随机过程-1预备知识课件

随机过程随机过程第一章概率论基础1.1概率空间1.2随机变量及其分布1.3随机变量的数字特征1.4特征函数、母函数1.5n维正态分布1.6条件期望第一章概率论基础1.1概率空间31.1概率空间随机试验事件A事件B事件AB概率样本空间（可能结果的集合）随机试验：可重复、可预见、不确定样本点：基本事件e;样本空间：随机试验所有可能结果的集合;事件：A;必然事件：;不可能事件：;事件运算：并、交、差、(上、下)极限31.1概率空间随机试验事件A事件B事件AB概率样本空间4实例1：抛掷一枚硬币，观察正面向上还是反面向上。Ω={正面，反面}实例2：连续抛掷两次硬币的实验。Ω={(正面,正面)，(正面,反面)，(反面,正面)，(反面,反面)}注意:两次抛掷硬币的实验只能作为一次试验。若事件A表示“第一次出现正面”，则A={(正面,正面),(正面,反面)}事件B表示“两次出现同一面”，B={(正面,正面),(反面,反面)}4实例1：抛掷一枚硬币，观察正面向上还是反面向上。5实例3：抛掷一枚硬币，若出现反面，可以再抛掷一次。实验过程可以用树状图表示：于是样本空间为：Ω={正面，(反面,反面)，(反面,正面)}正面反面正面反面5实例3：抛掷一枚硬币，若出现反面，可以再抛掷一次。正面反面6实验4：连续投掷一枚硬币，直到出现正面为止。若用“0”表示出现反面，“1”表示出现正面来记录每次投掷的结果，则这个试验的可能结果有：

(第一次出现正面)

(第一次出现反面,第二次正面)

……………

(前n-1次出现反面,第n次正面)……………这个试验有无穷多个可能结果,样本空间:

6实验4：连续投掷一枚硬币，直到出现正面为止。7实验5：若检查灯泡的使用寿命(小时),那么[0,+∞)中的每一个实数都有可能是某一个灯泡的寿命，因而如果事件A=[1500,+∞),则事件A表示：“使用寿命超过1500小时”。7实验5：若检查灯泡的使用寿命(小时),那么[0,+∞)中的1.1概率空间定义1.1-代数(事件域)集合的某些子集组成集合族F（1）F（必然事件）（2）若AF,则\AF

（对立事件）（3）若AiF,i=1,2…，则F

（可列并事件）

称F为-代数，（，F）为可测空间1.1概率空间定义1.1-代数(事件域)例投掷一次骰子试验，ei表示出现i点，={e1,e2,e3,e4,e5,e6}F

={，{e1,e2,e3}，{e4,e5,e6}，}F为-代数，（，F）为可测空间例投掷一次骰子试验，ei表示出现i点，={e1,e21.1概率空间

例：连续投掷两次硬币试验={正正，正反，反正，反反}1.1概率空间例：连续投掷两次硬币试验1.1概率空间F1={，{正正}，{正反，反正，反反}，

}

F2={，{正正}，{正反}，{正正，正反}，{反正，反反}，{正反，反正，反反}，{正正，反正，反反}，{正正，正反，反正，反反}}F3={，{反正}，{反反}，{反正，反反}，{正正，正反}，{正正，正反，反反}，{正正，正反，反正}，{正正，正反，反正，反反}}F4={，{正反}，{正正，反正，反反}，

}Fi为-代数，（，Fi）为可测空间1.1概率空间F1={，{正正}，{正反，反正，反F={，{正正}，{正反}，{反正}，{反反}，{正正，正反}，{正正，反正}，{正正，反反}，{正反，反正}，{正反，反反}，{反正，反反}，{正正，正反，反正}，{正正，正反，反反}，{正正，反正，反反}，{正反，反正，反反}，{正正，正反，反正，反反}}

为可测空间，（，F）为-代数F={，{正正}，{正反}，{反正}，{反反}，{正正，1.1概率空间可测空间的性质设（，F）为可测空间,则（4）F（不可能事件）（5）若A,BF,则A\BF

（差事件）（6）若AiF,则F（有限并，有限交，可列交事件）1.1概率空间可测空间的性质定义1.2概率空间：设(,F)为可测空间,映射P：F

R，A|P(A)满足(1)任意AF，0

P(A)1(2)P()=1(3)称P是(,F)上的概率,(,F,P)为概率空间，P(A)为事件A的概率。定义1.2概率空间：设(,F)为可测空间,映射P：FR概率空间的性质设(,F,P)为概率空间，则(4)P()=0(5)P(B\A)=P(B)-P(A),(AB)(6)概率空间的性质16例1给掷一枚硬币的试验建立概率模型。解：掷一枚硬币，有两个可能的结果：正面和反面。若用表示正面，表示反面，则样本空间为：事件为：根据定义和性质，得到概率实例：16例1给掷一枚硬币的试验建立概率模型。概率实例：17如果硬币是均匀的，正面和反面出现的机会相同，于是由可加性和归一性知由此可得：于是概率为显然，这样建立的概率满足三条公理。17如果硬币是均匀的，正面和反面出现的机会相同，于是18例2为依次抛掷三枚硬币的试验建立概率模型。解用“1”表示正面向上，“0”表示反面向上，样本空间为：

W={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0),(0,1,1),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,0)}如果上述8种结果出现的可能性相同，根据可加性和归一性，每个结果的概率为1/8.现利用三条公理建立概率：例如事件A表示“只有一次正面向上”，则A={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}，18例2为依次抛掷三枚硬币的试验建立概率模型。19于是

P(A)=P({(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)})=P({(1,0,0)})+P({(0,1,0)})+P({(0,0,1)}相似的，任何事件的概率等于1/8乘上该事件中包含的结果的个数。19于是20例3有一枚骰子，偶数点出现的概率比奇数点出现的概率大一倍，而不同偶数点出现的概率相同，不同奇数点出现的的概率也相同。将这枚骰子投掷一次，为这个试验建立概率模型，并求点数小于4的概率。解设Ai表示“出现i点”,i=1,2，...，6，则样本空间为

根据可加性和归一性，有又根据题意，20例3有一枚骰子，偶数点出现的概率比奇数点出现的概率大一21得出点数小于4的概率为：2122例4若A发生的概率为0.6,A与B都发生的概率为0.1,A与B都不发生的概率为0.15，求(1)A发生但B不发生的概率;(2)B发生但A不发生的概率;(3)A与B至少有一个发生的概率。解：样本空间可以用下面四个结果表示22例4若A发生的概率为0.6,A与B都发生的概率为0.123由A发生的概率为0.6，得：A与B都发生的概率为0.1，得：A与B都不发生的概率为0.15，得：结合归一化公式：得到：23由A发生的概率为0.6，得：24于是：（1）A发生B不发生的概率为：（2）B发生A不发生的概率为：（3）A与B至少有一个发生的概率为：24于是：条件概率、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式条件概率：条件概率满足概率三条公理，所以概率的一切性质条件概率都适用。乘法公式:

全概率公式：其中是完备事件族贝叶斯公式：条件概率、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式条件概率：26例1

十个人中有4个女生，从中任挑两名，若已知两人中有一人是女生，求另一人也是女生的概率。解：所求概率为：故：26例1十个人中有4个女生，从中任挑两名，若已知两人中有一27例2

有两个设计团队，一个比较稳重，记做C,另一个具有创新性,记做N。要求他们在一个月内做一个新设计，从过去经验知:a)C成功的概率为2/3;b)N成功的概率为1/2;c)两个团队中至少有一个成功的概率为3/4.已知两个团队中只有一个团队完成了任务。问这个任务是N完成的概率有多大？解：共有四种可能的结果:SS：双方成功FF：双方失败SF：C成功，N失败FS：N成功，C失败27例2有两个设计团队，一个比较稳重，记做C,另一个具有创28将a),b),c)写成概率等式:P(SS)+P(SF)=2/3,

P(SS)+P(FS)=1/2,P(SS)+P(SF)+P(FS)=3/4结合归一化公理：P(SS)+P(SF)+P(FS)+P(FF)=1得：P(SS)=5/12;P(SF)=1/4;P(FS)=1/12;故所求条件概率为28将a),b),c)写成概率等式:29例3

假设在空战中，若甲机先向乙机开火，则击落乙机的概率为0.2，若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率为0.3；若甲机亦未被击落，再次进攻乙机，击落乙机的概率为0.4，在这几个回合中，分别计算甲、乙被击落的概率。解：样本空间用树状图表示：击落乙0.2未击落乙0.8击落甲0.3未击落甲0.7未击落乙0.6击落乙0.429例3假设在空战中，若甲机先向乙机开火，则击落乙机的概率30设则设A={甲击落乙}，B={乙击落甲}，显然击落乙0.2未击落乙0.8击落甲0.3未击落甲0.7未击落乙0.6击落乙0.430设击落乙未击落乙击落甲未击落甲未击落乙击落乙练习：袋中有2个红球，3个白球，从中不放回的接连取出两个球。求第二次取出红球的概率。解：设A1表示第一次取出红球，A2表示第一次取出白球，B表示第二次取出红球。那么P（B）=P（BA1）+P（BA2）=P（B|A1）P(A1)+P（B|A2）P(A2)

=1/4*2/5+2/4*3/5

=2/52/51/42/43/5练习：袋中有2个红球，3个白球，从中不放回的接连取出两个球。32例一个袋内装有10个球，其中有4个白球，6个黑球，采取不放回抽样，每次任取一个，若已知第二次取到白球，求第一次取到白球的概率。解：设A=“第一次取到白球”，B=“第二次取到白球”，求P(A|B)则A与构成完备事件组32例一个袋内装有10个球，其中有4个白球，6个黑球，采取不独立事件设(,F,P)为概率空间，F1F，若对任意A1,A2,,AnF1，n=2,3,，有则称F1为独立事件族,或称F1中的事件相互独立。事件A,B独立，有P(AB)=P(A)P(B)独立事件设(,F,P)为概率空间，F1F，若对任意A事件A,B,C相互独立，有P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)事件A,B,C相互独立，有35例：某班50名学生，女生20名。第一组10名，其中4名女生。从中任选一名，A=“学生是第一组”，B=“女学生”，问事件A、B是否独立？分析：显然故A，B独立。注：若第一组的女生数量发生改变，比如有5名女生，则A，B不独立。35例：某班50名学生，女生20名。第一组10名，其中4名女361.2随机变量及其分布定义1.4设(,F,P)为概率空间，映射X：

R，eX(e)满足

任意xR，{e:X(e)x}F，则称X(e)是F上的随机变量，简记X。对xR，称F(x)=P{e:X(e)x}为随机变量X的分布函数。361.2随机变量及其分布定义1.4设(,F,P)37例投掷两枚硬币试验，={正正，正反，反正，反反}F={，{正正}，{正反}，{反正}，{反反}，{正正，正反}，{正正，反正}，{正正，反反}，{正反，反正}，{正反，反反}，{反正，反反}，{正正，正反，反正}，{正正，正反，反反}，{正正，反正，反反}，{正反，反正，反反}，{正正，正反，反正，反反}}

为可测空间，(，F

)为-代数P{}=0，P{正正}=P{正反}=P{反正}=P{反反}=1/4…，P{}=1，(,F,P)为概率空间37例投掷两枚硬币试验，={正正，正反，反正，反反}38映射X：

R，X(正正)=2，X(正反)=X(反正)=1，X(反反)=0(1)x<0，{e:X(e)x}=F(2)0

x<1，{e:X(e)x}={反反}F(3)1

x<2，{e:X(e)x}={正反,反正,反反}F(4)x≥2，{e:X(e)x}={正正，正反,反正,反反}FX为随机变量38映射X：R，X(正正)=2，X(正反)=X(反分布函数为即分布函数为分布函数的性质：(1)单调性：若x1<x2，则F(x1)F(x2)(2)，(3)F(x)右连续，F(x+0)=F(x)

这三个性质完全刻划了分布函数分布函数的性质：414)当X为离散型随机变量时，F(x)是阶梯函数当X为连续型随机变量是，F(x)为连续函数5)当X是离散型随机变量且取整数时，分布函数和分布列可以利用求和或差分互求6)当X为连续型随机变量时，分布函数和概率密度函数可以通过积分或微分互求。密度函数表示“概率的变化率”：414)当X为离散型随机变量时，F(x)是阶梯函数随机变量：离散型，连续型离散型随机变量X的概率分布用分布律(列)描述：P(X=xk)=pk，k=1,2,分布函数常见离散型随机变量X及其分布律(1)0-1分布P(X=1)=p，P(X=0)=q，0<p<1，p+q=1随机变量：离散型，连续型(2)二项分布

P(X=k)=，0<p<1,p+q=1,k=0,1,2,,n(3)泊松分布P(X=k)=

，>0，k=0,1,2,(4)几何分布P(X=k)=，0<p<1,p+q=1,k=1,2,(2)二项分布连续型随机变量X的概率分布用概率密度函数f(x)描述分布函数

常见连续型随机变量X及其概率密度(1)均匀分布连续型随机变量X的概率分布用概率密度函数f(x)描述(2)正态分布(3)指数分布(2)正态分布46例1设X是[a,b]上的几何概型，则X的分布函数为：如果x<a,显然F(x)=P(X≤x)=0;如果a≤x≤b,F(x)=P(X≤x)=(x-a)/(b-a);如果x>b,F(x)=P(X≤x)=1.于是，分布函数为：密度函数为：46例1设X是[a,b]上的几何概型，则X的分布函数为：47例假设X和Y都服从区间[0,1]上的均匀分布，并且彼此相互独立，问随机变量Z=Y/X的概率密度函数是什么？解根据下图，时，当时，当47例假设X和Y都服从区间[0,1]上的均匀分布，并且彼此48例设随机变量X和Y相互独立，Y的概率密度为记Z=X+Y,（1）求（2）求Z的概率密度。X的分布列为解（1）48例设随机变量X和Y相互独立，Y的概率密度为记Z=X+Y49（2）先求Z的分布函数：故Y的密度函数为49（2）先求Z的分布函数：故Y的密度函数为50n维随机变量及其概率分布(1)n维随机变量及其分布的定义(2)n维离散型随机变量和连续性随机变量

----联合分布列和联合分布密度(3)边缘分布----边缘分布函数，边缘分布列，边缘分布密度(4)独立性50n维随机变量及其概率分布(1)n维随机变量及其分布的定n维随机变量及其概率分布定义1.5设(,F,P)为概率空间，X=X(e)=(X1(e),X2(e),,Xn(e))是定义在上的n维空间Rn中取值的向量函数,如果对任意的x=(x1,x2,,xn)Rn，{e:X1(e)x1,X2(e)x2,,Xn(e)xn}F，则称X(e)是F上的n维随机变量，简记为X=(X1,X2,,Xn)。n维随机变量及其概率分布例投掷两枚硬币试验，={正正，正反，反正，反反}F={，{正正}，{正反}，{反正}，{反反}，{正正，正反}，{正正，反正}，{正正，反反}，{正反，反正}，{正反，反反}，{反正，反反}，{正正，正反，反正}，{正正，正反，反反}，{正正，反正，反反}，{正反，反正，反反}，{正正，正反，反正，反反}}

为可测空间，(，F

)为-代数P{}=0，P{正正}=P{正反}=P{反正}=P{反反}=1/4…，P{}=1，(,F,P)为概率空间例投掷两枚硬币试验，={正正，正反，反正，反反}映射X1：

R，X1(正正)=1,X1(正反)=1,X1(反正)=0,X1(反反)=0;映射X2：

R，X2(正正)=0,X2(正反)=0,X2(反正)=1,X2(反反)=1;X1,X2为随机变量,(X1,X2)为随机向量。对x=(x1,x2,,xn)

Rn，称F(x)=F(x1,x2,,xn)=P{e:X1(e)x1,X2(e)x2,,Xn(e)xn}为n维随机变量X=(X1,X2,,Xn)的联合分布函数映射X1：R，54n维联合分布函数F(x1,x2,,xn)的性质对于每个变元xi

(i=1,2,,n)，F(x1,x2,,xn)是非降函数(2)对于每个变元xi

(i=1,2,,n)，F(x1,x2,,xn)是右连续的(3)对于Rn的区域(a1,b1;a2,b2;;an,bn)，其中aibi(i=1,2,,n),F(b1,b2,

,bn)-+++(-1)n

F(a1,a2,

,an)054n维联合分布函数F(x1,x2,,xn)的性质对于n=2F(b1,b2)-F(a1,b2)-F(b1,a2)+F(a1,a2)0

yb2a2

xa1b1对于n=2对于n=3F(b1,b2,b3)-F(a1,b2,b3)-F(b1,a2,b3)-F(b1,b2,a3)+F(a1,a2,b3)+F(a1,b2,a3)+F(b1,a2,a3)-F(a1,a2,a3)0(4)对于n=3(1)n维随机变量及其分布的定义(2)n维离散型随机变量和连续性随机变量

----联合分布列和联合分布密度(3)边缘分布----边缘分布函数，边缘分布列，边缘分布密度(4)独立性n维随机变量及其概率分布(1)n维随机变量及其分布的定义n维随机变量及其概率分布n维离散型随机变量X=(X1,X2,,Xn)Xi都是离散型随机变量(i=1,2,,n)X=(X1,X2,,Xn)的联合分布律为P(X1=x1,X2=x2,,Xn=xn)=其中xiIi是离散集，i=1,2,,nX=(X1,X2,,Xn)的联合分布函数为(y1,y2,,yn)

Rnn维离散型随机变量X=(X1,X2,,Xn)二维随机变量(X,Y)的分布律也可表示为:二维离散型随机变量的分布律二维随机变量(X,Y)的分布律也可表示为:二维离散型离散型随机变量(X,Y)

的分布函数为离散型随机变量(X,Y)的分布函数为n维连续型随机变量X=(X1,X2,,Xn)联合概率密度f(x1,x2,,xn)X=(X1,X2,,Xn)的联合分布函数为(y1,y2,,yn)

Rnn维连续型随机变量X=(X1,X2,,Xn)二维连续型随机变量的分布函数二维连续型随机变量的分布函数n维随机变量及其概率分布(1)n维随机变量及其分布的定义(2)n维离散型随机变量和连续性随机变量

----联合分布列和联合分布密度(3)边缘分布----边缘分布函数，边缘分布列，边缘分布密度(4)独立性n维随机变量及其概率分布(1)n维随机变量及其分布的定义二维随机变量的边缘分布函数二维随机变量的边缘分布函数为随机变量

(X,Y)关于Y

的边缘分布函数.为随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布函数.离散型随机变量的边缘分布律离散型随机变量的边缘分布律随机过程-1预备知识课件因此得离散型随机变量关于X和Y的边缘分布函数分别为因此得离散型随机变量关于X和Y的边缘分布函数分别为例1

已知下列分布律求其边缘分布律.例1已知下列分布律求其边缘分布律.注意联合分布边缘分布解注意联合分布边缘分布解连续型随机变量的边缘分布连续型随机变量的边缘分布同理可得Y的边缘分布函数Y的边缘概率密度.同理可得Y的边缘分布函数Y的边缘概率密度.(1)n维随机变量及其分布的定义(2)n维离散型随机变量和连续性随机变量

----联合分布列和联合分布密度(3)边缘分布----边缘分布函数，边缘分布列，边缘分布密度(4)独立性n维随机变量及其概率分布(1)n维随机变量及其分布的定义n维随机变量及其概率分布随机变量的独立性定义1.6设{Xt,tT}是一族随机变量，若对任意n2和t1,t2,,tnT，x1,x2,,xnR，有则称{Xt,tT}是独立的。随机变量的独立性定义1.6设{Xt,tT}是一族随若{Xt,tT}是一族离散型随机变量，则独立性等价于其中xi是Xti的任意可能值(I=1,2,,n)例如，二维随机变量独立性等价于pij=pi.p.j其中pij=p(X=xi,Y=yj),pi.=p(X=xi),p.j=p(Y=yj),若{Xt,tT}是一族离散型随机变量，则若{Xt,tT}是一族连续型随机变量，则独立性等价于其中是n维随机变量的联合概率密度,

是随机变量的概率密度(i=1,2,,n)若{Xt,tT}是一族连续型随机变量，则2.说明

(1)若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为2.说明(1)若离散型随机变量(X,Y)的联合随机过程-1预备知识课件79例1：X和Y是否相互独立？(X,Y)具有概率密度连续型随机变量X,Y相互独立，其密度函数有如下特征：

X和Y的边缘概率密度分别为：79例1：X和Y是否相互独立？(X,Y)具有概率密度连续型1.3随机变量的数字特征数学期望定义1.7设随机变量X的分布函数为F(x)，若则称为X的数学期望(均值)1.3随机变量的数字特征数学期望对离散型随机变量X，分布律P(X=xk)=pk，k=1,2,数学期望对连续型随机变量X，概率密度f(x)的数学期望对离散型随机变量X，分布律方差定义1.8设X是随机变量，若EX2<，则称DX=E[(X-EX)2]为X的方差协方差定义1.9设X,Y是随机变量，若EX2<,EY2<，则称BXY=E[(X-EX)(Y-EY)]为X,Y的协方差BXY=EXY-EXEY方差BXY=EXY-EXEY1.3随机变量的数字特征相关系数称为X,Y的相关系数

☆若XY=0，则称X,Y不相关。☆相关系数表示X,Y之间的线性相关程度的大小1.3随机变量的数字特征相关系数随机变量的数学期望和方差的性质(1)E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)(2)若X,Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y)(3)若X,Y独立，则D(aX+bY)=a2D(X)+b2D(Y)(4)(Schwarz不等式)若EX2<,EY2<，则

(E

XY)2

E(X2)E(Y2)随机变量的数学期望和方差的性质随机变量的函数的期望若n维随机变量X=(X1,X2,,Xn)的联合分布函数为F(x1,x2,,xn)，g(X)=g(X1,X2,,Xn),g(x1,x2,,xn)是n维连续函数，则例如一维离散型一维连续型随机变量的函数的期望若n维随机变量X=(X1,X2,,1.4特征函数、母函数

常见随机变量的数学期望、方差、特征函数和母函数分布期望方差特征函数母函数0-1分布ppqq+ps二项分布npnpq(q+ps)n泊松分布几何分布1.4特征函数、母函数常见随机变量的数学期望、方差、特1.4特征函数、母函数常见随机变量的数学期望、方差、特征函数和矩母函数分布期望方差特征函数矩母函数均匀分布指数分布1.4特征函数、母函数常见随机变量的数学期望、方差、特征1.4特征函数、母函数特征函数定义1.10设随机变量X的分布函数为F(x)，称为X的特征函数。分布律为P(X=xk)=pk，k=1,2,的离散型随机变量X，特征函数为1.4特征函数、母函数特征函数概率密度为f(x)的连续型随机变量X，特征函数为例设X服从二项分布B(n,p)，求X的特征函数g(t)

。解X的分布律为P(X=k)=，q=1-p，k=0,1,2,,n概率密度为f(x)的连续型随机变量X，特征函数为

例设X~N(0,1)，求X的特征函数。解例设X~N(0,1)，求X的特征函数。

常见随机变量的数学期望、方差、特征函数和母函数分布期望方差特征函数母函数0-1分布ppqq+ps二项分布npnpq(q+ps)n泊松分布几何分布常见随机变量的数学期望、方差、特征函数和母函数分布期望方差常见随机变量的数学期望、方差、特征函数和矩母函数分布期望方差特征函数矩母函数均匀分布指数分布常见随机变量的数学期望、方差、特征函数和矩母函数分布期望方差随机变量的特征函数的性质(1)(2)g(t)在(-，

)上一致连续(3)若随机变量X的n阶矩EXn存在，则

g(k)(0)=ikEXk，kn

当k=1时，EX

=

g(1)(0)/i；当k=2时，DX

=-g(2)(0)-(g(1)(0)/i)2。随机变量的特征函数的性质随机过程-1预备知识课件

例设X服从二项分布B(n,p)，求X的特征函数g(t)及EX、EX2、DX。解X的分布律为P(X=k)=，q=1-p，k=0,1,2,,n例设X服从二项分布B(n,p)，求X的特征函数(4)g(t)是非负定函数(5)若X1,X2,,Xn是相互独立的随机变量，则X=X1+X2++Xn的特征函数g(t)=g1(t)g2(t)

gn(t)(6)随机变量的分布函数由特征函数唯一确定(4)g(t)是非负定函数1.4特征函数、母函数

例

设随机变量X的特征函数为gX(t)，Y=aX+b，其中a,b为任意实数，证明Y的特征函数gY(t)为证1.4特征函数、母函数例设随机变量X的特征函n维随机变量的特征函数定义1.11设X=(X1,X2,,Xn)是n维随机变量，t=(t1,t2,,tn)Rn，则称为X的特征函数。n维随机变量的特征函数1.4特征函数、母函数矩母函数定义1.12设随机变量X的分布函数为F(x)，称为X的矩母函数

☆

m(k)(0)=Exk

，m(it)=g(t)母函数设X是非负整数值随机变量，分布律P{X=k}=pk，k=0,1,则称为X的母函数1.4特征函数、母函数矩母函数母函数的性质(1)非负整数值随机变量的分布律pk由其母函数P(s)唯一确定母函数的性质(1)证(1)证(2)设P(s)是X的母函数，若EX存在，则EX=P(1)若DX存在，则DX=P(1)+P(1)-[P(1)]2(2)设P(s)是X的母函数，(2)证(2)证(3)独立随机变量之和的母函数等于母函数之积(4)若X1,X2,是相互独立同分布的非负整数值随机变量，N是与X1,X2,独立的非负整数值随机变量，则的母函数H(s)=G(P(s)),EY=ENEX1其中G(s),P(s)分别是N,X1的母函数(3)独立随机变量之和的母函数等于母函数之积例：某商店一天到达的顾客总数N服从均值λ的泊松分布，用X1,X2,…,XN表示各顾客购买商品的情况，Xi=1表示第i个顾客购买了商品，Xi=0表示第i个顾客没有购买商品，P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p=q,

i=1,2,…,N。X1,X2,…,XN相互独立且和N独立。用Y表示购买商品的顾客数，求Y的分布，及EY。例：某商店一天到达的顾客总数N服从均值λ的泊松分布，用X1,随机过程-1预备知识课件随机过程-1预备知识课件1.4特征函数、母函数

1.4特征函数、母函数1.4特征函数、母函数

1.4特征函数、母函数1.4特征函数、母函数设相互独立离散型非负整数随机变量X,Y的分布律分别为P{X=k}=pk，P{Y=k}=qk，k=0,1,，则Z=X+Y的分布律为P{Z=k}=ck,其中ck=p0

qk+p1qk-1

++pkq0

设X,Y,Z的母函数分别为PX(s),PY(s),PZ(s)，即有卷积的母函数：1.4特征函数、母函数设相互独立离散型非负整数随机变量X1.4特征函数、母函数1.4特征函数、母函数1.5n维正态分布若n维随机变量X=(X1,X2,,Xn)的联合概率密度函数为式中，是常向量是对称矩阵则称X为n维正态随机变量，X~N(,)特征函数g(t)=t=(t1,t2,…,tn)1.5n维正态分布若n维随机变量X=(X1,X2,,X1.5n维正态分布二维正态分布X=(X1,X2)~N(,)

X1~N(1

,

1),X2~N(2

,

2),X1与X2相关系数为1.5n维正态分布二维正态分布X=(X1,X2)~N(1.5n维正态分布二维正态分布联合概率密度1.5n维正态分布二维正态分布联合概率密度1.5n维正态分布特别地，当ρ=0时，1.5n维正态分布特别地，当ρ=0时，多维正态分布的性质设X~N(μ,Σ),Y=XA+b，若A’ΣA正定，则，Y~N(μA+b,A’ΣA),即正态分布随机变量的线性变换仍是正态随机变量。特别的，对于一维正态随机变量X~N(μ,σ2),

Y=aX+b,则Y~N(aμ+b,a2σ2)多维正态分布的性质设X~N(μ,Σ),Y=XA+b，若A’1.4特征函数、母函数例

X~N(μ,σ2),Y=aX+b,则Y~N(aμ+b,a2σ2)

证：1.4特征函数、母函数例X~N(μ,σ2),Y=a1.6条件期望设X,Y是离散型随机变量，对一切使P{Y=y}>0的y，定义Y=y时X的条件概率Y=y时X的条件分布Y=y时X的条件期望1.6条件期望设X,Y是离散型随机变量，对一切使P{Y例：袋中有2个红球，3个白球，从中不放回的接连取出两个球。设X表示第一次取到的红球数，Y表示第二次取到的红球数。求E(Y|X=1)和E(Y|X=0)例：袋中有2个红球，3个白球，从中不放回的接连取出两个球。设1.6条件期望条件期望的性质：若随机变量X,Y的期望存在，则如果Y是离散型随机变量，则如果Y是连续型随机变量，则1.6条件期望条件期望的性质：1.6条件期望证明：设X,Y都是离散型随机变量1.6条件期望证明：设X,Y都是离散型随机变量1.6条件期望若X,Y是连续型随机变量，其联合概率密度为f(x，y)，则对一切使fY(y)0的y，给定Y=y时，X的条件概率密度为给定Y=y时，X的条件分布为给定Y=y时，X的条件期望为1.6条件期望若X,Y是连续型随机变量，其联合概率密度为1.6条件期望应用条件期望求事件的概率事件A的示性函数IA：

R，是二值随机变量P{IA=1}=P(A)，P{IA=0}=

1-P(A)EIA=1P(A)+0[1-P(A)]=P(A)1.6条件期望应用条件期望求事件的概率1.6条件期望例设X,Y为随机变量，证明公式

证1.6条件期望例设X,Y为随机变量，证明公式1.6条件期望

证1.6条件期望证1.6条件期望E(X|Y=y)是y的函数，y是Y的一个可能值,在已知Y的条件下，考虑X的均值，需要以Y代替y，E(X|Y)是随机变量Y的函数，也是随机变量，称为X在Y下的条件期望1.6条件期望E(X|Y=y)是y的函数，y是Y的一个可1.6条件期望P(A)=EIA=E[E(IA|Y)]

=若Y为离散型随机变量，则若Y为连续型随机变量，则E(IA|Y=y)=1P(A|Y=y)+0[1-P(A|Y=y)]=P(A|Y=y)

1.6条件期望P(A)=EIA=E[E(IA|Y)1.6条件期望

例设X与Y是相互独立的随机变量，其分布函数分别为FX(x)和FY(y)，记(X+Y)的分布函数为FX*FY，则1.6条件期望例设X与Y是相互独立的随机变量1.6条件期望

☆X与Y是相互独立的随机变量，分别服从状态分布N(μ1，σ12)，N(μ2，σ22)则X+Y～N(μ1+μ2

，σ12+σ22)其中1.6条件期望☆X与Y是相互独立的随机变量，分别服其一维随机变量随机变量离散型随机变量连续型随机变量分布函数分布律密度函数均匀分布指数分布正态分布两点分布二项分布泊松分布随机变量的数字特征定义数学期望差方一维随机变量随机变量离散型连续型随机变量分布一维随机变量随机变量离散型随机变量连续型随机变量分布函数分布律密度函数均匀分布指数分布正态分布两点分布二项分布泊松分布随机变量的函数的分布定义一维随机变量随机变量离散型连续型随机变量分布定义联合分布函数联合分布律联合概率密度边缘分布条件分布两个随机变量的函数的分布随机变量的相互独立性定义性质二维随机变量推广二维随机变量定义联合分布函数联合分布律联合概随机变量的数字特征数学期望方差离散型连续型性质协方差与相关系数随机变量函数的数学期望定义计算性质二维随机变量的数学期望定义协方差的性质相关系数定理随机变量的数字特征数学期望方差离散型连续型性质协随机过程随机过程第一章概率论基础1.1概率空间1.2随机变量及其分布1.3随机变量的数字特征1.4特征函数、母函数1.5n维正态分布1.6条件期望第一章概率论基础1.1概率空间1361.1概率空间随机试验事件A事件B事件AB概率样本空间（可能结果的集合）随机试验：可重复、可预见、不确定样本点：基本事件e;样本空间：随机试验所有可能结果的集合;事件：A;必然事件：;不可能事件：;事件运算：并、交、差、(上、下)极限31.1概率空间随机试验事件A事件B事件AB概率样本空间137实例1：抛掷一枚硬币，观察正面向上还是反面向上。Ω={正面，反面}实例2：连续抛掷两次硬币的实验。Ω={(正面,正面)，(正面,反面)，(反面,正面)，(反面,反面)}注意:两次抛掷硬币的实验只能作为一次试验。若事件A表示“第一次出现正面”，则A={(正面,正面),(正面,反面)}事件B表示“两次出现同一面”，B={(正面,正面),(反面,反面)}4实例1：抛掷一枚硬币，观察正面向上还是反面向上。138实例3：抛掷一枚硬币，若出现反面，可以再抛掷一次。实验过程可以用树状图表示：于是样本空间为：Ω={正面，(反面,反面)，(反面,正面)}正面反面正面反面5实例3：抛掷一枚硬币，若出现反面，可以再抛掷一次。正面反面139实验4：连续投掷一枚硬币，直到出现正面为止。若用“0”表示出现反面，“1”表示出现正面来记录每次投掷的结果，则这个试验的可能结果有：

(第一次出现正面)

(第一次出现反面,第二次正面)

……………

(前n-1次出现反面,第n次正面)……………这个试验有无穷多个可能结果,样本空间:

6实验4：连续投掷一枚硬币，直到出现正面为止。140实验5：若检查灯泡的使用寿命(小时),那么[0,+∞)中的每一个实数都有可能是某一个灯泡的寿命，因而如果事件A=[1500,+∞),则事件A表示：“使用寿命超过1500小时”。7实验5：若检查灯泡的使用寿命(小时),那么[0,+∞)中的1.1概率空间定义1.1-代数(事件域)集合的某些子集组成集合族F（1）F（必然事件）（2）若AF,则\AF

（对立事件）（3）若AiF,i=1,2…，则F

（可列并事件）

称F为-代数，（，F）为可测空间1.1概率空间定义1.1-代数(事件域)例投掷一次骰子试验，ei表示出现i点，={e1,e2,e3,e4,e5,e6}F

={，{e1,e2,e3}，{e4,e5,e6}，}F为-代数，（，F）为可测空间例投掷一次骰子试验，ei表示出现i点，={e1,e21.1概率空间

例：连续投掷两次硬币试验={正正，正反，反正，反反}1.1概率空间例：连续投掷两次硬币试验1.1概率空间F1={，{正正}，{正反，反正，反反}，

}

F2={，{正正}，{正反}，{正正，正反}，{反正，反反}，{正反，反正，反反}，{正正，反正，反反}，{正正，正反，反正，反反}}F3={，{反正}，{反反}，{反正，反反}，{正正，正反}，{正正，正反，反反}，{正正，正反，反正}，{正正，正反，反正，反反}}F4={，{正反}，{正正，反正，反反}，

}Fi为-代数，（，Fi）为可测空间1.1概率空间F1={，{正正}，{正反，反正，反F={，{正正}，{正反}，{反正}，{反反}，{正正，正反}，{正正，反正}，{正正，反反}，{正反，反正}，{正反，反反}，{反正，反反}，{正正，正反，反正}，{正正，正反，反反}，{正正，反正，反反}，{正反，反正，反反}，{正正，正反，反正，反反}}

为可测空间，（，F）为-代数F={，{正正}，{正反}，{反正}，{反反}，{正正，1.1概率空间可测空间的性质设（，F）为可测空间,则（4）F（不可能事件）（5）若A,BF,则A\BF

（差事件）（6）若AiF,则F（有限并，有限交，可列交事件）1.1概率空间可测空间的性质定义1.2概率空间：设(,F)为可测空间,映射P：F

R，A|P(A)满足(1)任意AF，0

P(A)1(2)P()=1(3)称P是(,F)上的概率,(,F,P)为概率空间，P(A)为事件A的概率。定义1.2概率空间：设(,F)为可测空间,映射P：FR概率空间的性质设(,F,P)为概率空间，则(4)P()=0(5)P(B\A)=P(B)-P(A),(AB)(6)概率空间的性质149例1给掷一枚硬币的试验建立概率模型。解：掷一枚硬币，有两个可能的结果：正面和反面。若用表示正面，表示反面，则样本空间为：事件为：根据定义和性质，得到概率实例：16例1给掷一枚硬币的试验建立概率模型。概率实例：150如果硬币是均匀的，正面和反面出现的机会相同，于是由可加性和归一性知由此可得：于是概率为显然，这样建立的概率满足三条公理。17如果硬币是均匀的，正面和反面出现的机会相同，于是151例2为依次抛掷三枚硬币的试验建立概率模型。解用“1”表示正面向上，“0”表示反面向上，样本空间为：

W={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0),(0,1,1),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,0)}如果上述8种结果出现的可能性相同，根据可加性和归一性，每个结果的概率为1/8.现利用三条公理建立概率：例如事件A表示“只有一次正面向上”，则A={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}，18例2为依次抛掷三枚硬币的试验建立概率模型。152于是

P(A)=P({(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)})=P({(1,0,0)})+P({(0,1,0)})+P({(0,0,1)}相似的，任何事件的概率等于1/8乘上该事件中包含的结果的个数。19于是153例3有一枚骰子，偶数点出现的概率比奇数点出现的概率大一倍，而不同偶数点出现的概率相同，不同奇数点出现的的概率也相同。将这枚骰子投掷一次，为这个试验建立概率模型，并求点数小于4的概率。解设Ai表示“出现i点”,i=1,2，...，6，则样本空间为

根据可加性和归一性，有又根据题意，20例3有一枚骰子，偶数点出现的概率比奇数点出现的概率大一154得出点数小于4的概率为：21155例4若A发生的概率为0.6,A与B都发生的概率为0.1,A与B都不发生的概率为0.15，求(1)A发生但B不发生的概率;(2)B发生但A不发生的概率;(3)A与B至少有一个发生的概率。解：样本空间可以用下面四个结果表示22例4若A发生的概率为0.6,A与B都发生的概率为0.1156由A发生的概率为0.6，得：A与B都发生的概率为0.1，得：A与B都不发生的概率为0.15，得：结合归一化公式：得到：23由A发生的概率为0.6，得：157于是：（1）A发生B不发生的概率为：（2）B发生A不发生的概率为：（3）A与B至少有一个发生的概率为：24于是：条件概率、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式条件概率：条件概率满足概率三条公理，所以概率的一切性质条件概率都适用。乘法公式:

全概率公式：其中是完备事件族贝叶斯公式：条件概率、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式条件概率：159例1

十个人中有4个女生，从中任挑两名，若已知两人中有一人是女生，求另一人也是女生的概率。解：所求概率为：故：26例1十个人中有4个女生，从中任挑两名，若已知两人中有一160例2

有两个设计团队，一个比较稳重，记做C,另一个具有创新性,记做N。要求他们在一个月内做一个新设计，从过去经验知:a)C成功的概率为2/3;b)N成功的概率为1/2;c)两个团队中至少有一个成功的概率为3/4.已知两个团队中只有一个团队完成了任务。问这个任务是N完成的概率有多大？解：共有四种可能的结果:SS：双方成功FF：双方失败SF：C成功，N失败FS：N成功，C失败27例2有两个设计团队，一个比较稳重，记做C,另一个具有创161将a),b),c)写成概率等式:P(SS)+P(SF)=2/3,

P(SS)+P(FS)=1/2,P(SS)+P(SF)+P(FS)=3/4结合归一化公理：P(SS)+P(SF)+P(FS)+P(FF)=1得：P(SS)=5/12;P(SF)=1/4;P(FS)=1/12;故所求条件概率为28将a),b),c)写成概率等式:162例3

假设在空战中，若甲机先向乙机开火，则击落乙机的概率为0.2，若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率为0.3；若甲机亦未被击落，再次进攻乙机，击落乙机的概率为0.4，在这几个回合中，分别计算甲、乙被击落的概率。解：样本空间用树状图表示：击落乙0.2未击落乙0.8击落甲0.3未击落甲0.7未击落乙0.6击落乙0.429例3假设在空战中，若甲机先向乙机开火，则击落乙机的概率163设则设A={甲击落乙}，B={乙击落甲}，显然击落乙0.2未击落乙0.8击落甲0.3未击落甲0.7未击落乙0.6击落乙0.430设击落乙未击落乙击落甲未击落甲未击落乙击落乙练习：袋中有2个红球，3个白球，从中不放回的接连取出两个球。求第二次取出红球的概率。解：设A1表示第一次取出红球，A2表示第一次取出白球，B表示第二次取出红球。那么P（B）=P（BA1）+P（BA2）=P（B|A1）P(A1)+P（B|A2）P(A2)

=1/4*2/5+2/4*3/5

=2/52/51/42/43/5练习：袋中有2个红球，3个白球，从中不放回的接连取出两个球。165例一个袋内装有10个球，其中有4个白球，6个黑球，采取不放回抽样，每次任取一个，若已知第二次取到白球，求第一次取到白球的概率。解：设A=“第一次取到白球”，B=“第二次取到白球”，求P(A|B)则A与构成完备事件组32例一个袋内装有10个球，其中有4个白球，6个黑球，采取不独立事件设(,F,P)为概率空间，F1F，若对任意A1,A2,,AnF1，n=2,3,，有则称F1为独立事件族,或称F1中的事件相互独立。事件A,B独立，有P(AB)=P(A)P(B)独立事件设(,F,P)为概率空间，F1F，若对任意A事件A,B,C相互独立，有P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)事件A,B,C相互独立，有168例：某班50名学生，女生20名。第一组10名，其中4名女生。从中任选一名，A=“学生是第一组”，B=“女学生”，问事件A、B是否独立？分析：显然故A，B独立。注：若第一组的女生数量发生改变，比如有5名女生，则A，B不独立。35例：某班50名学生，女生20名。第一组10名，其中4名女1691.2随机变量及其分布定义1.4设(,F,P)为概率空间，映射X：

R，eX(e)满足

任意xR，{e:X(e)x}F，则称X(e)是F上的随机变量，简记X。对xR，称F(x)=P{e:X(e)x}为随机变量X的分布函数。361.2随机变量及其分布定义1.4设(,F,P)170例投掷两枚硬币试验，={正正，正反，反正，反反}F={，{正正}，{正反}，{反正}，{反反}，{正正，正反}，{正正，反正}，{正正，反反}，{正反，反正}，{正反，反反}，{反正，反反}，{正正，正反，反正}，{正正，正反，反反}，{正正，反正，反反}，{正反，反正，反反}，{正正，正反，反正，反反}}

为可测空间，(，F

)为-代数P{}=0，P{正正}=P{正反}=P{反正}=P{反反}=1/4…，P{}=1，(,F,P)为概率空间37例投掷两枚硬币试验，={正正，正反，反正，反反}171映射X：

R，X(正正)=2，X(正反)=X(反正)=1，X(反反)=0(1)x<0，{e:X(e)x}=F(2)0

x<1，{e:X(e)x}={反反}F(3)1

x<2，{e:X(e)x}={正反,反正,反反}F(4)x≥2，{e:X(e)x}={正正，正反,反正,反反}FX为随机变量38映射X：R，X(正正)=2，X(正反)=X(反分布函数为即分布函数为分布函数的性质：(1)单调性：若x1<x2，则F(x1)F(x2)(2)，(3)F(x)右连续，F(x+0)=F(x)

这三个性质完全刻划了分布函数分布函数的性质：1744)当X为离散型随机变量时，F(x)是阶梯函数当X为连续型随机变量是，F(x)为连续函数5)当X是离散型随机变量且取整数时，分布函数和分布列可以利用求和或差分互求6)当X为连续型随机变量时，分布函数和概率密度函数可以通过积分或微分互求。密度函数表示“概率的变化率”：414)当X为离散型随机变量时，F(x)是阶梯函数随机变量：离散型，连续型离散型随机变量X的概率分布用分布律(列)描述：P(X=xk)=pk，k=1,2,分布函数常见离散型随机变量X及其分布律(1)0-1分布P(X=1)=p，P(X=0)=q，0<p<1，p+q=1随机变量：离散型，连续型(2)二项分布

P(X=k)=，0<p<1,p+q=1,k=0,1,2,,n(3)泊松分布P(X=k)=

，>0，k=0,1,2,(4)几何分布P(X=k)=，0<p<1,p+q=1,k=1,2,(2)二项分布连续型随机变量X的概率分布用概率密度函数f(x)描述分布函数

常见连续型随机变量X及其概率密度(1)均