十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题汇编（全国文科数学）专题14平面解析几何解答题（解析版）

大数据之十年高考真题(2013-2022)与优质模拟题(新课标文科卷)

专题14平面解析几何解答题.・••◎真题汇总••・.1.【2022年全国甲卷文科21】设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为尸，点。(p,0),过尸的直线交C于N两点.当直线垂直于x轴时，|MF|=3.(1)求C的方程；(2)设直线MD,N。与C的另一个交点分别为4B,记直线MN,AB的倾斜角分别为a,d当a—0取得最大值时，求直线的方程.【答案】(l)y2=4x；(2)AB:x=y/2y+4.【解析】(1)抛物线的准线为》=一5当MD与x轴垂直时，点M的横坐标为p,此时|MF|=p+/3,所以p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x；⑵设M(m，yi),N(g,y2),A(J，y3)，B(q,y4)，直线MN:x=my+1,.x=my+1—一o由｛ 2可得y?一4巾丫-4=o，A>0fyiy2=~4,y—TOC\o"1-5"\h\zf_y\-yi_ 4t_尸3-，4_ 4由斜率公式可得kMN=豆宣=五荻，kAB= ,~4~~4- 44直线M。:x==♦y+2,代入抛物线方程可得y2一也上口.y-8=0,y\ yi4>。,力为=一8，所以为=2%，同理可得、4=2yi，所以Ma=」一=---=—尸"以ABy3+y4 2(yi+y2) 2乂因为直线MV、48的倾斜角分别为q,/L所以的s=tanH=^=等，若要使a-0最大，则06(05)，( 八_tana-tan^_k_1 1_V2设Mn=2kab=2fc>0>则an(ap)—1+tanartan^—i+2k2~~1+2^—9li7.—4»

当且仅当"2御人=苧时，等号成立，所以当a-£最大时，kAB=y.设直线AB:x=«y+n，代入抛物线方程可得y2-4夜y-4n=0，A>°，y3y4=_4n=4yly2=-16,所以n=4,所以直线48:冗=加+4..[2022年全国乙卷文科21]已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过4(0,-2),B-1)两点.(1)求E的方程：(2)设过点P(l,-2)的直线交E于M,N两点，过M且平行于x轴的直线与线段48交于点7,点"满足雨=777.证明：直线印V过定点.【答案】(1咛+9=1(2)(0,—2)【解析】⑴解：设椭圆E的方程为m/+中=1,过％((),一2),BgT)，f4n1可〜+…，解得m=?n=；,14所以椭圆E的方程为：3+^=1.(2)4(0,-2),86，-1),所以AB:y+2=gx,①若过点P(l,—2)的直线斜率不存在，直线x=1.代入J+3=1，可得M(l,竺)，N(l,—竺)，代入48方程y=；x-2,可得T(V6+3,9)，由“了=777得到”(2n+5,竽).求得HN方程：丫=(2-乎)*-2,过点(0,-2).②若过点P(l,-2)的直线斜率存在，设kx-y-(k+2)=0,叭””1),「(小而・依-y—(k+2)=0联立•/y2. ，得(31+4)x2-6k(2+k)x+3k(k+4)=0联立•—+-=]3 4_6k(2+k)_3k(4+k)-8(2+k)_6k(2+k)_3k(4+k)-8(2+k)3k2+4X\X2=4(4+4k-2k2)，3k2+43k2+4且与及+卬1=^4(*)(y=力联立］y=2工_2，可得丁(军+3，丫1)，，(3月+6-%i，yi).可求得此时“N:y-y2= (x一x2),将(0,-2),代入整理得2(占+小)-6(y1+y2)+*1%+x2yi-3yly2-12=0,将(*)代入，得24k+12k2+96+48k-24fc-48-48k+24k2-36k2-48=0,显然成立，综上，可得直线过定点(0,-2)..【2021年全国甲卷文科21】抛物线C的顶点为坐标原点O.焦点在x轴上，直线/：乂=1交(?于尸，Q两点，且。P1OQ.已知点M(2,0),且。M与/相切.(1)求C,0M的方程；(2)设41，①，43是C上的三个点，直线4色，公公均与。M相切.判断直线与QM的位置关系，并说明理由.【答案】(1)抛物线=”,。河方程为(*-2)2+/=1；(2)相切，理由见解析(I)依题意设抛物线C：y2=2px(p>O),P(Lyo)，Q(l，-yo)，vOPLOQ,..OPOQ=l-y^=l-2p=0,：.2p=1.所以抛物线C的方程为V=x,M(O,2),0M与无=1相切，所以半径为1,所以。M的方程为(x-2产+y=1；(2) A2(x2,yz),A3(x3,y3)若41出斜率不存在，则方程为x=1或x=3,若4142方程为x=l，根据对称性不妨设4式1,1),则过久与圆M相切的另一条直线方程为y=1,此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在%，不合题意；若4遇2方程为工=3,根据对称性不妨设必(3,6),冬(3,-西)，则过久与圆M相切的直线4送3为y-V3=y(x-3).乂〃4送3=?7=y\ =苧，‘ =°,1°Xj-X3yi+y3Vo+y3Jx3=0,43(0,0),此时直线4/3,/A关于X轴对称，所以直线4243与圆M相切；若直线4遇2,4143，冬43斜率均存在，财iz=念，必备=高，=隽;，所以直线4i4z方程为y-yi=公;(*一X1)，整理得X—仇+y2)y+yiy2=0,同理直线4遇3的方程为x-Cxi+y3)y+yij3=。，宜线A?4?的方程为x-(及+y3)y+y2y3=。’「4曲与圆M相切，二^^=1整理得(y：-l)yi+2ylyz+3-4=0,41小与圆M相切，同理(y?-l)y|+2yly3+3-*=0所以了2,丫3为方程(yf—1)y+2yly+3-y\—0的两根，一2yl. 3-yl及+力=-；jrpy2y3=在，M到直线443的距离为：|2+3-才||2+y2y3l_yi-i，1+(%+力)2IZy.-卜(一自_,M+" _yi±l=iJ(yi-Dz+4yiy*+1 '所以直线/人与圆M相切；综上若直线4送2,443与圆M相切，则直线/公与圆M相切.4.【2021年全国乙卷文科20】已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点/到准线的距离为2.(1)求C的方程；(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点。满足配=9而，求直线0Q斜率的最大值.【答案】(I)y2=4x；(2)最大值为*(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点尸《,0),准线方程为*=一看由题意，该抛物线焦点到准线的距离为:一(一晟)=P=2,所以该抛物线的方程为y2=4x；<2)设Q5o，yo)，则所=9而=(9-9*o，-9yo)，所以P(lO%o-9,10%)，

由P在抛物线上可得(10必)2=4(10x()-9),即X。=竺争，h_加_yo_ioy。所以宜线。Q的斜率“OQ一刀0-25孟9—25yj+9»~10~当尢—。时，k()Q=0；当儿看0时，化。<?=诉1:，当，0>。时，因为25yo+^>2J25yo•看=30,此时0<"4,当且仅当25yo=*即yo=g时，等号成立：当y0<。时，k°Q<0；综上，直线OQ的斜率的最大值为:.【2020年全国1卷文科21】已知A8分别为椭圆氏^J+y2=1(a>l)的左、右顶点，G为E的上顶点，AGGB=S,P为直线x=6上的动点，处与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.(1)求£(1)求£的方程；(2)证明：直线CO过定点.【答案】(1)9+产=1：(2)证明详见解析.【解析】(1)依据题意作出如下图象：x=6由椭圆方程E:/+y2=1(。>1)可得：A(-af0),F(a,0),aAG=(a,1),GB=(a,—1)・•・AG•GB=a2—i=8,a2=9椭圆方程为：9+必=1(2)证明：设P(6,y()),G(0,1)则直线4P的方程为：旷=浮与(无+3),即：y=^(x+3)联立宜线4P的方程与椭圆方程可得：联立宜线4P的方程与椭圆方程可得：X27I+y=1y若(x+3),整理得:(y02+9)x2+6y02x4-9y02-81=0,解得：x=—3或x=一分。,将x=一誉z管7代入直线y=4(x+3)可得:、=渭\所以点C的坐标为(芝需，卅)•同理可得：点。的坐标为(普与，消g6yq(-210I直线CD的方程为：y一U4)=；。？「中甲3卜-独善)，WoW_3y0+273yo：-3\y0"+1/VO%y02+1整理可得：y+ =时%z：；)(x-3九2:3)=8yo(X_迫4yo।2yo3(3-九2)兀十京工yo2+1 6(9-yo4)\yo?+14yo।2yo3(3-九2)兀十京工整理得：y=故直线CD过定点住,0).【2020年全国2卷文科19】已知椭圆G：5+2=l(a>b>0)的右焦点尸与抛物线。2的焦点重合，G的中心与C2的顶点重合.过尸且与x轴重直的直线交G于48两点，交C2于C,D两点,且|8|争5|.(1)求G的离心率：(2)若G的四个顶点到C2的准线距离之和为12,求Ci与C2的标准方程.【答案】⑴[⑵G：、+4=1,%y2=8x.L lo1Z【解析】(1)因为椭圆G的右焦点坐标为：F(c,0),所以抛物线Cz的方程为y=4c%,其中c=，。2一炉.不妨设4,C在第一象限，因为椭圆G的方程为：捻+芸=1，所以当X=C时，有W+《=lny=±Q,因此4,B的纵坐标分别为贮，a*, 0*~ a aa乂因为抛物线C2的方程为必=4c%,所以当x=c时，有/=牝•c=y=±2c,所以C,O的纵坐标分别为2c,-2c,故|48|=等，\CD\=4c.由|CD|=得4c=孚，即3、=2-2(£)2,解得£=-2(舍去)，-=|.3 3a a a a a2所以G的离心率为:(2)由(1)知a=2c,b=V3c,故口:若+9=1,所以g的四个顶点坐标分别为44BC,(-2c,0),(0,V3c),(0,-V3c),C2的准线为*=-仁由已知得3c+c+c+c=12,即c=2.所以G的标准方程为1+《=1,C2的标准方程为y2=8xlo1Z.【2020年全国3卷文科21】已知椭圆。卷+5=1(0<»1<5)的离心率为苧A,B分别为C的左、右顶点.(1)求C的方程；(2)若点P在C上，点Q在直线x=6上，且|BP|=|BQ|,BP1BQ,求AAPQ的面积.【答案】⑴察=1;(2)1【解析】⑴:嘘+/=l(0<m<5)a=5fb=m,根据离心率e=?=J1-G)2=J1-得了=*解得m=;或m=-*舍)，•.C的方程为：1+与=1,25G)即±+空=1；25 25(2)不妨设P,Q在x轴上方•••点P在CE点Q在直线x=6匕且|BP|=|BQ|,BP1BQ,过点「作才轴垂线，交点为M,设x=6与无轴交点为N根据题意画出图形，如图V\BP\=\BQ\,BP1BQ,/.PMB=zlQNB=90°,又•••LPBM+乙QBN=90°,乙BQN+乙QBN=90°,ZPBM=乙BQN,根据三角形全等条件“A4S”，可得：&PMB"BNQ,4+黑八••8(5,0),\PM\=\BN\=6-5=1,设P点为(Xp,yp),可得P点纵坐标为%=1,将其代入(+蜜=1，可得：*+£=1，解得：尤「=3或Xp=-3.♦•P点为(3,1)或(-3,1),①当P点为(3,1)时，故|MB|=5-3=2,••△PMBSABNQ,\MB\=\NQ\=2,可得：(2点为(6,2),画出图象，如图•••4(-5,0)9(6,2),可求得直线4Q的直线方程为：2x-lly+10=0,根据点到直线距离公式可得P到直线•••4(-5,0)9(6,2),可求得直线4Q的直线方程为：2x-lly+10=0,根据点到直线距离公式可得P到直线4Q的距离为：d=12x3-11x1+101 |5|V5>/22+112根据两点间距离公式可得：|4Q|=J(6+5产+(2—0)2=5V5,・•.△4PQ面积为：1x5V5X 1②当P点为(-3,1)时,PM8=4BNQ,•••\MB\=\NQ\=8,可得：(?点为(6,8),画出图象，如图•••4(-5,0),Q(6,8),可求得宜线4Q的直线方程为：8x-lly+40=0,根据点到直线距离公式可得P到直线4Q的距离为：d= /询=提=高,根据两点间距离公式可得：|4Q|=J(6+5产+(8—0)2=V185,4PQ面积为：gxV185x^===综上所述，面积为：1.【2019年新课标3文科21]已知曲线C：y=9,。为直线丁=一：上的动点，过。作C的两条切线，切点分别为4,B.(1)证明：直线Z8过定点.(2)若以E(0,1)为圆心的圆与直线18相切，且切点为线段48的中点，求该圆的方程.【答案】(1)证明：设。(t,-1),A(xi，yO,则必2=2丫1，由于＜=x,.•.切线的斜率为X”故誓=勺，整理得：2tx\-2j^i+l=0.设6(刈，”),同理可得2a2-2及理=0.故直线AB的方程为2次-2yH=0.，直线过定点(0,1)：(2)解：由⑴得直线46的方程产田+去y=tx+-由，2 2»可得/-2a-1=0.U=T于是必+x2=2t,yi+y2=£(%i+与)+1=2/+1.设M为线段48的中点，则A/(I,t2+1),T T T T由于EM148,而EM=(t,t2-2),AB与向量(1,f)平行，'.t+(t2-2)t=0,解得，=0或，=±1.当，=0时，|局|=2,所求圆的方程为*2+3-])2=4；当，=±1时，\EM\=y/2,所求圆的方程为x2+(y-1)2=2..【2019年新课标2文科20］已知Q,尸2是椭圆C：5+5=1 的两个焦点，尸为C上的点,O为坐标原点.(1)若△POB为等边三角形，求C的离心率：(2)如果存在点P,使得尸且△尸的面积等于16,求b的值和a的取值范围.【答案】解：(1)连接尸由△POF2为等边三角形可知在△QP尸2中，ZFiPF2=90",\PF2\=c,|PFi|=V3c,于是2a=|PB|+|PB|=(V3+1)c,故曲线C的离心率e=-=V3—1.a(2)由题意可知，满足条件的点P(x,y)存在当且仅当：扣|・2c=16,即力|=16,①x2+y2=c2,②1+%=1，③由②③及/=〃+/得又由①知产=$,故6=4,由②③得(<?2-b2),所以/2扭，从而"2=62+。22262=32,故a/4&'，当6=4,“24夜时，存在满足条件的点P.所以b=4,。的取值范围为［4企，+8)..【2019年新课标1文科211已知点4,8关于坐标原点O对称，0阴=4,过点4,8且与直线x+2=0相切.(1)若/在直线x+y=0上，求。M的半径；(2)是否存在定点P,使得当4运动时，尸|为定值？并说明理由.【答案】解：:。“故点/,8且彳在直线x+y=0上，.•.点M在线段18的中垂线x-y=O上，设0A1的方程为：(x-。)2+(_v~a)2=R2(/?>0).则圆心M(a,a)到直线x+y=O的距离d=粤，V2又|48|=4,・••在RtZXOA/8中，/+(3/8|)2=r2,即(詈)2+4=R2①又0M与x=-2相切，...|。+2尸R②由①②解得｛O啜：先...0M的半径为2或6；(2)•.•线段为的一条弦，.•.圆心M在线段Z8的中垂线上，设点M的坐标为G,y),则10M川。川2=网川2,,.•0M与直线x+2=0相切，：.\MA\=\x^2\,：.|x+2|2=|0必2+|042=x2+y+4,炉=4x,的轨迹是以F(1,0)为焦点x=-1为准线的抛物线，：.\MA\-\MP\=\x+2\-\MP\=|x+l|-\MP\+\^\MF\-|A/P|+1,...当|M4|-|MP|为定值时，则点P与点尸重合，即尸的坐标为(1,0),二存在定点尸(1,0)使得当4运动时，为定值.11.【2018年新课标1文科20】设抛物线C：y2=2x,点A(2,0),5(-2,0),过点/的直线/与C交于A/,N两点.(1)当/与x轴垂直时，求直线8M的方程：(2)证明：N4BM=NABN.【答案】解：(1)当/与x轴垂直时，x=2,代入抛物线解得'=±2,所以M(2.2)或M(2,-2),直线8A/的方程：y=1.r+1,或：y=—3-l.(2)证明：设直线/的方程为/：x=ty+2,M(xi,yi),N(如又)，联立直线I与抛物线方程得[V=]] 消x得f-2沙-4=0,(x=ty+2即yi+»2=2z，yiy2=~4,则有kBN+kBM=yi则有kBN+kBM=yi।yiXj+2X2+2(孥xy[+，xy2)+2(yi+y2)_(y1+^2)(^^+2)(M+2)(m+2) -(勺+2)(h+2)=0,所以直线8N与的倾斜角互补,二N4BM=NABN.12.【2018年新课标2文科20】设抛物线C：V=4x的焦点为R过尸且斜率为a（%>0）的直线/与C交于N,8两点，|48|=8.（1）求/的方程；（2）求过点/,8且与C的准线相切的圆的方程.【答案】解：（1）方法一：抛物线C：炉=4x的焦点为F（1,0）,设直线Z8的方程为：y=k（x-1）,设力（xi，»），B（x2,二），则。2整理得：Be2-2（^+2）x+k2=0,则Xi+X2= X]X2=1,由|48|=》|+刈+0=如普+2=8,解得：k2=\,则％=1,直线/的方程y=x-1；方法二：抛物线C：产=4x的焦点为尸（1,0）,设直线43的倾斜角为0,由抛物线的弦长公式附=扁=嘉=8,解得：siMO，，.,.0=p则直线的斜率％=1，4直线/的方程y=x-1：（2）由（1）可得Z8的中点坐标为£>（3,2）,则直线48的垂直平分线方程为y-2=-（x-3）,即夕=-x+5.设所求圆的圆心坐标为（Xo»泗）,则>0=一设所求圆的圆心坐标为（Xo»泗）,则(Xo+1)2=(yoz^i)i+16-解得:"°=3成俨0=11解得:yo=2yyo=-6'因此，所求圆的方程为（X-3）2+（y-2）』16或（X-11）2+（JH-6）『144.

13.【2018年新课标3文科20】已知斜率为左的直线/与椭圆C：。+。=1交于4B两点,线段Z8的中4 3点为M(1,m)(m>0).(1)证明：k<-^ —> —♦(2)设尸为。的右焦点，P为C上一点,且FP+凡4+FB=0,证明：2|FP|=|凡4|+|尸8|.【答案】解：(1)设力(xi»y\)»B(%2»1y2)，・•线段48的中点为M(l,帆)，，xi+x2=2,y\+y2=2m将48代入椭圆C：[+4=1中，可得4 3(3xj+4yj=12(3x|+4y|=12'两式相减可得，3(X1+X2)(XI-X2)+4(yi+»2)-»2)=0»即6(xi-X2)+8m(yi=0，力一，2_ 6__且•/c— —二—无11428m4m点m)在椭圆内，即(m>0),解得OVmvg(2)证明：设＜(xi,yi),B(X2f及)，P(X3，"),可得X|+X2=2VFP+F714-FB=0,F(1,0),Axi-l+x2-l+x3-1=0,/•X3=I由椭圆的焦半径公式得则四|=a-exi=2一夕i,\FB\=2-1x2,|FP|=2-1x3=1.则|必|+|尸8|=4—“Xi+m)=3,：.\FA\¥\FB\=2\FP\,v214.【2017年新课标1文科20】设48为曲线C：上两点，4与8的横坐标之和为4.(1)求直线48的斜率；(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线平行，且NATLBA/,求直线48的方程.【答案】解：(1)设/(xi，乎)，B(X2,孚)为曲线C：y=手上两点，4 4 4*]2x22则直线48的斜率为％=工^=:(xi+x2)=7X4=1；X\-X2 4 4(2)设直线的方程为＞=*+/,代入曲线C：y=3，可得x2-4x-4r=0,即有xi+x2=4»x\X2=-4r,再由的导数为y'=夕，设苧)，可得M处切线的斜率为刎由C在M处的切线与直线48平行，可得]”=1,解得加=2,即M(2,1),由ZA/_L8A/可得，kAM9koM=-1，町21x221即为七・一=_1,X)—2M-2化为丁凶+2(xi+xz)+20=0,即为-4什8+20=0,解得t=7.则直线48的方程为y=x+7.15.【2017年新课标2文科20】设。为坐标原点，动点M在椭圆C：[+y=1上，过M作x轴的垂线,垂足为M点P满足NP=V^NM.

(1)求点尸的轨迹方程;—>—>(2)设点0在直线x=-3上，且OP・PQ=1.证明：过点尸且垂直于O。的直线/过C的左焦点厂.【答案】解：(1)设Af(xo,次)，由题意可得N(xo,0),设尸(x,y),由点尸满足.=注薪.可得(x-xofy)=V2(0,yo),可得x-xo=O,y—V2vo»即有xo=x,yo=%，代入椭圆方程9+好=1,可得9+9=1,即有点P的轨迹方程为圆产+产=2：(2)证明：设0(-3,w)»P(V2cosa,V2sina),(0^a<2n)>—4TOP9PQ=1»可得(&cosa,V2sina)•(-3—V2cosa,m-V2sina)=1,即为-3v2cosa-2cos2a+v2/wsina-2sin2a=1,当a=0时，上式不成立，则0VaV2ii,解得3(1+V2cosa)zn= f 解得\/2sina即有0即有0(-3,3(1+V2cosa))yfZsina椭圆9+f=l的左焦点尸(-1,0),由PF・OQ=(-1-V2cosa,-V2sina)•(-3» -)y/2sina=3+3&cosa-3(14-V2cosa)=0.可得过点P且垂直于。。的直线/过。的左焦点F.另解：设0(-3,/),P(小〃)，由OP・PQ=1,可得(加，〃)•(-3-w,Ln)=-3"?-m2-^nt-/i2==1,又P在圆x2+y2=2上，可得"?2+〃2=2,即有m=3+3加，又椭圆的左焦点厂(-1,0),PF・0Q=(-1- -〃)•(-3,1)=3+3用-nt=3+36-3-3m=0,则而_L访，可得过点尸且垂直于O0的直线/过C的左焦点F..【2017年新课标3文科20】在直角坐标系xQy中，曲线^=r+小戈-2与x轴交于4、8两点，点C的坐标为(0,1),当机变化时，解答下列问题：(1)能否出现4C_L8c的情况？说明理由；(2)证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.【答案】解：(1)曲线^=(+九-2与x轴交于/、8两点，可设｛(xi，0)»B(X2，0),由韦达定理可得》因=-2,^ACLBC,则依c・—=7，即有上3上1=一1,0-Xj0-X2即为X1X2=-1这与X]X2=-2矛盾，故不出现ZCJ_8C的情况；(2)证明：设过4、B、C三点的圆的方程为/+/+6+所尸=0(Z^+f2-4F>0),由题意可得y=0时，x2+Z)x+尸=0与^+mx-2=0等价，可得D=m,F=-2,圆的方程即为戈2+产+加叶切-2=0.由圆过C(0.1),可得0+1+0+E-2=0,可得E=l,则圆的方程即为x^y^+mx+y-2=0,另解：设过4、B、C三点的圆在y轴上的交点为“(0,d),则由相交弦定理可得|O/|・|O8|=|OC|・|OH],即有2=|。川,再令x=0,可得产+7-2=0,解得了=1或-2.即有圆与y轴的交点为(0,1),(0,-2),则过4、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3..【2016年新课标1文科20】在直角坐标系x°y中，直线/：y=t(Z^O)交y轴于点交抛物线Cf=2px(p>0)于点P,M关于点尸的对称点为N,连结ON并延长交C于点，.⑴求翳（II）除，以外，直线与C是否有其它公共点？说明理由.【答案】解：（1）将直线/与抛物线方程联立，解得P（£,，）,2P•・・M关于点P的对称点为N,xN+xM_t2yN+yM_,'I_―石，F—:,N（Jt）,p；.ON的方程为尸夕，与抛物线方程联立，解得"（空，2?）P\OH\_\yH\•两一而一：（II）由（I）知kMH=・・直线的方程为尸合乜与抛物线方程联立，消去x可得炉-4/4»=0,= -4X4r2=0,,・直线MH与C除点H外没有其它公共点.18.【2016年新课标2文科21］已知4是椭圆E：。+。=1的左顶点，斜率为左（左>0）的直线交£于儿M两点，点N在E上，MAYNA.（7）当=时，求的面积（〃）当2MM= 时，证明：V3<A:<2.【答案】解：（/）由椭圆E的方程：v+t=1知，其左顶点Z（-2,0）,4 3

轴，设Af的纵坐标为a,则A/(a-2,a),•点M在E上，A3（a-2）2+4a2=12,整理得：7a2-12a=0,，a=，或a=0（舍）,•'•Smmn=|aX2a=a2-詈;⑺设直线〃”的方程为7fE2),直线〃”的方程为：尸TE2),由/曹；?I?消去'得:・c 16k2 . _ 16k2 6-8k2（3+4尸）x2+16A2x+16*2-1（3+4尸）x2+16A2x+16*2-12=0,12J1+H3+4公•\\AM\=V1+k2\XM~（-2）|=>/]+々2.68：+：：；锹L旬1+电212ky/l+k2又.•.2加则,；•—整理得：43-6妤+3%8=0,设/*)=4公-6产+3K-8,贝IJ/(左)=12F-12>3=3(2k-I)220,：.f(jt)=4犬-6尸+3«-8为(0,+8)的增函数，又/(代)=4X3>/3-6X3+3V3-8=15V3-26=V675-V676O,/(2)=4X8-6X4+3X2-8=6>0,：.>/3<k<2.19.【2016年新课标3文科20】已知抛物线C：V=2x的焦点为尸，平行于x轴的两条直线(，b分别交C于4,8两点，交C的准线于P,。两点.(I)若尸在线段48上，R是尸。的中点，证明4H〃尸0；(II)若△尸。尸的面积是△ZB尸的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.【答案】(I)证明：连接/?尸，PF,由力尸=/尸，BQ=BF及AP〃BQ,得N4FP+NBFQ=90°,；.NPFQ=90°,•••/?是尸0的中点，:.RF=RP=RQ,：./^PAR^£\FAR,：.ZPAR=ZFAR,NPRA=NFRA,；/80尸+/8尸0=180°-NQBF=NPAF=2NPAR,:・NFQB=/PAR,：・/PRA=/PQF,：.AR//FQ.(II)设4(xi,y\),B(X2»及)，F(1,0),准线为x=-1,S-pqf=扔0]=如”，设直线48与x轴交点为N,1•-S^abf=»|，■:4PQF的面积是△XB尸的面积的两倍，...2|FN|=I,：.xN=1，即N(l,0).设48中点为M(x,y),由[；'=；不得yF一丫?？=2(X1-X2),又上岸=上，Xj-42X-1二三=即v=x-1.x-1y"：.AB中点轨迹方程为产=x-1.20.【2015年新课标1文科20】已知过点4(0,1)且斜率为左的直线/与圆C：(x-2)2+(j-3)2=1交于点M、N两点.(1)求人的取值范围；(2)若向•而=12,其中O为坐标原点，求【答案】(1)由题意可得，直线/的斜率存在，设过点4(0,1)的直线方程：y=kx+\,即：fcv-^+l=0.由已知可得圆C的圆心C的坐标(2,3),半径H=l.故由牛型VI,

故当土产4〈等，过点4(0,I)的直线与圆C：(x-2)2+(厂3)2=1相交于M,N两点.(2)设A/(xi.yi)；N(X2，j2)»由题意可得，经过点A/、N、/的直线方程为丁=京+1,代入圆。的方程(x-2)2+(y-3)2=1,可得(1+产)/-4(好1)x+7=0,・・・・X[+X2=4(1+〃)

1+k2・\yi”2=(Axi+1)(te+1)=/^x\X2^k(xi+m)+1.公+公.+1=坦*,1+k2 1+fc2 l+42由疝•八=丫|・X2即|・玫=华詈应=12,解得k=\,故直线/的方程为夕=x+l,即x-y+l=0.圆心。在直线/上，MV长即为圆的直径.所以|MV]=2..【2015年新课标2文科20】椭圆C：4+S=>>(a>6>0)的离心率?，点(2,V2)在C上.a，D4 2(1)求椭圆C的方程；(2)直线/不过原点O且不平行于坐标轴，/与C有两个交点Z,B,线段48的中点为A/.证明：直线OM的斜率与/的斜率的乘积为定值.【答案】解：⑴椭圆C：4+^=l,(a>b>0)的离心率与点(2,鱼)在C上，可得直亘=g£+2=1,orD4 2 a2acbc解得“2=8,b2=4,所求椭圆C方程为：£+£=1.8 4(2)设直线/：y=kx^bi(%W0,6W0),A(xj,y\),B(xi,”)，M(矶，y“)，把直线y=fcr+b代入9+9=1可得(2^+1)^kbx+lb2-8=0,故以/=晋=瑞'JW=k'；v+b=岛.于是在OM的斜率为：&>“=型=_三，即Kcw•七一"xm2k 2宜线OM的斜率与/的斜率的乘积为定值..【2014年新课标1文科20】已知点尸(2,2),圆C：%2+^-8j=0,过点尸的动直线/与圆C交于4,B两点,线段的中点为M,O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程；(2)当|。尸|=|叫时，求/的方程及△产。〃的面积.【答案】解：(1)由圆C：x^y2-8j=0,得x2+(y-4)占16,...圆C的圆心坐标为(0,4),半径为4.—♦ —♦设A/(x,y),则CM=(x,y-4),MP=(2-x,2-y).由题意可得：CM-MP=0.即x(2•x)+(y-4)(2~y)=0.整理得：(x-1)斗(厂3)2=2.的轨迹方程是(x-1)4(y-3)2=2.(2)由(1)知M的轨迹是以点N(l,3)为圆心，口为半径的圆，由于|OP|=QM，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆NE从而ONLPM.■:koN=3,.•.直线/的斜率为一(直线PM的方程为y-2=-g(x-2),即x+3y-8=0.TOC\o"1-5"\h\z则O到直线/的距离为，其=警.Vl2+32 5又N到/的距离为"'I需3-81=零，V1O 5.•.|PM=2y)2一呼)2=等.「 1 4V10 4V10 16••5AP0M=-X-X—=T.23.【2014年新课标2文科20】设Q,尸2分别是C：5+，=1(a>b>0)的左，右焦点，M是C上一点且MB与x轴垂直，直线叱1与C的另一个交点为M(1)若直线MN的斜率为：，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|QN],求a,b.【答案】解：(1)•••〃是。上一点且MF?与x轴垂直，1.2 l2...A/的横坐标为c,当x=c时，尸一，即Af(c,—),,a a若直线MN的斜率为J,4即tanZ^A/FjF2=—=—=2c2ac4即b2=1ac=a2-c29即c2+：QC"2=02则-1=0,即2/+3e-2=0解得e=g或e=-2(舍去)，即€=24(II)由题意，原点。是尸正2的中点，则直线与y轴的交点。(0,2)是线段的中点,设M(c,y),(y>0),则9+5=1，即y2=/‘解得产9,OD是△A/BB的中位线，•*.y=4,即62=4°,由|切=5/iN|,则|MQ|=4|HN|，解得|£>B|=2/囹，—> —>BPDFi=2F1N设N(xi,yi),由题意知yiVO,则(-c,-2)=2(xi+c,y\).代入椭圆方程得笠+今=1,将b2=4a代入得生㈣+；=1，4a4a解得a=7,b=2V7.

与圆N内切，圆心尸的轨迹为曲线C.(x+l)2+y2=l,圆N：(x-1)2+/=9,动圆P与圆与圆N内切，圆心尸的轨迹为曲线C.(I)求C的方程;(II)/是与圆尸，圆M都相切的一条直线，/与曲线C交于8两点，当圆尸的半径最长时，求0用.【答案】解：(/)由圆M：(x+1)2+/=|,可知圆心A/(-1,0)；半径3.设动圆的半径为H,二,动圆尸与圆M外切并与圆N内切，.".|PAf|+|PA/]=R+l+(3-/?)而|NM=2，由椭圆的定义可知：动点尸的轨迹是以A7,N为焦点,圆N：(x-1)2+^=9,圆心N(l,圆N：(x-1)2+^=9,圆心N(l,0),=4,4为长轴长的椭圆,二曲线C的方程为[+4=1(xW-2).4 3(〃)设曲线C上任意一点尸(x,y),由于|PM|-TM=2R-2W3-1=2,所以HW2,当且仅当。尸的圆心为(2,0)/?=2时，其半径最大，其方程为(x-2)2+^=4.①/的倾斜角为90°,贝"与y轴重合，可得3用=2百.②若/的倾斜角不为90°,由于。M的半径1WR,可知/与x轴不平行，设/与x轴的交点为°,则黑=3,可得。(-4,0),所以可设/：y=k(x+4),由/于M相切可得：粤=1，解得k=土学.V2+1

X=

V2+1

X=

v2-4y2-3

--十

Ji-",得至।7/+8x-8=0.8-78一，7一-2+

1*|/8|=V1+k2\x2-xj=Jl+(y)2J(-7)2~4x(-I)=7由于对称性可知：当&=一号时，也有X8|=—.综上可知：|/8|=2四或一.25.【2013年新课标2文科20】在平面直角坐标系X/中，已知圆P在x轴上截得线段长为2VL在y轴上截得线段长为2V1（I）求圆心P的轨迹方程；（H）若尸点到直线尸x的距离为务求圆尸的方程.【答案】解：（I）设圆心尸（X,y）,由题意得圆心到x轴的距离与半径之间的关系为2=-炉+户，同理圆心到y轴的距离与半径之间的关系为3=+/，由两式整理得犬+3=产+2,整理得产-x2=l即为圆心尸的轨迹方程，此轨迹是等轴双曲线（II）由尸点到直线产x的距离为苧得，苧=臂，即Q）|=l，即x=y+l或尸x+l,分别代入炉-/=1解得P（0,-1）或尸（0,1）若尸（0,-1）,此时点P在V轴上，故半径为遍，所以圆尸的方程为（八1）4/=3：若尸（0,I）,此时点P在y轴上，故半径为V5,所以圆尸的方程为（y-l）2+/=3；综上，圆P的方程为（八1）2+/=3或（y-1）2+炉=3.・••©模拟好题••・..已知％,尸2分别是椭圆。［+\=1（£1＞匕＞0）的左、右焦点，点尸1，七在直线，。=人》+巾的同侧，且点%,尸2到直线/的距离分别为小刀2.（1）若椭圆。的方程为6+9=1,直线/的方程为丫=》一代，求d「d2的值，并判断直线与椭圆C的公共点的个数；（2）若直线/与椭圆C有两个公共点，试求心•d2所需要满足的条件；【答案】（1）由以2=3;1.（2）由•d2Vb2【解析】（1）椭圆C的方程为6+3=1,则F1（-3,0）,尸2（3,0）.又直线y=x—6,所以由=与澄=喑，d2=^^=等所以心•d2—=3.

联立|123 ,消去y可得：5x2-8V15x+48=0.(y=x—VT5因为A=(-8V15)2-4x5x48=0«所以直线y=x-后与椭圆C有1个公共点./y2_1(2)联立靛+京―1,消去y可得：(a2k2+/)/+2。2触71%+a2m2-&2b2=oy=kx4-m因为直线/与椭圆C有两个公共点，所以A=(2a2krn)2—4(a2fc2+h2)(a2m2—a2b2)>0,整理化简得：m2-q2k2<b2.XF1(-c,0),F2(c,0),其中c2=a2-/>2,所以由=与需，d2=器，jj|-fcc+m||&c+m| |m2-k2a2+lc2b2|,\b2+k2b2\ ,2所以d「d2=K.和=市土」<皆=房.所以直线/与椭圆C有两个公共点，则d「dz<〃..已知椭圆C:《+y2=i(a>1)的离心率为ei，双曲线好一号=1的离心率为e2,且em=夜.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的右焦点尸2且斜率为1的直线交椭圆于4B两点(点B在x轴上方)，线段4B的垂直平分线交直线，:刀=一2于M点，求以4M为直径的圆的方程.【答案】(呜+y2=i(2)(x+l)2+(y-|)2=^【解析】(1)解：•••双曲线的离心率ez=2,%=当=J1^=1,其中2b=2,a2=2,所以椭圆方程为：y+y2=1(2)解：由题知七(1，0)，故直线4B方程为y=x-1,fy=x-1联立直线4B与椭圆方程/ ।得3好—4》=0,匕+y=1AeT)，呜》其中点为尊-J所以，AB垂直平分线为：y=-x+1

・•・以4M为直径的圆的圆心为：(一半径为r=-•••以AM为直径的圆的方程为：(X+1)2+(y一|)2=日3.在平面直角坐标系xOy中，已知点网0,-⑹，动点S到尸的距离是S到直线Ky+4=0的距离的苧倍，记点S的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程：(2)过八x=2上的动点P(2,p)(p>2)向曲线C作两条切线二，％，匕交x轴于M,交y轴于N,%交x轴于。交y轴于Q,记APNQ的面积为Si，△PMT的面积为S2，求S「Sz的最小值.【答案】(1(■+/=1⑵48【解析】⑴解：设S(x,y),由题意得+°+⑹2=卜X嘴"化简得曲线C的方程为^+了=1.4(2)解：由题意知匕，％的斜率存在，故设，1，%的方程分别为y-P=自(无一2),y-p=k2(x-2),

所以Si=4lNQ|xp=|NQ|=2|kii2l，S2TlM"一外「=口号1，L L LIK]K21 /IK述2।S「S2=p2|%q=p2|$—4|,①设过P(2,p)与C相切的直线为y-p=k(x-2),联立『gkg：2,可得(标+4)%2-2k(2k-p)x+(2k-p)2-4=0,则A=4(2fc—p)2k2—4(fc2+4)[(2fc—p)2-4]=0,化简得3k2—4pk+p2—4=o,显然的、七是关于k的方程弘2-4「&+「2一4=0的两根，故e+七=弓，的所以S「S2=p2p^-4|=p2_2^L-4=如父+12)|,1 2-Ikik2Iy3(p2-4) 3(p2-4)|令p2-4=t,则t>0,S1，52=i(£j±^±l«=i(t+^+20)>i(2Jr^+20^=48,当且仅当t=8,即p=26时，SiSz的最小值为48..已知A/,N分别是x轴，y轴上的动点，且|MN|=4+2百，动点尸满足称=苧两，设点尸的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的轨迹方程；(2)直线"：3》-2丫=0与曲线。交于48两点，G为线段48上任意一点(不与端点重合)，倾斜角为a的直线％经过点G,与曲线C交于£,厂两点.若湍嘉的值与点G的位置无关，求|GE|：|GF|的值.【答案】(吟+1=1(2)1【解析】⑴解：设M(x(),0),N(0,%),则温+羽=(4+2^)2.设P(x,y),则称=(x-x0,y),F7V=(一%,y0-y).由题意得V3X—%0=由题意得V3X—%0=——X6，解得y=y(yo-y)%。(1+和丫。=却+珊y(3x(3x—2y=0(2)证明：由［e+^=］，解得

(16十12一所以(1+与/+牌+殍)y2=(4+2旬2,化简此+)=1，即曲线C的方程就+(=】•｛；二;或｛；二二I(不妨设点”在第一象限)'所以A(2,3)，B(-2,-3).设点G(2m,3m),其中一1cm<1,则|G4|=g(l—m)，\GB\=V13(l+m).所以|G*•|GB|=13(1-m2).若直线%的斜率不存在，则直线％的方程为x=2m,此时E(2m,、12-37n2),F(2m,-V12-3m2),故湍,而=黑一二4不为定值.若直线%的斜率存在，设直线，2的斜率为匕则宜线，2的方程为丫=上》一(2人一3)山.将直线，2的方程代入曲线C的方程化简、整理，得(41+3)/-8fcm(2fc-3)x+4(2k-3)2m2-48=0.设E(X],yD，F(x2,y2).则x[+句=.]；：了，修必=胆哀舁”，所以|Ed=(1+k^X1-X2y=叱)*第+3)忸一立WDTOC\o"1-5"\h\z48(1+12)[(2口―3)2血2-(16〃2+12)](4k2+3)2 *|EF|2_48(1+12)[(2--3)2皿2-(16(2+12)]故向祠- 13(4k2+3)2(m2-l) '因为点二的值与"?的值无关，所以(2k-3)2=16/+12,解得/£=-1,|url|,|Go| L所以牛=丝笔黑=2m,所以G是M的中点，即|GE|=|GF|.所以|GE|:|GF|=1..已知椭圆嗒+，=1((1>6>0)的短轴长等于2百，离心率e，(1)求椭圆C的标准方程；(2)过左焦点尸作直线/,与椭圆C交于4,8两点，判断高+看是否为定值.若是定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由.【答案】(用+'1(2)是定值，定值为g【解析】(1)由椭圆。捺+，=l(a>b>0)的短轴长等于2遮，离心率e=g.(2b=2V3 7 ,可得]a=2c，解得q=2,b=V3»c=1»所以椭圆的方程为？+*=1.=a2-c2(2)由椭圆的方程3可得左焦点F(-1,0),4 3(i)当直线/的斜率不为。时，设直线/的方程为x=my-1,x=my-1联立方程组，/,/ .,整理得(3m2+4)y2-6my-9=0,(7+T=1A=(-6m)2+36(3m2+4)>0设4(xi，y。，F(x2,y2) 所以旷1+丫2=肃先，y/2=就了所以|F4|+|FB|Jl+m2.|yi|+Jl+m2|)>2lJl+m?Gyil+lyz)1 >/(力+丫2)2-4yly2_1Wl+w2_4Vl+m2lyiyzlVl+m23 3’(ii)当直线/的斜率不为。时，此时六+意=十+w=g,综上所述，言+言==?•6.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为尸，过焦点厂斜率为旧的直线交抛物线于4、8两点(点/在第一象限)，交抛物线准线于G,且满足|BG|=*(1)求抛物线的标准方程；(2)已知C,O为抛物线上的动点，且OC1OD,求证直线CO过定点尸，并求出尸点坐标；(3)在(2)的条件下，求定•两的最大值.【答案】⑴y2=4%(2)证明见解析；尸点坐标为(4,0)(3)-16【解析】(1)过点8作准线的垂线，垂足为“，设准线与x轴相交于点M,如图,由题知，直线/的倾斜角为奈•,•在RtABG”中，NGB"W，又•••|8G|=*二伊川/.,.|GF|=\BG\+\BF\=4,.•.在RtAGFM中，又/MFC=或，|MF|=2,；.p=2,，抛物线的标准方程为y2=4x.(2)由(1)可知，抛物线方程为y2=4x,设直线C0的方程为：x=my+t,C(J,yi)，D(^,y2),(x=my+ty2=4x>得：y2-4my-4t=0,则Yi+力=4m,yxy2=-43Vkoc=I%=F且0。1OD,：・k()c,k0D=93=-1则［=4，y\ yi y\yi一例...直线CO过定点(4,0),即尸点坐标为(4,0),(3)由(2)可知P点坐标为(4,0),•'•PCPD= —(yf+y1)+16+y02=-16m2—16，；.定河5的最大值为一16.7.已知在△A8C中，B(-2,0),C(2,0),动点Z满足|AB|=2百，/-ABC>90°,AC的垂直平分线交直线4B于点P.(1)求点P的轨迹E的方程：(2)直线x=7n(7n>8)交x轴于。，与曲线E在第一象限的交点为。，过点。的直线/与曲线E交于N两点，与直线x=5交于点K,记。M,QN,0K的斜率分别为的，k2,k3,①求证：中是定值.«3②若直线/的斜率为1,问是否存在机的值，使的+&+自=6?若存在，求出所有满足条件的"7的值，若不存在，请说明理由.［答案】(1斤—y2=i(x>V3)(2通证明见解析；②存在；山=学【解析】⑴'."AC>90。，：.AC的垂直平分线交BA的延长线于点P.连接尸C，则|PC|=|PA|,'•\PB\-IPC|=\PB\-\PA\=\AB\=2V3<\BC\,由双曲线的定义知，点P的轨迹E是以B(—2,0),C(2,0)为焦点，实轴长为2百的双曲线的右支(右顶点除

外），c=2,a=V3»则b=a/M—F=1，:・E的方程是:—y2=l(x>V3).2(2)①证明：由已知得。(m,0),Q(m,y0),满足(一羽二1，设直线/方程为工=ty+m,M(》LyD，N(x2,y2^联立•x=联立•x22 1»得（产—3）y2+2mty4-m2-3=0,5一y=1yi+y-zyi+y-z=-2mtm2-3g=9=L-型xi—mtyittyi同理心=言,•-•%=2瘾=26+翳）对x=£y+m,令苫=三，得以=3-m,m tm7 i血2-3•，工），,=如飞—=等+工,\mtm/ 'm— nr—3tm；・ki+k2=2k3,.•.牛=2是定值.②假设存在m的值，使k]+&+左3=6由①知，的=2k3,则的+七+七=3k3=6,左3=2，直线QK的方程为y-yo=2(X-m),得yK=2©_m）+yo；宜线/的斜率为l,直线/的方程为万=丫+巾,令x=2,得y/（=--m；m m：.2^-m）+y0=^-m,. 3..y0=m ,m代入？-yo=1,得9_（m_.J=i,整理得，2m4-15病+27=0,解得m2=m，或jn?=3（'：m>V3.舍去）.已知椭圆。:捺+营=l(a>b>0)的离心率为。上的点尸与Q外的点Q(4,0)距离的最小值为2.(1)求椭圆。的方程;(2)若直线/与椭圆Q交于点B,当直线/被圆0:刀2+y2=(^2截得的弦长为26时，求△OAB面积的取值范围.【答案】(印+/1⑵弓若］【解析】(1)由题意4-a=2,a=2,又e=：=］=gc=l,所以b=7诏-c?=V5,所以椭圆。的方程为《+^=1；4 3(2)易知直线I不过原点，设2方程为mx+ny=1,原点到直线I距离为d= d2+b2=a2,所以二i二+3=4,m24-n2=1,d=1>原点。到直线48距离为1,若n=0,则巾=±1,［方程为工=±1,此时y=±g,|4B|=3,S^OAB=1xlx3=1,71Ho时，

mx+ny=1

卒=14 3及m2+n2=1得(m2+mx+ny=1

卒=14 3设4(Xi，yD，F(x2,y2),则不+小=赤，小小=r”>J Til+|4B|=Vl+FIXi一=Jl+<-J(xi+小)2—4X62=7=j- =4K-S>oab~\\AB\d=2>/3• ，令'm2+2=t,由0Wm2Vl得或<t<V3,S^oab-2V3・^7-2V3・己,令/(£)=[+：,则/(t)=l—V2<t<V3W,/(t)>0,/(t)单调递增，所以t+ ［苧,殍)'Sa04bW(,，乎］'综上，S^0ABG弓，苧］•.若椭圆Ci：马+4=1与椭圆的言+若=1满足乎=R=m(m>0),则称这两个椭圆为“相似”，相似比Q］Dj 0,2与 。2 。2为见如图，已知椭圆C1的长轴长是4,椭圆。2的离心率为日，椭圆C1与椭圆C2相似比为近.(1)求椭圆C1与椭圆C2的方程：(2)过椭圆C2左焦点尸的直线/与C1、。2依次交于4、C、。、8四点.①求证：无论直线/的倾斜角如何变化，恒有|AC|=|。8|.②点M是椭圆Cz上异于C、。的任意一点，记△MBD面积为Si，AMa。面积为S2，当Si=gS2时，求直线/的方程.【答案】(1)椭圆g的方程9+1=1,椭圆的方程是9+y2=i；(2)①证明见解析；②x+V3y+1=0或无—V3y4-1=0.【解析】(1)由已知2qi=4,则由=2,又1=£=&，故做=技又椭圆。2的离心率e=/=圣所以Q=1»由步=q]—4=1,则勿—1»从而b]=V2»所以椭圆Ci的方程5+?=1，椭圆。2的方程是：+y2=1.(2)@要证明|4C|=\DB\,即证明线段Z8和CO的中点重合，当直线/与坐标轴重合时，由对称性知：结论成立.当直线/与坐标轴不重合时,不妨设直线/为力=£y-l(tH0),4(%1，月)，B(M，y2)，。(%3，、3)，代入椭圆。方程得(ty—I)2+2y2=4,HP(t24-2)y2-2ty-3=0,MrI 2t —3故yi+力=有，y/2=和，代入椭圆C2方程得(ty-l)2+2y2=2,g|J(t2+2)y2-2ty-1=0,故y3+y4=言，y3y4=号，由yi+、2=乃+丫4，可得线段43和CO的中点重合，故|AC|=|DB|.综上，|AC|=|CB|恒成立.②由①得：|CD|=Vt2+1|y3—y^\=Vt2+1-2'警『,\AB\=Vt2+l|yi-y2\=Vt2+1-2邛而Si=?2，则田。|=//1。|,由①知：\AC\=\DB\,所以|CD|=||4B|,BpVPTT=|V2t2+3,可得t?=3.所以直线/的方程为x+V3y+1=0或x-V3y+1=0..已知双曲线捺一，=1(£1>()*>0)的焦距为2夜，设该双曲线的左，右顶点分别为4B,以点4,B和虚轴端点为顶点的四边形的面积为S.(1)当S最大时，求双曲线的标准方程；(2)在(1)的条件下，过点力的直线//与右支交于点C,过点8的直线/2与左支交于点。，设直线匕,％的斜率分别为的,0,且的=3七，设△4CC,ABC。的面积分别为Si，S2,3的值.,2【答案】(1)/一y2=1【解析】

(1)设双曲线虚轴顶点分别为C,D,由题意知a?+b2=2,S四边形"Bo=1-2a-26=2ab<a2+b2=2当且仅当a=b=l时取”="，...S最大时，双曲线的标准方程为/-y2=l.(2)VkCA-kCB==1>而k.c=3跖°,；・3心。•跖。=1=跖。•々bc=7设直线C。的方程为工=my+3CGi，yD，D(x2,y2)8(1,0),4(-1,0),联立x=my+联立x=my+t

,x2—y2=1得(m2—i)y2+2my4-12—1=0,m21»△>0, ym (myi+t—l)(my2+t-l)(m2-3)y/2+m(t-l)(yi+y2)+(t-l)2=0,02!z^zl)+m(t_1).^+(t_1)2=o,Vt1,A(m2-3)(t+1)—2m2t+(m2-l)(t-1)=0,即小214-m2—3t—3—2m2t+m2t—m2—t+l=0»A4t=-2nt=—I，:.直线CD方程为x=my—g,•£i=l"52 3.已知a>b>0,直线/过椭圆g：5+，=1的右焦点尸且与椭圆Ci交于/、8两点，/与双曲线C2：A，=1的两条渐近线，1、L分别交于知、N两点.(1)若|。?|=百，且当11x轴时，△MON的面积为：，求双曲线的方程；(2)如图所示，若椭圆G的离心率e=/，且同=疝万(4>0)，求实数4的值.【答案】(1咛一y2=1；O【解析】(1)由题设尸(K,o)，且双曲线Q：，-，=1的渐近线为y=±，乜当11x轴时，|MN|=等，又|0用=V3.△MON的面积为去所以g|0F|♦|MN|=|,故a=2b,而a?—/=©2=3,可得a?=4,b2=1,所以双曲线C2的方程为3-y2=1.(2)对于椭圆有e=£=立，而a?—£)2=c2,则。=&c=近8，a2不妨假设h：y=‘X=yx,则勿、=一,无=—¥%且/为y=—V2(x—c)，所以N(2c,一夜c)，又尸(c,0),FA=AA?V(A>0)，令4(x,y),则包二(x—cy),而=(2c-x,-VIc_y)，故｛y=_"鱼c+)'_2H1所以｛ ，而4在椭圆g:37+4=1上，丫=一寸则经之+=(22+1)2+y=],整理得6"=1,2(i+a)2 (1+a)2 2(i+a)2，上工，」 ，综上，可得；1=渔.6.设双曲线C：4-S=1(a>0>6>°)的左、右焦点分别是B，尸2，渐近线分别为"，h，过B作渐arbL近线的垂线，垂足为尸，且△OPB的面积为0.4(1)求双曲线C的离心率；(2)动直线/分别交直线。，12于4,B两点3,8分别在第一、四象限)，且△048的面积恒为8,是否存在总与直线/有且只有一个公共点的双曲线C,若存在，求出双曲线C的方程；若不存在，说明理由.【答案】⑴出(2)存在，1—1=1【解析】(1)F1(-c,0),F2(c,0),双曲线的渐近线方程为y=±£x,由双曲线的对称性不妨取渐近线y=(x,则点4(c,0)到其的距离为\DCI_1加一0|_be_,仍尸21=诉=彳='则|0P|=>J\OF2\2—IPF2I2=Vc2—b2=q，但C_q_*_ab信3aOPF1='aOPFz=7=T，解得b=2a,c=y/a24-b2=Va24-4a2=V5a»所以双曲线C的离心率e=£=恒=本.aa(2)由(1)得渐近线"：y=2x,l2：y=-2x,设双曲线得方程为捺一条=1，依题意得直线/的斜率不为零，因此设直线/的方程为*=my+3 <m<1,t>0,设直线/交x轴于点C(60),A(xi，y/),B(xz，”)，联立尸my+t，得y卷_,同理敬夫.由△0/8的面积旌048=1|0C|-ly,-y2\=8,嗓岛+^I=8,HPt2=4\\-4m2\=4(1-4/n-)>0,Ix=my+t,y2v23T=i，a44a“得(4"FT)/+8〃?(y+4(F-/)=0,,因为4m2-ivo,所以，直线/与双曲线只有一个公共点当且仅当A=o,

即A=64m2t2-16(4m2—l)(t2—a2)=0.化简得4nl2a2+t2-a2=o,将(1)式代入可得4m2a2+4(1-4m2)-a2=0,(a2—4)(4m2—1)=0解得次=4,TOC\o"1-5"\h\z因此双曲线的方程为《一e=1,4 16因此，存在总与直线/有且只有•个公共点的双曲线，双曲线C的方程为《-廿=1.4 162 ?.在平面直角坐标系X。中，设椭圆C:%+==l(a>b>0)的两个焦点分别为B，尸2，点尸在椭圆C上，连结尸B，PF?并延长，分别交椭圆于点4,B.已知A/尸@的周长为8位，面积最大值为4.(1)求椭圆C的标准方程;(2)当P不是椭圆的顶点时，试分析直线OP和宜线的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值，若不是,请说明理由.【答案】(4+1=1(2)是定值：—6【解析】(1)解：如图所示:(1)解：如图所示:由题意得,4a=8V2be=4由题意得-a2=反+c2所以椭圆。的方程为9+9=1(2)设直线P4的方程为y=kx+2,P(x0,y()),4(/,yD，%(0,2),(y=kx+2叫y2+2/=8，得(/+2)/+4kx-4=0,4••.X°X1=一西？ 4 4痣即一”2)2।2- *4,0+4+2耳，=_碣=_112-4yo3-yo.•.X】=m，.・.y]=2.4+2=分,3-yo %o3-yo3-yoM(威，彦)，同理可得8(加堇总，8-3yn3y0+8.. _“/击_48_6」_3(8-%)_6舄_63AB3^v"i"v'~ -2*0%-xoyo—&yoyo'3+y03-yo•••k()p-kAB=皆• =-6为定值xoyo14.己知椭圆C:5+，=l(a>b>0)的左右焦点分别为鼻,尸2,点E律总为以FiFz为直径的圆与椭圆C在第一象限的交点.(1)求椭圆C的方程：(2)若过点。(1,0)且倾斜角为钝角的直线I与椭圆C交于A,B两点(其中点B在x轴下方)，P为AB的中点，。为原点，求当40P8最大时，AOPB的面积.【答案】(15+y2=1瑶【解析】(1)设％(-c,0),尸式c,0)(c>0),则以尸/2为直径的圆为：x2+y2=c2,入2=(甯2+停)2=3,即&2_炉=3,又白+白=L〃=1,.••椭圆C的方程为《+y2=i.3a' 4

由题意可设直线=my+l（m<0）,4（由题意可设直线=my+l（m<0）,4（工21）,8（如力）{x=my+1x273得：(m?+4)y2+2my—3=0,则A=16巾？+48>0,7+y=12m 3.••月+丫2=一门，*〜诉，"yp="^7-则邛=一品+1=品,...「（/，一舟mm2+4设直线/倾斜角为a,直线。P倾斜角为6，・・・4OPB=a-0,I,m•.-B=tan("0)=—=球=古=也+"」（—《）•（—9=t（当且仅当一《=一?=一2时取等号）,即当m=-2时，NOPB取得最大值，此时1:x=-2y+l,Saopb-44OAB=I\OD\'\yi-y2l= +了2尸一4yly2=gx旧+(=?15.已知椭圆4+,=1（£1>6>0）的右焦点为尸（2,0）,且C过点P管，一。（1）求C的方程;过M与PF平行的直（2）若点〃是C上的一点，过M作直线/与C相切，直过M与PF平行的直线交x轴于点8,且AB1PF,求直线/的方程.【答案】（鸣+y2=1(2)x-y+V6=0【解析】心)2(_1)2(1)解：由题意知{f-+寸-=I、a2-b2=4,解得q=V5»b=1,所以c的方程为2+y2=i.5(2)易得直线PF的方程为y=W(*-2),即y=x+1.至-2 L显然直线/的斜率存在且不为0,设点M(Xo，yo)(戈0wo,y(,*0),设直线/的方程为y-yo=k(x-x0)(k丰0),即y=kx-kx0+y0.由]消去y,+k2}x2+2k(y0-kx^x+(y0~^o)2-1=0.(y=kx-kx0+y0因为过M作宜线/与C相切，所以A=[2k(yo—Ho)]?-4(i+fc2)[(yo-/cxo)2-l]=O,整理得(yok+*xo)2=o,即仁=一言，所以宜线/的方程为管+y()y=L令x=0,得以=5,所以4(0，/).因为MB〃PF,所以心8=-/所以直线的方程是y-y0=-1(x-x0).即'〜)+%+丫。.令y=0,解得小=&+2丫0,所以B(x()+2y(),0).o―L 1因为A81PF,所以__丝_= ! =2，即%(-2yo-xo)=3xo+2yo-Oyo(-2yo-xo) '所以&=_2yo一套，又因为J+%=1,所以等+(+氏+光=1,解得Vo=±y»因为%>。所以%>。所以yo=*,X。-亲=-^^.所以直线/的方程是一二+些v=i，即x—y+V^=O.5 6」16.已知抛物线C'=2px(p>0)的焦点F到其准线的距离为4,椭圆C2：/+，=l(a>b>0)经过抛物线Ci的焦点厂.(1)求抛物线Ci的方程及a；⑵已知。为坐标原点，过点的直线/与椭圆C2相交于48两点，若宿=m砧，点N满足丽=-m柿,且|ON|最小值为蓝，求椭圆Cz的离心率.【答案】(l)y2=8x；a=2【解析】(1)抛物线g:y2=2px(p>0)【解析】(1)抛物线g:y2=2px(p>0)的焦点厂到其准线的距离为4可得p=4抛物线的方程：y2=Qx2 2椭圆C2：++/=l(a>b>0)经过抛物线G的焦点F(2,0)椭圆C2的右顶点为尸(2,0),所以a=2.(2)①当直线4B斜率存在时，设直线4B方程为y-1=k(x-l),A(Xi，yi),B(X2，y2)，N(&,yo)~+i=1 得(房+4k2)/+8k(1_k)x+4(1-k)2-4b2=0,y=kx+(1—k)A=16b2(3^2+2/c-1+b2)>08k(1-k) 4(1-k)2-4b2Xi+X2=—— — 7^ 1 2b2+4k2 12 b2+4k2"."AM=mMB.AN=-mNB1-Xj=m(x2-1),x0-必=-m(x2-x0),即.•.消=一六音. 2x1X2—(”1+42)4k+4b2—4••X。= x1+x2-2 =4k+b2'4k(x0—1)+b2x0=4b2—4又Tyo-1=k(x0-1)4(y0-1)+b2x0=4b2—4,即:.b2x0+4y0—4b2=0：.N点轨迹为直线按工+4y-4b2=o②当直线4B斜率不存在时，经检验点N(l,三)在直线/x+4y-4b2=0上.；.N点轨迹方程为/x+4y-4b2=0|ON|最小值即点O到直线/x+4y—4b2=0的距离y,即/?2=3y,即/?2=3椭圆。2的离心率为e=£a1217.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Ci：（+，=>匕>。）经过件，1），椭圆。2点+喘=1的离心率为的底.3（1）求椭圆C1与椭圆C2的标准方程：（2）设过原点且斜率存在的直线/与椭圆Ci相交于4C两点，点P为椭圆C2的上顶点，直线为与椭圆C?相交于点8,直线尸C