G214二重积分的变量变换课件

寄语假舟楫者，非能水也，而绝江河。假舆马者，非利足也，而致千里；------旬子1寄语假舟楫者，非能水也，而绝江河。假舆马者，非利第21章第一节、二重积分概念

第三节、格林公式-曲线积分与路线的无关性重积分第21章本章内容：第二节、直角坐标系下二重积分的计算第四节、二重积分的变量替换第五节、三重积分第六节、重积分的应用第七节、第八节、第九节---N重积分；反常二重积分；变量替换公式证明-----略去2第21章第一节、二重积分概念第三节、格林公式-曲线积分与第4节二重积分的变量变换一、二重积分的变量变换公式二、利用极坐标计算二重积分第21章本节内容：主要研究问题：二重积分的计算---换元3第4节二重积分的变量变换一、二重积分的变量变换公式二定积分换元法一、换元法—二重积分变量变换公式

满足一阶偏导数连续;雅可比行列式(3)变换则定理21.13变换:是一一对应的,4定积分换元法一、换元法—二重积分变量变换公式满足一阶偏导证:(简化证明)根据定理条件用平行于坐标轴的直线分割区域任取其中一个小矩形,其顶点为通过变换T,在xoy面上得到一个四边形,其对应顶点为则可知变换T可逆.5证:(简化证明)根据定理条件用平行于坐标轴的直线分同理得当h,k充分小时,曲边四边形M1M2M3M4近似于平行四边形,故其面积近似为6同理得当h,k充分小时,曲边四边形M1M2M3M4近因此面积元素的关系为从而得二重积分的换元公式:7因此面积元素的关系为从而得二重积分的换元公式:7例1.

计算其中D是x轴y轴和直线所围成的闭域.（P236例1）解:令则注:可简化被积函数.8例1.计算其中D是x轴y轴和直线所围成的闭域.例2.计算由所围成的闭区域D的面积S.(例2)解:令则注:可简化积分区域.9例2.计算由所围成的闭区域D的面积S.(例2)二、利用极坐标计算二重积分直角坐标转化为极坐标时,10二、利用极坐标计算二重积分直角坐标转化为极坐标时,10设则特别,对11设则特别,对11若f≡1则可求得D的面积思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试答:问的变化范围是什么?(1)(2)12若f≡1则可求得D的面积思考:下列各图中域D分例3.将化成极坐标下的二重积分。13例3.将化成极坐标下的二重积分。13(3).(4).14(3).(4).14例4.计算其中解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.(P241例5.)15例4.计算其中解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数注:利用例4可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式事实上,当D为R2时,利用例4的结果,得①故①式成立.16注:利用例4可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反例5.

求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.(P240例4)解:设由对称性可知17例5.求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.(例6.

试计算椭球体解:由对称性令(广义极坐标变换)则D的原象:的体积V.(P241例6.

)18例6.试计算椭球体解:由对称性令(广义极坐标变换)则D内容小结(1)二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形:

若积分区域为则

若积分区域为则19内容小结(1)二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形:则(2)一般换元公式且则极坐标系情形:若积分区域为在变换下20则(2)一般换元公式且则极坐标系情形:若积分区域为在变(3)计算步骤及注意事项•画出积分域•选择坐标系•确定积分序•写出积分限•计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式(先积一条线,后扫积分域)充分利用对称性应用换元公式21(3)计算步骤及注意事项•画出积分域•选择坐标系•1.交换积分顺序提示:积分域如图思考与练习221.交换积分顺序提示:积分域如图思考与练习22作业P2421(1),(3);2(2),(4);3(1),(3);

4(2);5(1);6(1);

7;

23作业P2421(1),(3);2(2备用题1.计算其中D为由圆及直线解：所围成的平面闭区域.24备用题1.计算其中D为由圆及直线解：所围成的平面2.计算解：先求交点252.计算解：先求交点253.计算解：先画D域（分析D域在第一象限）263.计算解：先画D域（分析D域在第一象限）264.

计算二重积分其中

D为圆域解:利用对称性.274.计算二重积分其中D为圆域解:利用对称性.27解:5.28解:5.28解6.29解6.297.计算积分路径沿着圆周的正向。解：应用格林公式307.计算积分路径沿着圆周的正向。解：应用格林公式30所以由格林公式8.31所以由格林公式8.31对应有附、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下,用同心圆r=常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积在内取点及射线

=常数,分划区域D为32对应有附、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下,用同心圆r即33即33即对应有在内取点严格的推导：34即对应有在内取点严格的推导：34寄语假舟楫者，非能水也，而绝江河。假舆马者，非利足也，而致千里；------旬子35寄语假舟楫者，非能水也，而绝江河。假舆马者，非利第21章第一节、二重积分概念

第三节、格林公式-曲线积分与路线的无关性重积分第21章本章内容：第二节、直角坐标系下二重积分的计算第四节、二重积分的变量替换第五节、三重积分第六节、重积分的应用第七节、第八节、第九节---N重积分；反常二重积分；变量替换公式证明-----略去36第21章第一节、二重积分概念第三节、格林公式-曲线积分与第4节二重积分的变量变换一、二重积分的变量变换公式二、利用极坐标计算二重积分第21章本节内容：主要研究问题：二重积分的计算---换元37第4节二重积分的变量变换一、二重积分的变量变换公式二定积分换元法一、换元法—二重积分变量变换公式

满足一阶偏导数连续;雅可比行列式(3)变换则定理21.13变换:是一一对应的,38定积分换元法一、换元法—二重积分变量变换公式满足一阶偏导证:(简化证明)根据定理条件用平行于坐标轴的直线分割区域任取其中一个小矩形,其顶点为通过变换T,在xoy面上得到一个四边形,其对应顶点为则可知变换T可逆.39证:(简化证明)根据定理条件用平行于坐标轴的直线分同理得当h,k充分小时,曲边四边形M1M2M3M4近似于平行四边形,故其面积近似为40同理得当h,k充分小时,曲边四边形M1M2M3M4近因此面积元素的关系为从而得二重积分的换元公式:41因此面积元素的关系为从而得二重积分的换元公式:7例1.

计算其中D是x轴y轴和直线所围成的闭域.（P236例1）解:令则注:可简化被积函数.42例1.计算其中D是x轴y轴和直线所围成的闭域.例2.计算由所围成的闭区域D的面积S.(例2)解:令则注:可简化积分区域.43例2.计算由所围成的闭区域D的面积S.(例2)二、利用极坐标计算二重积分直角坐标转化为极坐标时,44二、利用极坐标计算二重积分直角坐标转化为极坐标时,10设则特别,对45设则特别,对11若f≡1则可求得D的面积思考:下列各图中域D分别与x,y轴相切于原点,试答:问的变化范围是什么?(1)(2)46若f≡1则可求得D的面积思考:下列各图中域D分例3.将化成极坐标下的二重积分。47例3.将化成极坐标下的二重积分。13(3).(4).48(3).(4).14例4.计算其中解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.(P241例5.)49例4.计算其中解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数注:利用例4可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式事实上,当D为R2时,利用例4的结果,得①故①式成立.50注:利用例4可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反例5.

求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.(P240例4)解:设由对称性可知51例5.求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.(例6.

试计算椭球体解:由对称性令(广义极坐标变换)则D的原象:的体积V.(P241例6.

)52例6.试计算椭球体解:由对称性令(广义极坐标变换)则D内容小结(1)二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形:

若积分区域为则

若积分区域为则53内容小结(1)二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形:则(2)一般换元公式且则极坐标系情形:若积分区域为在变换下54则(2)一般换元公式且则极坐标系情形:若积分区域为在变(3)计算步骤及注意事项•画出积分域•选择坐标系•确定积分序•写出积分限•计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式(先积一条线,后扫积分域)充分利用对称性应用换元公式55(3)计算步骤及注意事项•画出积分域•选择坐标系•1.交换积分顺序提示:积分域如图思考与练习561.交换积分顺序提示:积分域如图思考与练习22作业P2421(1),(3);2(2),(4);3(1),(3);

4(2);5(1);6(1);

7;

57作业P2421(1),(3);2(2备用题1.计算其中D为由圆及直线解：所围成的平面闭区域.58备用题1.计算其中D为由圆及直线解：所围成的平面2.计算解：先求交点592.计算解：先求交点253.计算解：先画D域（分析D域在第一象限）603.计算解：先画D域（分析D域在第一象限）264.

计算二重积分其中

D为圆域解:利用对称性.614.计算二重积分其中D为圆域解:利用对称性.27解:5.62解:5.28解