 1解析：（1）因为点A（2,l）在双曲线C：0一_J=i（a>i）上，所以-?一---=1,解得/=2,即双曲a2a2-\ a2a2线C:兰-丁=i2-易知直线/的斜率存在，设/:y=Ax+m,P（西,凹）,。（与,必），可得，（1—2.k~'\x可得，（1—2.k~'\x2—Amkx—2,m~-2=0,/=1''联立6所以，X,+x2=_-^L,^2=^-2,a=\enrk2+4（2/n2+2）（2^2-1）>0/n2-1+2/:2>0.-y*—1y-1所以由后”+原户=0可得，=七+士不二°，即（玉—2）（H24-777—1）4-（Xj-2）（fctj4-777-1）=0,即2kxi0+（加一1一2攵）（％+%2）-4（加-1）=0,2M2+2zt..y4mk}./一八所以2Zx^prr+（加-i—2%）［—^pqJ-4（6-i）=o，化简得，8左2+4Z-4+4m（Z+l）=0,即（A+l）（2A-l+m）=O,所以女=-1或加=1—2左，

当，〃=1一24时，直线/：y="+m=A（x-2）+l过点A（2,l）,与题意不符，舍去，故%=-1.（2）不妨设直线PAP8的倾斜角为因为领尸+女利=0，所以o+夕=兀,由⑴知，XjXj=2m2+2>0,当A,8均在双曲线左支时，ZPAQ=2a,所以tan2a=2&，即5/2tan2a+tana-5/2=0>解得tana= （负值舍去）此时力与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；当A3均在双曲线右支时，因为tan/PAQ=20,所以tan（力—a）=20,即tan2a=-20，即V^tan^a-tana-点=0,解得tana=J5（负值舍去），于是，直线~4:、=夜（工-2）+1,直线P8:y=—夜（x-2）+l,fy=V2（x-2）+fy=V2（x-2）+l联立2 可得'-x2+2（1-2>^）X+10-40=0因为方程有一个根为2,所以巧>10-472因为方程有一个根为2,所以巧> 1 ，力= Z 所以PQ:x+y-g=0,|尸。|=当，所以PQ:x+y-g=0,|尸。|=当，同理可得，xn= -,yQ=- .G3 3点A到直线尸。的距离〃2+1-3 2&,故△PAQ的面积为_Lx3x^l=”它.d=^~=- 2339【题目栏目】圆锥曲线'双曲线'双曲线的几何性质【题目来源】2022新高考全国I卷•第21题6.（2022年高考全国乙卷数学（理）•第20题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过^4（0,-2）, -11两点•（1）求E的方程;

(2)设过点的直线交E于M,N两点，过M且平行于x轴的直线与线段A8交于点7"，点，满足而=而•证明：直线"N过定点•TOC\o"1-5"\h\z2【答案】⑴乙+—=14 3⑵(0,-2)解析：设椭圆E的方程为/n/+〃y2=i,过a(0,-2),《|,一1),f4n=l 22则49 ，解得山="n=~,所以椭圆E的方程为：上+土=1.\—m+n=l 3 4 4 314【小问2详解】A(0,-2),B(-,-l),所以AB:y+2=2%，2 2①若过点P(l，-2)的直线斜率不存在，直线x=l.代入土+匕=1,3 4可得知(1,_冬色)，/v(l,—)，代入48方程y=g尤一2,可得T(—\/6+3,————-)•由而斤=77/得到”(—2j^+5,—.求得HN方程:丫=(2+侦口一2,过点(0,-2).②若过点P(l，-2)的直线斜率存在，设辰一〉一(％+2)=0,“(孙M)”(X2，%)・kx-y-(k-^2)=0x2y2，得(3k2+4)x2-62(2+k)x+3k(k+4)=0,TOC\o"1-5"\h\z 1 =16k(6k(2+公%+七=3/+43攵(4+女)中2=不了-8(2+k)X+M= 9 1 2 3/+44(4+4左一2左2)加"3公+4—24攵且不%+超,=页直(*)y二y联立2 0,可得T(学+3,y),H(3y+6-％,y).y=-x—2 2「3可求得此时HN:y-y2=-~ U-x2),3yi+6-xi-x2将。一2),代入整理得2(x+*2)-6(>]+%)+%%+WY-3,必-12=0.将(*)代入，得24攵+12公+96+48k—24k-48-48k+24公一36k2-48=0,显然成立，综上，可得直线HN过定点(0,-2).【题目栏目】圆锥曲线'椭圆'直线与椭圆的综合问题【题目来源】2022年高考全国乙卷数学(理)•第20题(2021年高考浙江卷•第21题)如图，已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，”是抛物线的准线与x轴的交点，且|"F|=2,(2)设过点尸的直线交抛物线与48两点，斜率为2的直线/与直线M4,MB,AB,x轴依次交于点P,Q,R,N,且|RN「=|PN|.|QN|,求直线/在x轴上截距的范围.【答案】⑴丁=4丫；(2)(—,-7-46]u[-7+46,1)U(1,x).解析：⑴因为|M目=2,故p=2,故抛物线的方程为：F=4x.⑵设A8:x="+1,A(M，yJ,B(巧,%),N(〃,O),I Ix=fy+1所以直线/"=：+〃，由题设可得〃且，。7.由<,二可得V-4)一4=0,故y力=-4,y+%=4/,2 2[y=4x

又…=)+1),同理yQ=整理得到 (2x2+2-必)(2±+2-y)因为|rn『=|/又…=)+1),同理yQ=整理得到 (2x2+2-必)(2±+2-y)因为|rn『=|/wHqn|,故y=-^(x+l).X]+1 /日由， 可得力vyjx=—+H2(〃+i)y

23+2-%2(n-l)

2/-12(〃+l)%>2(〃+l)y

2赴+2—y22X[+2—yfn+lY3+4r2[n-\J-(Zip,,3+4/ $2+2s+4,24,故；——T=——2-=1+-+—=4

(2r-l) 5s533,故《44n*1-|bpn2+14h+1>0nw1仔+2-为)仔+2-yJ ‘：,+(.”+»xx.*-2(.*+x)+4 8*C4-1令s=2/—1,则，= 且s00,解得"4-7-46或-7+4Gw〃<1或〃>1•故直线/在X轴上的截距的范围为〃4-7-45/5或-7+4G4〃<1或〃>1.【题目栏目】圆锥曲线'抛物线'直线与抛物线的综合问题【题目来源】2021年高考浙江卷•第21题2 2（2021年新高考全国n卷•第20题）已知椭圆C的方程为j+A=l（a>人>0）,右焦点为尸（女,0）,且a"b~离心率为底.3（1）求椭圆。的方程；（2）设材，“是椭圆。上的两点，直线MN与曲线/+丁=/。>0）相切.证明：机N,尸三点共线的充要条件是|MN|=>/5.【答案】解析：（1）由题意，椭圆半焦距c=&且e=£=且，所以。 又从=/一,2=1，所以椭圆方a3程为£+y2=I；3.

（2）由（1）得，曲线为产+炉=1*>0）,当直线MN的斜率不存在时，直线MN:x=l,不合题意;当直线MN的斜率存在时，设M（%,y）,N（X2，y2）,必要性:若〃，N,尸三点共线，可设直线的：丫=耳刀-五）即丘-y-V^l=O,由直线A/N与曲线x?+产=l（x>0）相切可得产±卜-&） , 3相切可得，产,可得4x2—6>/2x+3=0,所以X]+z= ,%•/=-f一+y2=1 - 2 -4137所以|MN|=y/i+i-7（x,+x2）2-4xi-x2=G,所以必要性成立;y=kx+bX22_可得（1+3用/+6幼氏+3从-3=y=kx+bX22_可得（1+3用/+6幼氏+3从-3=0,T5-L——二］，所以。2=标+1，联立，由I4 6kb 3从-3由所以％+工2=-"；~~—X2= 2»所以+3K I।jK=>/1+k~•+x,）~—4X| =Jl+k6kb=>/1+k~•+x,）~—4X| =Jl+k化简得3（尸-I）、。，所以人士1,所以或L后，所以直线化简得3（尸-I）、。，所以人士1,所以以直线MN过点尸（&,0）,M,N,厂三点共线，充分性成立；所以弘N,少三点共线的充要条件是|MN|=G.【题目栏目】圆锥曲线'椭圆'直线与椭圆的综合问题【题目来源】2021年新高考全国H卷•第20题（2021年新高考I卷•第21题）在平面直角坐标系x0y中，已知点耳（-后,0）、5（后,0）|M用-|M段=2,点M的轨迹为C.（1）求C的方程；（2）设点T在直线x=；上，过了两条直线分别交C于A、B两点和P,Q两点，^.\TA\-\TB\=\TP\-\TQ\,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.【答案】解析：因为用-四用=2〈山国=2>/万，所以，轨迹C是以点6、行为左、右焦点的双曲线的右支,设轨迹。的方程为一y— =1(〃>0,〃>0),则2a=2,可得a=l,b={17-a2=4,所以，轨迹C的方程为f一《=1(工之1)；(2)设点若过点7的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C无公共点，不妨直线的方程为yT={(x-；),BPy=klx+t-^kl,联立『一' 21,消去y并整理可得传_16卜2+占®-Ajx+r-1+16=0,16x2-y2=16 1 2)设点A(X1，X)、B(x2,y2),则且w>g.,.y, m_r/口 k：—2k\t ।t—匕1+16由韦达定理可得X+工2 ―7J~f I2J,…3=I所以，|刀叩|Ta=(l+k；),A--||j-V2 =(1+^2)/a-x, +；卜"设直线PQ的斜率为k2,同理可得|7分|70=("+f；幻,因为\TA\-\TB\=\TP\-\TQ\,即(「+?(；；2=(「+?(『」,整理可得记=£,即代-&)(4+%2)=0，显然勺一右工0，故勺+%2=0.因此，直线他与直线2。的斜率之和为0.【题目栏目】圆锥曲线'双曲线、双曲线的几何性质【题目来源】2021年新高考I卷•第21题(2021年高考全国乙卷理科•第21题)已知抛物线。：/=2度(〃>0)的焦点为尸，且尸与圆Mf+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.⑴求P；(2)若点P在M上，PAPB是C的两条切线，A,B是切点，求△R48面积的最大值.【答案】(1)P=2；(2)20石.解析：⑴抛物线。的焦点为/I。,])，|FM|=5+4,所以，/与圆M:/+(y+4)2=l上点的距离

的最小值为"+4—1=4,解得p=2；21*2 ,¥（2）抛物线。的方程为f=4y,即丁=工，对该函数求导得y=5,4 2设点A（X],yJ、8（毛，%）、尸（%，%），直线F4的方程为y_%=5（犬_为），即,=当_,，即X|X_2y_2y=0,同理可知，直线尸8的方程为%工-2%-2丫=0,由于点P为这两条直线的公共点，则—一个’。=:,1毛/_2%_2%=0所以，点A、8的坐标满足方程x（）x-2y-2%=0,所以，直线48的方程为毛x-2y-2%=0,xax-2y-2yo=OX2X2

T可得x?-2xQx+4y0=0,由韦达定理可得X+%=2x（）,与超=4%,所以，|A8|=Jl+怎）-J（\+々）2-4中2=j+佟］,74x（）-,6>o=J（x；+4）（x：-4）,。），—4y|点P到直线AB的距离为d=*,所以，Snab=JI阴.d=； +4）（x；-4yo）° ~^°=^x^~4y0）2,zz Jx0+4/X-4%=1-（％+4）2-4%=-y：-12%-15=-（％+6）2+21,』广由已知可得一54%4-3,所以，当先=-5时，△R4B的面积取最大值上x202=206.2【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值.【题目栏目】圆锥曲线'抛物线'直线与抛物线的综合问题【题目来源】2021年高考全国乙卷理科•第21题（2021年高考全国甲卷理科•第20题）抛物线C的顶点为坐标原点。.焦点在x轴上，直线/：x=l交C于P,Q两点，且已知点M（2,O）,且。/与/相切.（1）求C,0M的方程；（2）设A，4,4是C上的三个点，直线A4，44均与相切.判断直线&4与0M的位置关系，并说明理由.【答案】⑴抛物线C:y2=x,OM方程为（x-2）2+y2=i；⑵相切，理由见解析解析：⑴依题意设抛物线C-.y2=2Px（p>0）,P（l,y0）,Q（L—%）,\OPLOQ,：.OPOQ=\-yl=\-2p=G,：.2p=\,所以抛物线。的方程为V=x,M（0,2）,G）M与x=l相切，所以半径为1，所以0M的方程为（％-2）2+产=［；（2）设A（芯%），&（W，%），A3（刍，为）若A4斜率不存在，则A4方程为x=l或x=3,若A4方程为X=1，根据对称性不妨设4（1,1）,则过A与圆m相切的另一条直线方程为y=\,此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在4,,不合题意；若44方程为x=3,根据对称性不妨设a（3,6），a（3,-6）,则过A与圆M相切的直线AA3为y—6=q（x-3），又k-1- 1-G•v—0乂 , 后 々，・・内U,内一七州+%。3+必3当=0,A（o,o）,此时直线44,443关于x轴对称，所以直线与圆m相切；若直线44,44,4A3斜率均存在,~~~次AA=~~~，怎出=~~~I/ \所以直线A4方程为y-y= （无一玉）,K+%整理得x-（y+%）y+yj2=0，同理直线A4的方程为+%方+%%=o，直线4&的方程为彳一（〉2+、3）丁+%%=0，,,_ .12+y%I_iTOC\o"1-5"\h\z,「AA,与圆M相切，,•/ 2—整理得（y；-1）¥+2%必+3-J1=0,与圆m相切，同理（y；—l）y；+2凹％+3-y；=0所以如、3为方程（犬-1）9+2%丁+3-y；=0的两根,2y. 3-y.2%+为=--六%，％.%=丁^，y-1 必-1M到直线&A3的距离为：|2+%%1=；"= 及；+11 =9=]1+（%；%>J।（”yJ（y；-i）2+4y；犬+1'所以直线4A3与圆m相切：综上若直线与圆M相切，则直线44与圆M相切.【点睛】关键点点睛：（D过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；（2）要充分利用A4，AA的对称性，抽象出%+%，％,%与%关系，把内，%的关系转化为用弘表示.【题目栏目】圆锥曲线'抛物线'直线与抛物线的综合问题【题目来源】2021年高考全国甲卷理科•第20题

（2021高考北京•第20题）已知椭圆E:鼻+斗=13〉6>0）一个顶点A（O,-2）,以椭圆E的四个b~顶点为顶点的四边形面积为46.（1）求椭圆£的方程；（2）过点R0,-3）的直线/斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点反C,直线力8,AC分别与直线交片-3交于点MN,当|。仞+IQ/MW15时，求4的取值范围.【答案】⑴/+*=1;(2)[-3,-l)u(l,3].5 4解析：（1）因为椭圆过A（O,-2）,故〃=2,因为四个顶点围成的四边形的面积为4石，故gx2ax2》=46，即a=6,故椭圆的标准方程为：—+^-=1.5 4BC:y=Ax-3BC:y=Ax-3,y=Ax—34x2+5y2=20可得（4+5左2一30履+25=0故A=900--i00(4+5/)>0,解得人：<-1或&>1.25又用+为=万页'"也=石页'故士工2>°，所以人小>0又|PM|+|RV|=%+4|=,+2y2+2x}占kX[_1kx2—12AX]X> +x2)k~xxx24-x2)+150k 30k4+5公4+5公25k2 30k2। 7 7+14+5公4+5公=5闷综上，-34々<一1或1<AW3.【题目栏目】圆锥曲线'椭圆'直线与椭圆的综合问题【题目来源】2021高考北京•第20题213.（2020年高考课标I卷理科•第20题）已知48分别为椭圆E：0+/a2为E的上顶点，而.而=8,P为直线x=6上的动点，力与E的另一交点为C,⑴求E方程；（2）证明：直线CD过定点.【答案】（1）二+y2=1：（2）证明详见解析.9【解析】（1）依据题意作出如下图象：故5网《15即同43,=1（a>l）左、右顶点，GP8与£的另一交点为D.）由椭圆方程E:彳+yB(a,0),G(0,l)/.AG=(a,l),Gfl=(a,-1)=1（。>1）可得：A（一。,0）,AGGB=a2-l=S>a2=9椭圆方程为：—+/=19一则直线AP的方程为：y=6｝］；）（*+3）,即:联立直线AP的方程与椭圆方程可得：,整理得:）=2X2 1—+y=1, . _3V+27（y02+9）x2+6y02x+9y02-81=0,解得：％=-3或%=—；y将》=匚居一卫代入直线y=K（x+3）可得：y=-^-%+9 9、 ' %+9乳2+9城+1乳2+9城+1X-整理可得:8%（如+3）（3靖_31 8%/3城_3、整理可得:6（9-城）IJo2+1）6（3一%2）（y02+lJ故直线CO过定点|,0）【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.【题目栏目】圆锥曲线'椭圆'直线与椭圆的综合问题【题目来源】2020年高考课标I卷理科•第20题2 2（2020年高考课标H卷理科•第19题）已知椭圆J：=+4=1（。泌＞0）右焦点F与抛物线C2的焦ab"点重合，Q的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交G于48两点，交C2于C,D两点，且4\CD\=-\AB\.

(1)求G的离心率；(2)设M是G与C2的公共点，若|MF|=5,求Q与C2的标准方程.| r22【答案】⑴上；（2）c,：—+^-=i,G：y=i2x.2 13627m：(i)vf(c,o),ab_lx轴且与椭圆g相交于a、b两点,则直线AB的方程为x=c,x=cbx=cb2-y=±-a[+5=1,解得<a'b"〃2二/+c2BP2c5r由抛物线的定义可得|Mq=§c+c=§=55r由抛物线的定义可得|Mq=§c+c=§=5,解得c=3.QO<e<l,解得e=g,因此，椭圆G的离心率为g；2 2(2)由(1)知a=2c,b=6c，椭圆C1的方程为5+六=1，2y=4cx联立,炉 y2 消去y并整理得3/+16以：一12c2=0,在+记=12解得x=-c或x=-6c（舍去）,因此，曲线q的标准方程为二+二=1,3627曲线的标准方程为y?=12x.【点睛】本题考查椭圆离心率求解，同时也考查了利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程，考查计算能力，属于中等题.【题目栏目】圆锥曲线'圆锥曲线的综合问题'圆锥曲线的综合问题【题目来源】2020年高考课标II卷理科•第19题（2020年高考课标III卷理科•第20题）已知椭圆。:三+£=1（0（根＜5）的离心率为巫，A，8分TOC\o"1-5"\h\z25nr 4别为C的左、右顶点.（1）求C的方程；（2）若点P在C上，点。在直线X=6上，且IBPRB0,BPLBQ,求aAPQ的面积.【答案】（1）三+此=1;（2）3.25 25 22 2解析：(I)：C:苴+J=l(0<m<5)25nV。=。=5,b=m,根据离心率解得6=—或机=一一（舍）,4 4・・•・C的方程为:25 25（2）不妨设尸，。在x轴上方•••点P在。上，点Q在直线x=6上，且I8PHBQI,BP±BQ,过点P作无轴垂线，交点为M，设x=6与x轴交点为N根据题意画出图形，如图

■：\BP\=\BQ\,BPIBQ,ZPMB=NQNB=9Q°,又NPBM+NQBN=90°,ZBQN+4QBN=90°,NPBM=ZBQN,根据三角形全等条件"A4S”,可得：/\PMB=/\BNQ,..fJ6y2TOC\o"1-5"\h\z25 25•••5（5,0）,/.\PM\=\BN\=6-5=\,设P点为（4,%）,可得P点纵坐标为力=1,将其代入工+红=1,25 25x2 16可得：工+男=1,2525解得：Xp=3或X-=-3,・•.P点为（3』）或（一3,1）,①当P点为（3,1）时，故网=5-3=2,•••4PMB=4BNQ,.-.\MB\=\NQ\=2,可得：。点为(6,2),画出图象，如图A(-5,0),Q(6,2),可求得直线AQ的直线方程为：2x-lly+IO=O,根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为：d=|2x3-llxl+1A(-5,0),Q(6,2),可求得直线AQ的直线方程为：2x-lly+IO=O,根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为：d=|2x3-llxl+10|a/22+112 V125 5’根据两点间距离公式可得：\AQ\=7（6+5）2+（2-0）2=5^，••.△4PQ面积为：lx5>/5x^=-2 5 2②当P点为（一3,1）时，故|网=5+3=8,•••丛PMB=4BNQ，••・IMB|=|NQ|=8,可得：。点为（6,8）,画出图象，如图A(—5,0),Q(6,8),可求得直线AQ的直线方程为：8x—lly+40=0,根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为：d=|8x(-3)-llxl+40| |5|V82+ll2—V185―V185，根据两点间距离公式可得：|AQ|=J（6+5）2+（8-0）2=阿,.二.人尸。面积为：--x\/185x——=—2v1852综上所述，aAPQ面积为：-2【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.【题目栏目】圆锥曲线'椭圆'直线与椭圆的综合问题【题目来源】2020年高考课标H1卷理科•第20题2 2 B（2020年新高考全国I卷（山东）•第22题）已知椭圆C：++亲■=l（a>b〉0）的离心率为半，且过点A（2,1）.（1）求C的方程：（2）点M,N在C上，且AML4N,AD1MN,D为垂足.证明：存在定点Q,使得|DQ|为定值.【答案】（1）工+£=1：（2）详见解析.TOC\o"1-5"\h\z6 3a2解析：（1）由题意可得:4 1解析：（1）由题意可得:,—y+77=l,解得：a2=6,/?2=c2=3,故椭圆方程为： F—=1.a b2 6 3a2=b2+c2（2）设点M（内,y）,N（w，%）•因为AM_LAN, =0，即（M—2）（七一2）+（y—1）（%—1）=。,①当直线MN的斜率存在时，设方程为旷=日+机,如图1.代入椭圆方程消去y并整理得：（l+2k2）x2+4fo?ix+2/n2-6=0②,4km2m2—6②,X]+Xj= ,XjXy= T~l+2k21-1+2k2根据必=点|+6,%="2+加，代入①整理可得：（k2+ljx1X2+（Awi—k—2）（X]+w）+（加-1）~+4=0将②代入,(/+1)=+(—)一1I/»八 \4km1+2火2整理化简得（2左+3m+1）（22+加一1）=0,•.•A（2,D不在直线"N上，,2%+加一1/0,2k+3m+1=0,k*1,于是MN的方程为丁=人（*-1所以直线过定点直线过定点E所以直线过定点直线过定点E23，-3当直线MN的斜率不存在时，可得N（内,一yJ,如图2.代入a_2）（w-2）+（y-i）（%-1）=0得a-2）2+i-父=0,结合五+g=1,解得6 3此时直线MN过点E由于AE为定值，且aADE为直角三角形，AE为斜边,2313所以AE中点Q满足|Q&为定值（AE长度的一半;斗=2(舍),百=|,由于A（2,1）,E23，-3,故由中点坐标公式可得Q413'3故存在点。43,3，使得/DQ/为定值.【题目栏目】圆锥曲线'椭圆'直线与椭圆的综合问题【题目来源】2020年新高考全国I卷（山东）•第22题2 2（2020年新高考全国卷n数学（海南）•第21题）已知椭圆C：餐+2r=l（a>b〉0）过点M（2,3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为4,（1）求C的方程；（2）点N为椭圆上任意一点，求AAMN的面积的最大值.TOC\o"1-5"\h\zr2v2 1【答案】（1）二+幺=1;（2）18.解析:（1）由题意可知直线AM的方程为：丁一3=一@一2）,即％-2丁=7.1612 - 2当y=0时，解得x=-4,所以。=4,v-2v2z 、 4 9椭圆C：—1（。>。〉0）过点M（2,3）,可得主+巨=1，解得抉=12.⑵设与直线AM平行的直线方程为：x-2y=m,如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N,此时AAMN的面积取得最大值.可得：3（/n+2y）2+4y2=48,化简可得：16y2+12阳+3加2-48=0,所以△=14462一4*16（3m2-48）=0,即苏=64,解得m=±8,与AM距离比较远的直线方程：x-2y=8,直线AM方程为：x-2y=T,点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：〃=至±=呸后yj\4-4 5由两点之间距离公式可得|AM|=7（2+4）2+32=3#）.所以AAMN的面积的最大值：_Lx3>5xU吏■=18.2 5【题目栏目】圆锥曲线'椭圆'椭圆的定义及其标准方程【题目来源】2020年新高考全国卷II数学（海南）•第21题（2020年浙江省高考数学试卷•第21题）如图，已知椭圆G：、+y2=],抛物线：V=2px（p>0）,点4是椭圆G与抛物线G的交点，过点力的直线，交椭圆G于点反交抛物线G于M（反材不同于4.(1)若"=,，求抛物线。(1)若"=,，求抛物线。2的焦点坐标;16(II)若存在不过原点的直线1使"为线段49的中点，求〃的最大值.【答案】(1)(1,0)：(11)典TOC\o"1-5"\h\z32 40解析：(I)当「=-5-时，c2的方程为V=1x，故抛物线的焦点坐标为(乙,o)；16 8 32(H)设A(%,y),3(%,%)"(%%)，1=由”+2） 2n仅+矛）/+2.y+>_2=0,x=Ay+m 、 ''-2A.m一痴 . 2mVi+Vj= y,%- y,X（）—•4yo+/〃= ，为,22+%°2+22° ° 2+无42"?2 4pmA2m由m在抛物线上，所以（2+丸2）2=57m=577=4〃，又）2Px0,2=2p（2y+m）=y2-2pAy-2pm=09x=Xy+my+%=2pA,,％ =Zy+m m=2pA2+2m,TOC\o"1-5"\h\z/.x}=2pX1+2m "7.2+A,~X22_i FV=1 7 ,由J2 =>x~+4px=2,：即12+4内一2=0y=2px=「+了i=2p+廊与=>-2p+J4pr+2=2pA2+2m-]-^=2pA2+^-+8p>]6p,2+A~ A所以J4P2+2N18p，p2 'P-—',、" " 1601 40所以，口的最大值为吟，此时A(#e,乎).法2：设直线/:》=冲+，(机工01#0),A(^,y0).将直线/的方程代入椭圆C:a+丁=1得：(>+2)V+2mty+产_2=0,nit所以点M的纵坐标为Vm=——丁二•m+2将直线/的方程代入抛物线C2:丁=2px得：y2-2pmy-2pt=0,uuz c,助田2p(m2+2)m„ 2p(m2+2]'所以yoyM=-2Pt,解得%= l，因此％=，1,)，m 0nr由且>+^=1解得二=4(m+2]+2(w+2],,160.2 vm)\m)所以当m=J5j=叵时，p取到最大值为巫.5 40【题目栏目】圆锥曲线'抛物线'直线与抛物线的综合问题【题目来源】2020年浙江省高考数学试卷•第21题19.(2020天津高考•第18题)已知椭圆鸟+《=1(。>%>0)的一个顶点为4(0,-3),右焦点为尸，且IOARO尸I,其中。为原点.a~h(I)求椭圆方程：(H)已知点C满足3反=砺，点8在椭圆上(8异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于点尸,且尸为线段他的中点.求直线AB的方程.【答案】【答案】(I)二+匕=1：(H)y=；x-3,或y=x-3.189 2【解析】(I)••・椭圆£+}=l(a>b>0)的一个顶点为A(O,-3),.•2=3,由|。4|=|。日，得c=8=3,又由/=从+,2,得/=32+32=18，所以，椭圆的方程为《+片=1；18 9(II)•.•直线4?与以。为圆心的圆相切于点尸，所以CPLAB,

根据题意可知，直线和直线C?的斜率均存在，设直线AB的斜率为A,则直线A3的方程为y+3=丘，即旷="-3,解得工=0或%=解得工=0或%=12A2公+1x2y2_,消去y,可得(2二+1产―12后:=(),TI+'9"-1%将户药代入户"一1%将户药代入户"一3’得…对6公-32k2+\所以，点B的坐标为、，詈因为尸为线段钻的中点，点A的坐标为(。，-3),IZ.K+11K~vij所以点P的坐标为］,由30c=0升，得点C的坐标为(1,0),IZK+1Z,Kt1y所以，直线CP的斜率为bP=吗垣一=kJ7又因为CPLA8,所以厂j二=T，OKi2H-6Z+1 2K-6Z+12P71-1整理得”2_3A+l=0,解得上=g或M=l.所以，直线钻的方程为y=；x-3或y=x-3.【题目栏目】圆锥曲线'椭圆'直线与椭圆的综合问题【题目来源】2020天津高考•第18题2 220.(2020江苏高考•第18题)在平面直角坐标系xQy中，已知椭圆E:?+?=l的左、右焦点分别为耳,6，点A在椭圆£上且在第一象限内，AF2±FtF2,直线AK与椭圆£相交于另一点(1)求公月(1)求公月人的周长;(2)在x轴上任取一点P,直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q,求丽•炉的最小值;(3)设点”在椭圆E上，记AOA8与AM4B的面积分别为力与，若$2=3’,求点M的坐标.【答案】【答案】(1)6；(2)Y；(3)M(2,O)或卜,,一£).【解析】(IF•椭圆E的方程为=+£=1,•/(TO),鸟(1,0)4 3由椭圆定义可得：AFl+AF2=4./\AF{F2的周长为4+2=6⑵设户(不，。)，根据题意可得与行.•••点A在椭圆E上，且在第一象限，AF2LFtF2••・小,£|,•.•准线方程为x=4,r.Q(4,凡)，.•.而•/=(%,())•&-4,一坨)=(%一4)%=(毛一2)2-4NT,当且仅当％=2时取等号./.OP-QP的最小值为-4.⑶设M(x，yJ,点“到直线AB的距离为4. 耳(-1,0)直线Af；的方程为y=((x+l),•.•点O到直线45的距离为1,S,=3S,:.S[=35\=3x^x\A^[x-=-\AB\-d,:.d=-,/.|3x,-4^+3|=9(i)TOC\o"1-5"\h\z， 22 2 (X=2再=一弓...工+建=1②，.•.联立①②解得I '.4 3 1M=0 12”-亍.,.”(2,0)或1-5，-£).【题目栏目】圆锥曲线'椭圆'椭圆的几何性质2 2【题目来源龙020江苏高考•第18题21.(2020北京高考•第20题)已知椭圆C:=+当=1过点A(-2,-l),a~h~且。=2b.(I)求椭圆C的方程：(II)过点8(-4,0)的直线1交椭圆C于点M,N,直线M4,附分别交直线x=T于点RQ.求段的值.Ib团TOC\o"1-5"\h\z【答案】(I)—+^-=1;(11)1.8 2【解析】(1)设椭圆方程为：5+斗=1(4>6>0),由题意可得：a~b~4-+-v=l [a2=8 r2v2a2b2,解得：,,故椭圆方程为：土+匕=1.[a=2h 廿=2 8 2⑵设 N®,%),直线MN的方程为：y=k(x+4),2 2与椭圆方程±+匕=1联立可得：丁+4-(犬+4)2=8,即：(4标+i)f+32公x+(64公-8)=0,8 2则：％+W=券£0%=黑。-直线物的方程为：y+i=U(x+2)，4k2+1 4k2+1 X+2'令x=T可得：yP=-2xyx+1]_2乂左(工1+4)+1%+2令x=T可得：yP=-2x$+2同理可得：yQ-(2Jl同理可得：yQ-(2Jl+l)(x2+4).很明显以%<0,且：胃=".\pQ\坨注意到:y。+y°=-(2a+i)_（-）1，.i\„（*+4）（七+2）+（x2+4y。+y°=-(2a+i)一（） 一+2）伍+2）而：(%+4)(%+2)+伍+4)(xf+2)=2[x,x2+3(x(+x2)+8]64公_8.(-32k1)o―5——+3x-5—+864公_8.(-32k1)o―5——+3x-5—+84A2+1 {4k2+1)2x 4二+1故力+为=0，%=-%.从而粤="=1•\pQ\"【题目栏目】【题目来源】2020北京高考•第20题22.（2019年高考浙江•第21题）如图，已知点尸（1,0）为抛物线y2=2px（p>0）的焦点.过点广的直线交抛物线于A，8两点，点C在抛物线上，使得△/$（7的重心G在x轴上，直线AC交x轴于Q点，且。在点尸的右侧，记△”右，4COG的面积分别为耳，邑.（I）求P的值及抛物线的准线方程：（II）求兴的最小值及此时点G的坐标.【答案】【意图】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力。满分15分。【解析】（I）由题意得5=1,即P=2,所以，抛物线的准线方程为x=-l.(H)设A*””)，,ys),C(xc,yc),重心G(%,yG),令以=2,，rw0,贝!I“a=『，由于直线AB过尸，故直线AB的方程为x=-Jy+l,代入y?=4x,得：y2 ——y-4=0,ta2ryfi=-4,即%=二，.・.b(!，二)，又%+/+%)，%=；(〃+%+%)，重心在五轴上，TOC\o"1-5"\h\z_ 22/ fyc—09.♦.C(d-f)2,2(1t)),G(-—21+2,0),t t 3r.,•直线AC的方程为y-2f=2«x-，)，得Q(r-1,0),,••。在焦点产的右侧，.•/＞2,1.„_.. . .2/4-2/'+1.._.S-.lFGHyAlI/ H2" 212S-)1I11I।212/4—2广+2..2cif4—1 /4—12-1QGHycI\t2-1 1 H--2r|2 3厂 tS,_m_ 1 _ 1iG令〃7=”一2,则帆＞0,S)nv+4/77+3 ,3,AJ, 2,机+—+4 2Jw—+4mVms n・•・当m=G时，7k取得最小值为1+见，此时G(2,0).另 2【题目栏目】圆锥曲线'抛物线'直线与抛物线的综合问题【题目来源】2019年高考浙江•第21题r2v2(2019年高考天津理•第18题)设椭圆彳+==1(。＞人＞0)的左焦点为尸，上顶点为3.已知椭圆ab~的短轴长为4,离心率为手.(1)求椭圆的方程；(II)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上.若|QV|=|OF|(。为原点)，且OP_LMN,求直线网的斜率.【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识。考查用代数方法研究圆锥曲面的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.满分13分.(I)解：设椭圆的半焦距为c,依题意，26=4,£=W，又a2=〃+c2,可得。=后，b=2,c=l.a5所以，椭圆的方程为土+匕=1.5 4(H)解：由题意，设)解尸，力)(品-O),M(x“,O).设直线尸8的斜率为MtwO),又5(0,2),y=去+2,则直线尸3的方程为丁=丘+2,与椭圆方程联立fy2整理得(4则直线尸3的方程为丁=丘+2,与椭圆方程联立可得小=一一"L，代入y=fcc+2得力=互”"，进而直线0P的斜率也=4-5%;.4+5公 ’ .,4+5公 Xp-\0kTOC\o"1-5"\h\z7 k在y="+2中，令y=0,得与=-*.由题意得N(O,—1),所以直线MN的斜率为一士.k 2由OPJ_MN,得——,(—七］=—1,化简得k2=,从而k=土J,所以,直线PB的斜率为不-10&I2) 5 5 5-2回By- ' 5'【题目栏目】圆锥曲线\圆锥曲线的综合问题'圆锥曲线的综合问题【题目来源】2019年高考天津理•第18题(2019年高考上海•第20题)已知椭圆工+?=1,耳，居为左、右焦点，直线/过入交椭圆于4,8两点.⑴若A8垂直于X轴时，求卜耳(2)当Nf；AB=9(r时，A在x轴上方时，求A8的坐标:(3)若直线4耳交y轴于M,直线B再交y轴于N,是否存在直线/,使5旷9= ，若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.【答案】【答案】⑴2&：⑵4(0,2) ⑶x+VJy-2=0或x-石y-2=0【解析】⑴依题意：%(2,0),当AB_Lx轴,则坐标A(2,立)，B(2-V2),|ab|=2V2

(2)法一(秒杀)：焦点三角形面积公式：SafmFz=〃•tang=4xtan?=4：又:归用=2c=4,S^FiAf-2=--2c-yA=2yA=4.即以=2所以A在短轴端点，即A(0,2)y=-x+2直线〃尸(即端)方程为：y=—x+2,联立：仁22 ,得以2,_W).TOC\o"1-5"\h\z—+—=1 338 4法二(常规)：依题意：设坐标A(x”y),•••NRAg=](注意：用点生更方便计算)则有：AF1•A「2=*|+2,必).(玉-2，m)=x；-4+yf2 2 2又4在椭圆上，满足：二+)-=1,即：yf=4(1——)8 4 8**.AF}-AF2=%,2-44-4(1-—)=0,解出：%]=0,4(。,2)8点坐标求解方法同法一，6(—,——).8 33(2)设坐标4区,弘)，fi(x2,y2)»A/(0,y3),N[0,y4),直线/：x=/ny+2(k不存在时不满足题意)x=my+2联立方程：\xx=my+2联立方程：\x2y2,(—+—=18 4由直线46方程：yX1+2由直线方程：y=」一々+2若S"]A8=S&F1MN,即2"■卜讣黑一割T“NM+4，〃(弘+y2)+16|=4H-4〃?2 . -4m得：一；+47n- F〃广+2 +24〃7>1+为- 2 9m2+2)y2+4my-4=0,韦达定理：< m+-4%>2= 2o〃厂+2(x+2)得M纵坐标：y3=2%-；一%,+2(x+2)得N纵坐标：％=3-：%2+2一刃=|丁3-丫41 一= । - =2|y(y2\..\(myl+4)(my2+4)|=4,根弘+4my2+4(wy,+4)(wy2+4) 、 1 1 1 2 14,代入韦达定理：6=4»解出：m=±V3S&f、mn=素6。忸一切=回一%|；...存在直线X+石y-2=0或X—6y-2=0满足题意.【点评】本题主要考查解析几何.【题目栏目】圆锥曲线'椭圆'直线与椭圆的综合问题【题目来源】2019年高考上海•第20题（2019年高考全国HI理•第21题）已知曲线C：尸］,。为直线产-5上的动点，过。作C的两条切线，切点分别为A,B.5（1）证明：直线AB过定点：（2）若以£（0,5）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段A8的中点，求四边形AD8E的面积.【答案】【答案】⑴见详解；（2）3或4加-【官方解析】⑴设D（t，一g）,A（X,凹），则犬=2yl.1由于y'=x,所以切线QA的斜率为王，故一+2- 人］•Xy—t整理得2为一2%+1=0..设B（x2,y2）,同理可得2%-2y2+1=0.故直线A8的方程为2/x-2y+l=0.所以直线A8过定点（0,g）.,1y=比+一，1 ?（2）由（1）得直线AB的方程为丁二比+耳.由j/可得了2一2次一1=0.y=—I2于是%+%2=21,x}x2=-1,M+丫2=，（％1+12）+1=2厂+1,|AB|-Ji+广|%|—X-）|—J1+厂x+x7y_4X|X^=2（厂+1）.设4,4分别为D,E到直线AB的距离，则4=占节，d2=~^=.Vr+1

因此，四边形AOBE的面积S=g|48|(4+4)=(*+3)/7T.设M线段48的中点，则由于前J_通，而应力=«,产一2),而与向量(1,。平行,所以r+(/一2>=。.解得，=0或Z=±1.当，=0时，5=3；当/=±1时，S=±4>/2•因此，四边形4O8E的面积为3或40.【点评】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题，第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以.思路较为清晰，但计算量比较大.【题目栏目】圆锥曲线'抛物线'直线与抛物线的综合问题【题目来源】2019年高考全国IH理•第21题(2019年高考全国U理•第21题)已知点A(-2,0),8(2,0),动点满足直线AM与5M的斜率之积为-记M的轨迹为曲线C.2(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点，点P在第一象限，轴，垂足为E,连结QE并延长交。于点G.(i)证明：是直角三角形；(")求△POG面积的最大值.【答案】【答案】⑴详见解析(2)详见解析【官方解析】由题设得。——y-=--,化简得土+匕=1(国。2),所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上x+2x-2 2 42v1 7的椭圆，不含左右顶点.!y!y=kx得x=±2i己〃= ,则P(〃,uk),Q(-u,—uk),E(u,0).4+2公k k于是直线QG的斜率为上，方程为y=2(x-〃).

得（2+左2）*2-2必2%+左2〃2-8=0.①从而直线PG的斜率为uk3,-^—uk2+公“（3火2+2） “2+二所以PQJ.PG,即从而直线PG的斜率为uk3,-^—uk2+公“（3火2+2） “2+二所以PQJ.PG,即△PQG是直角三角形.k8攵（1+公）（1+2公）（2+二）⑼由⑺得8攵（1+公）（1+2公）（2+二）=-\PQ\.\PG\=设，=&+?,则由2>0得f22,当且仅当A=1时取等号.k因为S=£y在［2,+8）单调递减，所以当，=2,即2=1时，S取得最大值，最大值为?.因此，△PQG面积的最大值为3.9【分析】（1）分别求出直线AM与的斜率，由已知直线AM与5M的斜率之积为一;，可以得到等式,化简可以求出曲线C的方程，注意直线AM与8M有斜率的条件；（2）（i）设出直线PQ的方程，与椭圆方程联立，求出RQ两点的坐标，进而求出点E的坐标，求出直线。后的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数关系求出G的坐标，再求出直线PG的斜率，计算即°心”的值，就可以证明出△POG是直角三角形；他）由（i）可知P，Q,G三点坐标，/XPOG是直角三角形，求出PQ,PG的长，利用面积公式求出的面积，利用导数求出面积的最大值.【解析】（1）直线A"的斜率为%（X*-2）,直线的斜率为号（xh2）,由题意可知：-2-―2-=-^=>x2+2/=4,（x*±2）,所以曲线C是以坐标原点为中心，焦点在x轴上，不包括左x+2x—2 2

2 2右两顶点的椭圆，其方程为2+匕=l,(xw±2)；4 2、 7(2)(z)设直线PQ的方程为y=kx，由题意可知Z>()，直线PQ的方程与椭圆方程Y+2/=4联立，即y=kx,x2y=kx,x2+2y2=4.022k或J2'+1.-2x=荷+T'nz，点P在第一象限,-2ky=—f===.,2\+1所以,0)22k _? _2〃 2,0)而)'因此点E的坐标为(折八 k 八 k k直线QE的斜率为&2E=7,可得直线QE方程：y=-x--r=—,与椭圆方程联立,

° 2 2Cr+ikky=-x--/<2 J2k2+1x2+2y2=kky=-x--/<2 J2k2+1x2+2y2=4.消去y得,(2+^)x2-4k2xV2F+I]2公+8一⑹r=°(*)'设点g(”)，显然。点—2的横坐标 和为是方程(*)的解12k2+8所以有〜_一2 _-2左2+1"一._6M二4,代入直线QE方程中，得'12k2+1 2+K'(公+2)，2公+12k， ( 6公+4 ,_或_=(k2+2)>j2k2+1'所以点G的坐标为(公+2)，2公+1(k2+2)\/2k2+］，直线PG的斜率为；kpG2k3 2k(22+2)。2左2+1，2攵2+1_2k'-2k(k?+2)6k-+4 2 6&~+4—2(&-+2)(k2+2)，2炉+1，2，+l因为京@山山=人(-7)=-1,所以PQ_LPG,因此△「(%；是直角三角形;27k 一2-2*他)由⑺可知：p„Q(mr)’G的坐标为6k2+42k3(r+2)\l2k2+\'(A?+2),2/+1)MI,-2 2~~、2,.—2k2k、24V17Fr(J,=(j =. )+(j—^=/ •)—, —,V\l2k2+1\/2k2+1N2k2+1y/2k2+1 y/2k2+1PG=卜642；4 2产i( 2k： 4k显V(k2+2)>l2k2+1J2/+1 \k2+2)y/2k2+1，2/+1 (k2+2)yl2k2+1'S1,,4k\lk2+\ 4，1+/ 8(k'+k)一8伙+1)(-—1)(2/+3/+2)spqg~2X(k2+2)y[2k2+\y[2k2+\―2k4+5k2+2，- (2k4+5k2+2)2因为2>0,所以当0<女<1时，S'>0,函数5(左)单调递增，当&>1时，S'<0,函数S(Z)单调递减，因此当左=1时，函数S(k)有最大值，最大值为5(1)=3.【点评】本题考查了求椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角形面积最大值问题，考查了数学运算能力，考查了利用导数求函数最大值问题.【题目栏目】圆锥曲线'圆锥曲线的综合问题'圆锥曲线的综合问题【题目来源】2019年高考全国n理•第21题(2019年高考全国1理•第19题)已知抛物线C:/=3x的焦点为尸，斜率为己的直线/与C的交点2为4,B,与x轴的交点为P.⑴若|A月+忸目=4,求)的方程;(2)若祈=3刖，求|AB|.3【答案】解：设直线]:y=-x+f,A(x，y),8(毛,％).(1)由题设得尸仔,0)，故|4目+忸F|=x+工2+g,由题设可得a+*2="|.由> +可得9/+12“一1»+4/=0,则x+X2=」2«T).IV=3x从而_12(/_l)=g,得t=-Z.所以/的方程为y=3x-N.9 2 8 2 8(2)由丽=3而可得y=-3%.由卜2 ，可得y?—2y+2/=0.所以％+%=2.从而—3%+%=2，故%=-L%=3.ly=3x代入。的方程得内=3,%=L故|ab|=生，3.【题目栏目】圆锥曲线'抛物线、直线与抛物线的综合问题【题目来源】2019年高考全国1理•第19题2 2(2019年高考江苏•第17题)如图，在平面直角坐标系xQy中，椭圆C:0+马=l(a>b>0)的焦点为a'b6(—1,0),6(1,0).过F?作X轴的垂线/,在X轴的上方，/与圆尸2：3-1)2+丁=442交于点A,与椭圆C交于点。.连结A4并延长交圆尸2于点8,连结56交椭圆C于点E,连结。耳.已知DF.=—.12(1)求椭圆C的标准方程：yka(2)求点E的坐标.【答案】【答案】见解析【解析】(1)设椭圆C的焦距为2c因为耳(一1,0),怯(1,0),所以耳(=2,c=l又因为O6=g,A6J_x轴，所以为玛=河：_£玛2=J($2_2?=|因此，2a=D£+£>鸟=4,从而a=2由/=a2-c2f得从=3因此，求椭圆C的标准方程为《+£=14 3(2)解法一：由⑴知，椭圆C：—+—=1»a=24 3因为轴，所以点A的横坐标为L将x=l代入圆尸2的方程。—1)2+y2=16,解得y=±4

(第17题)(第17题):因为点A在x轴上方，所以A(l,4).y=2x+2又耳(T。)，所以直线附—X+2叫口5+户面得我+―，解得工=1或%=一?.TOC\o"1-5"\h\z11 12将工=一曰代入y=2x+2,得y=_《，因此8(—《,—个)・又旦(1，°)，所以直线8鸟：y=：(x—1).y=-(x-V)• 4 . 13由《2 2 ,得7f-6x-13=0，解得x=T或％x~y. 7又因为E是线段86与椭圆的交点，所以x=-l3 3 3将x=-1代入y=^(.v-l),得)一力因此£(-!,--).(第17题)解法二：由(1)知，椭圆C：彳+ =1.如图，连结(第17题):因为Bg=2a,EF.+EF^la,所以班=EB,从而NB£E=NB因为KA=gB，所以44=NB,所以NA=/B耳E,从而E耳〃心儿因为Ag_Lx轴，所以轴.

3因为£（一1,0）,由行2 得/=土彳. 1 =1 24 33又因为E是线段BE与椭圆的交点，所以y=-1.3因此）.【题目栏目】圆锥曲线\圆锥曲线的综合问题'圆锥曲线的综合问题【题目来源】2019年高考江苏•第17题29.（2019年高考北京理•第18题）已知抛物线C：N=-2py经过点（2,-1）.（I）求抛物线C的方程及其准线方程；（11）设。为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为。的直线/交抛物线C于两点M,N,直线产T分别交直线OM,ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.【答案】【解析】（I）将点（2,-1）代入抛物线方程：22 2 2易知以A3为直径的圆的圆心坐2 2 2易知以A3为直径的圆的圆心坐标为：1,—1,圆的半径为： 、X|X? Xj%2故抛物线方程为：f=_4y,其准线方程为：y=i.（II）很明显直线/的斜率存在（不为零），焦点坐标为（0,-1）,设直线/的方程为旷=米一1,与抛物线方程联立可得：f+4乙一4=0.设M3,一■广,A^x2,--^-,则X]+X2=YA,XiW=-4.且Ao”=—~^on~—~,< 4/ \ 4/ 4 4直线。0的方程为旷=-三X4直线。0的方程为旷=-三X4与y=T联立可得：A—,-1,同理可得3—,-12 22 22（x,+x,）且：—+—=-^~乂=2左，X]x2xix22=2x匹亘三=2环,则圆的方程为：（x-21y+（y+l）2=4俨+i）,令x=0整理可得：9+2旷一3=0,解得：=-3,y2=1,即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点（0,—3）,（0,1）.【题目栏目】圆锥曲线'抛物线'直线与抛物线的综合问题【题目来源】2019年高考北京理•第18题30.（2018年高考数学江苏卷•第18题）（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点

(6,；)，焦点%-6,0),6(6,0),圆。的直径为月鸟.(1)求椭圆C及圆。的方程；(2)设直线/与圆。相切于第一象限内的点P.①若直线/与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线/与椭圆C交于两点.若△38的面积为手‘求直线’的方科【答案】解析：⑴因为椭圆C的焦点为£(-6,0),用(6,0),TOC\o"1-5"\h\zr22 1可设椭圆C的方程为7+台叱…)，又点点5)在椭圆C上,a2=4,从a2=4,从=1, F =1.64b2 '解得.a2—b2=3,因此‘椭圆C的方程为1+>2=］；因为圆。的直径为「鸟，所以其方程为犬+丁=3；(2)①设直线/与圆。相切于尸(毛),%)%)>0,%>0,则石+y：=3,所以直线/的方程为丫=一E"一%)+%,即丫=一±_¥+」.%%%—+y2=l由<4 ,消去V，得(4x：+ -24x(/+36-4y：=0；(*)V=--x+—「%%因为直线/与椭圆C有且只有一个公共点，所以A=(-24%)2-4(44+y；)(36-4y：)=48y；(片-2)=0.因为%所以与=41.%=1.因此，点P的坐标为(&/).

②因为三角形88的面积为辿，所以_La8-OP=2^,从而48=逑.7 2 7 7„ 24xn±J48y：(片-2)设A(x”y),83,与)，由(*)得为2=—」， U~--2(气+%)AB2=(x,-x2)2+(y,-yAB2=(x,-x2)2+(y,-y2)2因为片+y：=3,所以 即24片一45片+100=0,解得x：=g，（片=20舍去），则乂=；,因此P的坐标为（萼,孝）.综上，直线/的方程为y=-J$x+30.【题目栏目】圆锥曲线'椭圆'宜线与椭圆的综合问题【题目来源】2018年高考数学江苏卷•第18题31.（2018年高考数学浙江卷•第21题）（本题满分15分）如图，已知点尸是y轴左侧（不含y轴）一点,抛物线。：丁=4x上存在不同的两点满足PAP8的中点均在C上.⑴设A3中点为M,证明：垂直于y轴：（II）若P是半椭圆x因为%/+颉-=l（x（）<0）,所以+^-=l（x<0）因为%/+颉-=l（x（）<0）,所以【答案】解法T标准答案】：⑴设29。）‘吊心”伙”皿因为PA 的中点在抛