排列与组合最全最详细最经典练习题

排列与组合最全最详细最经典练习题

排列与组合(一)排列学习目标正确理解排列的意义。能利用树形图写出简单问题的所有排列；具体的问题，写出符合要求的排列；(2)了解排列和排列数的意义，能根据(2)了解排列和排列数的意义，能根据•■|=:掌握排列数公式，并能根据具体的问题，写出符合要求的排列数；会分析与数字有关的排列问题，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过对排列应用问题的学习，让学生通过对具体事例的观察、归纳中找出规律，得出结论，培养学生解决应用问题的能力和严谨的学习态度。例题分析例1、用0到9这十个数字.可组成多少个没有重复数字的四位偶数?分析:这一问题的限制条件是：①没有重复数字；②数字“0”不能排在千位数上；③个位数字只能是0、2、4、6、8、，从限制条件入手，可划分如下：如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶数，个位数是2、4、6、8的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上）.由此解法一与二.如果从千位数入手.四位偶数可分为:千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类，由此得解法三.如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解法四.解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有兀个当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有孙斥虫（个）・•••没有重复数字的四位偶数有个.4十址・£・黑=504+1792=2296个.解法2：当个位数上排“0”时，同解一有卅个;当个位数上排2、4、6、8中之一时，千位,百位，十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千位数是“0”排列数得：4｝（4-^）个・•・没有重复数字的四位偶数有4+£•（斎-採）=：504+1792=2296个.解法3：千位数上从1、3、5、7、9中任选一个,个位数上从0、2、4、6、8中任选一个，百位，十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有以•鳶个干位上从2、4、6、8中任选一个，个位数上从余下的四个偶数中任意选一个（包括0在内），百位，十位从余下的八个数字中任意选两个作排列，有右右斎个・•・没有重复数字的四位偶数有=2296个.解法4：将没有重复数字的四位数字划分为两类：四位奇数和四位偶数.没有重复数字的四位数有起^个.其中四位奇数有败W）•••没有重复数字的四位偶数有4 -4(4-4)=10x4-4-54+54=44+5-^=5^+5-^41摻=2296个说明；这是典型的简单具有限制条件的排列问题，上述四种解法是基本、常见的解法、要认真体会每种解法的实质，掌握其解答方法，以期灵活运用.例2、三个女生和五个男生排成一排如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？解：(捆绑法)因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有心种不同排法.对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有g对种不同的排法，因此共有咼採"顼种不同的排法（2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档.这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻.由于五个男生排成一排有心种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有盂种方法，因此共有易gw血种不同的排法.（3）解法1：（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有&种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有农种排法，所以共有种不同的排法.解法2：（间接法）3个女生和5个男生排成一排共有摻种不同的排法，从中扣除女生排在首位的毘T种排法和女生

排在末位的W种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在未位的情况时又被扣去一次，所以还需加一次回来，由于两端都是女生有屈黑种不同的排法，所以共有42册"折十°。种不同的排法.解法3：(元素分析法)从中间6个位置中挑选出3个来让3个女生卿F入，有心种不位置又都有g种不同的排法，所以共有同的排法，对于其中的任意一种排活，其余5同的排法，对于其中的任意一种排活，其余5个■■■盂血种不同的排法，(4)解法1：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则未位就不再受条件限制了，这样可有城禹种不同的排法；如果首位排女生，有恳种排法，这时末位就只能排男生，有址种排法，首末两端任意排定一种情况后，其余6位都有农种不同的排法，这样可有苕盘虫种不同排法.因此共有=36ooo种不同的排法.解法2：3个女生和5个男生排成一排有尤种排法，从中扣去两端都是女生排法W种,就能得到两端不都是女生的排法种数.因此共有朋2T=如0°种不同的排法.说明：解决排列、组合（下面将学到，由于规律相同，顺便提及，以下遇到也同样处理）应用问题最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法.若以位置为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置，有两个以上约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时要兼顾其它条件.若以元素为主，需先满足特殊元素要求再处理其它的元素.间接法有的也称做排除法或排异法，有时用这种方法解决问题来得简单、明快.捆绑法、插入法对于有的问题确是适用的好方法，要认真搞清在什么条件下使用.例3、排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种?（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？解:（1）先排歌唱节目有述种，歌唱节目

之间以及两端共有6个位子，从中选4个放入舞蹈节目，共有心中方法，所以任两个舞蹈节目不相邻排法有：农心=43200.先排舞蹈节目有E中方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有：E4=2880种方法。说明：对于“间隔”排列问题，我们往往先排个数较少的元素，再让其余元素插空排列。否则,若先排个数较多的元素，再让其余元素插空排时,往往个数较多的元素有相邻情况。如本题(2)中，若先排歌唱节目有4’,再排舞蹈节目有£,这样排完之后，其中含有歌唱节目相邻的情况，不符合间隔排列的要求。例4、某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法.分析与解法1:1=16六门课总的排法是£,其中不符合要求的可分为：体育排在第一书有再种排法，如图中I;数学排在最后一节有g种排法，如图中II;但这两种排法，都包括体育排在第一书数学排在最后一节，如图中HL这种情况有£种排法，因此符合条件的排法应是：处喝y1=1（种）・分析与解法2：根据要求，课程表安排可分为4种情况:（1） 体育、数学既不排在第一节也不排在最后一节，这种排法有妤£种；（2） 数学排在第一节但体育不排在最后一节，有排法Z种;（3）体育排在最后一节但数学不排在第一节，有排法占禹种;（4）数学排在第一节，体育排在最后一节,有排法E这四类排法并列，不重复也不遗漏,故总的排法有：孙£7虫+孙£忖（种）.分析与解法3：根据要求，课表安排还可分下述4种情况：（1） 体育，数学既不在最后也不在开头一节，有或=12种排法；（2） 数学排在第一节，体育不排在最后一节，有4种排法;（3）体育在最后一书，数学木在第一节有4种排法;（4）数学在第一节，体育在最后一节有1种排法.上述21种排法确定以后，仅剩余下四门课程排法是种故总排法数为2认二朝（种）・F面再提出一个问题，请予解答.问题：有6个人排队，甲不在排头，乙不在排尾，问并肩多少种不同的排法.请读者完成此题.说明:解答排列、组合问题要注意一题多解的练习，不仅能提高解题能力，而且是检验所解答问题正确与否的行之有效的方法检测题6人站一排，甲不站在排头，乙不站在排尾，共有 种不同的排法.5名男生和4名女生排成一队，其中女生必须排在一起，一共有 种不同的排法.a,b,c,d排成一行，其中a不排第一,b不排第二，C不排第三，d不排第四的不同排法有 种.4・0,1,2,3,4,5这六个数组成没有重复数字的四位偶数，将这些四位数从小到大排列起来，第71个数是 ・下列各式中与排列数代相等的是（）・A.佃一协 B・呛T）伍一2）-叨）QW”,且<2<20,贝|］（27-匕）（28-&）…（24-么）等于（）.A・B・C.禹-D・也若—十撐十…十醞,则公的个位数字是（）•A・8B・5 C・3D・07名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同的排法有（）.A.720种B.360种C.1440D.120种

9•求和1!吃!£!2!+3!+4! «!+(«+1)!+(«+2).10.5名男生、2名女生站成一排照像：两名女生要在两端，有多少种不同的站法？两名女生都不站在两端，有多少不同的站法？两名女生要相邻，有多少种不同的站法？两名女生不相邻，有多少种不同的站法？女生甲要在女生乙的右方，有多少种不同的站法？女生甲不在左端，女生乙不在右端,有多少种不同的站法？参考答案：1.504参考答案：1.5042.172804.31405・D7.C8・Ck+2k+29・T期十仗十1)H*+2)I_烈@+2)2 ,3.96.D力+1_ 1 _ 1仗+2)!一仗+1)仗+2)!• q1_12!3!>-• q1_12!3!>-(3!4!丿原式=4-・・10.（1） 两端的两个位置，女生任意排，中间的五个位置男生任意排；孙&=240（种）；（2） 中间的五个位置任选两个排女生，其余五个位置任意排男生；^=2400（种）；（3） 把两名女生当作一个元素，于是对六个元素任意排，然后解决两个女生的任意排列；4■^2=woo（种）；（4）把男生任意全排列，然后在六个空中（包括两端）有顺序地插入两名女生；4^=3600（种）；（5）七个位置中任选五个排男生问题就已解决，因为留下两个位置女生排法是既定的;期七20（种）；（6）釆用排除法，在七个人的全排列中,去掉女生甲在左端的£个，再去掉女生乙在右端的£个，但女生甲在左端同时女生乙在右端的心种排除了两次，要找回来一次.仍虫十小泅（种）・(二)组合学习目标(1)正确理解组合的意义，正确区分排列、组合问题；掌握组合数的计算公式、组合数的性质以及组合数与排列数之间的关系，并能运用这些知识解决一些简单的组合应用题；通过对排列、组合综合问题的求解与剖析，培养按事件发生的过程进行熟练地分类与分步，培养严谨科学的思维习惯.培养严谨的学习态度.通过对比排列学习组合知识，掌握类比的学习方法，提高分析问题和解决问题的能力，并培养用对立统一规律和辩证唯物主义思想解决实际问题.例题分析第一阶梯例1、计算：(1)隊十俎卜缢； (2)爲十V十…十猛.分析：

本题如果直接计算组合数，运算比较繁.本题应努力在式子中创造条件使用组合数的性质，第（1）题中，,经此变形后，可继续使用组合数性质.第（2）题有两个考虑途径，一方面可以抓住项的变形,求和;另一方面，变形,接着,…，反复使用公式.解：（］）%卜盂1=%于盃1=w盃1（2）原式=珂+4- +C；-G；+…+略-C"C和330.另一方法是：原式…十益十砖十…十益+十…十雄j亠益十缁Y和330说明：利用第（2）小题的手段，我们可以得到组合数的一个常用的结论:.^M+lUw+3左边Y十十.^M+lUw+3左边Y十十右边.例2、从7名男生5名女生中，选出5人，分别求符合下列条件的选法种数有多少种？A、B必须当选；A、B都不当选；A、B不全当选；至少有2名女生当选；选出5名同学，让他们分别担任体育委员、文娱委员等5种不同工作，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任.分析：本题是组合应用题中典型的选代表问题，通过一些明确的条件对结果进行限制.问题(1)A、B必须当选，它们就不必再考虑，只要再选出余下的代表.问题(2)A、B必须不当选,实际上就是去掉这几个元素不予考虑.问题(3)A、B不全当选可以从正反两方面考虑.从正面考虑可以按A、B全不选和A、B选一个分类，从反面考虑可用间接法，去掉A、B全选的情况.问题(4)可以按女生选2人、3人…进行分类，当然也可以从反面考虑用间接法.问题(5)可以先处理特殊位置的体育班委与文娱班委.解：（1） 除A、B选出外，从其它10个人中再选3人，共有的选法种数为酩疇=120（种）.（2） 去掉A、B,从其它10人中任选5人，共有的选法种数为：常=252（种）.（3） 按A、B的选取情况进行分类：A、B全不选的方法数为益，A、B选1人的方法数为哝，共有选法%+c；c"2（种）.本小题的另一解法：从12人中选5人的选法中去掉A、B全选的情况，所有选法只有C計常=672（种）.方法一：按女同学的选取情况分类：选2名女同学、3名男同学；选3名女同学2名男同学；选4名女同学1名男同学；选5名女同学.所有选法数为： C網+C朋+C；C；+C；=596（种）.方法二：从反面考虑，用间接方法，去掉女同学不选或选1人的情况，所有方法总数为W-C©=596（种）.（5）选出一个男生担任体育班委，再选出1名女生担任文娱班委，剩下的10人中任取3人担任其它3个班委.用分步计数原理可得到所有方法总数为：算碍盘=25200 （种）.说明：对于本题第（4）小题，“至少有2名女生当选”，我们可能还有另外一种考虑，先从5名女生中选出2人，然后在剩下的10人中任选3人，得到的方法数为«=1200 （种），与上述答案比较，结果明显增多了，为什么会出现以上情况？上述步骤得到的选取结果虽然符合了有2名女生的要求，但在计数时出现了重复，比如先选两女生为a、b,剩下的10人中如果又选出了女生c,与先选两名女生为a、c后又选出了女生b,出现了同样的结果，因为选取问题仅考虑选岀了哪些元素，至于先选后选并不考虑.这里需要我们引起注意的是以后遇到“至少”类型的问题，一般采用分类法或间接法解决，在选取问题中尽可能避免出现重复计数，我们还可以进一步从下一个例子加深理解.例3、空间10个点，其中有5点在同一个平面内，其余无三点共线，四点共面，问以这些点为顶点，共可构成多少个四面体？分析：本题如果从正面考虑可以按5个共面的点的选用情况进行分类.如果从反面考虑用间接

法，只要去掉从5个共面的点中任取四个点的情况，因为共面的四个点不能构成四面体的四个顶点.个、

为:解：方法一：可以按共面的点取0个、1个、

为:2个、3个进行分类，得到所有的取法总数雋+味；+空蹲+熔=20》个.方法二：从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的方法数为：1=205（个）.说明：以几何为背景的此类应用题中，间接方法用得比较多，在考虑去掉不符合要求的选法时，既不能多去，也不能少去，此外有时还需去掉一些重复计数的情况.比如：四面体的顶点和各条棱的中点共10个点，任取其中的4个点,其中不共面的取法有多少种？我们可以从10个点中任取4点.共有哥种取法，然后去掉下面几种情况，4个点取在四面体的同一个面上，有种取法；四个中点连成平行四边形的情形,种取法；四个中点连成平行四边形的情形,有3种取法，还有3点在四面体的一条棱上，另一点是其它点，不考虑已计算的四点在四面体同一面上的情况，共有6种取法.用间接法可得不同的取法共有：^-<-3-6=141 (种).例4、在1,3,5,7,9中任取3个数字，在0,2,4,6,8中任取两个数字，可组成多少个不同的五位偶数.分析：因为零不能作首位数，所以是特殊元素,因此可以根据选零不选零为分类标准。解：第一类：五位数中不含数字零。第一步：选出5个数字，共有咏？种选法.第二步：排成偶数一先排末位数，有用种排法，再排其它四位数字，有用种排法.:.NlW•除球(个)第二类：五位数中含有数字零•第一步：选出5个数字，共有旳种选法。第二步：排顺序又可分为两小类；末位排零，有尺用种排列方法；末位不排零.这时本位数有叫种选法，而因为零不能排在首位，所以首位有盘种排法，其余3个数字则有彦种排法.A符合条件的偶数个数为NfZ厂WE身十曲居P：十盘耳） =4560（个）说明：本题也可以用间接法（即排除法）来解.请读者自行完成.例5、有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其余5人既会划左舷也会划右舷。现在要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷划船参加比赛，有多少种不同的选法?分析：设集合A=｛只会划左舷的3个人｝,B珂只会划右舷的4个人｝,C=｛既会划左舷又会划右舷的5个人｝先分类，以集合A为基准，划左舷的3个人中，有以下几类情况：①A中有3人；②A中有2人；C中有1人;③A中有1人，C中有2人；④C中有3人。第①类，划左舷的人已选定,划右舷的人可以在肌c中选3人，即有空种选法。因是分步问题，所以有勞空种选法。第②类，划左舷的人在A中选2人，有驾种选法，

在C中选1人，有醐种选法，划右舷的在中剩下的8个人中选3人，有代种选法。因是分步问题，所以有听皿种选法。类似地，第③类，有冑g种选法。第④类有听沁种选法。因为是分类，所以一共有•耸十烷+C；. 躅种选法。解：蹲•硯+理•C>C；+£•於•蹲+理-Cj-cl9X8X71x2x3+3x5x8x7x61x2x3+3xl0x7x6x59X8X71x2x3+3x5x8x7x61x2x3+3xl0x7x6x51x2x3+lxlOx6x5x41x2x3=84+840+1050+200=2174答：一共有2174种不同选法.说明：这种比较复杂的在若干个集合中选取元素的问题，只要能运用分类思想正确对所求选法分类，又能正确地根据题目要求合理地考察步骤，就可以顺利地求得解.在分类时，要注意做到既不重复也不遗漏.这里是以集合A为基准进行分类，也可以集合B或集合C为基准进行分类，其结果是相同的，但一般都选择元素个数较少的集合作为基准来分类，这样可以减少分类，方便运算.例6、甲、乙两队各出7名队员，按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方由1号队员出赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，…，直到一方队员全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程，试求所有可能出现的比赛过程的种类.分析与解：若甲队取胜，比赛结果可能是7:2 , 7:3 , 7:4 ,7:5, 7:6 .7：0只有一个过程；7：1共8场，乙队在前7场中胜一场，有S种不同的过程；7：2共9场，乙队在前8场中胜二场，有空种不同的过程；7：3共10场，乙队在前9场中胜三场,有空种不同的过程；甲队取胜的过程种数是:1十霍十空十十十十碟=1716.类似乙队取胜也有同样的过程种数•••共有17心2=3432种不同的比赛过程.小结：

一个排列与另一个排列的区别有两点，一点是元素不同，另一点是顺序不同(在元素相同时)；而一个组合与另一个组合不同点仅是元素不同，由此可知，排列是有顺序问题，组合是无顺序问题.本题是一应用问题，根据实际确定是组合问题.例7、从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数,试问:数四个奇数,试问:能组成多少个没有重复数字的七位数？上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？(1)中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？(1)中任意两偶然都不相邻的七位数有几个?分析与解:分步完成：第步在分步完成：第步在4个偶数中取3个，可有V种情况；第二步在5个奇数中取4个，可有4种情况；第三步3个偶数，4个奇数进行排列，可有舜种情况，所以符合题意的七位数有①£：・耳=100800个上述七位数中，三个偶数排在一起的有硏C££=14400个.上述七位数中，3个偶数排在一起,4个奇数也排在一起的有个.上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空档，共有 厅尺=2阴00个.说明；对于有限制条件的排列问题，常可分步进行，先组合再排列,这是乘法原理的典型应用.例8、6本不同的书,按照以下要求处理,各有几种分法？一堆一本，一堆两本，一堆三本；甲得一本，乙得两本，丙得三本；一人得一本，一人得二本，—*人得三本；平均分给甲、乙、丙三人；平均分成三堆.分析与解：先在6本书中任取一本.作为一本一堆，有°：种取法，再从余下的五本书中任取

两本，作为两本一堆，有V种取法，再后从余下三本取三本作为一堆，有戊种取法，故共有分法％鸞"0种.由(1)知.分成三堆的方法有％弼种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，故甲得一本，乙得二本，丙得三本的分法亦为枠”种・由(1)知，分成三堆的方法有％就种，但每一种分组方法又有彦不同的分配方案,故一人得一本，一人得两本，一人得三本的分法有饶碍C誘今60 (种)・3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书本中任取出2本的方法有饶种，甲不论用哪一种方法取得2本书后，已再从余下的4本书中取书有V种方法，而甲、乙不论用哪一种方法各取2本书后，丙从余下的两本中取两本书，有必种方法，所以一共有琢耳"。种方法.书，有必种方法，所以一共有琢耳"。种方法.把6本不同的书分成三堆，每推二本与把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人二本的区别在于，后者相当于把六本不同的书，平均分成三难后，再把每次分得的三堆书分给甲、乙、丙三个人.因此，设把六本不同的书,平均分成三堆的方法有X种，那么把六本不同的书分给甲、乙、丙三人每人2本的分法就应〃谒种，由(4)知，把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本的方法有c农空种.所以迟=c；c©，则爲(种)说明：本问题中的每一个小题都提出了一种类型问题，搞清类型的归属对今后解题大有补益，其中属非均匀分组问题. (2)属非均匀定向分配问题.属非均匀不定向分配问题.(4)属均匀不定向分配问题.属均匀分组问题.例9、有6本不同的书，分给甲、乙、丙三个人.如果每人得两本，有多少种不同的分法；如果一个人得一本，一个人得2本,一个人得3本有多少种不同的分法；如果把这6本书分成三堆，每堆两

本有多少种不同分法.分析与解：(1)假设甲先拿，则甲从6本不同的书中选取2本有4小种方法，不论甲取走的是哪两本书，乙再去取书时只能有种，此时剩下的两本书自然给丙，就只有V"种方法,由乘下的两本书自然给丙，就只有V"种方法,由乘法原理得一共有种不同分法.先假设甲得1本，乙得2本，丙得3本则有瑯弼种法，一共有^6x10x6=360种不同的分法.把6本书分成三堆，每堆2本，与次序无关.所以一共有种不同分法.说明：本题的三个问题要注意区别和联系，不6本书分给甲、乙、丙三人每人两本和分成3堆每堆两本是有区别的，前者虽然也属均分问题，但要甲、乙、丙三个人一个人一个人的去拿，而后者属均分问题又是无序问题，所以必须除以彦・一般地，〃个元素中有®个元素g）均分成加堆一定要除以用.例如：有17个桃，分成8堆，其中一堆一个，一堆4个，另外6堆每堆都是2个，有多少种不同的分法.厂1E厂2厂2厂2广2厲厂2一共有E 种不同分法.检测题选择题掷下4枚编了号的硬币，至少有2枚正面朝上的情况有（)・A. 种B.用十号T种C.存种D.不同于A、B、C的结论2.从A、B、C、D、E五名学生中选出四名分别参加数学、物理、化学、英语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为（）・A.24B・48 C・121 D・723.数字不重复，且个位数字与千位数字之差的绝对值等于2的四位数的个数为（）.A.672B.784C.840D.896

4.也…，5为100条共面且不同的直线，若其中编号为％沅旳的直线互相平行，编号为4k-3的直线都过某定点A.则这100条直线的交点个数最多为（）.A.4350B.4351C.4900D.4901填空题1・在数字0,1,2,3,4, 5,6中，任取3个不同的数字为系数a,b,c,组成二次函数y=ax2+bx+c,则一共可以组成 个不同的解析式？甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包一项，丙、丁公司各承包2公司各承包2项，则共有种承包方式.四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，则恰好有一个空盒的放法共有 种.某校乒乓球队有男运动员10人和女运动员9人，选出男、女运动员各3名参加三场混合双打比赛（每名运动员只限参加一场比赛）,共有 种不同的选赛方法.

解答题有7本不同的书：(1)全部分给6个人，每人至少一本；(2)全部分给5个人，每人至少一本,求各有多少种不同的分法.2.九张卡片分别写着数字每人至少一本,求各有多少种不同的分法.2.九张卡片分别写着数字0,1,2,8,从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果写着6的卡片还能当9用，问共可以组成多少个三位数?参考答案：选择题：3.C4・BA3.C4・B填空题:1.180 2.1680 3.144 4.3628800解答题：1・先取两本书作为一份，其余每本书为一份，将这六份书分给6个人，有0用=15120种分法有两类办法：一人得3本，其余4人各得一本，方法数为第尺；两人各得2本，其余3人各得一本，方法数为尹余3人各得一本，方法数为尹,所以所求方法种数为=16800以是否取卡片6分成两类，每类中再注意三位数中0不能在首位.(1)不取卡片6,组成三位数的个数为用T・(2)取卡片6,又分成两类，(i)当6用时组成的三位数的个数为(ii)当9用时同样有个c誘Y哥.根据加法原理得所求三位数的个数为:僧-用)十2阕冒-猪用卜602排列与组合一、教材分析:1.基本概念:排列与排列数、组合与组合数1.基本概念:排列与排列数、组合与组合数从n个不同元素中，任取m(mWn)个元素按一定的顺序排成一列，叫做从n一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(mWn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号皿表示.从n个不同元素中，任取m(mWn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(mWn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号當表示.基本公式：An=n(n-1)(n-2) (n-m+l)=(规定0!=l).Af_n(n一l)(n一2)…(ti一m+1)_n!IF1-2-3-m (规定1=1)排列组合的解题原则:深入弄清问题的情景要深入弄清问题的情景，切实把握各因素之间的相互关系，不可分析不透，就用眉或％乱套一气•具体地说:首先要弄清有无“顺序”的要求，如果有“顺序”的要求，用呀如果无“顺序”要求，就用叭其次，要弄清目标的实现,是分步达到的，还是分类完成的，前者用分步计数原理，后者用分类计数原理•事实上，一个复杂的问题，往往是分类和分步交织在一起的，这就要准确分清，哪一步用分步计数原理，哪一步用分类计数原理.

（2）两个方向的解题途径对于较复杂的问题，一般都有两个方向的列式途径，一个是正面直接解，一个是反面排除法.前者是指按要求，一点一点选出符合要求的方案，后者是指先按照全局性的要求，选出方案，再把不符合其他要求的方案排除掉.这两个途径的优劣因题而异.一般地，一道题目“正面解”很繁琐时，“反面排除”往往简单，反之亦然.（3）分析问题的两个方向分析问题时，我们往往从元素和位置两个方向插手,般情况，从算理上说，从特殊元素和向插手,般情况，从算理上说，从特殊元素和特殊位置两个方向都能解决问题•但具体问题从特元与特位上作对比，则可能大相径庭，差距很大。因此平常做题时，这两种训练都要进行.（4）特别强调一题多解一题多解，可以从不同角度分析同一问题,加深对分类计数原理、分步计数原理及排列组合的深刻认识与体会，同时，一题多解也是解排列组合问题最有效，最主要的检验方法.对常见问题分类总结关于数字问题，要注意“0”这个特元，关

于人或物的排列问题，要注意元素相邻，往往采取“捆绑法”看成一个整体，元素不相邻，则往往采取“插空”的方法.二、例题分析例1.用0,1,2,3,4组合多少无重复数字的四位数？这四位数中能被3整除的数有多少个？解：(1)直接分类法：用,XA异于特元法:不刖。特位法:先考虑首位，可以从1,2,3,4四个数字中任取一个，共站种方法，再考虑其它三个位置，可以从剩下的四个数字中任取3个.即处种方法，则共有*凶=96种方法，即96个无重复数字的四位数.间接排除法:先从五个数字中任取四个排成四位数:邈，再排除不符合要求的四位数即0在首位的四位数：期•则共有喫个首位的四位数：期•则共有喫个69=34能被3整除的四位数应该是四位数字之和为3的倍数.分析:因为不含0时，1+2+3+4=10.10不是3的倍数，所以组成的四位数必须有0,即0,1,2,3或0,2,3,4,共有2（小屬）二36个.例2.用0,1,2,3,4五个数字组成无重复数字的五位数从小到大依次排列.（1）第49个数是多少？（2）23140是第几个数？解：（1） 首位是1,2,3,4组成的五位数各24个.所以第49个数是首位为3的最小的一个自然数,即30124.（2） 首位为1组成弟=24个数；首位为2,第二位为0,1共组成2朋=12个数.首位为2,第二位为3,第三位为0的数共愆=2个；首位为2,第二位为3,第三位为1,第四位为0的数有1个，为23104.由分类计数原理：期+斶+码+i二39・按照从小到大的顺序排列23104后面的五位数就是23140,所以23140是第40个数.例3・5男6女排成一列，问（1） 5男排在一起有多少种不同排法？（2） 5男都不排在一起有多少种排法？（3） 5男每两个不排在一起有多少种排法?

（4）男女相互间隔有多少种不同的排法?解：（1）先把5男看成一个整体，得朋，5男之间排列有顺序问题,得站，共朋绘种.间排列有顺序问题,得站，共朋绘种.（2）全排列除去5男排在一起即为所求,得直卜A弼.（3） 因为男生人数少于女生人数，利用男生插女生空的方法解决问题，得侶.（4） 分析利用男生插女生空的方法，但要保证两女生不能挨在起,保证两女生不能挨在起,例4・3名医生和6名护士被分配到3个单位为职工体检，每单位分配1名医生和2名护士,不同的分配方案有多少种?解:3名医生分到3个单位有扇种方案，6名护士分到3个单位，每个单位2名有c冷种，根据分步计数原理，共有娟4©二540种方案.例5・四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个点，可以组成多少个不同的三棱锥？解:组成三棱锥，只需4个点不共面，考虑到直接法有困难，故采用间接排除法.从10个点中任取4个点有时中，其中4个

点共面有三类情况:①4个点位于四面体的同一面中，有4蹲种；②取任一条棱上的3个点，及该棱对棱的中点，这四点共面共有6种；③由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4个顶点共面有3种，所以不同的取法共有瞪-4^-6-3=141种.n!

= 十(n-m)!n!m (门一m十1)!例6.求证（1）n!

= 十(n-m)!n!m (门一m十1)!⑴A：十n![(n-m+1)+m]_ (n.+1)1(n-m+1)! [(n+1)-m]!另一种解释:对于含某元素a的（n+1）个元素中取m个元素的排列可分为两类，一类是不含元素a的，有个；另一类是含元素a的，有mAT个，因此共有（號+ma〃）个，即A-+m管】二a：t+i・—+ 缎 族3-型）！{m一1）!（卅一加+1）!(小)！/!(怎_冷+1)!冷![(左+1)_冷]!另一种解释:对于含有某元素a的（n+1）个元素中取m个元素的组合可分为两类，一类是不含元素a的,有當个;另一类是含元素a的有个，因此共有（當+却）个,即％+曾=弔・三、课外练习：用1,2,3,4,5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）•A、24个B、30个C、40个D、60个5男2女排成一排，若女生不能排在两端，且又要相邻，不同的排法有（）.A、480种B、960种C、720种D、1440种某天课表中6节课需从4门文科，4门理科中选出6门课程排出，其中文科交叉排，且一、二节必须排语文、数学，则不同的排法共有 种.在50件产品中有4件是次品，其余均合格，从中任意取出5格，从中任意取出5种，至少3件是次品的取法^■1共有 种.正方体的8个顶点可确定不同的平面个数为 ,以这些顶点为顶点的四面体共有

个.参考答案：1・A2.B72.先选出另两门文科，理科有c廻种,又因为文科交叉且一、二节必须排语文，数学有22A2222A22A2所以有72一一22

A222A%c：+%c：=4186・①c汁叱：+12二20 ②^-2X6=58测试选择题不等式试>3&的解集是（）A、{x|x>3}B、{x|x>4,x^N}C、{x13<x<4,xWN}D、{x|x>3,x^N}数农（）A、一定是奇数 B、一定是偶数C、奇偶性由n的奇偶性来决定D、以上结论都不对

用0,1,2,3,这四个数字组成个位数不是1的没有重复数字的四位数共有（）个A、16B、14C、12D、10要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单，如果舞蹈节目不排头，并且任何2个舞蹈节目不连排，则不同的排法种数是（）A、£鳶 B、/灣C、/洵D、/沁若直线方程Ax+By=0的系数A、B可以从0,1,2,3,6,7等六个数字中取不同的数值,则这些方程所表示的直线条数是（）A、黑-2B、黑C、栄+2D、心-2卅6・不同的5种商品在货架上排成一排，其中罕b中罕b两种必须排在起，而c、d两种不能排在一起，则不同的排法共有（）A、12种B、20种C、24种D、48种7.有5列火车停在某车站并行的5条轨道上，若快车A不能停在第3道上，货车B不能停在第1道上，则5列火车的停车方法共有（）

A、78种A、78种B、72种C、120D、96种8・用0,1,2,3,4,5,六个数字组成没有重复数字的六位奇数的个数是（）A、B、心一述一利 C、述一利D、割％由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A、210个B、300个C、464个D、600个从全班50名学生中，选出6名三好学生，其中地区级1名，县级2名，校级3名，求不同选法的种数.对于这道题，甲列式子联c剧,乙列式子空鸿，丙列式子卯證，其中所列式子（）A、全正确B、仅甲、乙正确C、仅乙、丙正确D、仅甲、丙正确答案与解析

答案：1、D2、B3、B4、C5、B6、C7、A8、A9、B10、A解析：选D・选B・选B・必W二14个.选C.5个独唱节目的排法是歎舞蹈不需排在头一个节目，又需任何两个舞蹈节目不连排，只要把舞蹈节目插入独唱节目构成的5个空隙中即可，即舞蹈的排法是故选择C.选B.先考虑非零的5个数字，它们可以组成不同的直线是/-2条，再加入A、B中恰有一个不为零时所表示的两条直线，故选B.2•(4!-2•3!)=24,故本题应选C.不考虑不能停靠的车道，5辆车共有5!=120种停法.A停在3道上的停法：4!=24种;B停在1道上的停法：4!=24种；AB分别停在3道、1道上的停法：3!=6种.故符合题意的停法：120-24-24+6二78种.故本题应选A.8.末位只能取8.末位只能取1,3,5,只有3种可能,首位又不能取0,只有4种可能，共有3・4・£第二是排顺序•“将取出的m个元素按畑定的顺序排成一列・”有排顺序的要求是排列问题中的本质属性.由于是从n个不同元素中取出m个不同元素，因此必有mWn,当nFn时，即所有元素都取出的排列，这种特殊的排列叫做全排列.(4)定义中的“一定顺序”(4)定义中的“一定顺序”，是与位置有关的问题.对有些具体情况，如取出数字1,2,3组成三位数，就与位置有关.因123和132是不同的三位数.但如取出数字1,2,3考虑它们的和，则与位置无关.2.写出所有排列的方法排列是指具体的排法.如一个排列ABC,是指A排在左端，B排在中间，C排在右端这一具体排法，在写具体的排列时，必须按一定规律写,否则容易造成重复或遗漏•我们常用画树形图的方法逐一写出所有排列.如：写出A,B,C,D四个元素中任取两个元素的所有排列.

程序^所有排列为AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC,共有12种不同的排列.3.相同排列从排列定义知道，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.例如，AB和BA,虽然元素相同，但由于顺序不同，所以就不是两个相同的排列，而是两个不同的排列.排列问题的判断如何判断一个具体问题是不是排列问题，就看从n个不同元素中取出的m个元素是有序还是无序，有序是排列，无序就不是排列.例如，从2,3,7,21四个数中任取两个数相加，可得到多少个不同的和•这四个数中任取两个数出来以

后做加法，因为加法满足交换律，2+3二3+2,它们的和与顺序无关，因此就不是排列问题.如果从上面这四个数中任取两个相减，一共有多少个不同的差.因为3-2工2-3,这里有被序有关了，这就属排列问题.减数和减数的区别，取出的两个数2减数和减数的区别，取出的两个数2与3就与丿II排列与排列数要分清“排列”和“排列数”这两个不同的概念，一个排列是指从n个不同元素中，任取m个元素，按照一定顺序排成一列的一种具体排法，它不是数.而排列数是指从n个不同元素中取m个不同元素的所有排列的个数，它是一个数.如从/b,c中任取两个元素的排列可以有以下6种：ab、ac>ba、be、ca>cb,每一种都是一个排列，而数字6就是排列数.关于排列数公式排列数公式Anm=n(n-1)…(n-m+1),其特点是：从自然数n开始，后一个因数比前一个因数小1,最后一个因数是n-m+1,共m个因数相乘.当m=n时,排列数公式为Ann=n!,相应地从n个不同元素中将元素全部取出的一个排列是全排列.关于排列的应用题在解关于排列的应用题时，要特别注意如下几点:（1）弄清题意•要明确题目中的事件是什么,可以通过怎样的程序来完成这个事件，进而是釆用相应的计算方法，不能乱套公式,盲目地计算.⑵弄清问题的限制条件.注意特殊元素和特殊的位置，必要时可画出图形帮助思考.（3）合理的分类（分类计数原理）和分步（分步计数原理），即通过讨论来解决问题.在排列问题中，常分如下两类基本的方法:（1） 直接法.从条件出发，直接考虑符合条件的排列数；（2） 间接法.先不考虑限制条件，求出所有排列数，然后再从中减去不符合条件的排列数（排除法）.组合、组合数公式•疑难问题解析1.组合与排列的联系和区别相同点：排列和组合都是从n个不同元素中取出m（mWn）个元素.不同点：排列与组合的区别在于元素取出以后，是“排成一排”，还是“组成一组”，其实质就是取出的元素是不是存在顺序上的差异.因此，区分排列问题和组合问题的主要标志是：是否与元素的排列顺序有关.有顺序的是排列问题，无顺序的则是组合问题.例如123和321,132是不同的排列，但它们都是相同的组合.再如两人互通一次信是排列问题，互握一次手则是组合问题.2・组合与组合数和排列与排列数之间的区别一样，“组合”和“组合数”是两个不同的概念.一个组合是指"从n不同元素中，任取m(mWn)个元素，并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数”，它是一个数，例如，从3个元素a、b、c每次取出2个元素的组合为：ab,ac,be,其中每一种都叫一个组合，共3种，而数字3就是组合数.3・组合应用题⑴众所周知，有顺序要求的是排列问题,无顺序要求的是组合问题.重要的是对“顺序”的理解.什么叫做有顺序，这需要通过解题来加深理解.(2)设计好完成事件的程序，并灵活应用分类处理的方法来处理复杂的问题.在分类时要注意做到不重复、不遗漏.组合数的两个性质•疑难问题解析1.对组合数的两个性质的理解.(1)要能利用组合数的意义来理解上述两项性质.因为从n个不同的元素中取出m元素后，就剩下n-m个，因此从n个不同元素中取出m个元素的方法，与从n个元素中取出n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的，这就是性质1揭示的意义.在确定从n+1个元素中取m个元素的方法时，对于某一个元素，只存在取与不取的两种可能.如果取这一个元素，则需从剩下的n个元素中取岀旷1个元素，所以共有铲种。如果不取这一个元素，则需从剩下的n个元素中取出m个元素，所以共有蹲种。由分类计数原理，得：隅=叩+代

上述推理过程中可以看成是对组合数两个性质的构造性证明.这种方法不仅可以加深我们对公式的理解，而且也是证明组合恒等式等问题的一种重要思路.(2)利用组合数及组合数的性质可推出如下两个常用结论.KCAnc舄;C«+Cj+1+Cj+2+...+C^=C^+1(3)组合数的两个性质,(3)组合数的两个性质,(n$m)在有关组合数的计算、化简、证明等方面有着广泛的应用.2・排列、组合的应用问题⑴排列应用题无限制条件的简单排列应用题解法步骤判定顺序定排列确定女詁代入gn二求值，三作答。判定顺序定排列确定女詁代入gn二求值，三作答。'住与I不在》的问题'有附加条件的排列应用题晌与不鏗的问题i解法”古特號元素入手＜彳直接法仏置入丰b.间接法（2）组合应用题①无限制条件的组合应用题：解法步骤：一判断二转化三求值四作答.②有限条件的组合应用题.a.类型：“含”与“不含”的问题；b・解法：直接法、间接法、可将条件视为特殊元素与特殊位置，一般来讲，特殊者优先满足，其余则“一视同仁”；c.分类的依据：“至多”、“至少”•（3）排列、组合综合题一般解法：先选元素后排列，同时注意按元素的性质分类或按事件的发生过程分步•类型：分组、分配、群排列等.3.解排列组合问题的基本思路：⑴对带有限制条件的排列问题，要掌握基本的解题思想方法.有特殊元素或特殊位置的排列，通常是先排特殊的元素或特殊位置；元素必须相邻的排列，可以先将相邻的元素看作一个整体；元素不相邻的排列，可以制造空档插进去;元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序，排列后再利用规定顺序的实情求结果.（2） 处理几何中的计算问题，注意“对应关系”，如不共线三点对一个三角形，不共面四点可以确定一个四面体等等，可借助图形来帮助思考，并善于利用几何性质于解题中.（3） 对于有多个约束条件的问题，可以通过分析每个约束条件，然后再综合考虑是分类或分步，或交替使用两个原理，也可以先不考虑约束条件，然后扣除不符合条件的情况获得结果.（4） 要注意正确理解“有且仅有”、“至多”、“至少”、“全是”、“都不是”、“不都是”等词语的确切含意.专题辅导解排列组合问题的策略要正确解答排列组合问题，第一要认真审题，弄清楚是排列问题还是组合问题、还是排列与组合混合问题；第二要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理，做到不重不漏；第三要计算正确.下面将通过对若干例题的分析，探讨解答排列组合问题的一些常见策略，供大家

参考.一、解含有特殊元素、特殊位置的题一一采用特殊优先安排的策略对于带有特殊元素的排列问题，一般应先考虑特殊元素、特殊位「打再考虑其他元素与其他虑特殊元素、特殊位「打再考虑其他元素与其他位置，也就是解题过程中的一种主元思想.例1：用0,2,3,4,5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）A.24个B.30个C.40个D.60个解：因组成的三位数为偶数，末尾的数字必须是偶数，又0不能排在首位，故0是其中的“特殊”元素，应优先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分为两类：①当0排在末尾时，有以个;②当0不排在末尾时，三位偶数有A昆出个，据加法原理，其中偶数共有昭心沁=30个,选B.若含有两个或两个以上的特殊位置或特殊元素，则应使用集合的思想来考虑.这里仅举以下几例.（1）无关型（两个特殊位置上分别可取的元素所组成的集合的交是空集）例2：用0,1,2,3,4,5六个数字可组

成多少个被10整除且数字不同的六位数?解：由题意可知，两个特殊位置在首位和末位，特殊元素是“0,首位可取元素的集合A={b2,3,4,5},末位可取元素的集合B={0},AQB=0・女口图1所不.首位上有层种不同排末位上有站种排法，首位上有层种不同排法，其余位置有期种不同排法.所以，组成的符合题意的六位数是八止期=120（个）.说明：这个类型的题目，两个特殊位置上所取的元素是无关的•先分别求出两个特殊位置上的排列数（不需考虑顺序），再求出其余位置上的排列数，最后利用乘法原理，问题即可得到解决.（2）包合型（两个特殊位置上分别可取的元素所组成集合具有包合关系）例3：用0,1,2,3,4,5六个数字可组成多少个被5整除且数字不同的六位奇数?解：由题意可知，首位、末位是两个特殊位置，“0”是特殊元素，首位可取元素的集合A={b2,3,4,5},末位可取元素的集合B=⑸，BeA,用图2表示。末位上只能取5,有卅种取法，首位上虽然有五个元素可取但元素5已经排在末位了，故只有站种不同取法，其余四个位置上有期种不同排法，所以组成的符合题意的六位数有卅站心=96（个）.说明：这个类型的题目，两个特殊位置上所取的元素组成的集合具有包含关系，先求被包合的集合中的元素在特殊位置上的排列数，再求另一个位置上的排列数，次求其它位置上排列数，最后利用乘法原理，问题就可解决.（3）影响型（两个特殊位置上可取的元素既有相同的，又有不同的.这类题型在高考中比较常见.）例4：用1,2,3,4,5这五个数字，可以组成比20000大并且百位数字不是3的没有重复

数字的五位数有多少个?解：由题意可知，首位和百位是两个特殊位置,“3”置,“3”是特殊元素.首位上可取元素的集合A={2,3,4,5},百位上可取元素的集合B={1,2,4,5}.用图3表示.从图中可以看出，影响型可分成无关型和包含型.①首先考虑首位是3的五位数共有：期个;②再考虑首位上不是3的五位数，由于要比20000大，•••首位上应该是2、4、5中的任一个,民种选择；其次3应排在千位、十位与个位三个数、三个位置，有娼种排法，于是首位上不是3的大于20000的五位数共有个期覇扇・位置中的某一个上,以种选择，最后还有三个位置中的某一个上,以种选择，最后还有三个综上①②，知满足题设条件的五位数共有:A：+A”异扌=78个・二、解含有约束条件的排列组合问题 釆用合理分类与准确分步的策略解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，按事件发生的连贯过程分步，做到分类标准明确、分步层次清楚，不重不漏.例5：平面上4条平行直线与另外5条平行直线互相垂直，则它们构成的矩形共有 个.简析：按构成矩形的过程可分为如下两步：第一步.先在4条平行线中任取两条，有⑴种取法；第二步再在5条平行线中任取两条，有够种取法.这样取出的四条直线构成一个矩形，据乘法原理，构成的矩形共有灯•硃=60个.例6：在正方体的8个顶点，12条棱的中点,6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是多少？解：依题意，共线的三点组可分为三类：两8x7端点皆为顶点的共线三点组共有丁=28（个）；6x1两端点皆为面的中心的共线三点组共有〒=3（个）；两端点皆为各棱中点的共线三点组共有12x3丁=18（个）.所以总共有28+3+18=49个.例7：某种产品有4只次品和6只正品（每只产品均可区分）.每次取一只测试，直到4只次品全部测出为止•求第4只次品在第五次被发现的不同情形有多少种？解：先考虑第五次测试的产品有4种情况,在前四次测试中包含其余的3只次品和1只正品，它们排列的方法数是6妒。依据乘法原理得所求的不同情形有4X6期=576种.有些排列组合问题元素多，取出的情况也有多种，对于这类问题常用的处理方法是：可按结果要求，分成不相容的几类情况分别计算，最后计算总和.例&由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复的6位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A、210个B、300个C、464个D、600个分析：按题意个位数字只可能是0,1,2,3,4共5种情况，符合题的分别有A5,A4A3A3,A3A3A3A2A3A3A扭扌彳合并总计，共有邈+扌+A3A3A3-I-A2A3A3+a屛=300（个）.

故选B.说明：此题也可用定序问题缩位法求解，先考虑所有6位数：妒血个，因个位数字须小于个位数字，故所求6位数有（300位数字，故所求6位数有（300（个）・/\722处理此类问题应做到不重不漏.即每两类的交集为空集，所有类的并集为合集.因此要求合理分类.例9：已知集合A和集合B各含12个元素,ADB含有4个元素，试求同时满足下面的两个条件的集合C的个数：（l）C^AUB,且C中含有3个元素;（2）CDA^0（0表示空集）。分析：由题意知，属于集合B而不属于集合A元素个数为12-4=8,因此满足条件（1）、（2）的集合C可分为三类：第一类：含A中一个元素的集（：有4玄个；第二类：含A中二个元素的集C有c謎个；第三类：含A中三个元素的集C有务个。故所求集c的个数是W+少炭+窃1084.有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，分别分配到不同的位置上，对于这类问题的常用解法，是先将元素逐一分组，然后再进行全排列、但在分组时要注意是否为均匀分组.例10：3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护土，不同的分配方法共有（）.A・90种B.180种C・270种D.540种分析：（一）先分组、后分配：第一步：将3名医生分成3组，每组一人只有一种分法.第二步：将6名护士分成3组，每组2人有：（容河）/扇种分法.第三步：将医生3组及护士3组进行搭配，使每组有一名医生、2名护士，有娼种搭配方法.第四步：将所得的3组分配到3所不同的学校有娼种分配法.故共有不同的分配方法：•A3A3540(种).故选(D)・分析：（二）第一步：先将6名护士分配到3所不同学校，每所学校2名，则有玄（种）分法.第二步：再将3名医生分配到3所不同的学校，每所学校1人，有码种分法.故共有勇咖河=540（种）故选（D）.说明：处理此类问题应注意准确分步.三、解排列组台混合问题一一采用先选后排策略对于排列与组合的混合问题，可采取先选出元素，后进行排列的策略.例11：4个不同小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子，则恰有一个空盒的放法有 种.简析：这是一个排列与组合的混合问题.因恰有一个空盒，所以必有一个盒子要放2个球,故可分两步进行：第一步选，从4个球中任选2个球，有⑴种选法。从4个盒子中选出3个，有V种选法；第二步排列，把选出的2个球视为一个元素，与其余的2个球共3个元素对选出的3个盒子作全排列，有娼种排法.所以满足条件的放法共有听阖二144种.对某些排列组合问题，当从正面入手情况复杂，不易解决时，可考虑从反面入手，将其等价转化为一个较简单的问题来处理.即釆用先求总的排列数（或组合数），再减去不符合要求的排列数（或组合数），从而使问题获得解决的方法.其实它就是补集思想.例12：马路上有编号为1、2、3、…、9的9只路灯，为节约用电，现要求把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有 种.简析:关掉一只灯的方法有7种，关第二只、第三只灯时要分类讨论，情况较为复杂，换一个角度，从反面入手考虑.因每一种关灯的方法唯一对应着一种满足题设条件的亮灯与暗灯的排列,于是问题转化为在6只亮灯中插入3只暗灯,且任何两只暗灯不相邻、且暗灯不在两端，即从6只亮灯所形成的5个间隙中选3个插入3只暗灯，其方法有需=10种。故满足条件的关灯的方法共有10种.例13：甲、乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，……直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程，那么所有可能出现的

比赛过程共有多少种？l¥lHi解：设甲队队员为a”a2,-a7,乙队队员为bx,b2,……,b7,下标表示事先安排好的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序，比赛过程可类比为这14个字母互相穿插的一个排列，最后是胜队中获胜队员和可能未参赛的队员.如aiazbibzasbsbAbsadbebiasaea?.所表示为14个位置中取7个位置安排甲队队员，其余位置安排乙队队员，故比赛过程的总数为％=3432.l¥lHi例14：有2个a,3个b,4个c共九个字母排成一排，有多少种排法？分析：若将字母作为元素，1—9号位置作为位子，那么这是一个“不尽相异元素的全排列”问题，若转换角色，将1—9号位置作为元素，字母作为位子，那么问题便转化成一个相异元素不许重复的组合问题.即共有听弭；=1260（种）不同的排法.有些问题反面的情况为数不多，容易讨论，则可用剔除法.对有限制条件的问题，先以总体考虑，再把不符合条件的所有情况剔除.这是解决排列组合应用题时一种常用的解题策略.例15：四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有A.150种B.147种C.14种D.141种分析：在这10个点中，不共面的不易寻找,而共面的容易找.因此，采用剔除法，由10个点中取出4个点的组合数(益减去4个点共面的个数即为所求).4点共面情形可分三类：第一类:四面体每个面中的四个点共面，共有4心=60种；第二类：四面体的每2组对棱的中点构成平行四边形，则这四点共面，共有3种；第三类：四面体的一条棱上三点共线，这三点与对棱中点共面，共有6种.故4点不共面的取法有益-(44+6+3)=141种.例16：从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中取出3个数，使和为不小于10的偶数，不同的取法有多少种.解：从这10个数中取出3个不同的偶数的取法有种；取1个偶数和2个奇数的取法有也种.另外，从这10个数中取出3个数，使其和为小于10的偶数，有9种不同取法.

此，符合题设条件的不同取法有此，符合题设条件的不同取法有-9=51种.五、解相邻问题一一采用“捆绑”策略对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来看作一个元素与其他元素排列，然后再在相邻元素之间排列.事实上，这种方法就是将相邻的某几个元素，优先考虑。让这些特殊元素合成一个元素，与普通元素排列后，再松绑.例17：A,B,C,D,E五人并排站成一排，如A,B必相邻，且B在A右边，那么不同排法A.24种B.60种C.90种D.120种分析：将特殊元素A,B按B在A的右边“捆绑”看成一个大元素，与另外三个元素全排列，由A,B不能交换，故不再“松绑”，选A.例18：5人成一排，要求甲、乙相邻，有几种排法？解：将甲、乙“捆绑”成一个元素，加上其他3元素，共4元素，全排列有心种，甲、乙内部的排列有必种.故共有好处=48种.

也可以这样理解：先让甲、丙、丁、戊，排成一列有却种，再将乙插入甲的左边或右边，有:鸥种,共a赳=48种.例19：计划展出10幅不同的画，其中一幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列,要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有多少种？（）55、B、D55、B、DA社扌A?分析：先把3种品种的画各看成整体，而水彩画不能放在头尾，故只能放在中间，又油画与国画有码种放法，再考虑油画与国画本身又可以全排列，故排列的方法为朋曲，故选氏例20：5名学生和3名老师站成一排照相，3名老师必须站在一起的不同排法共有 种.简析：将3名老师捆绑起来看作一个元素，与5名学生排列，有遊种排法；而3名老师之间33

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A66A4320种.用“捆绑”法解题比较简单，实质是通过“捆绑”减少了元素，它与下面要提到的“插孔”法结合起来，威力便更大了.六、解不相邻问题釆用“插孔”策略六、解不相邻问题釆用“插孔”策略对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排列好，然后再将不相邻的元素在这些排好的元素之间及两端的空隙中插入.例21：7人站成一行，如果甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数是（）A.1440种B.3600种C.4320种D.4800种简析：先让甲、乙之外的5人排成一行，有於种排法，再让甲、乙两人在每两人之间及两端的六个间隙中插入，有必种方法.故共有点•必=3600种排法，选B.例22：要排一个有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈不相邻，问有多少种不同排法？分析：先将6个歌唱节目排成一排有心种排法,6个歌唱节目排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入4个舞蹈节目有期种，故共朋.6!=604800种不同排法.例23：从］,2,3,…，2000这2000个自然数中，取出10个互不相邻的自然数，有多少种方法?解：将问题转化成把10名女学生不相邻地插入站成一列横列的1990名男生之间（包括首尾两侧），有多少种方法?因为任意相邻2名男学生之间最多站1名女学生，队伍中的男学生首尾两侧最多也可各站1名女学生.于是，这就是1991个位置中任选10个位置的组合问题，故共有％】种方法.利用“插孔”法，也可以减少元素，从而简化问题.例24：—排6张椅子上坐3人，每2人之间至少有一张空椅子，求共有多少种不同的坐法?解：将问题转化成把3个人坐5张椅子，然后插一把空椅子问题.3个人若坐5张椅子，每2人之间一张空椅子.坐法是固定的有娟种不同的坐法，然后,将余下的那张椅子插入3个坐位的4个空隙，有4种插法.所以共有4扇=24种不同的坐法.七、解定序问题一一采用除法策略对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总排列数除以这几个元素的全排列数，这其实就是局部有序问题，利用除法来“消序”・例25：由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数小于十位数字的共有（）A.210个B.300个C.464个D.600个简析：若不考虑附加条件，组成的六位数共有A⑷个，而其中个位数字与十位数字的朋种排法中只有一种符合条件，故符合条件的六位数共a宓"孑=300个，故选B・例26：信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是 （用数字作答）.分析：5面旗全排列有德种挂法，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能作一次的挂法，故共有不同的信号种数是血曲©=10（种）.说明：此题也可以用组合来解，只需5个位置中确定3个，即4=10.例27：有4个男生，3个女生，高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？分析:先在7个位置上任取4个位置排男生,有朋种排法,剩余的3个位置排女生，因要求“从矮到高”，只有一种排法，故共有砖=840种.在处理分堆问题时，有时几堆中元素个数相等，这时也要用除法，例2&不同的钢笔12支，分3堆，一堆6支，另外两堆各3支，有多少种分法?解：若3堆有序号，则有邙丄・c訂但考虑有两堆都是3支，无须区别，故共有珍◎/八=9240种.例29：把12支不同的钢笔分给3人，一人得6支，二人各得3,有几种分法？解：先分堆：有5躬种.再将这三堆分配给三人，有空种。共有鹉①•扇/期=3珞签种・本题亦可用“选位，选项法”，即：垮g=3瞬：・八、解分排问题一釆用直排处理的策略把n个元素排成前后若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可釆取统一排成一排的方法来处理.例30：两排座位，第一排3个座位，第二排5个座位，若8位学生坐（每人一个座位）o则不同的坐法种数是（）A、4爲b、c扌c、A8AiD、简析：因8名学生可在前后两排的8个座位中随意入坐，再无其他条件，所以两排座位可看作一排来处理，其不同的坐法种数是嫌，故应选D.九、解“小团体”排列问题一一采用先整体后局部策略对于“小团体”排列问题，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列.例31：三名男歌唱家和两名女歌唱家联合举行一场音乐会，演出的出场顺序要求两名女歌唱家之间恰有一名男歌唱家，其出场方案共有（）A.36种B.18种C.12种D.6种简析：按要求出场顺序必须有一个小团体“女男女”，因此先在三名男歌唱家中选一名（有後种选法）与两名女歌唱家组成一个团体，将这

个小团体视为一个元素，与其余2名男歌唱家排列有鵡种排法。最后小团体内2名女歌唱家排列有躬种排法，所以共有V码躬=36种出场方案，选A。十、简化计算繁琐类问题一一釆用递归策略所谓递归策略，就是先建立所求题目结果的一个递推关系式，再经简化题目条件得出初始进而递推得到所求答案.进而递推得到所求答案.例32：有五位老师在同一年级的6个班级中，分教一个班的数学，在数学会考中，要求每位老师均不在本班监考，共有安排监考的方法总数是多少?解：记n元安排即念、弘、…、為个元素的排列，且满足“弘不在第i位上的方法总数为an.固定n-1个元素不动的排法是1；固定n-2个元素不动的排法是尸叫固定n-3个元素不动的排法是厅叫固定1个元素不动的排法是炭•an_1；an=n!-l-cTs—c尸s 4•為-1(11$3,nWN)容易计算得a2=l,由上式递推可得：a3=2,

3^=99a5=44•因此，共有安排监考的方案总数为44种.十一、解较复杂的排列问题一一采用构造型策略对较复杂的排列问题，可通过构造一个相应的模型来处理.例33：某校准备组建一个18人的足球队,这18人由高一年级10个班的学生组成，每个班简析：构造级至少1人，名额分配方案共有 种.简析：构造个隔板模型.如图，取18枚棋子排成一列，在相邻的每两枚棋子形成的17个间隙中选取9个间隙中选取9个插入隔板，将18枚棋子分隔to成10个区间，第i(lWiWlO)个区间的棋子数对应第i个班级学生的名额，因此名额分配方案的种数与隔板插入数相等。因隔板插入数为耸,to的种数与隔板插入数相等。因隔板插入数为耸,to故名额分配方案有哥=24310种.例34：将组成篮球队的12个名额分给7所学校，每所学校至少1个名额，问名额分配方法有多少种？解：将问题转化成一把排成一行的12个0分成7份的方法数，这样