数学高考真题卷-全国1文数（含答案解析）

2018年普通高等学校招生全国统一考试•全国I卷(文科数学)一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的..已知集合合{0,2},B={-2,T,0,1,2},则AAB=A.{0,2} B.{1,2}C.{0} D.{-2,-1,0,1,2}.设z++2i,则|z|=A.OB.iC.1D.V2.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图：建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是A.新农村建设后,种植收入减少B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半.已知椭圆C：W+t=l的一个焦点为(2,0),则C的离心率为a，4.已知圆柱的上、下底面的中心分别为6,0z,过直线0Q的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为A.12V2nB.12万C.8>/2n D.10n.设函数f(x)=x3+(a-l)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为A.y=-2x B.y=-xD.y=xC.y=2xD.y=x.在4ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点，则而=A.-AB-AC B.iAB-AC4 4 4 4C.-AB+-AC D.-AB+-AC4 4 4 4.已知函数f(x)=2cos2x-sinx+2,则f(x)的最小正周期为",最大值为3f(x)的最小正周期为乐最大值为4f(x)的最小正周期为2”,最大值为3f(x)的最小正周期为2Ji,最大值为4.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中，最短路径的长度为A.2V17B.2V5 C.3D.2.在长方体ABCD-ABCD中,AB=BC=2,AC,与平面BB,C,C所成的角为30°,则该长方体的体积为A.A.8B.6&C.8V2D.8V3.已知角a的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos2a三,则Ia-b|=A.iB.— C.—D.15 5 512.设函数f(x)42"，x<0,则满足f(x+i)〈f(2x)的x的取值范围是(1.x>0,A.(-°°,-1] B.(0,+°0)C.(-1,0) D.So)二、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.已知函数f(x)=/。及(x?+a).若f(3)=1,则a=.x—2y-2<0,若x,y满足约束条件x-y+l>0,则z=3x+2y的最大值为.y<0,直线y=x+l与圆x2+y2+2y-3=o交于A,B两点,贝！11AB|=.AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinC+csinB=4asinBs/〃C,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为•三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17、21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.（一）必考题:共60分.（12分）已知数列｛a“｝满足ai-1,na*2（n+1）a”.设b“哼.⑴求bi,b2,b3;（2）判断数列｛bj是否为等比数歹U,并说明理由；⑶求｛an｝的通项公式.（12分）如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,ZACM=90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置,且AB1DA.⑴证明：平面ACDL平面ABC;（2）Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP-DQ-|DA,求三棱锥Q-ABP的体积.(12分)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位:一）和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用[0,0.1[0,1,0[0.2,0[0.3,0[0,4,0[0.5,0[0.6,0水量) .2) .3).4) .5) .6).7)频数1 3 24 9 265

使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用[0.1,0.[0.2,0.[0.3,0.[0.4,0.[0.5,0.[0,0.1)水量2)3) 4) 5)6)频数1 513 10 165(1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图;频率/组距0000.10.20.30.4050.6日用水量/m,4.2Q.8.642QS642Q.8.642工工3.ZZLLLLLO.6O.6(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m：'的概率；(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.)(12分)设抛物线点4(2,0),6(-2,0),过点力的直线/与C交于必M两点.(1)当/与x轴垂直时,求直线的/的方程；⑵证明：NABM=NABN.(12分)已知函数/'(x)=ae'Tnx-\.(1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间;⑵证明:当心工时,F(x)20.e(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.［选修4坐标系与参数方程］(10分)在直角坐标系x0中，曲线G的方程为+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线心的极坐标方程为储+2。cos"-3R.(1)求G的直角坐标方程；(2)若G与G有且仅有三个公共点,求G的方程.［选修4~5:不等式选讲］(10分)已知f［x)=|x+\|-1ax~\.(1)当a=l时,求不等式f［x)>\的解集；(2)若(0,1)时不等式成立,求a的取值范围.12345678910111213141516ACACBDABBCBD-762V22V3亍.A【考查目标】本题主要考查集合的交运算，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.【解析】由题意知1。6={0,2}..C【考查目标】本题主要考查复数的运算、复数的模，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.【解析】z寺+21;，；*；+21=力所以析|=L.A【考查目标】本题主要考查统计的知识，考查考生分析问题与解决问题的能力，考查的数学核心素养是数据分析与数学运算.【解析】设新农村建设前经济收入的总量为x,则新农村建设后经济收入的总量为2x.建设前种植收入为0.6x,建设后种植收入为0.74x,故A不正确；建设前其他收入为0.04x,建设后其他收入为0.lx,故B正确；建设前养殖收入为0.3*,建设后养殖收入为0.6x,故C正确；建设后养殖收入与第三产业收入的总和占建设后经济收入总量的58%,故D正确..C【考查目标】本题主要考查椭圆的方程及离心率，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.【解析】不妨设a与，因为椭圆C的一个焦点为(2,0),所以片2,所以a-NM8所以a之鱼，所以椭圆C的离心率.B【考查目标】本题主要考查圆柱的表面积等知识，考查考生的运算求解能力、空间想象能力，考查的数学核心素养是直观想象与数学运算.【解题思路】 由过直线4。的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,求出圆柱的高与底面圆的直径,然后代入圆柱的表面积公式求解即可.【解析】因为过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,所以圆柱的高为2夜,底面圆的直径为2位,所以该圆柱的表面积为2XnX(V2)a+2V2JtX2保=12n..D【考查目标】本题主要考查函数的奇偶性与导数的几何意义，考查考生分析问题与解决问题的能力,考查的数学核心素养是数学运算.【解析】 因为Ax)为奇函数,所以A-x)=S由此可得a=l,故f(x)=Rx,f'(x)Wf+l/'(0)=1,所以曲线y=fB在点(0,0)处的切线方程为y=x.【解题关键】 解答本题的关键是利用/Xx)为奇函数求出a,进而得函数/tr)的解析式..A【考查目标】 本题主要考查平面向量的线性运算，考查考生的数形结合能力与运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.【解析】由题可得而痂讪二二(布正)讪三南二元.4 4 4【方法点拨】平面向量是具有代数与几何双重特征的量,因此解题时既要考虑其代数运算,也要兼顾其几何意义,数形结合,优化运算过程.8.B【考查目标】本题主要考查三角恒等变换与三角函数的性质，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.【解析】易知f(x)2cos'X"sir?x+23cos"1^|(2cosja-1)号+l*os2x号，则f(x)的最小正周期为n,当x=k"(4GZ)时，f(x)取得最大值,最大值为4.【解题关键】利用倍角公式进行三角恒等变换，使其变成“一角一名一函数”的形式.9.B【考查目标】本题主要考查三视图及最短路径问题,考查考生的运算求解能力与空间想象能力，考查的数学核心素养是直观想象与数学运算.【解析】 设过点材的高与圆柱的下底面交于点。，将圆柱沿,初剪开，则的位置如图所示,连接以；易知OM2ONA则从M到来的最短路径为“OM2+0N7H+e戈岳.10.C【考查目标】本题主要考查空间几何体的体积、直线与平面所成的角，考查考生的空间想象能力、运算求解能力,考查的数学核心素养是直观想象与数学运算.【解析】连接BC\,因为4匹平面B反CC所以/幽8须°,ABLBC“所以△46G为直角三角形.又AB2所以6G2/1又所以6产22之故该长方体的体积V2X2X2近3丘.11.B【考查目标】本题主要考查任意角的三角函数和三角恒等变换，考查考生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.【解析】 由题意知cos。”.因为cos2。之cos'。-13,所以cosa=/|,sina=±R,得Itana\=y.由题意知Itana|=|整I,所以la-引芈.1-Z b

12.D【考查目标】本题主要考查分段函数与不等式的解法,考查考生的数形结合能力、运算求解能力,考查的数学核心素养是逻辑推理与数学运算.【解题思路】利用函数的性质,将不等式/•(户D"(2x)进行转化,脱掉“尸，从而转化为可求解的不等式.【解析】当后0时，函数/Xx)之,是减函数,则/'(x)》f(O)=l.作出f(x)的大致图象如图所示，结合图象或｛先琵°’所以X。故选D.x4-1<0,可知,要使"户1)"(2x),或｛先琵°’所以X。故选D.2x<x+113.-7【考查目标】本题主要考查对数函数的知识，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.【解析】由A3)-1得log2(3%)=l,所以9+a引解得a=-7.14.6【考查目标】本题主要考查线性规划的知识，考查考生的数形结合能力，考查的数学核心素养是数学运算与直观想象.【解析】画出可行域,如图中阴影部分所示.作出直线3x+2yR并平移,结合图象可知，当平移后的直线经过点8(2,0)时,直线z学x+2y在y轴上的截距最大,z取得最大值，即当［:言时，^-3X2+0=6.【解题关键】线性规划的实质是把代数问题几何化,需要注意的是:一、准确无误地作出可行域;二、画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三、一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的顶点或边界上取得..2金【考查目标】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查考生的数形结合能力、运算求解能力，考查的数学核心素养是直观想象与数学运算.【解题思路】将圆的一般方程整理成标准方程,找到圆心与半径,求出圆心到直线的距离,进一步求出I湖的值.【解析】 由题意知圆的方程为“。5")2乂,所以圆心坐标为(0,-D,半径为2,则圆心到直线的距离d爷娟,所以M冽=2122-(外尸之夜..学【考查目标】本题主要考查正、余弦定理与三角形的面积公式，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力,考查的数学核心素养是数学运算.【解题思路】利用正弦定理，通过力sinC+csin比4asinbsin。求出sin号,再利用余弦定理求出b若,然后利用三角形的面积公式求解即可.【解析】由AsinGcsin/4asinBsin。得sin6sinGsinCsin庐Isin力sinBsinC因为sinBsine0,所以sin吗因为6%—=8,cos力更黑贮，所以6c•考,所以％«bcsin号'苧咛岑.17.【考查目标】 本题主要考查数列的基础知识与基本运算，考查考生的运算求解能力，考查的数学核心素养是逻辑推理与数学运算.(解题思路］ ⑴由na*N(n+D当得到a.“皿%〃,所以及工8=12,分别代入4当,求出氏九(2)由n n题设条件得出b”皿”,即可证明数列｛&｝是等比数列；(3)借助(2)的结论求出｛4｝的通项公式，进一步求出｛a｝的通项公式.【解析】(1)由条件可得当“上处又&.n将〃=1代入得，用力劲，而51=1,所以，ai=i.将〃之代入得，所以，^3-12.从而Z>i-1,也咤，人工.｛4｝是首项为1,公比为2的等比数列.由条件可得皿为\即b„^b„,又4=1,所以｛6〃｝是首项为1,公比为2的等比数列.n+1n(3)由(2)可得%①所以%=n・2T.n【方法提炼】求解含有递推关系式的数列问题时,通常可以对递推关系式进行转化,转化为等差或等比数列问题，有时也会用到一些特殊的转化方法，常用的转化方法有:变换法、待定系数法、累加法、迭代法..【考查目标】本题主要考查空间直线和平面、平面和平面的位置关系以及棱锥体积的计算，考查考生的推理论证能力和运算求解能力，考查的数学核心素养是逻辑推理与数学运算.

【解题思路】（1）根据线面垂直的判定定理证明/反1_平面ACD,进而可证平面平面ABC-.（2）利用BP^DA,求出BP,然后求出三棱锥的高,最后根据棱锥的体积公式求出三棱锥0T阶的体积.【解析】（1）由已知可得，N胡俏90°,胡_1_〃：又BAUD,所以4艮L平面ACD.又ABcz平面ABC,所以平面/成L平面ABC.⑵由已知可得,DC=CM=AB^3,DAB版又BP=DQ^DA,所以BP=2>/2.作QELAC,垂足为£则必'』三DC.由已知及（1）可得平面ABC,所以啰」.平面ABC,QEA.因此,三棱锥QT即的体积为-4XQ«XS△汨XIX沁、2倍in45。=1.【解后反思】几何体中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行、垂直关系以及有关角度、距离、面积和体积的计算是高考命题的热点，解题时要善于画图、思图、用图,把图形语言、符号语言和文字语言结合起来..【考查目标】本题主要考查频率分布直方图、平均数、概率等知识,考查考生分析问题、解决问题的能力,考查的数学核心素养是数据分析与数学运算.【解题思路】（1）利用频数计算出频率,然后根据频率/组距画出频率分布直方图；（2）计算出日用水量小于0.35n?的频率即可估计概率；（3）首先计算出50天未使用节水龙头的日用水量的平均数和使用了节水龙头的日用水量的平均数,再求出一年能节省的水量即可.【解析】⑴0000.10.20.30.4030.6日用水母仙，(2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m：，的频率为0.2X0.1+1X0.1+2.6X0.1+2X0.05=0.48,因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35n?的概率的估计值为0.48.(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为元1磊(0.05XIW.15X3X).25X2X).35X4X).45X9X).55X26X).65X5)4).48.该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为x,』(0.05XI内.15X54.25XI3X).35X10内.45X16旬.55X5)4).35.,50估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48-0.35)X365N7.45(m-1).【题型风向】概率与统计问题是近几年高考的热点,利用各种图表解答实际问题是高考命题的新亮点.这类题往往结合实际生活中比较新颖的问题进行命题..【考查目标】本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系,考查考生的化归与转化能力、运算求解能力,考查的数学核心素养是直观想象与数学运算.【解题思路】(D求出直线/与抛物线的交点，利用两点式写出直线原/的方程；(2)由(1)知，当直线I与x轴垂直时，结论显然成立,当直线1与x轴不垂直时，设出斜率",联立直线1与C的方程,求出M,/两点坐标之间的关系,再表示出BM与m的斜率,得其和为0,从而说明BM与以，两条直线的斜率互为相反数,进而可知两角相等.【解析】(1)当/与*轴垂直时，1的方程为x2可得"的坐标为(2,2)或(2,-2).所以直线网的方程为尸*1或⑵当/与x轴垂直时为例V的垂直平分线,所以NABM=NABN.当/与x轴不垂直时，设1的方程为y=A(x-2)(M0),〃(小,yi),M%2,y2),则汨刀,质义).由"2)'得ky-2y-4k^O,可知/%壬%3M.(y=2x k宜线BM,HV的斜率之和为k,w+kn、d3迎警铲空2①Xt+2x2+2 (x1+2)(x2+2)将为专+2,x式四及y・洛九Kz的表达式代入①式分子，可得xzy产㈤邑业警3字力.K K K K所以〃掰佩R,可知BM,阿的倾斜角互补，所以NABM=NABN.综上，NABM=NABN.［易错警示】 在设直线的方程时,一定要注意所设方程的适用范围，如用点斜式时,要考虑到直线的斜率不存在的情况，以免解答不严密或漏解..【考查目标】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及不等式恒成立问题，考查运算求解能力、化归与转化思想、数形结合思想，考查的数学核心素养是数学抽象、逻辑推理与数学运算.【解题思路】(D先写出函数/'(X)的定义域,并求/■'(X),利用f'(2)4)可求出a的值，进而可判断函数的单调性；(2)将证明不等式问题转化为不含参数a的不等式恒成立问题，构造函数g(x)《TnxT,求导即可证明.【解析】 ⑴f(x)的定义域为(0,+8),f，(x)=ae*士X由题设知,f'(2)R,所以aQ.2ez从而F(x)二7e'Tnx-ltf'(x)=^7/士当oa<2时，F'(x)6;当人>2时，F'(x)X).所以F(x)在(0,2)单调递减,在(2,+8)单调递增.(2)当心工时,f(x) -Inx-\.e e设g(x)--InxT,则g'(x)—e ex当oa<l时，/(x)<0;当时,g'(x)X.所以产1是g(x)的最小值点.故当xX)时,g(x)2g(1)=0.因此当a》工时,f(x)20.e【名师支招】函数与导数题以导数为工具，考查函数的单调性、极值、最值，函数的零点问题，不等式恒成立或存在性问题,这是高考的重要命题方向.在处理这些问题的过程中，要注意对分类讨论思想、函数与方程思想、数形结合思想等的应用，同时也要注意分离参数等的应用..【考查目标】本题主要考查极坐标方程和直角坐标方程的互化以及利用直线与圆的交点求直线的方程,考查分类讨论思想、化归与转化思想、运算求解能力，考查的数学核心素养是逻辑推理与数学运算.【解题思路】(1)利用x