四川省成都市中考数学试题（解析版）

2019年成都中考数学试题全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分，考试时间120分钟A卷（共100分）第I卷（选择题，共30分）一.选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）TOC\o"1-5"\h\z.比-3大5的数是（ ）A.-15 B.-8 C.2 D.8【解析】此题考查有理数的加减，-3+5=2,故选C.如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的左视图是（ ）A. B. C.D.A. B. C.D.【解析】此题考查立体几何里三视图的左视图，三视图的左视图，应从左面看，故选B3.2019年4月10日，人类首张黑洞图片问世，该黑洞位于室女座一个巨椭圆星系M87的中心，距离地球5500万光年.将数据5500万用科学计数法表示为（ ）5500x104 B.55xl06 C.5.5xl07 D.5.5xl08【解析】此题考查科学记数法（较大数），将一个较大数写成axlO"的形式，其中14。＜10,及为正整数，故选C.在平面直角坐标系中，将点（-2,3）向右平移4个单位长度后得到的点的坐标为A.（2,3）B.（-6,3）C,（-2,7）D.（-2,-1）【解析】此题考查科学记数法（较大数），一个点向右平移之后的点的坐标，纵坐标不变，横坐标加4,故选A.将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式折叠放在一起，若41=30。，则42的度数为（ ）A.10° B.150 C.20° D.30°【解析】此题考查平行线的性质（两直线平行内错角相等）以及等腰宜角三角形的性质，故选B.下列计算正确的是（ ），5ab-3b=2bB.（-3a2b）2=6aVC.（a-l）2=«2-1D.2a2h^b=2a2【解析】此题考查正式的运算，A选项明显错误，B选项正确结果为C选项a2—2a+l,故选Dx-52.分式方程二+±=1的解为（ ）X—1xA.x=—1 B.x=1C.x=2 D.x=—2【解析】此题考查分式方程的求解.选A.某校开展了主题为“青春•梦想”的艺术作品征集互动，从九年级五个班收集到的作品数量（单位：件）分别为：42,5045,46,50则这组数据的中位数是（ ）A.42件B.45件C.46件D.50件【解析】此题考查数据统计相关概念中中位数的概念，中位数表示将这列数按从小到

大排列后，最中间的一个数或者最中间的两个数的平均值，故选C。.如图，正五边形ABCDE内接于。0,P为曲上的一点（点P不与点D重合），则ZCPD的度数为（ ）A.30° B.360 C.60° D.720【解析】此题考查正五边形及圆的相关概念，做辅助线：连接CO、DO,正五边形内心与相邻两点的夹角为72。，即4coD=72。，同一圆中，同弧或同弦所对应的圆周角为圆心角的一半，故/CPD=72°x1=36°2.如图，二次函数y=。工2+bx+c的图象经过点A（1,0）,B（5,0）,下列说法正确的是（ ）A.c>0 B.62-4ac<0C.a-b+c<0 D.图象的对称轴是直线x=3次函数y= +bx+c次函数y= +bx+c与x轴的交点，由图象可知图象与y轴交点位丁y轴正半轴，故2c>0.B选项中，表示△，函数图象与x轴有两个交点，所以△>()，即。-4ac。C选项中，令x曲.1,可得y=a—b+c,即x=-1时函数的取值。观察图象可知x=-1时y>0,所以a-b+c>0.最后D选项中，根据图象与x轴交点可知，对称轴是(1,0).(5,0)两点的中垂线，X= x=3即为函数对称轴。故选D。2第II卷(非选择题，共70分)二.填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上).若加+1与-2互为相反数，则m的值为.【解析】此题考察的是相反数的代数意义，互为相反数的两个数和为0.所以m+l+(-2)=0,所以m=l..如图，在AABC中，AB=AC,点D,E都在边BC上，ZBAD=ZCAE,若BD=9,则CE的长为.【解析】此题考察的是全等三角形的性质和判定，因为AABC是等腰三角形，所以有AB=AC/BAD=nCAE/ABD=nACE,所以△ABDM△ACE(ASA),所以BD二二次，EC=9..已知一次函数y=(左一3)x+l的图象经过第一、二、四象限，则％的取值范围是【解析】此题考察的是一次函数的图象，当函数斜率大于0式，函数图像过第一、第四象限，当函数中的常数项为正的时候过第四象限，所以k-3<0,所以k<3..如图，DABCD的对角线AC与BD相交于点O,按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AO,AB于点M,N；②以点。为圆心，以AM长为半径作弧，交OC于点M'；③以点A/'为圆心，以MN长为半径作弧，在4cOB内部交前面的弧于点N'；④过点N'作射线QV'交BC于点E,若AB=8,则线段OE的长为.【解析】此题考察的是通过尺规作图构造全等三角形的原理及两直线平行的判定，连接MN和A/N',因为=OM'MN=ON'、MN=MN，所以AAMN=/\OMN'（SSS）,所以，/0"=/加。乂',所以05〃/18,又因为0是力。中点，所以0E是△Z8C的中位线，所以OE=』/18、所以OE=4.2三.解答题.（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）.（本小题满分12分，每题6分）(1)计算：(^-2)°-2cos30°-V16+|l-V3|.解：原式=l-2x———4+(V3—1)=l-V3-4+V3-l=-4[3(x-2)<4x-5D(2)解不等式组：5x-2,1 V1~\ X.I4 2解：v3x-6<4x-5N-1•・,5x-2<4+2x「・x<2.（本小题满分6分）先化简，再求值：fl一一-2x+l,其中》=&+]Ix+3） 2x4-6

解：原式=x+3解：原式=x+3J2(x+3)X+3J(x-1)?x—1将x=J^+l代入原式得之=正V2(本小题满分8分)随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已成为更多人的自主学习选择.某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论.为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.根据图中信息，解答下列问题：(1)求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图；(2)求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；(3)该校共有学生2100人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生人数.解：(解：(1)总人数=18+20%=90(人)，如图在线讨论人数 I?（2）在线讨论所占圆心角=为黑枕£x圆周角=丝x360。=48。倜查总人数 90（3）（3）本校对在线阅读最感兴趣的人=参与调查的在线阅读人数

参与调查的总人数=—x2100=560（人）90.（本小题满分8分）2019年，成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅提升了成都市的国际影响力.如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35。，底部D的俯角为45。，如果A处离地面的高度AB=20米，求起点拱门CD的高度.（结果精确到1米;参考数据:sin35°s0.57,cos35°=0.82,tan35°s0.70）【解析】本题主要考察直角三角形中三角函数的运用，利用方程思想建立等量关系.解：过A作CD垂线，垂足为E,如图所示.CE=AE•tan35°,ED=AE-tan45°.CD=DE-CE.设AE长度为x,得20=.vtan45°-.rtan35°解得：x=6答：起点拱门的高度约为6米..（本小题满分10分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=；x+5和歹=-2x的图象相交于点A,反k比例函数y=—的图象经过点A.x(1)求反比例函数的表达式：I k(2)设一次函数y=—x+5的图象与反比例函数y=—的图象的另一个交点为B,连接2 xOB,求aABO的面积。解：(解：(1)由题意：联立直线方程《10y=-x+52y=-2xx=-2,故A点坐标为(-2,4)y=4将A(-2,4)代入反比例函数表达式y=£有4=幺，.•.％=—8x—2Q故反比例函数的表达式为y=-？xO y yI$(2)联立直线y=-x+5与反比例函数歹=一一,f~2 ，消去y可得x cx2+10x+16=0,解得$=-2,工2=-8，当x=-8时，y=l,故B(-8,l)如图，过A,B两点分别作X轴的垂线，交X轴于M、N两点，由模型可知（本小题满分10分）BC相交于点E求证连接AC如图，AB为（本小题满分10分）BC相交于点E求证连接AC如图，AB为。0的直径本问主要考察利用圆的性质构造角度关系，利用圆心角相等证明弧长相等D为圆上的两点，OCIIBD若CE=1,EB=3,求。O的半径（3）在（2）的条件下，过点C作。。的切线，交BA的延长线于点P,过点P作PQIICB交。0于F,Q两点（点F在线段PQ上），求PQ的长。ZOBC=ZDBC,/.ZAOC=ZCODZCBA=ZCAD.VZBCA=ZACE,:.ACBA(^ACAECE.(C£+£5)=lx(l+3)=4,；.CA=2：AB为。O的直径，，/ACB=90°,在RtZXABC中，由勾股定理得:AB=yjCA2+CB2=y/22+42=275.(3)如图，设AD与CO相交于点N：AB为。0的直径，ZADB=90°,V0C/7BD,/.ZANO=ZADB=90".P4〈PC为OO的切线，/.ZPCO=90°,,AZANO=ZPCO,VPC//AE,:.—=ABi y 、R：.PA=-AB^—,：.PO^PA+AO=-45+45=—3 3 3.△OHP过点。作OH_LPQ于点H,则NOPH=90°=NACB.：PC.△OHP5y[5一△ACB..•.”ABOHPH

一△ACB..•.”ABOHPH

^C~~BC・・Ori= = r=~=一AB2M3PH=BCOP-=——7^-=—.连接OQ,在Rt^OHQ中，由勾股定理得：AB2V5 3HQ=\OQ2-OH）=楝了_@2=孚,：.PQ=PH+HQ=1°¥6B卷（共50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）.估算：V37J«.（结果精确到1）【解析】历7比回大一点，故答案为6.已知是关于x的一元二次方程x?+2x+A-1=0的两个实数根，且X：+x；-xix2=13,则左的值为.【解析】本题考察一元二次方程根与系数的关系之韦达定理的应用•••该方程有两个实数根，•••△=〃-4acN0,即22—4(左一1)20,.•.左4223.一个盒子中装有10个红球和若干个白球，这些求除颜色外都相同，再往该盒子中放入5个相同的白球，摇匀后从中随机摸出一个球，若摸到白球的概率为3,则盒子中原有的7白球的个数为.【解析】本题主要是对古典型的考察x+5 5设原有白球x个，则放入5个白球后变为(x+5)个，由题意可得 =-,解之得x+5+107x=20,故原有白球20个24.如图，在边长为1的菱形ABCD中，ZABC=6O°,将4ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D',分别连接HC,A'D,B'C,则HC+8'C的最小值为.【解析】本题考查“将军饮马”的问题如图，过C点作BD的平行线/，以/为对称轴作B点的对称点与，连接4q交直线/于点G根据平移和对称可知A'c+B'C=ACt+BC,,%48|，G二点共线时AQ+BC,取最小值，即4耳，又AB=8q=l,根据勾股定理得，AB[=6故答案为百.如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点称为“整点已知点A的坐标为（5,0）,点B在x轴的上方，AOAB的面积为"，则aOAB内部（不含边2界）的整点的个数为.【解析】此题考查了三角形最值问题如图，已知OA=3,要使△AOB的面积为一，则△（）AB的高度应为3（如图），当B点在2y=3这条线段上移动时，点B2处是以OA为底的等腰三角形是包含的整点最多，在距离B2的无穷远处始终会有4个整点，故整点个数有4个二、解答题（本大题共3个小题，共30分）.（本小题满分8分）随着5G技术的发展，人们对各类5G产品的使用充满期待.某公司计划在某地区销售第一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化.设该产品在第x（x为正整数）个销售周期每台的销售价格为y元，y与x之间满足如图所示的一次函数关系.（1）求y与x之间的关系式；（2）设该产品在第x个销售周期的销售数量为p（万台），p与x的关系可用p +1来描述。根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元?【解析】（1）y与x之间的关系式为歹=-500x+7500（2）第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是4000元.27（本小题满分10分）3如图1,在AABC中，AB=AC=20,tanB=一，点D为BC边上的动点（点D不与点B,C4重合）.以点D为顶点作NADE=NB,射线DE交AC边于点E,过点A作AF1AD交射线DE于F,连接CF.（1）求证：△ABD-ZiDCE：（2）当DEIIAB时（如图2）,求AE的长；（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DE=CF?若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由。图1 M2【解析】此题考查了三角形全等，相似问题.（1）VAB=AC,.，.ZB=ZACB.VZADE+ZCDE=ZB+ZBAD,ZADE=ZB,.,.ZBAD=ZCDE..\AABD^>ADCE.

(2)过点A作AM_LBC于点M.在RtZ\ABM中，设BM=4k,则AM=BM•tanB=4h—=3左4由勾股定理，得力台2=/加2+8加2,.♦.2()2=(34)2+(4幻2,J.k=4.VAB=AC,AM±BC,二BC=2BM=2•4k=32,；DE〃AB,NBAD=NADE.又：NADE=NB,4BdbCBABDB=AB2202CB3225TCBABDB=AB2202CB3225T4E,VDE//AB,；.——ACACBD

BCcc2520x—23212516<3)点。在8c边上运动的江崔中.存在某个位直.使得DF=CF.过点F作尸HJ.5C于点H.过点.4作AM_L3C于点M,AN1尸/7于点N.则ZNHM=ZJA/H=AANH=90°.:.也诙色AAfHN为矩初.NMAN=90°.MH=AN.VAB-AC.AM1BC.：.乙ANF=90°=2.4MD.•：NDAF=90°=ZMAN.：.乙NAF=ZA/JD....2FNS&4DM.TOC\o"1-5"\h\z.ANAF. d_3-―・—■,—tanNADF=tanB=一.ANAD 4:.AN=—.4A/=—x!2=9.4 4CH=CAf-KfH=CM-AN=\6-9=l.当。尸=C尸时.由点。不与点C支合.可知AZ＞尸C为¥腰三所附.义FH1DC.CD=2CH=14/.5O=8C-C0=32-14=18.所以.点。在8c边上运动的过假中,住在生个位置.使得。尸=C尸.此时80=18.28.(本小题满分12)如图，抛物线y=ax:+bx+c经过点A(-2,5),与x轴相交于B(-1,0),C(3,0)两点，(1)抛物线的函数表达式；(2)点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将4BCD沿沿直线BD翻折得到4BC'D,若点C'恰好落在抛物线的对称轴上，求点C'和点D的坐标；(3)设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当4CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式。

4n-2/>+c=5a-1解：<I)由黑京肉.<a—6+r=0 .解耳，6=-2.9a+3。+r=0 c=-3故抛物线的图敢表达式为「=./-2x-3：<2)•.抛物线与k轴的交点为8(-1.0).C(3,0).).BH=2.BC=A,).BH=2.设抛物蛾的对称轴与K轴交于点〃,包，点的史除为(1.0由翻折得C'B=CB=4.在Ri&BHC'中,由勾股定理.^C,H=ylC,B'-BH2=74:-2:=243..•.点C'的坐标为（1.26）,tan/UBH=匚j=”■:瓜' ' BH2.•.NC'5，=60。由潮折将/LDBH=-ZC'BH=30°.2在RtABHD中.DH-BH•tau£DBH=2-tau30°-3.•.点。的坐标为1，5一｝«3）取，2）中的点（？'.0,连接CU.,ZC*5C=60°....AC'CB为等边三前帮.分矣讨论如下：①当点尸在x轴上方时.点。在N轴上方.连接8。，CfP.■:好CQ、SCCB为等边三前彩・・.C0=CP,BC=C,C,ZPC^=ZC'Cfi=60°.••.4CQ=/C'CP.•.ABC0丝AC'C?.•.BQ=UP..•点0在抛物线的对称轴上,:.BQ=CQ义•.BC'=BC、・5尸垂直平分CC'.由翻折可知8。垂直平分CC'.••点。在直线8尸上.立线3尸的国数表达式为尸—立K-皂

3 3综上所述直线8综上所述直线8尸的晶盘友达式为初中数学重要公式1、几何计数：⑴当一条直线上有n个点时，在这条直线上存在条线段.⑵平面内有n个点，过两点确定一条直线，在这个平面内最多存在条直线.⑶如果平面内有n条直线，最多存在个交点.⑷如果平面内有n条直线，最多可以将平面分成部分.(5)、有公共端点的"条射线(两条射线的最大夹角小于平角),则存在个角.2,AB//CD,分别探讨下面四个图形中N加e与N必氏NA力的关系。3、全等三角形的判定方法：a.三条边对应相等的两个三角形全等（简记为）.b.两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简记为）.c.两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简记为）.d.两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简记为）.e.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简记为）.4、坐标系中的位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，位似比为A,那么位似图形对应点的坐标的比等于.5、”边形的内角和等于;多边形的外角和都等于.6、在四边形的四个内角中，最多能有—3一个钝角，最多能有—3一个锐角.如果一个多边形的边数增加1,那么这个多边形的内角和增加180—度.4."边形有条对角线.5,用、完全相同的一种或几种进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠的铺成一片，就是平面图形的.［注意］要实现平面图形的镶嵌，必须保证每个拼接点处的角恰好能拼成°.［总结］平面图形的镶嵌的常见形式⑴用同一种正多边形可以镶嵌的只有三种情况：个正三角形或个正四边形或个正六边形.（2）用两种正多边形镶嵌①用正三角形和正四边形镶嵌：个正三角形和个正四边形；②用正三角形和正六边形镶嵌：用个正三角形和个正六边形或者用个正三角形和个正六边形；

③用正四边形和正八边形镶嵌：用个正四边形和个正八边形可以镶嵌.(3)用三种不同的正多边形镶嵌用正三角形、正四边形和正六边形进行镶嵌，设用m块正三角形、“块正方形、k块正六边形，则有60m+90n+120/c=360»整理得>因为m、n>k为整数，所以,n=,k=,即用块正方形，块正三角形和块正六边形可以镶嵌.6、梯形常用辅助线做法：7、如图：RtZSABC中,ZAC6=90°,CDLAB7、如图：RtZSABC中,ZAC6=90°,CDLAB于D,则有:(1)、ZACD=ZBNDCB=NA(2)由 sRtA4CD^i'jAC2=AD-AB由RtZ^ABCsRt^CBD得到BC?=BD-AB由Rt/XACDsRtACBD得到CA=AD•BD⑶、由等积法得到⑶、由等积法得到ABxCD=ACxBC9、在解直角三角形时常用词语：.仰角和俯角在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做,视线在水平线下方的叫做..坡度和坡角通常把坡面的铅直高度h和水平宽度I之比叫,用字母i表示，即1=,把坡面与水平面的夹角叫做,记作a,于是i==tana,显然，坡度越大，a角越大，坡面就越陡.10.正多边形的有关计算工180°10.正多边形的有关计算工180°边长：an=2Rn,sin n、工l 180°边心距：rn=Rn•cos n口〃一2口X180°内角： 周长：Pn=n«an面积：Sn=-an•rn'n乙,,J360° -〜外角： 中心角:360°11、特殊锐角三角函数值Sina2V22V3TCosa旦2V22j_2tana石~T1百Cota1V3V12、某些数列前n项之和l+2+3+4+5+6+7+8+9+...+n=n(n+l)/2l+3+5+7+9+ll+13+15+...+(2n-l)=n22+4+6+8+10+12+14+...+(2n)=n(n+l)13、平行线段成比例定理(1)平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。如图：a〃b〃c,直线人与与分别与直线a、b、c相交与点4、8、C和0、E、F,e-ABDEABDEBCEF则为 = , = , = BCEFACDFACDF(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。如图：△A8C中，DE//BC,DE与AB、AC相交与点D、E,则有ZQ_AEADAEDEDBEC14、极差、方差与标准差计算公式：①极差：用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，即：极差=最大值-最小值；②方差：数据再、x2 ,X”的方差为$2,③标准差：数据再、x2 ,X“的标准差S,则s=J—[x]—x)+(x2—x)+ +(x“—X一组数据的方差越大，这组数据的波动越大。15、求抛物线的顶点、对称轴的方法

①公式法：y=ax2+bx+c= +(4ac—b”・th卜日+ ,♦4ac—b”・th卜日+ ,♦•顶点是4a一, ),对称轴是直线x= 2a4a 2a②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=q(x-〃了+左的形式，得到顶点为(〃，左)，对称轴是直线x=〃。③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。若已知抛物线上两点(占))、(工2))(及y值相同)，则对称轴方程可以表示为：、=正寇216、直线与抛物线的交点①y轴与抛物线y=ax2+bx+c得交点为(0,c)。②抛物线与x轴的交点。二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标X］、x2,是对应一元二次方程ax?+bx+c=0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：a有两个交点<=>(△>0)<=>抛物线与x轴相交；b有一个交点(顶点在x轴上)<=>(△=0)<=>抛物线与x轴相切；c没有交点<=>(△<0)<=>抛物线与x轴相离。③平行于X轴的直线与抛物线的交点同②一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为左，则横坐标是a?+瓜+。=后的两个实数根。④一次函数y=kx+n{kH0)的图像/与二次函数y=ax2+bx+c(aH0)的图y=kx+n像G的交声，由方程组' ,的解的数目来确定：J y-ax+bx+ca方程组有两组不同的解时o/与G有两个交点；b方程组只有一组解时o/与G只有一个交点;c方程组无解时u>/与G没有交点。⑤抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y= +bx+c与x轴两交点为/（孙0）5（x2,0）,则力吕二上一切图形的定义、性质、判定一、角平分线性质：角的平分线上的点到角两边的相等.判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在上.二、线段垂直平分线.性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离..判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的上.［点拨］线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点距离相等的所有点的集合.三、等腰三角形定义、性质：.定义：有两相等的三角形是等腰三角形..性质：⑴等腰三角形两个腰.(2)等腰三角形的两个底角(简写成等边对等角).⑶等腰三角形的顶角，底边上的,底边上的 互相重合.⑷等腰三角形是轴对称图形，有条对称轴.［注意］(1)等腰三角形两腰上的高相等.(2)等腰三角形两腰上的中线相等.⑶等腰三角形两底角的平分线相等.⑷等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半.⑸等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行.⑹等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.⑺等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高.判定：.定义法..如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写为“等角对等边”).［注意］(1)一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形.(2)一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.(3)一边上的中线与三角形中这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.四、等边三角形.等边三角形的性质⑴等边三角形的三条边都相等.(2)等边三角形的三个内角都相等并且每一个角都等于60°.(3)等边三角形是轴对称图形，并且有条对称轴.［注意］等边三角形具有等腰三角形的所有性质..等边三角形的判定⑴三条边相等的三角形叫做等边三角形.(2)三个角相等的三角形是等边三角形.(3)有一个角等于60°的三角形是等边三角形五、直角三角形.定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形..直角三角形的性质⑴直角三角形的两个锐角.⑵直角三角形的斜边上的中线等于斜边的.⑶在直角三角形中，30°的角所对的边等于斜边的.(4)在直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30度。(5)、勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为。、b,斜边长为c,那么出+扭.直角三角形的判定(1)、判定：如果一个三角形中有两个角互余，那么这个三角形是三角形.(2)、如果三角形的三边长分别为。、b、C,满足。2+按=°2,那么这个三角形是三角形.(3)、如果一个三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。(4)、直径所对的圆周角是90度。(5)、如果一个三角形的外心在三角形的一条边上，那么这个三角形是直角三角形.缶)、圆的切线垂直于过切点的半径。六、相似三角形.相似三角形的对应角,对应边的比.相似多边形对应角相等，对应边的比.相似多边形周长的比等于.相似多边形面积的比等于的平方..相似三角形的周长比等于..相似三角形的面积比等于相似比的.［注意］相似三角形的对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比.判定定理：.如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似..如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似..如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.［注意］直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形都相似.七、位似图形.定义：两个多边形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做.［注意］位似图形是相似图形的一个特例，位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形..位似图形的性质⑴位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于.(2)对应线段互相..坐标系中的位似变换：在平面宜角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，位似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于.八、平行四边形.定义：两组对边分别的四边形是平行四边形；.平行四边形的性质⑴平行四边形的两组对边分别;(2)平行四边形的两组对边分别;⑶平行四边形