华东师大版九年级数学上册第21章二次根式教案教学设计（含教学反思）

第21章二次根式21.1二次根式 121.3二次根式的加W 1221.1二次根式教学目标.能用二次根式表示实际问题中的数量及数量关系，体会研究二次根式的必要性；.能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质，会求二次根式中被开方数中字母的取值范围.教学重难点【教学重点】了解二次根式的概念及性质，会求二次根式中被开方数中字母的取值范围.【教学难点】用二次根式表示实际问题中的数量及数量关系.教学过程一、情境导入问题1：你能用带有根号的式子填空吗？(1)面积为3的正方形的边长为,面积为S的正方形的边长为.(2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m)则它的宽为m.一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间X单位:s)与落下的高度尔单位:m)满足关系力=5也如果用含有力的式子表示则力=.问题2：上面得到的式子y[s,，而，耒分别表示什么意义？它们有什么共同特征？二、合作探究探究点一：二次根式的定义例1：下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？⑴y/Tl；(2)-\]—5；(3)-\J(—7)2；y[13； I；⑹寸3—x(xW3)；

(7)、一x(x20)；(8)、(a7)＞；(9)、一、-5；(10)N(a—b)“a"，。).解析：要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2,二是看被开方数是不是非负数.解：因为平，7解：因为平，7(一7)3013—,y](a—1)2,yj(a—b)(a620)中的根指数都是2,且被开方数为非负数，所以都是二次根式.泅的根指数不是2,卢,产Xx20),［一“2—5的被开方数小于0,所以不是二次根式.方法总结：判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“1”；(2)被开方数是非负数.探究点二：二次根式有意义的条件［类型—］根据二次根式有意义求字母的取值范围例2：求使下列式子有意义的x的取值范围.解析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0且分母不等于0,列不等式(组)求解.4 4 1解：(1)由题意得4—3x＞0,解得*＜鼻.当xV三时，c有意义;J J 中一3”(2)由题意得＜3—(2)由题意得＜3—x?0,x—2W0,解得后3且xW2.当后3且#2时,(x+520, 、/x+5(3)由题意得＜ 解得X2—5且正0.当5且挣0时，' 有意义.x方法总结：含二次根式的式子有意义的条件：(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；(2)如果所给式子中含有分母，则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零.［类型二］利用二次根式的非负性求解例3：(1)已知a、6满足(2a+8+|b—小|=0,解关于x的方程(a+2)x+62=a—1；

（2）已知x、y都是实数，且尸3+^3-x+4,求_/的平方根.解析：（1）根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求解即可；（2）根据二次根式的非负性即可求得x的值，进而求得y的值，进而可求出产的平方根.解:（1）根据题意得＜'2a+8解:（1）根据题意得＜'2a+8=0,力一十=0,解得a=-4,则(a+2)x+〃=a—1,即一2x+3=-5,解得x=4；fx—320, ,—（2）根据题意得 、解得尸3.则尸4,故j/=43=64,±洞=±8,的[3—平方根为±8.方法总结：二次根式和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为0,这几个非负数都为0.探究点三：和二次根式有关的规律探究性问题例4：先观察下列等式，再回答下列问题.（1）请你根据上面三个等式提供的信息，写出、的结果；（2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式5为正整数）.解:⑵解析：（1）从三个等式中可以发现，等号右边第一个加数都是1,第二个加数是个分数，设分母为〃，第三个分数的分母就是〃+1,结果是一个带分数，整数部分是1,分数部分的分子也是1,分母是前项分数的分母的积；（2）根据（1）找的规律写出表示这个规律的式子.解:⑵（〃为正整数）./,1,1,11]z?2 (〃+1)21nn+1”(〃+1)方法总结：解答规律探究性问题，都要通过仔细观察找出字母和数之间的关系，通过阅读找出题目隐含条件并用关系式表示出来.（〃为正整数）.三、板书设计.二次根式的定义一般地，我们把形如,（a20）的式子叫做二次根式..二次根式有意义的条件被开方数（式）为非负数；、「有意义四、教学反思通过将新知识与旧知识进行联系与对比，随后由学生熟悉的实际问题出发，用已有的知识进行探究，由此引入二次根式.在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要，体会到数学与实际生活间的紧密联系，以此充分激发学生学习的兴趣.21.2二次根式的乘除第1课时教学目标.掌握二次根式乘法法则；（重点）.会进行二次根式的乘法运算.（重点、难点）教学重难点【教学重点】二次根式乘法法则.【教学难点】进行二次根式的乘法运算.教学过程一、情境导入小颖家有一块长方形菜地，长mm,宽那么这个长方形菜地的面积是多少？二、合作探究探究点：二次根式的乘法［类型一］二次根式的乘法法则成立的条件例1：式子山+1•#2—x=d(x+1)~(2—x)成立的条件是( )A.B.x2一1C.-D.~\<x<2fx+120,解析：根据题意得°、八解得—1Wa<2.故选C.方法总结：运用二次根式的乘法法则：另(a20,620),必须注意被开方数均是非负数这一条件.［类型二］二次根式的乘法运算例2：计算：⑴小又乖;(2)1|*洞；(3)6^27X(-3-73)；解析：有理式的乘法运算律及乘法公式对二次根式同样适用，计算时注意最后结果要化为最简形式.解：⑴小义乖=小丸=乖;*"^64=N64=-\^16=4；6a/27X(-3^/3)=-18^/27X3=-18^81=-18X9=-162；方法总结：在运算过程中要注意根号前的因数是带分数时，必须化成假分数，如果被开方数有能开得尽方的因数或因式，可先将二次根式化简后再相乘.三、板书设计四、教学反思在教学安排上，体现由具体到抽象的认识过程.对于二次根式的乘法法则的推导，先利用几个二次根式的具体计算，归纳出二次根式的乘法运算法则.在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，这样安排有助于学生缜密思考和严谨表达，更有助于学生合作精神的培养.第2课时教学目标.掌握积的算术平方根的性质；.会用积的算术平方根的性质对二次根式进行化简.教学重难点【教学重点】积的算术平方根的性质.【教学难点】用积的算术平方根的性质对二次根式进行化简.教学过程一、情境导入计算：⑴小X乖与^4X25；⑵声又小与N16X9.思考：对于4与，痂呢？从计算的结果我们发现啦x/=q沟，这是什么道理呢？二、合作探究探究点一：积的算术平方根的性质例1：化简：⑴N(一36)X16X(—9)；(2)^/362+482；3) +6Ay+94.解析：主要运用公式，另=♦•狼(a20,620)和6=a(a2O)对二次根式进行化简.解：⑴勺(一36)X16X(-9)=^/36X16X9=^/62X42X32=y/^XypXy/^=6X4X3=72；(2)(36?+48?= (12x3)2+(12X4)2=y/122X(32+42)=y/12"X小=12X5=60；(3)yjx+6xy+9xy=yjx(x+3y)2=«(x+3y)」•y[x=\x+3y\y[x.方法总结：利用积的算术平方根的性质可以对二次根式进行化简.：探究点二：二次根式乘法的综合应用例2：小明的爸爸做了一个长为#588ncm,宽为，山^cm的矩形木相框，还想做一个与它面积相等的圆形木相框，请你帮他计算一下这个圆的半径(结果保留根号).解析：根据矩形的面积公式、圆的面积公式，构造等式进行计算.解：设圆的半径为nm.因为矩形木相框的面积为4588n义小8n=168n(cm2),所以nj^=168n,r=2，I^cm(r=— 舍去).答：这个圆的半径是2[&cm.方法总结：把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行计算，体现了转化思想.三、板书设计.二次根式的乘法法则：y[a,y[b—y[ab(a^O,620).积的算术平方根：■\fab=y[a•y[b(a^Q,620)四、教学反思在教学安排上，体现由具体到抽象的认识过程.对于二次根式的乘法法则的推导，先利用几个二次根式的具体计算，归纳出二次根式的乘法运算法则.在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，这样安排有助于学生缜密思考和严谨表达，更有助于学生合作精神的培养.第3课时教学目标.掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，会运用其进行相关运算;.能综合运用已学性质进行二次根式的化简与运算.教学重难点【教学重点】二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质.【教学难点】运用已学性质进行二次根式的化简与运算.教学过程一、情境导入计算下列各题，观察有什么规律？/、倔 /36⑴弱=——5置——•

二、合作探究探究点一：二次根式的除法［类型一］二次根式的除法运算例1：计算：⑶嚼⑷后1一5通.解析：本题主要运用二次根式的除法法则来进行计算，若被开方数是分数，则被开方数相除时，可先用除以一个数等于乘这个数的倒数的方法进行计算，再进行约分.解:76JO.1解:76JO.19-方法总结：利用二次根式的除法法则进行计算时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分化简.［类型二］二次根式的乘除混合运算例2：计算：解析：先把系数进行乘除运算，再根据二次根式的乘除法则运算.解:(1) = /45x|x1=18^/3；方法总结：二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，在运算时要注意运算符号和运算顺序，若被开方数是带分数，要先将其化为假分数.探究点二：商的算术平方根的性质［类型一］利用商的算术平方根的性质确定字母的取值范围例3：若入乒=后区，则a的取值范围是（）2-ay12-aA.a<2B.aW2C.0WaV2D.a20a20,解析：根据题意得cc解得0/aV2.故选C.、2—a>0,方法总结:运用商的算术平方根的性质:a>0,方法总结:运用商的算术平方根的性质:a>0,620）,必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件.［类型二］利用商的算术平方根的性质化简二次根式例4：化简:b>0,c>0).解析：运用商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根.方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式.探究点三：最简二次根式例5：在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？并说明理由.(l)^/45； (3)；(4)V^~5；(5)^J11.解析：根据满足最简二次根式的两个条件判断即可.解：(1)m=3或，被开方数含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式；(2){|=坐，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式；(3)呼，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式；(4)位=\上=坐被开方数含有小数，因此不是最简二次根式；(5)j|=yi=乎，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式.方法总结：解决此题的关键是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式.探究点四：二次根式除法的综合运用例6：座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其周期计算公式为T=2，也,其中7表示周期(单位：秒)，/表示摆长(单位：米)，g=9.8米/秒:假若一台座钟摆长为0.5米，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声(n^3.14)?解析：由给出的公式代入数据计算即可.要先求出这个钟摆的周期，然后利用时间除周期得到次数.解：•••7=2 翳七1.42,丹=黑心42(次)，，在1分钟内，该座钟大约发出了\1v.o 1 1.42次滴答声.方法总结：解决本题的关键是正确运用公式.用二次根式的除法进行运算，解这类问题时要注意代入数据的单位是否统一.三、板书设计.二次根式的除法运算.商的算术平方根.最简二次根式被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.四、教学反思在教学中应注重积和商的互相转换，让学生通过具体实例再结合积的算术平方根的性质，对比、归纳得到商的算术平方根的性质.在此过程中应给予适当的指导，可提出问题让学生有一定的探索方向.在设计课堂教学内容时，以提问的方式引出本节课要解决的问题，让学生自主探究，在探究过程中观察知识产生发展的全过程，从而让学生的学习情感和学习品质得到升华，学生的创新精神得到发展.21.3二次根式的加减教学目标.会将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根式加减法的运算；.熟练进行二次根式的加减运算，并运用其解决问题；.正确地运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，并把结果化简.教学重难点【教学重点】将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根式加减法的运算.【教学难点】运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，并把结果化简.教学过程一、情境导入小明家的客厅是长7.5m,宽5m的长方形，他要在客厅中截出两个面积分别为8m和18nl2的正方形铺不同颜色的地砖，问能否截出？二、合作探究探究点一：同类二次根式例1：已知最简二次根式，2a+6与a+g3a—4能够合并同类项,求a+6的值.解析：利用最简二次根式的概念求出a,6的值，再代入a+6求解即可.解：,最简二次根式#2a+6与3a—4能够合并同类项,:.a+b=2,2a+b—3a—4,解得a=3,b=—i,，a+6=3+(―1)=2.方法总结：根据同类二次根式的概念求待定字母的值时，应该根据同类二次根式的概念建立方程或方程组求解.探究点二：二次根式的运算［类型一］二次根式的加减运算例2：计算：/一已一(*)?+|2—解析：二次根式的加减运算应先化简，再合并同类二次根式.解：原式=2/一坐_2+2—:=(2—1—方法总结：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并时系数相加减，根式不变.［类型二］二次根式的四则运算⑶斓一(4+2)+小.解析：先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并后进行二次根式的乘法运算，然后进行加法运算.解：⑴原式=1x9X\监X右xJ=：X9X=*；Z \/OXOO »⑵原式=(6月平+4同+2■挈X东+岩+15；(3)原式=/一(/+2)+疝=$一与2=/一1一¥.

方法总结：二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式.［类型三］二次根式的化简求值例4：先化简，再求值：丐‘七!3一冽其中a=2+［ib=2一小.解析：先将原式化为最简形式，再将a与6的值代入计算即可求出.a a+6(a-b)2a—B, (a+6)(a—b)a2a a+6(a-b)2a—B解：原式= + = 3 3 3当a=2+/'6=2—小时’原