第六章随机信号分析与处理基础教材课件

6.1随机信号的描述6.1.1随机信号及其概率结构6.1.2随机信号在时域的数值特征6.1.3随机信号的频域描述6.2随机信号通过线性系统的分析6.2.1平稳随机信号通过连续系统6.2.2平稳随机信号通过离散系统6.2.3过渡过程分析第六章随机信号分析与处理基础6.1随机信号的描述第六章随机信号分析与处理基础随机性信号例

汽车车架垂直加速度时间历程记录曲线图中每一条曲线xi(t)都是加速度时间历程的一次试验记录。

x1(t),x2(t),…,xn(t)构成加速度时间历程的集合，称为样本空间，记作X（t）。每一记录曲线称为一个样本，记作xn(t)。

由图可见，各条曲线互不相同，显然不可能用明确的函数式描述。

在任意时刻t1，加速度量值X（t）是一个随机变量。全部加速度记录的样本空间是无穷多个随机变量的集合。

这种随机现象的进行过程用随机过程来描述。随机性信号汽车车架垂直加速度时间历程记录曲线图中随机过程分类平稳过程非平稳过程

噪声信号(平稳)噪声信号(非平稳)统计特性变异随机过程分类噪声信号(平稳)噪声信号(非平稳)统计特性随机过程分类平稳过程指它的统计特性不随时间的推移而变化的随机过程。

噪声信号(平稳)任意时刻ti的随机变量X(ti)求集合平均有若不依赖于采样时刻ti，μx(ti)为常值，即μx(ti)=μx，则这种随机过程为平稳过程。

随机过程分类噪声信号(平稳)任意时刻ti的随机变量X(平稳过程的均值、方差、均方值是与时间无关的常量，相关函数及协方差仅是时移τ的函数，与过程的起止时刻t无关。平稳过程最重要的特点是过程在不同时刻具有相同的统计特征。与平稳过程相反，非平稳过程的统计特性是随着时间的推移而变化的。平稳过程的均值、方差、均方值是与时间无关的常量，相关函数及协平稳过程分类：非各态历经过程各态历经过程若随机过程的总体平均参数，可用任一时间历程按时间平均所求得的统计参数来代替，则这类随机过程称为各态历经随机过程。

令时间平均值为当时间平均等于集合平均，即μxk=μx，这类平稳过程为各态历经过程。意义：

实践证明，许多随机现象都可以在不同程度上看作各态历经随机过程。因此，可以用时间充分长的单个样本函数的时间平均统计参数来代替总体的平均统计值，这给试验信号处理带来了极大的方便。平稳过程分类：令时间平均值为当时间平均等于集合平均，即6.1随机信号的描述6.1.1随机信号及其概率结构（1）随机信号：

﹡“样本空间”（或称“集合”）：用全部可能观测到的波形记录来表示随机信号，用X(t)表示；﹡“样本函数”（或称“实现”）：用于表示“样本空间”中每一个确定波形的函数，用x(t)表示；﹡随机信号的样本集合：X(t)={xi(t)},i=1,2,…。t=t1时，随机信号的状态为X(t1)={xi(t1)},i=1,2,…，为一个数值集合，如p246—图6-1所示。﹡随机信号的理解方法：将其看作随机变量的时间过程，分为连续时间随机信号和离散时间随机信号。6.1随机信号的描述6.1.1随机信号及其概率结构（2）概率结构：

由于随机信号是随时间变化的随机变量，故可以用概率结构来描述，具体的，对于离散型随机变量，用概率描述；对于连续型随机变量，用概率密度描述。如，1）一维概率分布函数表示随机信号X(t)在t1时刻的取值不大于x1的概率。

2）一维概率密度函数

表示随机信号在t1时刻的取值落入[x1,x1+△]极小区间的平均概率。3）n维联合概率分布函数：4）n维联合概率密度函数：注：在实际中，往往只考虑一维和二维的概率分布函数和概率密度函数。（2）概率结构：6.1.2随机信号在时域的数字特征（1）连续时间随机信号的数字特征﹡均值（或数学期望）：随机信号x(t)的所有样本函数在同一时刻取值的统计平均值。1）离散随机信号的均值：2）连续随机信号的均值：

其中，

为随机变量x(t)各个样本的摆动中心。3）对于平稳随机信号：

可见其均值为一个与时间无关的常数，相当于信号的直流分量。

﹡均方值：用于表示随机信号的平均功率，表达式为：

对于平稳随机信号：

其均方值仍为一个与时间无关的常数。

6.1.2随机信号在时域的数字特征﹡方差：用于表明随机信号各可能值对其平均值的偏离程度，是随机信号取值分散性的度量。表达式为：

其中，—均方差；对于平稳随机信号：

可见其方差也为一个与时间无关的常数。﹡方差：用于表明随机信号各可能值对其平均值的偏离程度，是随机﹡自相关函数与自协方差函数：

1）自相关函数：用于反映随机信号在不同时刻的内在联系，表达式为：

当t1=t2=t时，有：

表明：随机信号的均方值是它的自相关函数在t1=t2时的特例。对于平稳随机信号：

可见其自相关函数是时间间隔的函数。﹡自相关函数与自协方差函数：2）自协方差函数：用随机信号X(t)在两个不同时刻t1、t2取值起伏变化的相依程度来描述随机信号不同时刻的关联关系，表示为：

当t1=t2=t时，有：对于平稳随机信号：

可见其自协方差函数也是时间间隔的函数。

2）自协方差函数：用随机信号X(t)在两个不同时刻t1、﹡互相关函数与互协方差函数：

1）互相关函数：用于研究两个随机信号x(t)和y(t)的相互关系，表达式为：

其中，表示两随机信号的二维联合概率密度函数；

表示两随机信号之间的线性依赖关系。对于平稳随机信号，当满足下面条件时：

有：

﹡互相关函数与互协方差函数：2）互协方差函数：同样用于表征两个随机信号之间的依赖关系。

对于平稳随机信号：

例6-1一个随机信号，其中、均为常数，

为区间均匀分布的随机变量，求该随机信号x(t)的均值、均方值、方差、自相关函数及自协方差函数。

2）互协方差函数：同样用于表征两个随机信号之间的依赖关系。解：随机变量在区间均匀分布，它与时间无关，故其一维、二维概率密度均为：根据式（6-15）求得该随机信号的均值为：根据式（6-20）求得该随机信号的自相关函数为：

解：随机变量在区间均匀分其中，根据式（6-24）求得其自协方差函数为：根据式（6-25）求得该随机信号的方差为：根据式（6-26）求得该随机信号的均方值为：其中，根据式（6-24）求得其（2）各态遍历性随机信号及其数字特征﹡时间平均表征量：1）随机信号x(t)的时间均值：

2）随机信号x(t)的时间相关函数：

﹡各态遍历性随机信号：

在一定条件下，平稳随机信号的每一个样本都同样地经历了随机信号其它样本的各种可能状态，因而从一个样本的统计特性（时间平均）就能得到全部样本的统计特性（集平均），此类信号称为各态遍历性随机信号。﹡各态遍历性随机信号的数字特征：

先通过简单的实验方法或数学方法得到一个各态遍历性随机信号的均值、自相关函数，再运用关系式得到其它数字特征量。（2）各态遍历性随机信号及其数字特征（2）离散时间随机信号的数字特征﹡离散时间随机信号：时间t的取值是离散的随机信号x(t)。﹡数字特征：与连续时间情况并无不同，只是时间变量t应变为限取整数的变量n。

如，此时总集均值E[X(t)]应表示为：﹡遍历性随机序列：对于一个平稳随机序列X(n)，若其各种时间平均以概率1收敛于相应的集合平均，则称其为遍历性随机序列。（2）离散时间随机信号的数字特征6.1.2随机信号的频域描述

（1）连续时间情况﹡功率谱（或称功率谱密度函数）：

设xi(t)是随机信号x(t)的一个样本，不满足傅立叶变换所要求的平方可积条件，故将其截短，形成,即：

将上式进行傅立叶变换，结合帕斯瓦尔得平均功率谱表达式为：﹡随机信号的功率谱：6.1.2随机信号的频域描述

（1）连续时间情况﹡维纳-辛钦（Wiener-Khinchine）定理：

平稳随机信号x(t)的功率谱是它的自相关函数的傅立叶变换；而x(t)的自相关函数是其功率谱的傅立叶反变换。用公式表述如下：﹡维纳-辛钦（Wiener-Khinchine）定理：﹡互谱（或称互功率密度谱）：

对于两个随机信号X(t)、Y(t)，若它们是平稳相关的，则其互谱为：﹡互谱与互相关函数的关系：

为一组傅立叶变换对，满足：﹡互谱（或称互功率密度谱）：例6-2求随机相位余弦信号的功率谱及平均功率。解：设随机相位余弦信号为，其中、均为常数，为区间均匀分布的随机变量。

由例6-1得自相关函数为：

则根据维纳-辛钦（Wiener-Khinchine）定理得此功率谱为：

平均功率为：例6-2求随机相位余弦信号的功率谱及平均功率。（2）离散时间情况

上述维纳-辛钦（Wiener-Khinchine）定理同样适用于离散时间序列，故可以求平稳随机序列的功率密度谱，以及序列的自相关函数。﹡离散时间信号功率谱的特点：1）功率谱是周期性的，因此可作傅立叶级数分解；2）反演变换的积分区间是。（2）离散时间情况6.2随机信号通过线性系统的分析随机信号通过线性系统时，可能出现的两种情况：（1）平稳情况（稳态）：如果输入是平稳随机信号，系统是线性时不变且稳定的，则当系统完成过渡过程进入稳态后，输出也应该是平稳的随机信号；（2）非平稳情况（暂态）：即系统进入稳态前的过渡过程。6.2随机信号通过线性系统的分析随机信号通过线性系统时，6.2.1平稳随机信号通过连续系统（1）系统响应的时域分析

设一线性时不变系统的单位冲激响应为h(t),当时，

其输出零状态响应Y(t)的表达式为：1.输出Y(t)的均值：2.输出的Y(t)自相关函数：3.输入与输出之间的互相关函数：

或

6.2.1平稳随机信号通过连续系统（2）系统响应的频域分析

当系统的输入、输出均为平稳随机信号时，可以通过维纳-辛钦（Wiener-Khinchine）定理求取功率谱密度函数。1.系统输出的功率谱密度：

可见，系统的功率谱传输能力仅与系统的幅频特性有关，而与系统的相频特性无关。2.系统输入与输出之间的互功率谱密度：

可见，互功率谱密度不仅包含有系统幅频特性函数的幅度信息，还包含有相位信息。

（2）系统响应的频域分析6.2.2平稳随机信号通过离散系统

随机序列通过离散系统的分析，与连续时间随机信号通过连续系统对输出统计特性的分析计算类似，可以采用时域分析和频域分析两种方法。

具体分析过程同6.2.1类似，详见p260～262。

6.2.2平稳随机信号通过离散系统6.2.3过渡过程分析（1）连续时间信号情况1.零输入响应：由初始状态决定。

若初始状态是确定性量，则所得响应也是确定性的；若初始状态是随机变量，则通过解析表达式，分析所得结果的统计特征。

例6-6：p262～2636.2.3过渡过程分析2.零状态响应：通过卷积来求解。

对于因果系统，设x(t)在t=0时刻接入，则系统输出为：1）输出y(t)的自相关函数：2）输入输出的互相关函数：注：分别分析零输入响应和零状态响应，再将二者结合可求得系统过渡过程的总响应。2.零状态响应：通过卷积来求解。（2）离散时间信号情况1.分析方法：1）根据初始状态是确定性量还是随机变量，确定系统的零输入响应过程的确定性或随机性；2）通过卷积和分析系统的零状态响应。2.例6-7：p265（2）离散时间信号情况功率谱分析！！！相干函数功率谱分析的应用

细化分析倒频谱分析功率有限信号——功率谱能量有限信号——能量谱功率谱分析！！！功率有限信号——功率谱频谱分析可以研究信号的频率结构工程信号往往是复杂的：包含周期成分<设备运行特征>包含随机干扰<环境、故障运行特征>频谱表现为连续＋尖脉冲不易识别工程信号分析的关键是降低噪声，提高信噪比频谱分析不改变信噪比功率谱分析频谱分析可以研究信号的频率结构功率谱分析设工程信号x(t)=s(t)+n(t)其中s(t)为有用信号；n(t)为随机干扰则x(t)的傅里叶变换X(ω)为：X(ω)=S(ω)+N(ω)可见：傅里叶变换不会提高信噪比。对x(t)进行自相关分析

Rxx(τ)=Rss(τ)+Rnn(τ)+Rsn(τ)+Rns(τ)

＝Rss(τ)

——(n(t)零均值，τ∞)可见：相关函数可以提高信噪比，但不反映频谱相关函数的傅里叶变换可以提高信噪比，又能反映频率结构功率谱功率谱分析设工程信号x(t)=s(t)+n(t)能量谱与功率谱设能量有限信号x(t)、y(t)相关函数Rxx(τ)、Rxy(τ)定义：自能量谱密度函数互能量谱密度函数即能量谱从频域提取信号中的周期分量或同频分量相关函数从时域提取信号中的周期或同频分量能量谱与功率谱设能量有限信号x(t)、y(t)自能量谱密度函设功率有限信号x(t)、y(t)相关函数Rxx(τ)、Rxy(τ)定义：自功率谱密度函数互功率谱密度函数即功率谱从频域提取信号中的周期分量或同频分量相关函数从时域提取信号中的周期或同频分量设功率有限信号x(t)、y(t)自功率谱密度函数互功率谱密度自能量谱密度函数互能量谱密度函数自功率谱密度函数互功率谱密度函数能量谱与功率谱——统称为功率谱自能量谱密度函数互能量谱密度函数自功率谱密度函数互功率谱密度功率谱的性质功率谱密度函数的性质自功率谱Sxx(f)是实偶函数；互功率谱Sxy(f)是非奇非偶复函数；双边谱：f∈(-∞,∞)；功率谱与相关函数包含的信息完全等价。单边功率谱工程上，负频率没有意义定义f∈0,∞)的单边功率谱根据能量守恒准则：功率谱的性质功率谱密度函数的性质Gxx(f)功率谱的性质单边功率谱自功率谱Gxx(f)Sxx(f)f互功率谱Gxx(f)Gxx(f)功率谱的性质单边功率谱Sxx(f)f互功率谱Gx功率谱的性质功率谱的物理意义由功率谱的定义：Gxx(f)下的面积等于信号的总能量故称Gxx(f)为能量有限信号的能量谱密度函数或功率有限信号的功率谱密度函数Gxx(f)任意频段间的面积＝该频带下信号的能量功率谱的性质功率谱的物理意义Gxx(f)下的面积等于信号的总功率谱的计算工程测试中，只能得到有限区间上的信号x(t)：t∈(-T/2,T/2)；x(t)

X(ω)x(t)x(n)根据连续信号的帕斯瓦尔公式：功率谱的计算工程测试中，只能得到有限区间上的信号功率谱的计算双边互功率谱：双边自功率谱：单边自功率谱：单边自功率谱：功率谱的计算双边互功率谱：双边自功率谱：单边自功率谱：单边自功率谱的计算得到功率谱计算2种方法：直接根据相关函数求傅里叶变换先求幅值谱，再利用上述公式计算功率谱的计算得到功率谱计算2种方法：相干函数评价因果系统输入输出之间的因果关系输出是否由输入引起？输出中有多少由输入引起？系统的线性特性如何？因果系统ni(t)no(t)+y(t)x(t)+++相干函数与相干分析相干函数评价因果系统输入输出之间的因果关系因果系统ni(t)相干函数Rxy(τ)能从延时域上描述输出与输入的相关关系相干函数则从频域上描述输出与输入的相关关系由:因果系统ni(t)no(t)+y(t)x(t)+++相干函数Rxy(τ)能从延时域上描述输出与输入的相关关系因果相干函数因果系统ni(t)no(t)+y(t)x(t)+++Gxx(f)表示y与x

的相关程度Gxx(f)越大，y与x的相关性越强相干函数定义：相干函数因果系统ni(t)no(t)+y(t)x(t)+++相干函数相干函数的意义：

x(t)≡k×y(t),完全相干：x(t)与y(t)完全不相关,完全不相干：x(t)与y(t)部分相关,部分相干完全相干：输出100％由输入引起，理想系统；完全不相干：输出与输入毫无关系，极端情况；部分相干：一般系统，表示系统多输入系统有干扰非线性相干函数相干函数的意义：x(t)≡k×y(t),完全相干：功率谱分析的应用频谱分析故障诊断信号检测模式识别……功率谱分析的应用频谱分析频谱分析n(t)是零均值、幅度在±1.5范围内变化的随机信号。以fs=1000Hz的采样频率采样，求采样信号的幅值谱和功率谱解：Matlab代码t=0:0.001:0.5;x=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*120*t);y=x+randn(1,length(t));N=512;Y=fft(y,N);G=Y.*conj(Y)/N;Y1=Y(1:N/2);G1=G(1:N/2);f=1000*(0:N-1)/N;subplot(2,2,1):plot(t,y);subplot(2,2,2):plot(f,Y1);Subplot(2,2,3):plot(f,G1)一个被污染的信号频谱分析n(t)是零均值、幅度在±1.5范围内变化的随机信号图图频率响应函数的测定已知系统的输入、输出，求频响函数系统h(t)H(f)Y(f)y(t)x(t)X(f)(1)幅值估计法无干扰线性系统只能求出幅频特性无相位信息频率响应函数的测定已知系统的输入、输出，求频响函数系统频率响应函数的测定系统h(t)H(f)Y(f)y(t)x(t)X(f)(2)

互谱估计法无干扰线性系统既能求出幅频特性又能得到相位信特性频率响应函数的测定系统h(t)H(f)Y(f)y(t)频率响应函数的测定（3）实际物理系统频响的求法系统n(t)m(t)+y(t)x(t)+++b(t)a(t)h(t)H(f)有干扰系统干扰n,m不相干n、m与a、b不相干a、b系统真正输入、输出x、y实际测得的输入、输出系统频率响应由a、b确定：但a、b不可知可通过以下近似方法求得频率响应函数的测定（3）实际物理系统频响的求法系统n(系统n(t)m(t)+y(t)x(t)+++b(t)a(t)h(t)H(f)频率响应函数的测定幅值估计法幅频误差相频丢失系统n(t)m(t)+y(t)x(t)+++b(t)a系统n(t)m(t)+y(t)x(t)+++b(t)a(t)h(t)H(f)频率响应函数的测定互谱估计法幅频测小相频精确系统n(t)m(t)+y(t)x(t)+++b(t)a系统n(t)m(t)+y(t)x(t)+++b(t)a(t)h(t)H(f)频率响应函数的测定互谱估计法幅频测大相频精确系统n(t)m(t)+y(t)x(t)+++b(t)a系统n(t)m(t)+y(t)x(t)+++b(t)a(t)h(t)H(f)频率响应函数的测定平均估计法相频精确幅频测小幅频测大幅频更接近系统n(t)m(t)+y(t)x(t)+++b(t)a细化分析引出：功率谱分析基本思想是带通滤波＋FFT：分析个别频带上的频率成分分辨率确定、采样点确定一些工程信号<语音、振动、噪声>频带很宽频率谱线密集为了识别谱图的细微结构，必须提高功率谱分析的分辨率分析仪器具有很宽的频率范围相互矛盾f/HzGxx(f)f0f1f2细化分析引出：相互矛盾f/HzGxx(f)f0f1f细化分析信号时域宽度T，采样点数N，采样间隔信号频带宽度fc=fs/2，谱线数N，频率分辨率提高频率分辨率的两种途径：引起混叠工作量增加；硬件不允许均不可行！措施：保持N不变，设法降低——细化分析（ZOOM－FFT）的基本思想细化分析信号时域宽度T，采样点数N，采样间隔信号频带宽度fc细化分析的基本思想移频低通滤波重新采样FFTf/HzGxx(f)感兴趣频段f0f0-f1f0+f1-f10f1移频滤波后，感兴趣频带的最高频率f1<<f0<0.5fm；有可能在满足采样定理的前提下增大采样间隔；提高频率分辨率x(t)e-j2πf0Gxx(f+f0)细化分析的基本思想移频低通滤波重新采样FFTf/H移频确定分析频带f0±f1，找出中心频率f0;利用移频技术，将f0移至0Hz处：由频带左移f0,感兴趣的频带移至低频端。移频的实质是：给时域信号x(t)乘以或给时域信号x(n)乘以其中：或感兴趣频段Gxx(f)f/Hzf0f0-f1f0+f1-f10f1-f10f1移频确定分析频带f0±f1，找出中心频率f0;由频带左移f0低通滤波以截至频率为f0的的通滤波器滤波得到感兴趣的频段最高频率f1低通滤波的目的：避免重新采样时发生混叠f/HzGxx(f+f0)

-f10f1低通滤波以截至频率为f0的的通滤波器滤波f/HzGxx(D为正整数细化倍数重新采样信号原长为T，采样间隔Ts,采样点数N，则采样频率fs，频率分辨率重新采样：采样间隔DTs,采样点数N，则：信号长度变为T’=DTsN=DT，

重新采样频率频率分辨率结论：只要将信号长度增加D倍，采样间隔加大D倍，采样点数不变时，频率分辨率提高D倍。D为正整数重新采样信号原长为T，采样间隔Ts,采样点数N，则快速傅里叶变换对重新采样的数据进行FFTX(k)；频谱重构，得到细化D倍的频谱：快速傅里叶变换对重新采样的数据进行FFTX(k)；ZOOM－FFT的一般步骤乘法器FFT重新采样系数发生器采样器低通滤波频谱重构细化倍数D移频ZOOM－FFT的一般步骤乘法器FFT重新系数发生器采样器低倒频谱分析或倒功率谱分析Cepstrum功率谱分析(Spectrum)的思想:FFT+带通滤波:分析全频域频率结构功率谱分析(Spectrum)的局限性:仅适应于线性叠加信号的频谱分析两信号频带不交叠时信号的分离不适用于非线性信号处理Y(f)X(f)Y(f)X(f)x(t)+y(t)x(t)×y(t)倒频谱分析或倒功率谱分析Cepstrum功率谱分析(Spec信号非线性叠加的例子测量问题：语音分析问题：传感器输入x(t)输出y(t)h(t)H(f)Y(f)X(f)H(f)X(f)fY(f)X(f)与H(f)不可分离声道声门声门冲激发音器官的特征语音声门冲激信号X(f)与H(f)不可分离信号非线性叠加的例子测量问题：语音分析问题：传感器输入x(t解决问题的思路频域上“乘积”化为“求和”频谱取对数——倒频谱/倒功率谱

——1962年Tukey等认提出用于语音分析、地震分析、回声分析、故障诊断等领域解决问题的思路频域上“乘积”化为“求和”倒频谱分析原理设时域信号离散傅里叶变换频谱的模取对数傅里叶反变换实倒频谱定义：信号频谱模的对数的傅里叶逆变换幅频化积为和Cx(τ)只反映x(n)的实部，称为实倒频谱由实倒频谱不能恢复信号的频谱！指数运算倒频谱分析原理设时域信号离散傅里叶变换频谱的模取对数傅里叶反倒频谱自变量的量纲时间频率倒时间频率倒时间幅度变化时间倒频率幅度变化τ具有时间的量纲，但幅度发生变化τ称为倒频率，C(τ)称为倒频谱倒频谱自变量的量纲时间频率倒时间频率倒时间幅度变化时间倒频率倒频谱分析原理一般情况下，X(n)为复数：C(τ)包含X(n)的实部和虚部，可以恢复信号的频谱C(n)称为信号的复倒频谱复倒频谱与信号频谱一一对应一般在不关心相位信息时，采用实倒谱倒频谱分析原理一般情况下，X(n)为复数：C(τ)包含X(n倒功率谱设时域信号功率谱（实谱）倒功率谱从倒功率谱可以恢复信号的功率谱！倒功率谱定义：信号功率谱对数的傅里叶变换实偶函数倒功率谱设时域信号功率谱（实谱）倒功率谱从倒功率谱可以恢复信倒功率谱分析的过程编辑倒滤波倒功率谱分析的过程编辑倒滤波倒频谱术语频谱：spectrum倒频谱：cepstrum频率：frequency倒频率：quefrency相位：phase倒相位：saphe滤波：filter倒滤波：lifter倒频谱术语频谱：spectrum倒频谱：cepst倒频谱分析的应用传递函数的分离回声分析与剔除倒频谱分析的应用传递函数的分离（1）传递函数分离传感器输入x(t)输出y(t)H(f)Y(f)X(f)H(f)X(f)fY(f)求H(f)＝？τh(t)Cx(τ)Ch(τ)（1）传递函数分离传感器输入x(t)输出y(t)H(f)Y(傅里叶变换FFT：（1）传递函数分离Cx和Ch

在倒频域上占有不同的频段：Cx在高频段Ch在低频段倒滤波(倒谱编辑)低通滤波得Ch

分离传递函数h(t)高通滤波得Cx

分离信号x(t)τCx(τ)Ch(τ)指数运算exp(·)：开平方：傅里叶反变换IFFT：傅里叶变换FFT：指数运算exp(·)：开平方：傅里叶反变换IFFT：傅里叶变换FFT：（1）传递函数分离Cx和Ch在倒频域上实例某检测系统输出y(t)功率谱对数图，输入x(t),系统脉冲响应函数h(t)ln[Sy(f)]ff0ln|H(f)|2ln[Sx(f)]τ0τCy(τ)Cx(τ)Ch(τ)对数频域有周期分量，Sy(f)=|H(f)|2SX(f)；倒频域必有脉冲成分,对应于Sx(f)；f0与τ0满足:τ0＝f0－1；滤除高频，可恢复脉冲相应函数h(t)

；滤除低频，可恢复被测信号x(t)实例某检测系统输出y(t)功率谱对数图，输入x(t),系统脉(2)回声分析与剔除噪声测量中会引入回声；回声使声源的功率谱产生畸变；影响声源定位或频率识别；精密测量时应予以剔除。声源信号x(t);声速V;反射系数α；声源至反射壁距离S。则信号通道时差τ0＝2S/V反射壁声源传声器x(t)y(t)S真实信号回声(2)回声分析与剔除噪声测量中会引入回声；反射壁声源传声①波形分析时域：传声器输出＝原声＋回声回声相对原声：幅度减小、延时时域中波形重叠，不能剔除回声tx(t)τ0αx(t-τ0)y(t)①波形分析时域：传声器输出＝原声＋回声tx(t)τ0αx(t①

波形分析频域：幅频：原声谱＋回声谱，波形完全重叠相频：原声相位与回声相位叠加频域中，不能剔除回声x(t)αX(f)Y(f)f幅频φx2πfτ0φyφf对策：倒频谱分析①波形分析频域：幅频：原声谱＋回声谱，波形完全重叠x(t)时域卷积，倒频分离②

回声分析测量的时域表达式：时域卷积，倒频分离②回声分析测量的时域表达式：②

回声分析两边取对数幂级数展开②回声分析两边取对数幂级数展开②

回声分析求倒功率谱：傅里叶反变换回声信号倒谱声源信号倒谱-412354-1-2-3-5τ×τ0②回声分析求倒功率谱：回声信号声源信号-412354-1-②

回声分析结论：回声的倒谱是一系列周期为τ0的冲激信号；随|n|的增大，脉冲幅度快速减小.冲激只发生在τ0的整数倍处（n≠0）；鸡冠状滤波器可以滤除此周期冲激；由Cx(τ)恢复声源真实信号的倒谱；有多个回声实，倒谱中有多个冲激族。②回声分析结论：③回声剔除倒谱编辑——倒滤波-412354-1-2-3-5τ×τ0鸡冠状滤波器剔除回声鸡冠状滤波器Cy(τ)Cx(τ)③回声剔除倒谱编辑——倒滤波-412354-1-2-3-5④声源信号恢复真实信号得以恢复！④声源信号恢复真实信号得以恢复！6.1随机信号的描述6.1.1随机信号及其概率结构6.1.2随机信号在时域的数值特征6.1.3随机信号的频域描述6.2随机信号通过线性系统的分析6.2.1平稳随机信号通过连续系统6.2.2平稳随机信号通过离散系统6.2.3过渡过程分析第六章随机信号分析与处理基础6.1随机信号的描述第六章随机信号分析与处理基础随机性信号例

汽车车架垂直加速度时间历程记录曲线图中每一条曲线xi(t)都是加速度时间历程的一次试验记录。

x1(t),x2(t),…,xn(t)构成加速度时间历程的集合，称为样本空间，记作X（t）。每一记录曲线称为一个样本，记作xn(t)。

由图可见，各条曲线互不相同，显然不可能用明确的函数式描述。

在任意时刻t1，加速度量值X（t）是一个随机变量。全部加速度记录的样本空间是无穷多个随机变量的集合。

这种随机现象的进行过程用随机过程来描述。随机性信号汽车车架垂直加速度时间历程记录曲线图中随机过程分类平稳过程非平稳过程

噪声信号(平稳)噪声信号(非平稳)统计特性变异随机过程分类噪声信号(平稳)噪声信号(非平稳)统计特性随机过程分类平稳过程指它的统计特性不随时间的推移而变化的随机过程。

噪声信号(平稳)任意时刻ti的随机变量X(ti)求集合平均有若不依赖于采样时刻ti，μx(ti)为常值，即μx(ti)=μx，则这种随机过程为平稳过程。

随机过程分类噪声信号(平稳)任意时刻ti的随机变量X(平稳过程的均值、方差、均方值是与时间无关的常量，相关函数及协方差仅是时移τ的函数，与过程的起止时刻t无关。平稳过程最重要的特点是过程在不同时刻具有相同的统计特征。与平稳过程相反，非平稳过程的统计特性是随着时间的推移而变化的。平稳过程的均值、方差、均方值是与时间无关的常量，相关函数及协平稳过程分类：非各态历经过程各态历经过程若随机过程的总体平均参数，可用任一时间历程按时间平均所求得的统计参数来代替，则这类随机过程称为各态历经随机过程。

令时间平均值为当时间平均等于集合平均，即μxk=μx，这类平稳过程为各态历经过程。意义：

实践证明，许多随机现象都可以在不同程度上看作各态历经随机过程。因此，可以用时间充分长的单个样本函数的时间平均统计参数来代替总体的平均统计值，这给试验信号处理带来了极大的方便。平稳过程分类：令时间平均值为当时间平均等于集合平均，即6.1随机信号的描述6.1.1随机信号及其概率结构（1）随机信号：

﹡“样本空间”（或称“集合”）：用全部可能观测到的波形记录来表示随机信号，用X(t)表示；﹡“样本函数”（或称“实现”）：用于表示“样本空间”中每一个确定波形的函数，用x(t)表示；﹡随机信号的样本集合：X(t)={xi(t)},i=1,2,…。t=t1时，随机信号的状态为X(t1)={xi(t1)},i=1,2,…，为一个数值集合，如p246—图6-1所示。﹡随机信号的理解方法：将其看作随机变量的时间过程，分为连续时间随机信号和离散时间随机信号。6.1随机信号的描述6.1.1随机信号及其概率结构（2）概率结构：

由于随机信号是随时间变化的随机变量，故可以用概率结构来描述，具体的，对于离散型随机变量，用概率描述；对于连续型随机变量，用概率密度描述。如，1）一维概率分布函数表示随机信号X(t)在t1时刻的取值不大于x1的概率。

2）一维概率密度函数

表示随机信号在t1时刻的取值落入[x1,x1+△]极小区间的平均概率。3）n维联合概率分布函数：4）n维联合概率密度函数：注：在实际中，往往只考虑一维和二维的概率分布函数和概率密度函数。（2）概率结构：6.1.2随机信号在时域的数字特征（1）连续时间随机信号的数字特征﹡均值（或数学期望）：随机信号x(t)的所有样本函数在同一时刻取值的统计平均值。1）离散随机信号的均值：2）连续随机信号的均值：

其中，

为随机变量x(t)各个样本的摆动中心。3）对于平稳随机信号：

可见其均值为一个与时间无关的常数，相当于信号的直流分量。

﹡均方值：用于表示随机信号的平均功率，表达式为：

对于平稳随机信号：

其均方值仍为一个与时间无关的常数。

6.1.2随机信号在时域的数字特征﹡方差：用于表明随机信号各可能值对其平均值的偏离程度，是随机信号取值分散性的度量。表达式为：

其中，—均方差；对于平稳随机信号：

可见其方差也为一个与时间无关的常数。﹡方差：用于表明随机信号各可能值对其平均值的偏离程度，是随机﹡自相关函数与自协方差函数：

1）自相关函数：用于反映随机信号在不同时刻的内在联系，表达式为：

当t1=t2=t时，有：

表明：随机信号的均方值是它的自相关函数在t1=t2时的特例。对于平稳随机信号：

可见其自相关函数是时间间隔的函数。﹡自相关函数与自协方差函数：2）自协方差函数：用随机信号X(t)在两个不同时刻t1、t2取值起伏变化的相依程度来描述随机信号不同时刻的关联关系，表示为：

当t1=t2=t时，有：对于平稳随机信号：

可见其自协方差函数也是时间间隔的函数。

2）自协方差函数：用随机信号X(t)在两个不同时刻t1、﹡互相关函数与互协方差函数：

1）互相关函数：用于研究两个随机信号x(t)和y(t)的相互关系，表达式为：

其中，表示两随机信号的二维联合概率密度函数；

表示两随机信号之间的线性依赖关系。对于平稳随机信号，当满足下面条件时：

有：

﹡互相关函数与互协方差函数：2）互协方差函数：同样用于表征两个随机信号之间的依赖关系。

对于平稳随机信号：

例6-1一个随机信号，其中、均为常数，

为区间均匀分布的随机变量，求该随机信号x(t)的均值、均方值、方差、自相关函数及自协方差函数。

2）互协方差函数：同样用于表征两个随机信号之间的依赖关系。解：随机变量在区间均匀分布，它与时间无关，故其一维、二维概率密度均为：根据式（6-15）求得该随机信号的均值为：根据式（6-20）求得该随机信号的自相关函数为：

解：随机变量在区间均匀分其中，根据式（6-24）求得其自协方差函数为：根据式（6-25）求得该随机信号的方差为：根据式（6-26）求得该随机信号的均方值为：其中，根据式（6-24）求得其（2）各态遍历性随机信号及其数字特征﹡时间平均表征量：1）随机信号x(t)的时间均值：

2）随机信号x(t)的时间相关函数：

﹡各态遍历性随机信号：

在一定条件下，平稳随机信号的每一个样本都同样地经历了随机信号其它样本的各种可能状态，因而从一个样本的统计特性（时间平均）就能得到全部样本的统计特性（集平均），此类信号称为各态遍历性随机信号。﹡各态遍历性随机信号的数字特征：

先通过简单的实验方法或数学方法得到一个各态遍历性随机信号的均值、自相关函数，再运用关系式得到其它数字特征量。（2）各态遍历性随机信号及其数字特征（2）离散时间随机信号的数字特征﹡离散时间随机信号：时间t的取值是离散的随机信号x(t)。﹡数字特征：与连续时间情况并无不同，只是时间变量t应变为限取整数的变量n。

如，此时总集均值E[X(t)]应表示为：﹡遍历性随机序列：对于一个平稳随机序列X(n)，若其各种时间平均以概率1收敛于相应的集合平均，则称其为遍历性随机序列。（2）离散时间随机信号的数字特征6.1.2随机信号的频域描述

（1）连续时间情况﹡功率谱（或称功率谱密度函数）：

设xi(t)是随机信号x(t)的一个样本，不满足傅立叶变换所要求的平方可积条件，故将其截短，形成,即：

将上式进行傅立叶变换，结合帕斯瓦尔得平均功率谱表达式为：﹡随机信号的功率谱：6.1.2随机信号的频域描述

（1）连续时间情况﹡维纳-辛钦（Wiener-Khinchine）定理：

平稳随机信号x(t)的功率谱是它的自相关函数的傅立叶变换；而x(t)的自相关函数是其功率谱的傅立叶反变换。用公式表述如下：﹡维纳-辛钦（Wiener-Khinchine）定理：﹡互谱（或称互功率密度谱）：

对于两个随机信号X(t)、Y(t)，若它们是平稳相关的，则其互谱为：﹡互谱与互相关函数的关系：

为一组傅立叶变换对，满足：﹡互谱（或称互功率密度谱）：例6-2求随机相位余弦信号的功率谱及平均功率。解：设随机相位余弦信号为，其中、均为常数，为区间均匀分布的随机变量。

由例6-1得自相关函数为：

则根据维纳-辛钦（Wiener-Khinchine）定理得此功率谱为：

平均功率为：例6-2求随机相位余弦信号的功率谱及平均功率。（2）离散时间情况

上述维纳-辛钦（Wiener-Khinchine）定理同样适用于离散时间序列，故可以求平稳随机序列的功率密度谱，以及序列的自相关函数。﹡离散时间信号功率谱的特点：1）功率谱是周期性的，因此可作傅立叶级数分解；2）反演变换的积分区间是。（2）离散时间情况6.2随机信号通过线性系统的分析随机信号通过线性系统时，可能出现的两种情况：（1）平稳情况（稳态）：如果输入是平稳随机信号，系统是线性时不变且稳定的，则当系统完成过渡过程进入稳态后，输出也应该是平稳的随机信号；（2）非平稳情况（暂态）：即系统进入稳态前的过渡过程。6.2随机信号通过线性系统的分析随机信号通过线性系统时，6.2.1平稳随机信号通过连续系统（1）系统响应的时域分析

设一线性时不变系统的单位冲激响应为h(t),当时，

其输出零状态响应Y(t)的表达式为：1.输出Y(t)的均值：2.输出的Y(t)自相关函数：3.输入与输出之间的互相关函数：

或

6.2.1平稳随机信号通过连续系统（2）系统响应的频域分析

当系统的输入、输出均为平稳随机信号时，可以通过维纳-辛钦（Wiener-Khinchine）定理求取功率谱密度函数。1.系统输出的功率谱密度：

可见，系统的功率谱传输能力仅与系统的幅频特性有关，而与系统的相频特性无关。2.系统输入与输出之间的互功率谱密度：

可见，互功率谱密度不仅包含有系统幅频特性函数的幅度信息，还包含有相位信息。

（2）系统响应的频域分析6.2.2平稳随机信号通过离散系统

随机序列通过离散系统的分析，与连续时间随机信号通过连续系统对输出统计特性的分析计算类似，可以采用时域分析和频域分析两种方法。

具体分析过程同6.2.1类似，详见p260～262。

6.2.2平稳随机信号通过离散系统6.2.3过渡过程分析（1）连续时间信号情况1.零输入响应：由初始状态决定。

若初始状态是确定性量，则所得响应也是确定性的；若初始状态是随机变量，则通过解析表达式，分析所得结果的统计特征。

例6-6：p262～2636.2.3过渡过程分析2.零状态响应：通过卷积来求解。

对于因果系统，设x(t)在t=0时刻接入，则系统输出为：1）输出y(t)的自相关函数：2）输入输出的互相关函数：注：分别分析零输入响应和零状态响应，再将二者结合可求得系统过渡过程的总响应。2.零状态响应：通过卷积来求解。（2）离散时间信号情况1.分析方法：1）根据初始状态是确定性量还是随机变量，确定系统的零输入响应过程的确定性或随机性；2）通过卷积和分析系统的零状态响应。2.例6-7：p265（2）离散时间信号情况功率谱分析！！！相干函数功率谱分析的应用

细化分析倒频谱分析功率有限信号——功率谱能量有限信号——能量谱功率谱分析！！！功率有限信号——功率谱频谱分析可以研究信号的频率结构工程信号往往是复杂的：包含周期成分<设备运行特征>包含随机干扰<环境、故障运行特征>频谱表现为连续＋尖脉冲不易识别工程信号分析的关键是降低噪声，提高信噪比频谱分析不改变信噪比功率谱分析频谱分析可以研究信号的频率结构功率谱分析设工程信号x(t)=s(t)+n(t)其中s(t)为有用信号；n(t)为随机干扰则x(t)的傅里叶变换X(ω)为：X(ω)=S(ω)+N(ω)可见：傅里叶变换不会提高信噪比。对x(t)进行自相关分析

Rxx(τ)=Rss(τ)+Rnn(τ)+Rsn(τ)+Rns(τ)

＝Rss(τ)

——(n(t)零均值，τ∞)可见：相关函数可以提高信噪比，但不反映频谱相关函数的傅里叶变换可以提高信噪比，又能反映频率结构功率谱功率谱分析设工程信号x(t)=s(t)+n(t)能量谱与功率谱设能量有限信号x(t)、y(t)相关函数Rxx(τ)、Rxy(τ)定义：自能量谱密度函数互能量谱密度函数即能量谱从频域提取信号中的周期分量或同频分量相关函数从时域提取信号中的周期或同频分量能量谱与功率谱设能量有限信号x(t)、y(t)自能量谱密度函设功率有限信号x(t)、y(t)相关函数Rxx(τ)、Rxy(τ)定义：自功率谱密度函数互功率谱密度函数即功率谱从频域提取信号中的周期分量或同频分量相关函数从时域提取信号中的周期或同频分量设功率有限信号x(t)、y(t)自功率谱密度函数互功率谱密度自能量谱密度函数互能量谱密度函数自功率谱密度函数互功率谱密度函数能量谱与功率谱——统称为功率谱自能量谱密度函数互能量谱密度函数自功率谱密度函数互功率谱密度功率谱的性质功率谱密度函数的性质自功率谱Sxx(f)是实偶函数；互功率谱Sxy(f)是非奇非偶复函数；双边谱：f∈(-∞,∞)；功率谱与相关函数包含的信息完全等价。单边功率谱工程上，负频率没有意义定义f∈0,∞)的单边功率谱根据能量守恒准则：功率谱的性质功率谱密度函数的性质Gxx(f)功率谱的性质单边功率谱自功率谱Gxx(f)Sxx(f)f互功率谱Gxx(f)Gxx(f)功率谱的性质单边功率谱Sxx(f)f互功率谱Gx功率谱的性质功率谱的物理意义由功率谱的定义：Gxx(f)下的面积等于信号的总能量故称Gxx(f)为能量有限信号的能量谱密度函数或功率有限信号的功率谱密度函数Gxx(f)任意频段间的面积＝该频带下信号的能量功率谱的性质功率谱的物理意义Gxx(f)下的面积等于信号的总功率谱的计算工程测试中，只能得到有限区间上的信号x(t)：t∈(-T/2,T/2)；x(t)

X(ω)x(t)x(n)根据连续信号的帕斯瓦尔公式：功率谱的计算工程测试中，只能得到有限区间上的信号功率谱的计算双边互功率谱：双边自功率谱：单边自功率谱：单边自功率谱：功率谱的计算双边互功率谱：双边自功率谱：单边自功率谱：单边自功率谱的计算得到功率谱计算2种方法：直接根据相关函数求傅里叶变换先求幅值谱，再利用上述公式计算功率谱的计算得到功率谱计算2种方法：相干函数评价因果系统输入输出之间的因果关系输出是否由输入引起？输出中有多少由输入引起？系统的线性特性如何？因果系统ni(t)no(t)+y(t)x(t)+++相干函数与相干分析相干函数评价因果系统输入输出之间的因果关系因果系统ni(t)相干函数Rxy(τ)能从延时域上描述输出与输入的相关关系相干函数则从频域上描述输出与输入的相关关系由:因果系统ni(t)no(t)+y(t)x(t)+++相干函数Rxy(τ)能从延时域上描述输出与输入的相关关系因果相干函数因果系统ni(t)no(t)+y(t)x(t)+++Gxx(f)表示y与x

的相关程度Gxx(f)越大，y与x的相关性越强相干函数定义：相干函数因果系统ni(t)no(t)+y(t)x(t)+++相干函数相干函数的意义：

x(t)≡k×y(t),完全相干：x(t)与y(t)完全不相关,完全不相干：x(t)与y(t)部分相关,部分相干完全相干：输出100％由输入引起，理想系统；完全不相干：输出与输入毫无关系，极端情况；部分相干：一般系统，表示系统多输入系统有干扰非线性相干函数相干函数的意义：x(t)≡k×y(t),完全相干：功率谱分析的应用频谱分析故障诊断信号检测模式识别……功率谱分析的应用频谱分析频谱分析n(t)是零均值、幅度在±1.5范围内变化的随机信号。以fs=1000Hz的采样频率采样，求采样信号的幅值谱和功率谱解：Matlab代码t=0:0.001:0.5;x=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*120*t);y=x+randn(1,length(t));N=512;Y=fft(y,N);G=Y.*conj(Y)/N;Y1=Y(1:N/2);G1=G(1:N/2);f=1000*(0:N-1)/N;subplot(2,2,1):plot(t,y);subplot(2,2,2):plot(f,Y1);Subplot(2,2,3):plot(f,G1)一个被污染的信号频谱分析n(t)是零均值、幅度在±1.5范围内变化的随机信号图图频率响应函数的测定已知系统的输入、输出，求频响函数系统h(t)H(f)Y(f)y(t)x(t)X(f)(1)幅值估计法无干扰线性系统只能求出幅频特性无相位信息频率响应函数的测定已知系统的输入、输出，求频响函数系统频率响应函数的测定系统h(t)H(f)Y(f)y(t)x(t)X(f)(2)

互谱估计法无干扰线性系统既能求出幅频特性又能得到相位信特性频率响应函数的测定系统h(t)H(f)Y(f)y(t)频率响应函数的测定（3）实际物理系统频响的求法系统n(t)m(t)+y(t)x(t)+++b(t)a(t)h(t)H(f)有干扰系统干扰n,m不相干n、m与a、b不相干a、b系统真正输入、输出x、y实际测得的输入、输出系统频率响应由a、b确定：但a、b不可知可通过以下近似方法求得频率响应函数的测定（3）实际物理系统频响的求法系统n(系统n(t)m(t)+y(t)x(t)+++b(t)a(t)h(t)H(f)频率响应函数的测定幅值估计法幅频误差相频丢失系统n(t)m(t)+y(t)x(t)+++b(t)a系统n(t)m(t)+y(t)x(t)+++b(t)a(t)h(t)H(f)频率响应函数的测定互谱估计法幅频测小相频精确系统n(t)m(t)+y(t)x(t)+++b(t)a系统n(t)m(t)+y(t)x(t)+++b(t)a(t)h(t)H(f)频率响应函数的测定互谱估计法幅频测大相频精确系统n(t)m(t)+y(t)x(t)+++b(t)a系统n(t)m(t)+y(t)x(t)+++b(t)a(t)h(t)H(f)频率响应函数的测定平均估计法相频精确幅频测小幅频测大幅频更接近系统n(t)m(t)+y(t)x(t)+++b(t)a细化分析引出：功率谱分析基本思想是带通滤波＋FFT：分析个别频带上的频率成分分辨率确定、采样点确定一些工程信号<语音、振动、噪声>频带很宽频率谱线密集为了识别谱图的细微结构，必须提高功率谱分析的分辨率分析仪器具有很宽的频率范围相互矛盾f/HzGxx(f)f0f1f2细化分析引出：相互矛盾f/HzGxx(f)f0f1f细化分析信号时域宽度T，采样点数N，采样间隔信号频带宽度fc=fs/2，谱线数N，频率分辨率提高频率分辨率的两种途径：引起混叠工作量增加；硬件不允许均不可行！措施：保持N不变，设法降低——细化分析（ZOOM－FFT）的基本思想细化分析信号时域宽度T，采样点数N，采样间隔信号频带宽度fc细化分析的基本思想移频低通滤波重新采样FFTf/HzGxx(f)感兴趣频段f0f0-f1f0+f1-f10f1移频滤波后，感兴趣频带的最高频率f1<<f0<0.5fm；有可能在满足采样定理的前提下增大采样间隔；提高频率分辨率x(t)e-j2πf0Gxx(f+f0)细化分析的基本思想移频低通滤波重新采样FFTf/H移频确定分析频带f0±f1，找出中心频率f0;利用移频技术，将f0移至0Hz处：由频带左移f0,感兴趣的频带移至低频端。移频的实质是：给时域信号x(t)乘以或给时域信号x(n)乘以其中：或感兴趣频段Gxx(f)f/Hzf0f0-f1f0+f1-f10f1-f10f1移频确定分析频带f0±f1，找出中心频率f0;由频带左移f0低通滤波以截至频率为f0的的通滤波器滤波得到感兴趣的频段最高频率f1低通滤波的目的：避免重新采样时发生混叠f/HzGxx(f+f0)

-f10f1低通滤波以截至频率为f0的的通滤波器滤波f/HzGxx(D为正整数细化倍数重新采样信号原长为T，采样间隔Ts,采样点数N，则采样频率fs，频率分辨率重新采样：采样间隔DTs,采样点数N，则：信号长度变为T’=DTsN=DT，

重新采样频率频率分辨率结论：只要将信号长度增加D倍，采样间隔加大D倍，采样点数不变时，频率分辨率提高D倍。D为正整数重新采样信号原长为T，采样间隔Ts,采样点数N，则快速傅里叶变换对重新采样的数据进行FFTX(k)；频谱重构，得到细化D倍的频谱：快速傅里叶变换对重新采样的数据进行FFTX(k)；ZOOM－FFT的一般步骤乘法器FFT重新采样系数发生器采样器低通滤波频谱重构细化倍数D移频ZOOM－FFT的一般步骤乘法器FFT重新系数发生器采样器低倒频谱分析或倒功率谱分析Cepstr