物理方程和弹性力学解的基本方程与求法课件

第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.1

广义虎克定律

三个平衡方程中有6个应力未知函数；几何方程中6个方程有三个位移和6个应变未知函数。15个未知函数只有9个方程，差6个方程。为了问题可解，需要建立6个应力与应变的关系方程:

此方程在固体力学中称物理方程，或本构方程，其形式和系数取决材料结构，线弹性材料采用广义虎克定律：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.1广义虎克1第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.1

广义虎克定律

以下推导广义虎克定律的多种形式。将（A）前三式相加：

记：则：

或：体积弹性模量。第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.1广义虎克2第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.1

广义虎克定律

用应力表达应变的广义虎克定律可以写成：

或统一写成：

或：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.1广义虎克3第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.1

广义虎克定律

广义虎克定律也可以写成应变表达应力的形式：

记：Lame系数。统一写成：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.1广义虎克4第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.1

广义虎克定律

以上（A）、（B）、（C）是广义虎克定律的三种数学方程。现在考察应力偏量和应变偏量之间的关系：同理：对于应力偏量张量和应变偏量张量之间有：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.1广义虎克5第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.1

广义虎克定律统一写成：

说明应力偏量矩阵和应变张量偏量矩阵成比例关系，两者的主轴方向相同，主值成比例关系。另外，应力偏量与应力之间、应变张量偏量与应变张量都只差一任意方向都是主方向的球张量，其加入与减去都不影响主轴方向，所以得出：

在弹性阶段，应力主轴方向与应变主轴方向重合。此结论在后续的塑性分析中非常有用。第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.1广义虎克6第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.2

弹性力学基本方程

前面已经系统地讲述了弹性力学的基本方程，包括平衡方程、几何方程和物理方程。一、平衡方程

统一写成：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.2弹性力学7第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.2

弹性力学基本方程

二、几何方程与应变协调方程

统一写成：

应变协调方程：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.2弹性力学8第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.2

弹性力学基本方程统一写成：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.2弹性力学9第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.2

弹性力学基本方程

三、物理方程（广义虎克定律）统一写成：应力表达应变的广义虎克定律：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.2弹性力学10第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.2

弹性力学基本方程统一写成：应变表达应力的广义虎克定律：

四、用简单符号写的基本方程集中：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.2弹性力学11第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.2

弹性力学基本方程

考虑应力、应变矩阵的对称性后，三组基本方程总共有15个偏微分方程，包含15个未知函数：

6个应力：6个应变：3个位移：

虽然方程数与未知函数数量相等。但这些方程都是偏微分方程，求解时必须需要边界条件。基本方程与边界条件同等重要，从某种意义上讲，边界条件比基本方程更加重要，因为基本方程形式是相对固定的，而边界条件各个问题的力学模型不同，其边界条件也不同。所以连续介质的问题统称为边值问题。边值问题是物理中最大类的问题，也是数学与物理知识最集中的问题。第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.2弹性力学12第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.3

边界条件

在固体力学中，从基本方程得到的解，其位移必须满足位移约束条件，求得的应力必须满足边界上的面力要求（应力和面力作用后，边界保持平衡）。这样的解才可能是问题的真实解。

边界条件分位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件，而混合边界条件是位移和应力边界条件的组合，所以在理论分析时只考虑位移和应力边界条件。

位移边界：位移已知的那部分边界。应力边界：应力已知的那部分边界。为了使得问题得以解决，必须把位移和应力边界条件表达成方程的形式。

第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.3边界条件13第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.3边界条件由边界围成

设区域围成：

在位移边界上，位移值（函数）已知：平面问题退化为：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.3边界条件14第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.3边界条件

在应力边界上，受的面力函数已知。设应力边界上任意一点的法线（向外）矢量的方向余弦为：面力已知函数为：则利用应力状态分析的公式，边界上的应力函数须满足：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.3边界条件15第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.3边界条件平面问题退化为：

讨论：

1、不管是位移边界条件还是应力边界条件，其方程数量都是3个（三维问题），或两个（平面问题）。

2、对于混合边界条件，其某（或某些）方向受到位移约束，即位移函数已知，而某（或某些）方向面力分布已知。但不管如何，混合边界条件上也是能写出三个边界条件方程，部分是位移约束方程，部分是应力约束方程。具体形式看具体问题而定（见下面的实例）。例如下图的AB边界属于混合边界条件。其边界条件的约束方程为：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.3边界条件16第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.3边界条件

大家一定要学会写边界条件，写边界条件时注意：

1、写完所有边界——完备边界。

2、三维问题每个边界一定有三个边界约束方程，或全位移、或全应力、或部分位移部分应力。

3、平面问题每个边界一定是两个约束方程，或两个位移约束方程、或两个应力约束方程，或一个位移一个应力约束方程。

4、对与坐标轴平行的边界和平行的约束可以直接写出约束方程。第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.3边界条件17第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.3边界条件5、对于与坐标成角度的边界（斜线或曲线），必须考虑边界的法线方向（垂直向外）。法线方向由方向余弦（l,m,n）确定，即单位法线向坐标的投影值。

6、对于与坐标成角度的混合边界条件，必须分别对位移边界和应力边界约束方程进行转换。

7、不受力、不受位移约束的边界属于应力边界，面力为0。以往学生考试情况看，写边界条件得分情况非常差。仔细研究以下写边界条件的例题。第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.3边界条件18第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.3边界条件

例题：写出下图由ABCD围成区域的边界条件（DA上位移约束垂直DA)。１、边界性质分析：

a、AB：应力边界；

b、BC：位移边界；

C、CD：应力边界；

d、DA：混合边界。2、AB边界上：

３、BC边界上：

第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.3边界条件19第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.3边界条件

３、CD边界上，因为是斜面：

４、DA边界上，位移只能沿DA方向，设DA上某点DA方向位移为R：

约束反力垂直DA，设约束DA上某点约束反力为f

CD边界应力约束方程为：

第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.3边界条件20第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.3边界条件而DA的法线矢量：代入应力边界条件方程：消除f:

------应力约束方程。第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.3边界条件21第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.3边界条件当问题的边界条件完备时，弹性问题有解，而且是唯一解。从以上分析知，问题解取决两部分：１、基本方程２、边界条件基本方程是统一的，而边界条件可以五花八门。所以抽象边界条件非常重要。总结地讲，一个弹性问题有以下内容所决定：１、问题类别（三维问题、平面应力、平面应变）２、材料系数与体力３、区域边界（形状）４、边界上完备的位移约束和应力约束。第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.3边界条件22第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.4按照位移求解

虽然有了基本方程和边界条件，但求解时两者的未知函数还没有达到数学上匹配的条件：

1、基本方程中的未知函数有应力、应变和位移，而边界条件方程中只有位移和应力，不相互匹配，无法求解。

2、未知函数种类和数量都太多。

所以求解要完成两件事：

1、两类方程（基本方程和边界条件方程）中减少未知函数数量。

2、两类方程相互匹配，以达到数学上可解的条件。

固体力学的求解方法一般分两种：

位移解法和应力解法。第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.4按照位移23第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.4按照位移求解

位移解法：

将两类方程中的应力和应变全都替换成位移。

应力解法：

将两类方程中的应变和位移全都替换成应力。首先讲位移解法。

基本思路：用物理方程，把应力表达成应变，然后用几何方程把应变表达成位移，这样方程中（基本方程和边界条件方程）只留下位移。

为了减少推导篇幅，采用统一表达式。第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.4按照位移24第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.4按照位移求解一、基本方程的简化

物理方程：

用几何方程，把物理方程中的应力变成位移表达：

把以上方程代入平衡方程有：

第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.4按照位移25第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.4按照位移求解

其中：

称为拉普拉斯算子。（A）式对每个分量展开后得书上(4-18)式：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.4按照位移26第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.4按照位移求解

二、边界条件方程的简化

位移边界条件方程中，只有位移函数，不需要简化。只需简化应力边界条件方程：把位移表达的应力代入有：展开后得到书上（4-20）方程：

以上简化得出以下结论：１、基本方程化为位移表达的二阶偏微分方程。２、边界条件为：或０阶、或一阶、或０～１阶组合。第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.4按照位移27第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.4按照位移求解３、边界条件是完备（所有边界被三类边界包围）.所以问题是可解且唯一。

位移解的优缺点：优点：

1、未知函数数量少,可大大减少数值计算时的容量需求。

2、方程阶数较低（两阶）

3、能同时表达位移边界和应力边界条件。

4、基本方程和边界条件方程，在数学上符合可解条件。缺点：

1、方程复杂，以增加复杂度和阶数来减少未知函数数量。

2、根本无法得到任何问题的解析解。

3、用数值解求得位移后，求应变和应力需要求导数，产生很大的误差。所以位移求解法广泛用于数值解中，而不用于解析解中。

第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.4按照位移28第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.5按照应力求解

顾名思义，应力解法是把方程的未知函数只留下应力，删除应变和位移。将几何方程中的位移删除不是件容易的事，所以不直接利用几何方程，而是利用6个应变协调方程，因为应变协调方程中只有应变而没有位移，然后利用物理方程把应变变成应力，即：

第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.5按照应力29第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.5按照应力求解以上方程加平衡方程为应力解的基本方程。对以上方程可以作进一步整理和简化。前三式两两相加可以删除剪应力，例如第一、第三式相加：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.5按照应力30第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.5按照应力求解

整理后得：

同理可得另外两式并合并：

第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.5按照应力31第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.5按照应力求解

三式想加：

代入(B)的第一式：

第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.5按照应力32第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.5按照应力求解

对（A）的第四式右边作如下处理：

（A）的第四式变成：

第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.5按照应力33第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.5按照应力求解

综合得：

第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.5按照应力34第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.5按照应力求解

对于体力为常数：

对（D’)每个方程两边求一次拉普拉斯运算，得：

代表6个方程，虽然形式简单，但阶数太高。

或统一写成：

第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.5按照应力35第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.5按照应力求解

2、任何一组方程的应力解必须还得满足平衡方程

以上的（A）、（D）或（D’）、（E），都是问题解的基本方程(只用一组），但是不管用那组方程求解，必须还得利用或解满足平衡方程，道理很简单，平衡方程是一阶的，而其他方程都是两阶或以上。当然解还必须满足边界条件。

记住：用高阶方程求解的答案，无法保证低阶方程得到满足

讨论：

1、常体力应力分布与材料系数无关

对常体力情况，应力解的相容（协调）方程、平衡方程、边界条件都不包含材料系数，说明解的应力分布与材料无关。这是一条非常重要的结论，换言之，常体力情况的弹性力学问题有：同样的力学模型，不管采用什么材料，应力分布相同。对理论分析、实际工程、实验力学等都很有指导意义。

第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.5按照应力36第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.5按照应力求解

5、应力解的优缺点

1）未知函数数量多，数值解的容量大。

2）方程相对简单。

3）只能解决应力边界问题。

4）对平面问题可以得到一些解析解。教材中的例题和习题，能解析解的几乎全是应力解法。

3、应力解法不适应位移边界条件

对于应力解法，位移边界条件方程中的位移函数无法化作应力，所以应力解法不适应有位移边界条件的问题。应力边界方程中，未知函数本身就是应力，不需要转换。

这一条是应力解的致命缺陷。

4、对于多连通问题还必须满足单值解。第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.5按照应力37第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.6平面问题和应力函数

对于常体力的平面问题，一些问题还可以得到应力解法的解析解，三维问题几乎无解析解。平面问题分平面应力和平面应变：

1、平面应力问题——平面外的应力都为0

根据物理方程导出：

2、平面应变问题——平面外的应变都为0

根据物理方程导出：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.6平面问题38第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.6平面问题和应力函数

平面问题的基本方程和边界条件：

1、平衡方程：

平面应力和平面应变的基本方程和边界条件，在求解是除了材料系数平面应变采用：

其他两者都一样。体力为0：

2、几何方程和协调方程：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.6平面问题39第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.6平面问题和应力函数

4、位移边界条件：3、物理方程：

5、应力边界条件：

下面讨论体力为0时平面问题的应力解法：

从平衡方程第一式得：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.6平面问题40

同样因为：存在一函数A(x,y)有：存在一函数B(x,y)有：4.6平面问题和应力函数第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法所以有：同样因为：存在一函数A(x,y)有：存在一函数B(x,y)414.6平面问题和应力函数第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法

所以：存在一函数

代入常体力应力相容方程：

得：或写成：——双调和方程。4.6平面问题和应力函数第四章：物理方程和弹422、从以下算式中求得应力3、求得的应力如果满足应力边界条件

通过以上推导和分析，体力为0的平面问题解可以总结为：

1、从以下方程求得应力函数的解，或应力函数满足

注意：如果是常体力，求应力为下式，其他一样：4.6平面问题和应力函数第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4、多连通区域满足单值解。则此应力解就是问题的解。2、从以下算式中求得应力3、求得的应力如果满足应力边界条件434.6平面问题和应力函数第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法

双调和方程无通解可言，只能采用逆解或半逆解解决少量的问题。4.7逆解和半逆解

因为问题是高阶多元偏微分方程，可解析解问题很少：

1、只能解出一些非常简单的函数。

2、通解不是有限项——永远找不齐。

只能通过逆解和半逆解：

1、逆解：首先给一个应力函数形式，满足相容方程，看看有什么样的应力解，什么样的边界条件能满足。

2、半逆解：根据问题性质（形状、对称性、边界条件），对应力函数或应力分量作出形式上假定，代入相容方程，从而导出应力函数，求出应力分量，并考察边界条件。如果不能全部满足边界条件，则考虑圣维南原理。在后续的4.10~4.12

节中实例都是用逆解和半逆解法。4.6平面问题和应力函数第四章：物理方程和弹444.8圣维南原理

弹性力学的解除了满足基本方程外，还须满足边界条件——称弹性力学精确解，或数学解。而遇到的实际问题，数学解的要求过于苛刻，根本无法完全满足边界条件。例如材料力学中的纯弯梁的解：

才是弹性力学的数学解。在实际工程中无一个实例可以满足上图的边界条件。下图的三个力学模型一个都不符合以上解的边界条件。

其边界条件必须是下图的形式：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.8圣维南原理弹性力学的解除了满足基本方45第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.8圣维南原理

以上三个力学模型无一能得到数学解。圣维南原理可以局部简化边界条件，而使得问题有近似解。第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.8圣维南原46第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.8圣维南原理

圣维南原理：在物体局部边界面力作静力等效变换（力系的主矢和主矩不变），近区的应力分布有很大差距，但远区的影响可以不计。

按照此原理，以上三个力学模型中，除了梁两端的应力分布不符合梁纯弯数学解外，中间部分仍然可以采用其数学解。对于梁结构，只要内力符合合力要求，其具体的边界分布可以不作计较（见书上P22）：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.8圣维南原47第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.9叠加原理

按照应力解，因为所有的基本方程、边界条件方程，甚至导出的相容方程，都是泛定线性的，即函数、导数、高阶导数都是线性的，所以符合叠加原理。例如对于平衡方程，两组应力和体力：

满足平衡方程：

两式相加：

符合叠加原理。其他几何方程、边界条件方程、相容方程、求应力方程方程都可以如此证明。注意以应力函数表达的相容方程也符合叠加原理，后面将用到此原理。第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.9叠加原理484.10、平面问题多项式解第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法

下面讨论的问题假定体力为零，应力函数取多项式（函数中最简单最常用的函数）的平面问题。

1、线性多项式

显然取任何系数，都满足应力函数表达的相容方程，应力解为：

为零应力状态的解。所以以后讨论中，应力函数中不需要包含线性项，或者线性项直接删除。

2、二次多项式：

显然取任何系数，都满足应力函数表达的相容方程。4.10、平面问题多项式解第四章：物理方程和弹性力学解的基本49

每项分别考虑：

应力解为：

y方向均布（纯）受拉或压。同理：

均匀受剪，或称纯剪。

x方向均布（纯）受拉或压。而：

应力解为：4.10、平面问题多项式解第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法每项分别考虑：应力解为：50

3、三次线性多项式

显然取任何系数，都满足应力函数表达的相容方程，应力解为：

x方向正应力按照线性分布，其他分量为0。对于矩形板，可解决纯弯曲问题。对于弯矩为M的梁：

是线性分布的剪应力。实际意义不大。取更高阶的多项式，一是系数必须满足一定的关系；二是应力分布阶（比应力函数多项式阶低两阶）也随之增加，实际意义不大。

第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.11、平面问题多项式解

对于：

3、三次线性多项式显51第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.11、悬臂梁受均布分布载荷作用第三章平面问题的直角坐标解答

如图之模型，体力不计。采用半逆解法：猜想y方向正应力与x无关，即

对x进行两次积分：

代入求应力的函数：代入应力相容方程：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.11、悬臂梁52第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.11、悬臂梁受均布分布载荷作用第三章平面问题的直角坐标解答代入第三式：

上式对所有x成立：

注意：以上推导中都放弃了应力函数的线性项和常数项。第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.11、悬臂梁53第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.11、悬臂梁受均布分布载荷作用第三章平面问题的直角坐标解答

从应力函数求应力分量：

以上应力分量满足了应力相容方程，如果选择适当的系数，能满足应力边界条件，则以上解是问题的解答。第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.11、悬臂梁54第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.11、悬臂梁受均布分布载荷作用第三章平面问题的直角坐标解答

考虑上下边界和左端的应力边界条件：应力分量代入第一组边界条件得：

从第二组得：第一组：上下边界条件：第二组：左端边界条件：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.11、悬臂梁55第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.11、悬臂梁受均布分布载荷作用第三章平面问题的直角坐标解答

解得：

代入应力分量：

考虑第二组第一式边界条件：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.11、悬臂梁56第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.11、悬臂梁受均布分布载荷作用第三章平面问题的直角坐标解答

得：

考虑第二组第二式边界条件：

得：

第三式自动满足。最后应力解：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.11、悬臂梁57第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.11、悬臂梁受均布分布载荷作用第三章平面问题的直角坐标解答结果分析，与材料力学结果比较：

1、剪应力按照抛物线分布，与材料力学结论一样。

2、y方向正应力，材料力学不考虑。挤压应力，最大是均布载荷值，很小。

3、x方向正应力，主要应力，主要由弯矩引起。

x方向正应力简化为材料力学形式：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.11、悬臂梁58第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.11、悬臂梁受均布分布载荷作用第三章平面问题的直角坐标解答

上式第二项的最大值为：

非常小。一般情况梁高度取长度的1/10~1/20，第一项的应力为：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.11、悬臂梁59第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.12、简支梁受均布分布载荷作用第三章平面问题的直角坐标解答

本题目完全可以用上题相同的方法解答，即假定：

后面过程也与上题完全一样。书上采用另外基本假定的方法求解，在此只讲大概过程。假定材料力学的解是问题的解，所以可以假定应力：

第一式积分：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.12、简支梁60第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.12、简支梁受均布分布载荷作用第三章平面问题的直角坐标解答

代入第二式得：代入相容方程不满足，修正应力函数：

以上方程最简单特解：再次代入相容方程得：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.12、简支梁61第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.12、简支梁受均布分布载荷作用第三章平面问题的直角坐标解答

最后得到应力函数为：代入求应力函数，并利用边界条件求得待定系数和函数。

此方法很繁琐，所以一般教材不用此法而是用上节采用的方法。第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.12、简支梁62第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.13、极坐标下的体力为零的平面问题应力解法（补充）第三章平面问题的直角坐标解答

求应力分量：

极坐标下应力函数表达的相容方程：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.13、极坐标63第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.13、极坐标下的体力为零的平面问题应力解法（补充）第三章平面问题的直角坐标解答

如果是轴对称问题，应力函数：

应力分量通解：

直角坐标和极坐标之间的应力转换：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.13、极坐标64第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.13、极坐标下的体力为零的平面问题应力解法（补充）第三章平面问题的直角坐标解答以上结果在后面的几节问题中应用。第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.13、极坐标65第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.14、均匀受压圆筒或圆环（补充）内半径：外半径：内压力：外压力：所以应力边界条件：代入应力方程：解得：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.14、均匀受66第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.14、均匀受压圆筒或圆环（补充）所以应力解：讨论：

1、对于应力贡献，两压力相反，有抵消作用。

2、径向应力很小，最大为内外压力最大值

3、周向应力大，两压力对其最大应力贡献，取决两半径平方差。

4、内压比外压贡献大些，大多少取决半径差（即壁厚度），厚度越大贡献差越大。对薄壁贡献差几乎为0。第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.14、均匀受67第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.14、均匀受压圆筒或圆环（补充）只有内压时：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.14、均匀受68第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.14、均匀受压圆筒或圆环（补充）所以工程上周向应力计算方法为：如果是圆柱形容器，z方向应力近似地为：

圆周方向应力是对称轴方向应力大两倍，这是圆柱形容器比球型容器力学差的原因。此公式可以直接从半圆平衡获得：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.14、均匀受69第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.15、圆孔应力集中问题

设y方向无穷大尺寸的平板，x方向受均匀拉应力2q，有一圆孔，圆孔半径r的尺寸远小于弹性体尺寸。求圆孔附近的应力分布。见图1。

把图1的力学模型分解为图2和图3。第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.15、圆孔应70第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.15、圆孔应力集中问题

首先考虑图2模型，当离开圆孔足够远距离时，应力场为均匀受拉应力场，取一半径R足够大的同心圆，R与r之间的区域构成一均匀外受拉的圆环模型，其应力解为：取：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.15、圆孔应71第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.15、圆孔应力集中问题

再考虑图3的模型。在离孔足够远处，有应力条件：

取一半径R足够大的圆，利用应力变换公式，其上的应力为。而圆孔边上：取：以上两组四个方程是本问题的边界条件。第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.15、圆孔应72第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.15、圆孔应力集中问题

从边界条件假定σρ是cos2φ乘一ρ的函数，而τρφ是sin2φ乘一ρ的函数，而取：容易猜想：代入相容方程：解得：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.15、圆孔应73第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.15、圆孔应力集中问题

从边界条件假定σρ是sin2φ乘一ρ的函数，而τρφ是cos2φ乘一ρ的函数，而取：容易猜想：代入相容方程：解得：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.15、圆孔应74第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.15、圆孔应力集中问题

应力函数：取：应力分量：利用边界条件，并令：解得：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.15、圆孔应75第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.15、圆孔应力集中问题最后应力分量：把图2和图3的模型叠加成图1模型，并令拉应力2q变成q：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.15、圆孔应76第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.15、圆孔应力集中问题在圆空边界上周向应力：这就是圆孔应力集中，增加三倍。

利用图2和图3模型，可以组合出各种均匀应力的情况。第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.15、圆孔应77第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.16、半平面受集中力（补充）

图中为一半无限平面空间，假定应力函数为：

代入相容方程：

解得：

删除线性项：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.16、半平面78第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法

应力分量：

自由边界上，边界条件自然满足，考虑任意半圆上力的平衡条件：

解得：

解得：4.16、半平面受集中力（补充）第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法应力分79第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法

应力分量：

取：

利用此模型可以非常神奇地解决圆盘对向受压的问题，求得的结论对工程检测非常有用。4.16、半平面受集中力（补充）第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法应力分80第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法

假如每个F都产生应力解：

则圆上任意一点M，沿r1和r2方向的应力：

两应力相等，相互垂直，无剪应力，所以是主应力。又与角度无关，所以圆周上应力为均匀压应力，所以加上一均匀的受拉边界条件，以上解满足边界条件。4.16、半平面受集中力（补充）第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法81第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法

所以此问题的解为：

均匀受拉，可以作为测试脆性材料的受拉强度。4.16、半平面受集中力（补充）第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法所82第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.1

广义虎克定律

三个平衡方程中有6个应力未知函数；几何方程中6个方程有三个位移和6个应变未知函数。15个未知函数只有9个方程，差6个方程。为了问题可解，需要建立6个应力与应变的关系方程:

此方程在固体力学中称物理方程，或本构方程，其形式和系数取决材料结构，线弹性材料采用广义虎克定律：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.1广义虎克83第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.1

广义虎克定律

以下推导广义虎克定律的多种形式。将（A）前三式相加：

记：则：

或：体积弹性模量。第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.1广义虎克84第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.1

广义虎克定律

用应力表达应变的广义虎克定律可以写成：

或统一写成：

或：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.1广义虎克85第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.1

广义虎克定律

广义虎克定律也可以写成应变表达应力的形式：

记：Lame系数。统一写成：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.1广义虎克86第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.1

广义虎克定律

以上（A）、（B）、（C）是广义虎克定律的三种数学方程。现在考察应力偏量和应变偏量之间的关系：同理：对于应力偏量张量和应变偏量张量之间有：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.1广义虎克87第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.1

广义虎克定律统一写成：

说明应力偏量矩阵和应变张量偏量矩阵成比例关系，两者的主轴方向相同，主值成比例关系。另外，应力偏量与应力之间、应变张量偏量与应变张量都只差一任意方向都是主方向的球张量，其加入与减去都不影响主轴方向，所以得出：

在弹性阶段，应力主轴方向与应变主轴方向重合。此结论在后续的塑性分析中非常有用。第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.1广义虎克88第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.2

弹性力学基本方程

前面已经系统地讲述了弹性力学的基本方程，包括平衡方程、几何方程和物理方程。一、平衡方程

统一写成：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.2弹性力学89第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.2

弹性力学基本方程

二、几何方程与应变协调方程

统一写成：

应变协调方程：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.2弹性力学90第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.2

弹性力学基本方程统一写成：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.2弹性力学91第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.2

弹性力学基本方程

三、物理方程（广义虎克定律）统一写成：应力表达应变的广义虎克定律：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.2弹性力学92第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.2

弹性力学基本方程统一写成：应变表达应力的广义虎克定律：

四、用简单符号写的基本方程集中：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.2弹性力学93第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.2

弹性力学基本方程

考虑应力、应变矩阵的对称性后，三组基本方程总共有15个偏微分方程，包含15个未知函数：

6个应力：6个应变：3个位移：

虽然方程数与未知函数数量相等。但这些方程都是偏微分方程，求解时必须需要边界条件。基本方程与边界条件同等重要，从某种意义上讲，边界条件比基本方程更加重要，因为基本方程形式是相对固定的，而边界条件各个问题的力学模型不同，其边界条件也不同。所以连续介质的问题统称为边值问题。边值问题是物理中最大类的问题，也是数学与物理知识最集中的问题。第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.2弹性力学94第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.3

边界条件

在固体力学中，从基本方程得到的解，其位移必须满足位移约束条件，求得的应力必须满足边界上的面力要求（应力和面力作用后，边界保持平衡）。这样的解才可能是问题的真实解。

边界条件分位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件，而混合边界条件是位移和应力边界条件的组合，所以在理论分析时只考虑位移和应力边界条件。

位移边界：位移已知的那部分边界。应力边界：应力已知的那部分边界。为了使得问题得以解决，必须把位移和应力边界条件表达成方程的形式。

第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.3边界条件95第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.3边界条件由边界围成

设区域围成：

在位移边界上，位移值（函数）已知：平面问题退化为：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.3边界条件96第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.3边界条件

在应力边界上，受的面力函数已知。设应力边界上任意一点的法线（向外）矢量的方向余弦为：面力已知函数为：则利用应力状态分析的公式，边界上的应力函数须满足：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.3边界条件97第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.3边界条件平面问题退化为：

讨论：

1、不管是位移边界条件还是应力边界条件，其方程数量都是3个（三维问题），或两个（平面问题）。

2、对于混合边界条件，其某（或某些）方向受到位移约束，即位移函数已知，而某（或某些）方向面力分布已知。但不管如何，混合边界条件上也是能写出三个边界条件方程，部分是位移约束方程，部分是应力约束方程。具体形式看具体问题而定（见下面的实例）。例如下图的AB边界属于混合边界条件。其边界条件的约束方程为：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.3边界条件98第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.3边界条件

大家一定要学会写边界条件，写边界条件时注意：

1、写完所有边界——完备边界。

2、三维问题每个边界一定有三个边界约束方程，或全位移、或全应力、或部分位移部分应力。

3、平面问题每个边界一定是两个约束方程，或两个位移约束方程、或两个应力约束方程，或一个位移一个应力约束方程。

4、对与坐标轴平行的边界和平行的约束可以直接写出约束方程。第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.3边界条件99第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.3边界条件5、对于与坐标成角度的边界（斜线或曲线），必须考虑边界的法线方向（垂直向外）。法线方向由方向余弦（l,m,n）确定，即单位法线向坐标的投影值。

6、对于与坐标成角度的混合边界条件，必须分别对位移边界和应力边界约束方程进行转换。

7、不受力、不受位移约束的边界属于应力边界，面力为0。以往学生考试情况看，写边界条件得分情况非常差。仔细研究以下写边界条件的例题。第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.3边界条件100第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.3边界条件

例题：写出下图由ABCD围成区域的边界条件（DA上位移约束垂直DA)。１、边界性质分析：

a、AB：应力边界；

b、BC：位移边界；

C、CD：应力边界；

d、DA：混合边界。2、AB边界上：

３、BC边界上：

第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.3边界条件101第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.3边界条件

３、CD边界上，因为是斜面：

４、DA边界上，位移只能沿DA方向，设DA上某点DA方向位移为R：

约束反力垂直DA，设约束DA上某点约束反力为f

CD边界应力约束方程为：

第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.3边界条件102第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.3边界条件而DA的法线矢量：代入应力边界条件方程：消除f:

------应力约束方程。第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.3边界条件103第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.3边界条件当问题的边界条件完备时，弹性问题有解，而且是唯一解。从以上分析知，问题解取决两部分：１、基本方程２、边界条件基本方程是统一的，而边界条件可以五花八门。所以抽象边界条件非常重要。总结地讲，一个弹性问题有以下内容所决定：１、问题类别（三维问题、平面应力、平面应变）２、材料系数与体力３、区域边界（形状）４、边界上完备的位移约束和应力约束。第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.3边界条件104第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.4按照位移求解

虽然有了基本方程和边界条件，但求解时两者的未知函数还没有达到数学上匹配的条件：

1、基本方程中的未知函数有应力、应变和位移，而边界条件方程中只有位移和应力，不相互匹配，无法求解。

2、未知函数种类和数量都太多。

所以求解要完成两件事：

1、两类方程（基本方程和边界条件方程）中减少未知函数数量。

2、两类方程相互匹配，以达到数学上可解的条件。

固体力学的求解方法一般分两种：

位移解法和应力解法。第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.4按照位移105第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.4按照位移求解

位移解法：

将两类方程中的应力和应变全都替换成位移。

应力解法：

将两类方程中的应变和位移全都替换成应力。首先讲位移解法。

基本思路：用物理方程，把应力表达成应变，然后用几何方程把应变表达成位移，这样方程中（基本方程和边界条件方程）只留下位移。

为了减少推导篇幅，采用统一表达式。第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.4按照位移106第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.4按照位移求解一、基本方程的简化

物理方程：

用几何方程，把物理方程中的应力变成位移表达：

把以上方程代入平衡方程有：

第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.4按照位移107第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.4按照位移求解

其中：

称为拉普拉斯算子。（A）式对每个分量展开后得书上(4-18)式：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.4按照位移108第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.4按照位移求解

二、边界条件方程的简化

位移边界条件方程中，只有位移函数，不需要简化。只需简化应力边界条件方程：把位移表达的应力代入有：展开后得到书上（4-20）方程：

以上简化得出以下结论：１、基本方程化为位移表达的二阶偏微分方程。２、边界条件为：或０阶、或一阶、或０～１阶组合。第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.4按照位移109第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.4按照位移求解３、边界条件是完备（所有边界被三类边界包围）.所以问题是可解且唯一。

位移解的优缺点：优点：

1、未知函数数量少,可大大减少数值计算时的容量需求。

2、方程阶数较低（两阶）

3、能同时表达位移边界和应力边界条件。

4、基本方程和边界条件方程，在数学上符合可解条件。缺点：

1、方程复杂，以增加复杂度和阶数来减少未知函数数量。

2、根本无法得到任何问题的解析解。

3、用数值解求得位移后，求应变和应力需要求导数，产生很大的误差。所以位移求解法广泛用于数值解中，而不用于解析解中。

第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.4按照位移110第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.5按照应力求解

顾名思义，应力解法是把方程的未知函数只留下应力，删除应变和位移。将几何方程中的位移删除不是件容易的事，所以不直接利用几何方程，而是利用6个应变协调方程，因为应变协调方程中只有应变而没有位移，然后利用物理方程把应变变成应力，即：

第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.5按照应力111第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.5按照应力求解以上方程加平衡方程为应力解的基本方程。对以上方程可以作进一步整理和简化。前三式两两相加可以删除剪应力，例如第一、第三式相加：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.5按照应力112第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.5按照应力求解

整理后得：

同理可得另外两式并合并：

第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.5按照应力113第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.5按照应力求解

三式想加：

代入(B)的第一式：

第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.5按照应力114第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.5按照应力求解

对（A）的第四式右边作如下处理：

（A）的第四式变成：

第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.5按照应力115第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.5按照应力求解

综合得：

第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.5按照应力116第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.5按照应力求解

对于体力为常数：

对（D’)每个方程两边求一次拉普拉斯运算，得：

代表6个方程，虽然形式简单，但阶数太高。

或统一写成：

第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.5按照应力117第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.5按照应力求解

2、任何一组方程的应力解必须还得满足平衡方程

以上的（A）、（D）或（D’）、（E），都是问题解的基本方程(只用一组），但是不管用那组方程求解，必须还得利用或解满足平衡方程，道理很简单，平衡方程是一阶的，而其他方程都是两阶或以上。当然解还必须满足边界条件。

记住：用高阶方程求解的答案，无法保证低阶方程得到满足

讨论：

1、常体力应力分布与材料系数无关

对常体力情况，应力解的相容（协调）方程、平衡方程、边界条件都不包含材料系数，说明解的应力分布与材料无关。这是一条非常重要的结论，换言之，常体力情况的弹性力学问题有：同样的力学模型，不管采用什么材料，应力分布相同。对理论分析、实际工程、实验力学等都很有指导意义。

第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.5按照应力118第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.5按照应力求解

5、应力解的优缺点

1）未知函数数量多，数值解的容量大。

2）方程相对简单。

3）只能解决应力边界问题。

4）对平面问题可以得到一些解析解。教材中的例题和习题，能解析解的几乎全是应力解法。

3、应力解法不适应位移边界条件

对于应力解法，位移边界条件方程中的位移函数无法化作应力，所以应力解法不适应有位移边界条件的问题。应力边界方程中，未知函数本身就是应力，不需要转换。

这一条是应力解的致命缺陷。

4、对于多连通问题还必须满足单值解。第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.5按照应力119第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.6平面问题和应力函数

对于常体力的平面问题，一些问题还可以得到应力解法的解析解，三维问题几乎无解析解。平面问题分平面应力和平面应变：

1、平面应力问题——平面外的应力都为0

根据物理方程导出：

2、平面应变问题——平面外的应变都为0

根据物理方程导出：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.6平面问题120第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.6平面问题和应力函数

平面问题的基本方程和边界条件：

1、平衡方程：

平面应力和平面应变的基本方程和边界条件，在求解是除了材料系数平面应变采用：

其他两者都一样。体力为0：

2、几何方程和协调方程：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.6平面问题121第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.6平面问题和应力函数

4、位移边界条件：3、物理方程：

5、应力边界条件：

下面讨论体力为0时平面问题的应力解法：

从平衡方程第一式得：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.6平面问题122

同样因为：存在一函数A(x,y)有：存在一函数B(x,y)有：4.6平面问题和应力函数第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法所以有：同样因为：存在一函数A(x,y)有：存在一函数B(x,y)1234.6平面问题和应力函数第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法

所以：存在一函数

代入常体力应力相容方程：

得：或写成：——双调和方程。4.6平面问题和应力函数第四章：物理方程和弹1242、从以下算式中求得应力3、求得的应力如果满足应力边界条件

通过以上推导和分析，体力为0的平面问题解可以总结为：

1、从以下方程求得应力函数的解，或应力函数满足

注意：如果是常体力，求应力为下式，其他一样：4.6平面问题和应力函数第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4、多连通区域满足单值解。则此应力解就是问题的解。2、从以下算式中求得应力3、求得的应力如果满足应力边界条件1254.6平面问题和应力函数第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法

双调和方程无通解可言，只能采用逆解或半逆解解决少量的问题。4.7逆解和半逆解

因为问题是高阶多元偏微分方程，可解析解问题很少：

1、只能解出一些非常简单的函数。

2、通解不是有限项——永远找不齐。

只能通过逆解和半逆解：

1、逆解：首先给一个应力函数形式，满足相容方程，看看有什么样的应力解，什么样的边界条件能满足。

2、半逆解：根据问题性质（形状、对称性、边界条件），对应力函数或应力分量作出形式上假定，代入相容方程，从而导出应力函数，求出应力分量，并考察边界条件。如果不能全部满足边界条件，则考虑圣维南原理。在后续的4.10~4.12

节中实例都是用逆解和半逆解法。4.6平面问题和应力函数第四章：物理方程和弹1264.8圣维南原理

弹性力学的解除了满足基本方程外，还须满足边界条件——称弹性力学精确解，或数学解。而遇到的实际问题，数学解的要求过于苛刻，根本无法完全满足边界条件。例如材料力学中的纯弯梁的解：

才是弹性力学的数学解。在实际工程中无一个实例可以满足上图的边界条件。下图的三个力学模型一个都不符合以上解的边界条件。

其边界条件必须是下图的形式：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.8圣维南原理弹性力学的解除了满足基本方127第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.8圣维南原理

以上三个力学模型无一能得到数学解。圣维南原理可以局部简化边界条件，而使得问题有近似解。第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.8圣维南原128第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.8圣维南原理

圣维南原理：在物体局部边界面力作静力等效变换（力系的主矢和主矩不变），近区的应力分布有很大差距，但远区的影响可以不计。

按照此原理，以上三个力学模型中，除了梁两端的应力分布不符合梁纯弯数学解外，中间部分仍然可以采用其数学解。对于梁结构，只要内力符合合力要求，其具体的边界分布可以不作计较（见书上P22）：第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.8圣维南原129第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.9叠加原理

按照应力解，因为所有的基本方程、边界条件方程，甚至导出的相容方程，都是泛定线性的，即函数、导数、高阶导数都是线性的，所以符合叠加原理。例如对于平衡方程，两组应力和体力：

满足平衡方程：

两式相加：

符合叠加原理。其他几何方程、边界条件方程、相容方程、求应力方程方程都可以如此证明。注意以应力函数表达的相容方程也符合叠加原理，后面将用到此原理。第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法4.9叠加原理1304.10、平面问题多项式解第四章：物理方程和弹性力学解的基本方程与求法

下面讨论的问题假定体力为零，应力函数取多项式（函数中最简单最常用的函数）的平面问题。

1、线性多项式

显然取任何系数，都满足应力函数表达的相容方程，应力解为：

为零应力状态的解。所以以后讨论中，应力函数中不需要包含线性项，或者线性项直接删除。

2、二次多项式：

显然取任何系数，都满足应力函数表达的相容方程。4.10、平面问题多项式解第四章：物理方程和弹性力学解的基本13