爆炸力学讲义

如果介质的初始状态已知，即P0、00、u0、e0已知，在质量守恒、动量守恒、能量守恒三个守恒方程中，就只有， D>P1如果介质的初始状态已知，即P0、00、u0、e0已知，在质量守恒、动量守恒、能量守恒三个守恒方程中，就只有， D>P1、科、u「e五个未知数，若再知道介质的状态方程 P=p(P),那么，对任意冲击波，只要知道d、Pi、p,、ui、e中的任一参数，就可以求出另外四个值。最简单的情况就是介质为理想气体，对理想气体有:状态方程：PV=RT内能:e=CTR=Cp-Cv又：Ck=—C有:PVk-i ：(k-i)将e的表达式代入能量守恒方程有:PiP0PiP0i- - 二—(Pi P0)(:i(ki-i):0(k0-i)2-)1对于中等强度的冲击波，近似地认为： ki=k0=k,那么上式变为:PiP0PiP0=一(PiP0)(：i(k-i) ：0(k-i)2ii、),化简得:：0R旦=(k，。?-(k-空 这个方程就是理想气体中冲击波的绝热方程又称为雨贡纽方P0 (ki);0-(k-i);i程。运动方程的特征线、黎曼(Rieman)不变量介质中除了可传播冲击波外，还会大量的传播一些弱扰动波。 所谓弱扰动波，就是当扰动波到达空间内任意点，该点的状态参数 P、P、u及cz只发生无限小的变化，而它们的导数的变化是图34沿七访向运动的弱扰动图34沿七访向运动的弱扰动如图3.4所示，设t=0时刻，在介质中传播一沿x方向的一维平面弱扰动。弱扰动到达前，介质处于静止状态，1&+X方向传播的弱扰动将以声速+C0。沿-X方向传播的弱扰动将以声速-c0。若在扰动到达前,介质质点沿+X方向以速度U0运动，那么，沿+X方向传播的弱扰动的运动速度就为 U0+C0；沿-X方向传播的弱扰动的运动速度就为 U0-C0。因此，我们可知，对静止的和运动的介质分别传播沿+x和-x方向的两种应力波， 其波速分别dx因此，我们可知，对静止的和运动的介质分别传播沿+x和-x方向的两种应力波， 其波速分别dxCz

dt我们将弱扰动沿其传播的曲线称为特征线,dxdt-U0—Cz在x—t平面内，两根特征线分另对应于沿x轴正其中A为所取体积单元x轴方向的面积。单位时间内流出截面2的质量为：Apu+上（/加）市

dx的变化为:图弱扰动条件下微体税单元次的质量流动示意圉A：u-（A：u其中A为所取体积单元x轴方向的面积。单位时间内流出截面2的质量为：Apu+上（/加）市

dx的变化为:图弱扰动条件下微体税单元次的质量流动示意圉A：u-（A：u—（A；u）、x）=—（A；、x）Fx ft: : ：u_——u——：二0.t 二x 二x2、欧拉方程（动量方程）我们将一般动力学的牛顿第二定律应用到流体介质中，就可以得出欧拉方程，即动量方程。如图所示，我们取一个微小的质量微元来考察它任意时刻的运动变化情况。任意时刻介质质量微元截面1上所受的压力为：PA截面2上所受的压力为：（p+「5x）A,即任意时刻外界作用在微tx元上的合力为：上 1国3一6弱扰动条件下微体积单元米的中量作用示意图P-FP- PA-（P+T次）A=--0xA,按照牛顿第二定律，此作用力等于接介质微元质量PAbx与其方向和负方向传播的弱扰动。应用存在的某些关系，我们可以利用它来定出扰动的传播规律而不必去求解运动方程。下面我们来研究一下一维非定常平面运动的流体力学方程。1、连续方程（质量方程）对于一个一维平面运动，我们考察一个微小的体积单元 6x。按质量守恒定律，单位时间内通过截面1流入的介质质量与从截面2流出的介质质量之差，应该等于这两个截面之间的介质质量的改变量。单位时间内流入截面1的质量为：APu,A：?u（A：?u）xx而单位时间内截面 1和截面2之间介质质量所获得的加速度du巴的乘积，即:dtdudt:PA du——、xA=：A、x——:xdt又由于u是x、t的函数，u=u(x,t),故：du=史dtftfudxfu fu■ =—■u—.xdtft；x代入上式有：—所获得的加速度du巴的乘积，即:dtdudt:PA du——、xA=：A、x——:xdt又由于u是x、t的函数，u=u(x,t),故：du=史dtftfudxfu fu■ =—■u—.xdtft；x代入上式有：—+u—+1—=0,即为平面一维流动的欧拉方程。.:t x::x再假定已知介质的状态方程为： P=P(：)cPft我们就可以得到弱扰动条件下应力波的一维运动方程组:「工0二x 二x.:u.:tT+1旦0二x :二xP=P（D）再依据声速的表达式:；:PIp=c2以及两个微分变换： —=c(lnP)、z:二Pc£jP=C2&lnP）将之代入上式有：次lnP)十u式lnP)什:u fuu——+:t Fx.x.:（ln；）；uc——=0

x=0:x将上式中的第一式两边同乘以cz后，与第二式相加减有:.:uf（ln：）—Cz --:t：:u]u[--Cz

二x.:tJu对——x-Cz-Cz山可写为:ftMln：)市. 可与为:3] Cz[Cz加工斗0x 二x二x—[u-Czd（ln。）]-t对Cz5：xx—可写为:x一[u_Czd（ln：）]x—[u-czd（ln：）]:x整理后，得：-[u-Czd（ln：）]+（u-Cz）-t一[u一Czd（ln：）]=0x此式表示在介质中传播的弱扰动波，其扰动区各参数之间的关系。dx dx我们知道当弱扰动在介质中传播时，传播轨迹为两簇特征线:——=u±cz，将——=uccz我们知道当弱扰动在介质中传播时，传播轨迹为两簇特征线:dt dt代入上式我们有：一dx二 一—[u_czd（ln：）]+--[u_czd（ln：）]=0什 dt：：t d沿特征线，该偏微分方程的解为： —[u_czd（ln：）]=0dt亦即：u±Jczd（lnP）=常数如果我们记：〜1 、r=2[u Czd（ln：）]~=-[u-fczd（lnP）]（为什么写成1/2的形式，是为了以后计算上方便）2分别称为第一和第二黎曼不变量。若介质中弱扰动在 --t平面内沿第一簇特征线d-一=u+Cz（+x方向）运动,则第一黎要不变重 r=吊数。反之，右介质中弱扰动在 x—t平面dtdx内沿第一簇特征线一=u-cz（-x方向）运动，则第二黎曼不变量 s=常数。dt每一个黎曼不变量的每一个值，对应着 u-Cz平面内的一条确定的曲线。在u-Cz平面内沿由给定的第一黎曼不变量的值所确定出的曲线的运动与 x-t平面内沿第一簇特征线的运动相对应。反之，在u-Cz平面内沿由给定的第二黎曼不变量的值所确定出的曲线的运动与 x—t平面内沿第二簇特征线的运动相对应。cp对于状态万程为： P=A「卜或P=APk-B的介质（其中：k为等嫡指数k=-p,A、Cv*..一一 .B为与介质性质有关的常数）有:Cz—dPdLA*L2 ..kd ..kdP czd(InP)=一AkiP2—=.Ak*.-2dP=2vAkP/2=-2c^,将之代入黎曼k-1k-1不变量的计算式中，可以得到第一、第二黎曼不变量的简单表达式:~。「3(1n,)]=:含CzCzd(ln:?)]=-2Czk-1由此，我们讨论了弱扰动运动方程的一般解:dx——=u二Cz出u士[czd(lnP)=常数爆轰产物的膨胀炸药爆炸后，爆轰产物处于高温、高压状态，要向外膨胀。炸药爆炸所需要的时间很短，若同时忽略爆轰产物膨胀过程中与周围介质果我们不考虑炸药的爆炸过程， 假设炸药为瞬时爆轰,同时忽略爆轰产物膨胀过程中与周围介质的热交换，即将膨胀过程看作绝热过程，对于状态方程为:k的热交换，即将膨胀过程看作绝热过程，对于状态方程为:kP=APk形式的爆轰产物的绝热膨Vk/Vk/I/VvpPvpP*胀，有:对Pvp-Pk对Pvp-Pk式中，k=3,I?=—为瞬时爆轰完成瞬间,爆轰产物的体积,=Vw，Vw为药包体积，对于球形药包为瞬时爆轰完成瞬间,爆轰产物的平均爆轰压,*i ，…，，…，P=-Pd,Pd为炸药的爆轰压力,PdPvp为瞬时爆轰完成瞬间,爆轰产物的体积,=Vw，Vw为药包体积，对于球形药包为瞬时爆轰完成瞬间,爆轰产物的平均爆轰压,*i ，…，，…，P=-Pd,Pd为炸药的爆轰压力,PdPvp、Vvp分别为爆轰产物膨胀过程中的压力及体积。Pk、Vk分别为等嫡指数k从3转换为4/3时，爆轰产物的压强和体积。在两段绝热边界上有:Pk一向-1''(k-1)Qw」>-1?<P*Vw/对TNT,Pk=2800公斤/厘米2。§3.6爆轰产物膨胀的一般情况，爆炸波的初始参数前面我们根据瞬时爆轰假设， 计算了爆轰产物膨胀时的状态参数。 根据瞬时爆轰给出的周围介质中爆炸参数值，仅对距装药中心较远的一定距离后才有足够的精度，为了计算邻近药包周围介质中的初始冲击波参数，必须考虑实际的爆轰。爆轰波自药包中心朝各个方向传播的实际爆轰可以设想为如下过程：爆轰波在药包边缘撞击在周围介质上，于是冲击波立即在介质中开始传播；与此同时，在交界面处产生一个反射波，反射波通过气态爆轰产物朝药包中心传播，反射波在药包中心汇聚后，又产生一个从药包中心向外传播的新波。接着这个新波撞击到气态产物一一介质的交界面上，于是在介质中又产生一个新波，同时在爆轰产物中也产生一个新的朝药包中心传播的反射波。如此继续下去，在气态爆轰产物中，逐渐减弱的一些反射波来回反射，当它们达到气态产物一一介质的交界面上时，产生一系列朝介质中传播的形的逐渐衰减的波。这些波的脉动过程迅速衰减，各参数趋于一个假定的平均值。波在气态产物中反射时，气态产物的体积逐渐增加，直到达到一个最大值，在膨胀到体积最大的瞬间，气态爆轰产物的压力低于周围介质的压力，这是由于气态产物的惯性造成的。由于介质的超压，气态爆轰产物朝相反的方向运动， 即朝爆炸中心的方向运动,运动一段时间后，气态产物的超压再次形成，并开始新的膨胀，如此反复进行。下面我们来讨论爆轰波撞击界面时，在介质中形成的冲击波的初始参数。爆轰波撞击界面时，如图3.7所示，在介质中传播一个冲击波，在爆轰产物中产生一个反射波，反射波可能是冲击波，也可能是稀疏波。在反射稀疏波时：PD>PxPd是交界面上爆轰波压力；Px交界面上介质的冲击波压力；在反射稀疏波时：PD>PxPd是交界面上爆轰波压力；Px交界面上介质的冲击波压力；在反射冲击波时：Pd<Px.至于反射那种波，主要取决于爆轰产物和介质的密度计可压缩性，还没有具体的解析式可给出精确的预测。但许多情况下预测是十分肯定地，如：Pd»P。 则反射稀疏波；Pd«P0 则反射冲击波；下面我们首先讨论Pd>Px的情况，此时反射的是稀疏波。在两种介质的交界面爆轰产物一侧有:Ux=UdUz式中，Ux、Ud、Uz分别为交PD介质的交界面反射冲击波稀疏波介质的交界面华/冲击波Ik。Pa介质的

交界面冲击波*Pc图3.7冲击波在药包一介质交界面处的作用界面上介质质点速度、爆轰波作用下爆轰产物的质淡速度和稀疏波作用下爆轰产物的质点速度变化量。对于速度Uz我们有:duz二型U对于速度Uz我们有:duz二型Uzpddppx:7cz对于状态方程为:P=Apk或p=apk_B的爆轰产物有:4k1)P 2kdp=2kPD(k-1)PdCzd4k1)P 2kdp=2kPD(k-1)PdCzd+Uz有:将UUzCzD-Cx冲击波过后，介质中有:将P、Cz代入Uz式积分有:(k1)UzPdUz「DCzD考虑至U关系式：czD=—D和czD=D得::d k1质量守恒： 0N=：(N-U)动量守恒：P-P0=;?0NU

消去公式中的N有:Ux=Px-P0式中，P0、p0分别代表冲击波阵面前面介质的压力；Px、Px分别代表冲击波阵面后面介质的压力；如果已知介质的状态方程： P=P(P)的具体表达式，联立这三个方程，就可以求出爆炸作用下，交界面上冲击波的初始参数。现在讨论Pd<Px.的情况，此时爆轰产物中反射的是冲击波，在交界面的爆轰产物一侧有：Ux=Ud-UrUr是在爆轰产物中反射的冲击波引起的质点速度的变化值。同样根据冲击波的质量守恒和动量守恒有：Ur=0毋)二二其中，P；为反射冲击波后面爆轰产物的密度，若假定爆轰产物为理想气体，则有:Px=(k1)