圆的参数方程及其应用

关于圆的参数方程及其应用第一页，共三十二页，2022年，8月28日（1）在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即并且对于t的每一个允许值，由上述方程组所确定的点M（x,y）都在这条曲线上，那么上述方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数。参数方程的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数。（2）相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。第二页，共三十二页，2022年，8月28日已知曲线C的参数方程是

(1)判断点（0，1）,(5,4)是否在Ｃ上.

(2)已知点（６，a）在曲线Ｃ上，求a.第三页，共三十二页，2022年，8月28日1、曲线与x轴的交点坐标是()A、（1，4）；B、C、D、B()C第四页，共三十二页，2022年，8月28日1、圆心在原点的圆的参数方程：

x2+y2=r2

xyor第五页，共三十二页，2022年，8月28日1、圆心在原点的圆的参数方程：

x2+y2=r2

xyor第六页，共三十二页，2022年，8月28日1、圆心在原点的圆的参数方程：

x2+y2=r2

xyor第七页，共三十二页，2022年，8月28日1、圆心在原点的圆的参数方程：

x2+y2=r2

xyor第八页，共三十二页，2022年，8月28日1、圆心在原点的圆的参数方程：

x2+y2=r2

xyor(rcosθ,rsinθ)第九页，共三十二页，2022年，8月28日1、圆心在原点的圆的参数方程：

x2+y2=r2

xyor第十页，共三十二页，2022年，8月28日1、圆心在原点的圆的参数方程：

x2+y2=r2

xyor第十一页，共三十二页，2022年，8月28日1、圆心在原点的圆的参数方程：

x2+y2=r2

xyor第十二页，共三十二页，2022年，8月28日1、圆心在原点的圆的参数方程：

x2+y2=r2

xyor第十三页，共三十二页，2022年，8月28日1、圆心在原点的圆的参数方程：

x2+y2=r2

xyor第十四页，共三十二页，2022年，8月28日1、圆心在原点的圆的参数方程：

x2+y2=r2

xyor(rcosθ,rsinθ)圆心在原点半径为r的圆的参数方程第十五页，共三十二页，2022年，8月28日2、圆心不在原点的圆的参数方程：(x－a)2+(y－b)2=r2圆心为(a,b)，半径为r的圆的参数方程。参数θ——圆的动半径与过圆心平行x轴正半轴的射线所成的角。第十六页，共三十二页，2022年，8月28日例2、已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点，点A是x轴上的定点，坐标为(12,0)，当点P在圆上运动时，线段PA的中点M的轨迹是什么？解：设M(x,y)、P(4cosθ,4sinθ),A(12,0)∴(x－6)2+y2=4第十七页，共三十二页，2022年，8月28日变式练习：

在本题已知条件下，若点M分PA成定比2:1，求点M的轨迹方程。第十八页，共三十二页，2022年，8月28日例1、已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0，将它化为参数方程。解：x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，（x+1）2+（y-3）2=1，∴参数方程为(θ为参数)第十九页，共三十二页，2022年，8月28日练习：

1.填空：已知圆O的参数方程是(0≤＜2)⑴如果圆上点P所对应的参数，则点P的坐标是

第二十页，共三十二页，2022年，8月28日A的圆，化为标准方程为（2，-2）1化为参数方程为把圆方程0142)2(22=+-++yxyx第二十一页，共三十二页，2022年，8月28日解法1:设M的坐标为(x,y),∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。由中点坐标公式得:

点P的坐标为(2x-12,2y)∴(2x-12)2+(2y)2=16即M的轨迹方程为(x-6)2+y2=4∵点P在圆x2+y2=16上xMPAyO例2.

如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,

点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?示例分析第二十二页，共三十二页，2022年，8月28日xMPAyO解法2:设M坐标(x,y),∴可设点P坐标为(4cosθ,4sinθ)∴点M的轨迹是以(6,0)为圆心、2为半径的圆。由中点公式得:点M的轨迹方程为x=6+2cosθy=2sinθx=4cosθy=4sinθ

圆x2+y2=16的参数方程为例2.

如图,已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,

点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?示例分析第二十三页，共三十二页，2022年，8月28日例5、已知圆的方程是x2+y2－2ax+2(a－2)y+2=0，其中a≠1且a∈R(1)求证:a取不为1的实数时，上述圆恒过定点(2)求圆心的轨迹方程(2)圆心为(a,2－a)

(1)x2+y2－4y+2－2a(x－y)=0定点(1,1)∴x+y－2=0第二十四页，共三十二页，2022年，8月28日例3、已知点P（x，y）是圆x2+y2-6x-4y+12=0上动点，求（1）x2+y2

的最值，（2）x+y的最值，（3）P到直线x+y-1=0的距离d的最值。第二十五页，共三十二页，2022年，8月28日问题：已知a2+b2=1，求a+b的最值。只能求最大值问题：若x2+y2=r2，x、y如何三角换元？第二十六页，共三十二页，2022年，8月28日练习题：已知点P（x，y）是圆x2+y2-6x-4y+12=0上动点，求（1）

x2+y2

的最值；（2）x+y的最值；（3）P到直线x+y-1=0的距离d的最值。解：圆x2+y2-6x-4y+12=0即（x-3）2+（y-2）2=1，用参数方程表示为由于点P在圆上，所以可设P（3+cosθ，2+sinθ），（1）x2+y2=(3+cosθ)2+(2+sinθ)2=14+4sinθ

+6cosθ=14+2sin(θ+ψ).(其中tanψ=3/2)第二十七页，共三十二页，2022年，8月28日∴

x2+y2

的最大值为14+2，最小值为14-2。(2)x+y=3+cosθ+2+sinθ=5+sin（θ+）∴x+y的最大值为5+

，最小值为5-

。(3)显然当sin（θ+）=1时，d取最大值，最小值，分别为，。第二十八页，共三十二页，2022年，8月28日例3、设实数x、y满足x2+(y－1)2=1，求(1)3x+4y；(2)x2+y2

的最值。(1)t=4sinθ+3cosθ+4(2)t=2+2sinθ第二十九页，共三十二页，2022年，8月2