北师大版八年级下册数学全册教学课件（2022年12月修订）

北师大版数学八年级下册全册教学课件第一章三角形的证明1等腰三角形第1课时

全等三角形和等腰三角形的性质北师版八年级数学下册新课导入我们已经学了哪些判定三角形全等的方法？边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.边角边（SAS）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.

角角边（ASA）：想一想我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗？新课探究已知：如图，∠A

=∠D，∠B

=∠E，BC

=

EF.求证：△ABC≌△DEF.ABCDEF证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°）.∴∠C=180°－（∠A+∠B），∠F=180°－（∠D+∠E），∵∠A=∠D，∠B=∠E（已知）.∴∠C=∠F（等量代换）.∵BC=EF（已知）.∴△ABC≌△DEF（ASA）.ABCDEF

定理

两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.（AAS）根据全等三角形的定义，我们可以得到全等三角形的对应边相等、对应角相等.议一议（1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？（2）请你选择等腰三角形的一条性质进行证明，并与同伴交流.ABC顶角底角底角腰腰底边

先自己折纸观察探索并写出等腰三角形的性质，然后再小组交流，互相弥补不足.ABC（B）定理等腰三角形的两底角相等.这一定理可以简述为：等边对等角.练习在△ABC中，AB=AC.（1）若∠A=40°，则∠C

等于多少度？（2）若∠B=72°，则∠A

等于多少度？ABC（1）70°（2）36°已知：如图，在△ABC

中，AB

=

AC.求证：∠B

=∠C.ABC取BC的中点D，连接AD.在△ABD和△ACD中，∵AB=AC，BD=CD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD（SSS）.∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）.证法一：DABCD证法二：作△ABC顶角∠A的角平分线AD.在△ABD和△ACD中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD（SAS）.∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）.证法三：ABC在△ABC和△ACB中，∵AB=AC，∠A=∠A，AC=AB，∴△ABC≌△ACB（SAS）.∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）.想一想ABCD在图中，线段AD

还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？

推论等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.可分解成下面三个方面来理解：1.等腰三角形的顶角的平分线，既是底边上的中线，又是底边上的高。∵AB

＝AC，∠1

＝∠2（已知）∴BD

＝DC，

AD⊥BC（等腰三角形三线合一）ABCD122.等腰三角形的底边上中线，既是底边上的高，又是顶角平分线。∵AB

＝AC

BD＝DC

（已知）∴AD⊥BC

∠1＝∠2（等腰三角形三线合一）ABCD123.等腰三角形的底边上的高，既是底边上的中线，又是顶角平分线。∵AB＝ACAD⊥BC

（已知）∴BD＝DC∠1＝∠2（等腰三角形三线合一）ABCD12随堂演练1.（1）已知等腰三角形的一个角为40°，则其它两个角分别为

。（2）已知等腰三角形的一个外角为70°，则这个三角形的三个内角分别为

。70°、70°或40°、100°110°、35°、35°2.如图，在△ABC中，AB=AC，点D

在BC

上，且BD=AD，DC=AC，求∠B

的度数.ABCD解：∵AB=AC，∴∠B=∠C（等边对等角）.同理可得∠B=∠BAD，∠CDA=∠CAD.设∠B=x，则∠C=∠BAD=x，∴∠CAD

=∠CDA

=2x.在△ADC

中，∠C+∠CDA+∠CAD=180°，即x

+

2x

+2x

=180°，∴x=36°，即∠B=36°.3.△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，DF⊥AC于F，DE⊥AB

于E.

求证：DE＝DF。ABCDEF证明：连接AD，

∵AB＝AC，BD＝DC（已知）∴AD是∠BAC的平分线.（等腰三角形三线合一）又∵DE⊥ABDF⊥AC，∴DE＝DF（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）.ABCDEF4.已知：如图，点B，E，C，F

在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF.

求证：∠A=∠D.ADBECFADBECF证明：

∵BE＝CF，∴BE+CE＝CF+EC，∴BC=EF.又∵AB=DEAC=DF，∴△ABC

≌△DEF（SSS）.∴∠A=∠D.5.如图，在△ABC

中，AB=AC，点D，E

都在边BC

上，且AD=AE，那么BD

与CE

相等吗？请证明你的结论.ABCDEABCDE解：∵AB=AC，∴∠B=∠C（等边对等角）.同理可得∠ADE=∠AED.∴∠ADB=∠AEC.∴△ABD

≌△ACE（AAS）.∴BD=CE.课堂小结1.等腰三角形的两个底角相等；2.等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高线三条线重合；等腰三角形的性质课后作业1.从教材习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。第2课时

等边三角形的性质北师版八年级数学下册新课导入

在等腰三角形中作出一些线段（如角平分线、中线、高等），你能发现其中一些相等的线段吗？你能证明你的结论吗？新课探究ABC等腰三角形两个底角的角平分线相等；等腰三角形腰上的高相等；等腰三角形腰上的中线相等.

已知：如图，在△ABC

中，AB

=

AC，BD、CE

是△ABC

的角平分线.例1

证明:等腰三角形两底角的平分线相等.求证：BD

=

CE.证明：∵AB

=

AC，∴∠ABC

=∠ACB（等边对等角）.∵∠1

=∠ABC，∠2

=∠ACB，∴∠1

=∠2.在△BDC

和△CEB

中，∵∠ACB

=∠ABC，BC

=

CB，∠1

=∠2.∴△BDC

≌△CEB（ASA）.∴BD

=

CE（全等三角形的对应边相等）.1212你还能用其他方法证明吗？证明：∵AB

=

AC，∴∠ABC

=∠ACB.∵∠3=∠ABC，∠4=∠ACB，∴∠3=∠4.在△ABD

和△ACE

中，∵∠3

=∠4，AB

=

AC，∠A

=∠A.∴△ABD

≌△ACE（ASA）.∴BD

=

CE（全等三角形的对应边相等）.1212练一练

已知：如图，在△ABC

中，AB

=

AC，BD、CE

是△ABC

的高.证明:等腰三角形两腰上的高相等.求证：BD

=

CE.ABCED证明：∵BD、CE

是△ABC

的高.∴∠AEC=∠ADB=90°.在△ABD

和△ACE

中，∵∠AEC=∠ADB=90°，AB

=

AC，∠A

=∠A.∴△ABD

≌△ACE（AAS）.∴BD

=

CE（全等三角形的对应边相等）.证明:等腰三角形两腰上的中线相等.ABC

已知：如图，在△ABC

中，AB

=

AC，BD、CE

是△ABC

的中线.求证：BD

=

CE.ED证明：

∵BD、CE

是△ABC

的中线.∵AE=AB，AD=AC，∴AE=AD.在△ABD

和△ACE

中，∵AE

=

AD，AB

=

AC，∠A

=∠A.∴△ABD

≌△ACE（SAS）.∴BD

=

CE（全等三角形的对应边相等）.1212议一议如图，在△ABC

中，AB=AC，点D，E

分别在边AC

和AB上.EDABC（1）如果∠ABD

=∠ABC，∠ACE

=∠ACB，那么

BD

=

CE

吗？如果∠ABD

=∠ABC，∠ACE

=∠ACB

呢？由此你能得到一个什么结论？13131414EDABCBD=CE（2）如果

AD

=AC，AE

=AB，那么

BD

=

CE

吗？如果

AD

=AC，AE

=AB

呢？由此你得到什么结论？12121313BD=CE想一想等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？

定理

等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.已知：如图，在△ABC

中，AB

=

BC

=

AC.求证：∠A

=∠B

=∠C

=

60°.证明：∵AB

=

AC，∴∠B

=∠C（等边对等角）.同理：∠C

=∠A，∴∠A

=∠B

=∠C（等量代换）.又∵∠A

+∠B

+∠C=180°∴∠A

=∠B

=∠C=60°.ABC等边三角形有“三线合一”的性质吗？为什么？

结论：等边三角形每条边上的中线，高和所对角的平分线都三线合一。ABC等边三角形是轴对称图形吗？有几条对称轴？ABC等边三角形是轴对称图形，有三条对称.随堂演练1.等边三角形的对称轴有（）A.1条B.2条C.3条D.4条2.等边三角形中，高、中线、角平分线共有（）A.3条B.6条C.9条D.7条CA3.等边三角形ABC

的周长等于21cm，求：（1）各边的长；（2）各角的度数.ABC解：（1）∵AB=BC=CA，又∵AB+BC+CA=21cm（已知）∴AB=BC=CA=21÷3=7（cm）（2）∵AB=BC=CA，（已知）∴∠A=∠B=∠C=60°（等边三角形的每个内角都等于60°）4.如图，已知△ABC

和△BDE

都是等边三角形，求证：AE

=

CD.ABCDE证明：∵△ABC

和△BDE

都是等边三角形，∴AB

=

BC，∠ABC

=∠DBE

=

60°，

BE

=

BD，∴△ABE

≌△CBD.∴AE

=

CD.5.已知：如图，D，E

分别是等边三角形ABC

的两边AB，AC上的两点，且AD=CE.求证：CD=BE.ABCDEABCDE证明：∵△ABC

是等边三角形，∴AB=AC.在△ADC和△CEB中，AC=CB，AD=CE，∠A=∠BCE，∴△ADC

≌△CEB，∴CD=BE.课堂小结等边三角形的性质2.等边三角形的内角都相等，且等于60°.3.等边三角形各边上中线，高和所对角的平分

线都三线合一.4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.1.三条边相等.

课后作业1.从教材习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。第3课时

等腰三角形的判定及反证法北师版八年级数学下册新课导入等腰三角形性质定理的内容是什么？等腰三角形的两个底角相等.我们把等腰三角形的性质定理的条件和结论反过来还成立吗？思考新课探究ABC前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？已知：在△ABC

中∠B

=∠C，求证：AB

=

AC.ABC证明：作

AD⊥BC

于点D，∴∠ADB=∠ADC=90°，又∵∠B=∠C，AD=AD，∴△ADB

≌△ADC（AAS），∴AB=AC.D定理

有两个角相等的三角形是等腰三角形.这一定理可以简述为：等角对等边.ABC几何语言：∵∠B=∠C

（已知）∴AB=AC（等角对等边）

例2已知：如图，AB=DC，BD=CA，BD

与CA

相交于点E.求证：△AED

是等腰三角形.证明：∵AB=DC，BD=CA，AD=DA，∴△ABD

≌△DCA（SSS）.∴∠ADB=∠DAC，∴AE=ED（等角对等边）.∴△AED

是等腰三角形.练习1如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，图中一共有几个等腰三角形？练习ABCD3个练习2已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC且∠1=∠2．求证：AB=AC．ABCDE12证明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠C，又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC.想一想

小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等.你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？ABCABC

如图，在△ABC

中，已知∠B

≠∠C，此时

AB

与

AC

要么相等，要么不相等.假设

AB

=

AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C

=∠B，这与已知条件∠B

≠∠C

相矛盾，因此AB

≠

AC.反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.我们把它叫做反证法.

例3

用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.已知：△ABC.求证：∠A，∠B，∠C

中不能有两个角是直角.

证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A和∠B

是直角，即∠A=90°，∠B=90°.

于是∠A+∠B+∠C=180°+∠C＞180°.

这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B

是直角”的假设不成立.所以，一个三角形中不能有两个角是直角.随堂演练1.下列两个图形是否是等腰三角形？75°30°40°40°是是2.如图，在△ABC

中，BD

平分∠ABC，交AC

于点D，过点D

作BC

的平行线，交AB

于点E，请判断△BDE的形状，并说明理由.解：△BDE

是等腰三角形.∵BD

平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，又∵DE∥BC，∴∠DBC=∠EDB，∴∠ABD=∠EDB，∴△BDE

是等腰三角形.3.如图，上午10时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测∠NAC=40°，∠NBC=80°，求从B处到灯塔C的距离.80°40°NBAC北80°40°NBAC北解：∠C=∠CBN–∠A=80°–40°=40°，∴∠C=∠A，∴AB=BC，AB=20×（12–10）=40（海里），∴BC=40海里4.求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.证明：假设结论不成立，即：∠A___60°，∠B___60°，∠C___60°,则∠A+∠B+∠C

＞180°.这与_____________________相矛盾.所以______不成立，所求证的结论成立.＞＞＞三角形内角和等于180°假设5.已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个数中至少有一个大于或等于.15

证明：假设这五个数是a1，a2，a3，a4，a5全部小于

，那么这五个数的和

a1

+

a2

+

a3

+

a4

+

a5

就小于

1.这与已知这五个数的和等于1

相矛盾.因此假设不成立，原命题成立，即这五个数中至少有一个大于或等于

.1515课堂小结今天你学到了什么?1.等腰三角形的判定定理：等角对等边.2.会运用等腰三角形的性质和判定进行计算和证明.课后作业1.从教材习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。第4课时等边三角形的判定北师版八年级数学下册新课导入1.等腰三角形的性质和判定定理是什么？2.等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？又如何判别一个三角形是等边三角形呢？新课探究

一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流.ABC（1）三个角都相等的三角形是等边三角形证明：∵∠B=∠A=60°，∴AC=BC（等角对等边）.∵∠B=∠C=60°，∴AC=AB

，∴AC=AB=BC.（2）有一角是60°的等腰三角形是等边三角形证明：若AB＝AC，∠A＝60°，则∠B=∠C=60°，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴AB＝AC＝BC（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）.ABC证明：若AB＝AC，∠B＝∠C=60°，则∠A=180°–∠B

–∠C=60°，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴AB＝AC＝BC（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）.ABC定理

三个角都相等的三角形是等边三角形.定理

有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.练习已知：如图，△ABC

是等边三角形，与BC

平行的直线分别交AB

和AC

于点D，E.求证：△ADE

是等边三角形.ABCDEABCDE证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，又∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B=60°，

∠AED=∠C=60°，∴∠ADE=∠AED=∠A=60°，∴△ADE是等边三角形.做一做用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗?定理

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.已知：如图在

Rt△ABC

中，∠C

=

90°，∠BAC

=

30°.求证：BC

=AB.12ABC证明：延长

BC

至

D，使

CD

=

BC，连接

AD.

∵∠ACB

=

90°∴∠ACD

=

90°

∵AC

=

AC，∴△ABC

≌

△ADC（SAS）.

∴AB

=

AD（全等三角形的对应边相等）.

∴△ABD

是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）.

∴BC

=

BD

=

AB.

ABCD1212例4求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=15°.CD是腰AB上的高.求证：CD=AB.12BADC

证明：在△ABC中，

∵AB=AC，∠B=15°，∴∠ACB=∠B=15°（等边对等角）.∴∠DAC=∠B+∠ACB=15°+15°=30°.∵CD是腰AB上的高，∴∠ADC=90°.∴CD=AC（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）∴CD=AB.1212随堂演练1.如图，折叠直角三角形纸片，使点C

落在AB

边上的点E处，已知BC=12，∠B=30°，∠C=90°，则DE

的长是________.4AEBDC2.如图，在Rt△ABC

中，∠ACB=90°，∠B=60°，CD

是△ABC

的高，且BD=1，求AD

的长.BCDABCDA解：在△BCD

中，∠BDC=90°，∴∠BCD=30°，∴

BC=2BD=2，在△ABC

中，∠ACB=90°，∴∠A=30°，∴AB=2BC=4，∴AD=AB–BD=4–1=3.3.房梁的一部分如图所示，其中，BC⊥AC，∠A=30°，AB=7.4m，点D

是AB

的中点，且DE⊥AC，垂足为

E，求BC，DE

的长.解：在△ABC

中，∠A=30°，BC⊥AC，∴BC=AB=3.7m.又∵点D

是AB

的中点，∴AD=BD=3.7m，在△ADE

中，∠A=30°，DE⊥AC，∴DE=AD

=

1.85m.12124.如图，△ABC

是等边三角形，且∠1＝∠2＝∠3.判断△DEF

的形状，并简要说明理由.123ABCDEF123ABCDEF∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C，

又∵∠1=∠2=∠3，

∴∠DAC=∠FCB=∠ABE.

∵∠DFE=∠DAC+∠3，

∠FED=∠2+∠FCB，∠EDF=∠1+∠ABE，

∴∠DFE=∠FED=∠EDF，

∴△DEF是等边三角形.解：△DEF是等边三角形.课堂小结定理

三个角都相等的三角形是等边三角形.定理

有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.定理

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.课后作业1.从教材习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。2直角三角形第1课时

勾股定理及其逆定理北师版八年级数学下册新课导入我们学过直角三角形的哪些性质和判定方法？与同伴交流.ABC想一想新课探究（1）直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？（2）如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？

定理

直角三角形的两个锐角互余.

定理

有两个角互余的三角形是直角三角形.ABC∵∠B=90°，∴∠A+∠C=90°.

勾股定理

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.教材中曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理.bbaaS=a2+b2acbacb小正方形的面积=（a–b）2即c2=a2+b2.=c2–4×ab勾股定理的证明：DEFGHIABCabc如图，在△ABC

中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c.分别以Rt△ABC

的三边为边长作正方形AHIB，ACDE，CBFG.连接EB，CH.EFGMNHIABCabc过点C

作

AB的垂线，分别交

AB

和HI

于点M，N.DEFGMNHIABCabc∵EA=CA,∠EAB

=∠CAH，

AB=AH，∴△EAB≌△CAH（SAS）.DEFGMNHIABCabc又∵S正方形ACDE=2S△EAB，S长方形AHNM

=2S△CAH，∴b2=S长方形AHNM.同理a2=S长方形MNIB.∴c2=a2+b2.D练习

如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.已知正方形A，B，C，D的边长分别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积.解：根据图形正方形E的边长为:故E的面积为：252=625.反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论．你能证明此结论吗？已知：如图，在△ABC

中，AB2+AC2=BC2.求证：△ABC是直角三角形.ABC证明：如图作Rt△A'B'C'，A'B'C'使∠A'=90°，A'B'=AB，A’C'=AC，则A'B'2+A'C'2=B'C'2（勾股定理）∵AB2+AC2=BC2，∴BC2=B'C'2.∴BC=B'C'.∴△ABC

≌△A'B'C'（SSS）.∴∠A=∠A'=90°.因此，△ABC

是直角三角形.ABC

定理

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.判断下列三边组成的三角形是不是直角三角形.（1）a=2，b=3，c=4.（）（2）a=9，b=7，c=12.（）（3）a=25，b=20，c=15.（）××√练习议一议观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系？在前面的学习中还有类似的命题吗？

上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件．再观察下面三组命题：如果两个角是对顶角，那么它们相等；如果两个角相等，那么它们是对顶角.如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.一个三角形中相等的边所对的角相等；一个三角形中相等的角所对的边相等.在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.想一想你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗？它们都是真命题吗？逆命题：如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等.原命题是真命题，逆命题是假命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.随堂演练1.在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）已知c=25，b=15，求a；（2）已知a=，∠A=60°，求b，c.2.已知直角三角形的两边长分别为

3，2，求另一条边长.解：当斜边的长为3时，另一条边长当两条直角边长分别为3、2时，斜边长3.说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假:（1）四边形是多边形；（2）两直线平行，同旁内角互补；（3）如果

ab=0，那么a=0，b=0.

解：（1）多边形是四边形.原命题是真，逆命题是假.（2）同旁内角互补，两直线平行.原命题是真，逆命题是真.（3）如果那么a=0，b=0，那么ab=0.原命题是假，逆命题是真.4.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E

为

BC上的一点，且∠BAE=25°，∠CDE=65°，AE=2，DE=3，求AD

的长.解：∵AB∥CD，∴

∠BAD+∠ADC=180°，又∵∠BAE=25°，∠CDE=65°，∴∠EAD+∠

ADE=90°，根据勾股定理，AD2=AE2

+DE2

=22+32=13,∴AD=解：由题意得：(a+b)(a–

b)(a2+b2–

c2)=0，∴a–

b=0或a2+b2–

c2=0.5.已知

a、b、c

是△ABC

的三边长，且满足

，试判断△ABC

的形状.当a=b时，△ABC为等腰三角形;当a≠b时，△ABC为直角三角形.6.一个零件的形状如图所示，工人师傅量得这个零件各边尺寸如下(单位：dm)：AB=3，AD=4，BC=12，CD=13.且∠DAB=90°.你能求出这个零件的面积吗？解：如图，连接

BD.

在Rt△ABD

中，在△BCD

中，BD2

+

BC2

=

52

+

122

=

132

=

CD2.∴△BCD

为直角三角形，∠DBC

=

90°.课堂小结定理

直角三角形的两个锐角互余.定理

有两个角互余的三角形是直角三角形.

勾股定理

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.

定理

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.互逆命题互逆命题课后作业1.从教材习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。第2课时

直角三角形全等的判定北师版八年级数学下册新课导入判定三角形全等的方法有：SAS、ASA、AAS、SSS新课探究做一做已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形.已知：如图，线段a，c（a＜c），直角α.求作：Rt△ABC，使∠C=∠α，BC=a，AB=c.ab（1）作∠MCN=∠α=90°.MCN（2）在射线CM

上截取

CB=a.MCNB（3）以点B

为圆心，线段c

的长为半径作弧，交射线CN

于点A.MCNBA（4）连接AB，得到Rt△ABC.MCNBA

定理

斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.

这一定理可以简述为“斜边、直角边”或“HL”.已知：如图，在△ABC

与△A'B'C'

中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'.求证：△ABC≌△A'B'C'.证明：在△ABC

中，∵∠C=90°，∴BC2=AB2–AC2（勾股定理）.同理，B'C'2=A'B'2–A'C'2.∵AB=A'B'，AC=A'C'，∴BC=B'C'.∴△ABC

≌△A'B'C'（SSS）.ACBA'C'B'判断：满足下列条件的两个三角形是否全等?为什么?1.一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形.全等（AAS）2.一个锐角及这个锐角相邻的直角边对应相等的两个直角三角形.全等（ASA）3.两直角边对应相等的两个直角三角形.全等（SAS）4.有两边对应相等的两个直角三角形.情况1：全等（SAS）情况2：全等（HL）

例

如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC

与右边滑梯水平方向的长度DF

相等，两个滑梯的倾斜角∠B

和∠F

的大小有什么关系？解：根据题意，可知∠BAC=∠EDF=90°，BC=EF，AC=DF，∴Rt△BAC

≌Rt△EDF（HL）.∴∠B=∠DEF（全等三角形的对应角相等）.∵∠DEF+∠F=90°（直角三角形的两锐角互余）.∴∠B+∠F=90°.练习如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要明证△ABC≌△BAD，需要添加一个什么条件？请说明理由．（1）

（）；（2）

（）；（3）

（）；（4）

（）．AD=BCAC=BD∠DAB=∠CBA∠DBA=∠CABHLHLAASAAS随堂演练1.在Rt△ABC

和Rt△A′B′C′中，∠C′=∠C=90°，∠B′=∠A，AB=B′A′，则下列结论正确的是（）A.AC=A′C′ B.BC=B′C′C.AC=B′C′ D.∠A′=∠AC2.如图，在△ABC

中，∠C

＝90°，AC

＝

BC，AD

平分∠CAB，交BC

于D，DE⊥AB

于E，且AB＝6cm，则△DEB

的周长为_______cm.ACBDE63.如图，在△ABC

和△A'B'C'

中，CD，C'D'分别是高，并且AC=A'C'，CD=C'D'.∠ACB=∠A'C'B'.求证：△ABC≌△A'B'C'.ABCDA'B'C'D'证明：∵CD、C'D'分别是△ABC

和△A'B'C'的高∴∠ADC=∠A'D'C'=90°．在Rt△ADC

和Rt△A'D'C'中，AC=A'C'，CD=C'D'，∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C'(HL)．∴∠A=∠A'(全等三角形的对应角相等)．在△ABC

和△A'B'C'中，∠A=∠A'，AC=A'C'，∠ACB=∠A'C'B'，∴△ABC≌△A'B'C'(ASA)．ABCDA'B'C'D'4.如图，B、E、F、C在同一直线上，AF⊥BC于F，DE⊥BC于E，AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？说说你的理由.ABDEFCABDEFC解：平行.理由：∵AF⊥BC，DE⊥BC，∴∠AFB和∠DEC都是直角，又BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE.在Rt△ABF

和Rt△DCE

中，AB=CD，BF=CE，∴Rt△ABF

≌Rt△DCE（HL），∴∠B=∠C，AB∥CD.5.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，EF是过点A的直线，BE⊥EF于E，CF⊥EF于F，试探求线段BE、CF、EF之间的关系，并加以证明.AEFBC解：BE+CF=EF，证明如下：∵BE⊥EF，CF⊥EF，∴∠BEA=∠AFC=90°.又∠BAC=90°，∴∠EAB+∠CAF=180°–∠BAC=90°，∴∠EAB=∠FCA，在△ABE和△CAF中，∠BEA=∠AFC，∠EAB=∠FCA，AB=CA，∴△ABE≌△CAF(AAS).∴BE=AF，AE=CF，∴BE+CF=AF+AE=EF.AEFBC课堂小结NMC′A′B′

定理

斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.课后作业1.从教材习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。3线段的垂直平分线第1课时线段垂直平分线的的性质与判定北师版八年级数学下册新课导入作线段AB的中垂线MN，垂足为C；在MN上任取一点P，连结PA、PB；量一量PA、PB的长，你能发现什么？ABMNCP新课探究

定理

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.已知：如图，直线MN⊥AB，垂足为C，且AC

=BC，P

是

MN

上的任意一点.

求证：PA=PB.ABCMNPABCMNP证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°.∵

AC=BC，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）.∴

PA=PB（全等三角形的对应边相等）.

判断：如图直线MN垂直平分线段AB

，则

AE=AF.（）练习ABMNFE×想一想你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？

如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上.即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

定理

到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．求证：P

点在AB

的垂直平分线上．ABCP证明一：过点P作已知线段AB

的垂线

PC，

PA=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC（HL）．∴AC=BC，即

P点在AB

的垂直平分线上．ABCP证法二：取AB

的中点C，过P，C

作直线.∵AP=BP，PC=PC.AC=CB，∴△APC≌△BPC（SSS）.∴∠PCA=∠PCB（全等三角形的对应角相等）.又∵∠PCA+∠PCB=180°，∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即

PC⊥AB.∴P点在

AB的垂直平分线上.ABCP证法三：过P

点作∠APB的角平分线交

AB于点C.∵AP=BP，∠APC=∠BPC，PC=PC，∴△APC≌△BPC（SAS）.∴AC=BC，∠PCA=∠PCB又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90°∴P点在线段

AB的垂直平分线上.ABCP例1已知：如图，在△ABC

中，AB=AC，O是△ABC

内一点，且OB=OC.

求证：直线AO

垂直平分线段

BC.ABCOABCO证明：∵AB=AC.∴

点A

在线段BC

的垂直平分线上.（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.∴直线AO

是线段BC

的垂直平分线（两点确定一条直线）.同理，点O

在线段BC

的垂直平分线上.已知：如图，D

是

BC延长线上的一点，BD=BC+AC.求证：点C

在

AD的垂直平分线上.练习ABCD证明：因为点D

在BC

延长线上，

所以BD=BC+CD，

又因为BD=BC+AC，∴AC=DC，

所以点C

在AD

的垂直平分线上.

ABCD随堂演练

1.如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于______.8ABCDE

2.到三角形三个顶点的距离相等的点是（

）A.三条角平分线的交点B.三边垂直平分线的交点C.三边高线的交点D.没有这样的点B3.在△ABC中，AB的中垂线与

AC边所在直线相交所得的锐角为50°，则∠A的度数为（

）A.50° B.40°C.40°或140° D.40°或50°C4.已知：如图，在△ABC

中，边AB、BC

的垂直平分线交于P.求证：点P

在AC的垂直平分线上.BACMNM′N′PBACMNM′N′P证明：∵点P

在线段

AB的垂直平分线MN

上，∴PA=PB.同理

PB=PC.∴PA=PC.∴点P

在AC

的垂直平分线上;∴AB、BC、AC

的垂直平分线相交于点P.

5.如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？ABCDE

解：∵AD⊥BC，BD=DC，∴AD是BC的垂直平分线，∴AB=AC.

∴AB=AC=CE.∵

AB=CE，BD=DC，∴AB+BD=CD+CE.即AB+BD=DE.∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC=CE.ABCDE课堂小结

定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.

定理到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.互逆命题课后作业1.从教材习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。第2课时三角形三边的垂直平分线北师版八年级数学下册新课导入作三角形三条边的垂直平分线，你发现了什么？

P三条边的垂直平分线交于一点P新课探究例2求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.PABC已知：如图，在△ABC

中，边AB的垂直平分线与边BC

的垂直平分线相交于点P.求证：边

AC的垂直平分线经过点

P，且PA=PC.

证明：∵点P

在线段AB

的垂直平分线上，∴

PA=PB（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）.

同理，PB=PC.

∴PA=PB=PC.

∴

点

P在线段

AC

的垂直平分线上（到一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上），即

边

AC

的垂直平分线经过点P.PABC三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.议一议（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角形吗？如果能，能画出几个？所画出的三角形都全等吗？A1DCBAah()DCBAahA1DCBAahA1可以画出无数个三角形（2）已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能画出几个？所画出的三角形都全等吗？可以画出无数个三角形

（3）已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？这样的等腰三角形应该只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧.例3已知一个等腰三角形的底边及底边上的高，求作这个等腰三角形.已知：如图，线段a，h.求作：△ABC，使

AB=AC，且

BC=a，高AD=h.ah作法：（1）作线段BC=a.（2）作线段

BC的垂直平分线l，交BC于点D.（3）在l

上作线段DA，使DA=h.（4）连接

AB，AC.△ABC为所求的等腰三角形.BCDA做一做

已知直线l和l上一点P，用尺规作l的垂线，使它经过点P.ABm你明白这个作法吗？ABPmlPl

如果点P是直线l外一点，那么怎样用尺规作l的垂线，使它经过点P呢？说说你的作法，并与同伴交流.ABmPl议一议随堂演练1.如图，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长.ABEDC解：因为DE为AB的垂直平分线，

所以AE=BE.

△BCE的周长为d=EC+BE+BC

=EC+AE+BC

=AC+BC

=27+BC

=50.

所以BC=23.ABEDC2.分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置.在三角形内在斜边中点在三角形外3.如图，在△ABC

中，BC=2，∠BAC

＞90°，AB

的垂直平分线交

BC于点

F，请找出图中相等的线段，并求出△AEF的周长.ABCEFABCEF

解：AE=BE，AF=CF.（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）∴AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC=24.如图，已知线段

a，求作以a

为底边、以a

为高的等腰三角形，这个等腰三角形有什么特征？12ABPaa12这是个等腰直角三角形5.已知：△ABC

中，AB=AC，AD

是

BC边一上的中线，AB

的垂直平分线交

AD

于

O.

求证：OA=OB=OC.ABCDO

证明：∵AB=AC，

AD

是BC的中线，∴AD

垂直平分

BC（等腰三角形底边上的中线垂直于底边）.

又∵AB的垂直平分线与交于点

O，∴OB=OC=OA（三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等）.ABCDO课堂小结三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.已知一个等腰三角形的底边及底边上的高，作这个等腰三角形：课后作业1.从教材习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律