线性代数与空间解析几何

A卷(20110117)一、单项选择1.设A为n阶方阵且R(A)=n-1(n≥2).A

*为A的伴随矩阵，则R(A*)=().(A)n(B)n-1(C)1(D)0知识点:（080119）A卷（080222）B卷一、1.（070119）A卷（070227）B卷一、1.伴随矩阵的其它结论相关试题：(20110219)B卷六、证明题1．设A为n阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，证明：若A可逆，则证：由于，则当|A|≠0时，当|A|=0时，则下证若则A*可逆.从而，A*=0.这与假设相矛盾.所以假设不成立,即(20100116)A卷二、填空题4.设3阶矩阵A的特征值为

1,1,2,则A的伴随矩阵的行列式

|A*|＝

。分析：∵A的特征值为

1,1,2知识点：（070119）A卷（070227）B卷二、5.（090108）A卷四、

2.设A为n阶矩阵且

，A*为A的伴随矩阵，计算行列式解：2.设A为n阶方阵满足

，则必有()。(A)R(A)=n(B)A=I(C)|A|=1(D)A为正交矩阵分析：√×××3．设A，B为任意两个n阶方阵，则下列等式一定成立的是()。4．设A为n阶矩阵，则线性方程组AX=b有解的充分必要条件为()。知识点：线性方程组解的存在性定理设A是m×n矩阵，则AX=b有解当时，方程组有唯一解；当时，方程组有无穷多解.特殊情况：齐次线性方程组AX=0必有解.

相关试题(20110219)B卷一、4.设A为m×n阶矩阵，则线性方程组AX=0仅有零解的充分条件为()。(A)(B)(C)(D)（090108）A卷一、4.设A为m×n阶矩阵，则线性方程组AX=0有非零解的充分条件为()。(090209)(080119)(080222)(070119)(070227)一、45．n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件()。(A)A有n个不同的特征值(B)A有n个线性无关的特征向量(C)A的特征值全为正的(D)A有n个不同的特征向量知识点：n阶矩阵A与对角矩阵相似A有n个线性无关的特征向量(1)可对角化的充要条件若A可对角化，则存在可逆矩阵P，使得(2)若A可对角化，如何求可逆矩阵P，使得为对角矩阵。(20100116)A卷三、3.求矩阵的特征值和特征向量，并问A是否可相似对角化。步骤1：求特征多项式的根，即特征值步骤2：对每个特征值，求对应的所有线性无关的特征向量，进而可得出所有的特征向量。步骤3：判断A是否可对角化。二、填空题1.

设三阶方阵A相似于

，则A2012=

2.过点(1,0,1)且与直线

平行的直线方程为

。5.设A为n阶正定矩阵，则A的秩

＝

。知识点：A是正定矩阵注：正定矩阵必可逆且行列式>0.（070119）A卷一、5．设A为n阶实对称矩阵，则下列中（

）与另外三个条件不等价。(A)A有n个不同的特征值(B)A为正定矩阵(C)A的特征值全为正的

(D)A与单位矩阵合同(070227)B卷一、5．设A为n阶实对称矩阵，则A是正定矩阵的充分必要条件为（

）。(A)A的特征值全为正的(B)A有n个不同的特征值(C)A的行列式(D)A有n个线性无关的特征向量(20110219)B卷一、5．设A为n阶单位矩阵，n阶矩阵A既是正交矩阵又是正定矩阵，则A=

()。分析：(20100116)A卷二、5.设n阶正定矩阵A满足，则A＝

。分析：(20100221)B卷一、5．设A为n阶正定矩阵，矩阵A与B相似，则

B必为（

）。(A)实对称矩阵(B)正定矩阵

(C)可逆矩阵(D)正交矩阵（090108）A卷一、5．设A为n阶正定矩阵，则（

）也为正定的矩阵。分析：(20110219)A卷五、1.问

为何值时，二次型为正定的？步骤1：写出二次型的矩阵步骤2：实对称矩阵A正定解：二次型对应的矩阵A的顺序主子式故二次型正定(20100221)三、3.

(090108)四、3.

(080119)三、3.(080222)四、1.

(070119)三、1．(070227)三、1．(20100221)B卷五、2.设I为n阶单位矩阵，A为n阶实对称矩阵且满足：

，证明：A+I为正定矩阵。证：又（090209）B卷五、3.如果A是

实矩阵且R(A)=n

,证明：

ATA是正定矩阵。证：于是，从而，ATA是正定矩阵。（090108）A卷五、3.如果A,B是n阶实对称矩阵，且对任意n维列向量x，有xTAx≥xTBx

，则记为A

≥B

。设A是n阶实对称矩阵，满足A

≥2I,证明：

A是正定矩阵；(2)

A满足：

因此，A是正定矩阵。三、计算题1．求向量组：的秩和一个最大无关组。思路：向量组列排做初等行变换化为阶梯形矩阵，非零行数即为向量组的秩,阶梯所在的列即构成一个最大无关组.所以，向量组的秩为4。最大无关组为(20110219)B卷三、1.

(20100116)A卷三、1.(20100221)B卷三、1.

（090209）B卷三、1.（080119）A卷三、2.（080222）B卷三、2.四、计算题解：(20110219)四、1.(20100116)四、1.2.求过点

且与平面

与

都垂直的平面方程。求平面方程：点法式求直线方程：点向式(20110219)四、2.(20100116)四、2.(20100221)四、2.

（090108）四、1.（090209）四、1.

（080119）四、2.（080222）四、2.

（070119）四、1.(070227)四、1.（090209）B卷二、3.曲线

在xoy面上的投影曲线为

。确定C

在xOy平面上的投影的一般过程为：设空间曲线C的一般方程：(1)在(*)式中消去z，得投影柱面方程就是C

在xOy

平面上的投影方程.(20100221)B卷解：五、计算题1.求正交变换

将二次型化为标准型的矩阵P，并写出相应的标准型。步骤1：写出二次型的矩阵A步骤2：求矩阵A的特征值步骤3：步骤4：将正交化、单位化得单位化：令作正交变换x=Py,则相应的标准形为六、证明题1．设m是正整数，I为n阶单位矩阵，n阶矩阵A满足：Am=0,证明:|I+A|=1.类似考题：(20100116)A卷五、3．设m是正整数，I为n阶单位矩阵，n阶矩阵A满足：Am=0,证明：(1)A的特征值全为0；(2)对任意实数k，矩阵I+kA可逆。方阵的幂(20100116)A卷（090209）B卷逆矩阵（080222）B卷一、5．设I为n阶单位矩阵，n阶矩阵A,B,C满足：ABC=I

，则必有（

）。(A)BAC=I(B)CBA=I(C)ACB=I(D)BCA=I（080119）A卷(070227)B卷四、2.设A,B为n阶矩阵，且其中I为n阶单位矩阵，求分析：关键找矩阵C使得(I+B)C=I（070119）A卷四、3.设A,B为n阶可逆矩阵，(1)试问AB和A-1+B-1可逆吗？为什么？(2)如果A+B可逆，求逆矩阵(A-1+B-1)-1。解：特征值(20110219)B卷二、6.