北师版八年级数学上册教案第1章勾股定理1探索勾股定理(2课时)

研究勾股定理第1课时勾股定理一、基本目标1．经历勾股定理的发现过程,认识并掌握勾股定理的内容．2．经过对勾股定理的研究,在研究实践中理解并掌握勾股定理．二、重难点目标【讲课要点】勾股定理．【讲课难点】勾股定理的研究．环节1自学纲领,生成问题5min阅读】阅读教材P2～P3的内容,达成下边练习．3min反应】1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.假如用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2＋b2＝c2.2．以下说法中正确的选项是(C)A．已知a,b,c是三角形的三边,则a2＋b2＝c2B．在直角三角形中,两边和的平方等于第三边的平方C．在Rt△ABC中,∠C＝90°,则a2＋b2＝c2D．在Rt△ABC中,∠B＝90°,则a2＋b2＝c23．若Rt△ABC中,∠C＝90°,且AB＝10,BC＝8,则AC长是(B)A．5C．7

B．6D．8环节活动

2合作研究,解决问题1小组讨论(师生对学

)【例1】如图,已知在△ABC中,∠ACB＝90°,AB＝5cm,BC＝3cm,CD⊥AB于点D,求CD的长．【互动研究】(引起学生思虑)要求CD的长,CD是△ABC的高,AB的长已知,假如能求出三角形ABC的面积就好办了．【解答】∵△ABC中,∠ACB＝90°,AB＝5cm,BC＝3cm,∴由勾股定理,得AC2＝AB2－BC2＝52－32＝16＝42,∴AC＝4cm.11又∵S△ABC＝2AB·CD＝2AC·BC,∴CD＝AC·BC4×312AB＝5＝5(cm)．【互动总结】(学生总结,老师讨论)由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上的高的积,这个规律常与勾股定理结合使用．【例2】如图,已知AD是△ABC的中线．求证：AB2＋AC2＝2(AD2＋CD2)．【互动研究】(引起学生思虑)结论中波及线段的平方,所以能够考虑作AE⊥BC于点E,在△ABC中结构直角三角形,利用勾股定理进行证明．【证明】如图,过点A作AE⊥BC于点E.在Rt△ACE、Rt△ABE和Rt△ADE中,AB2＝AE2＋BE2,AC2＝AE2＋CE2,AE2＝AD2－ED2,AB2＋AC2＝(AE2＋BE2)＋(AE2＋CE2)＝2(AD2－ED2)＋(DB－DE)2＋(DC＋DE)2＝2AD2－2ED2＋DB2－2DB·DE＋DE2＋DC2＋2DC·DE＋DE2＝2AD2＋DB2＋DC2＋2DE(DC－DB)．又∵AD是△ABC的中线,∴BD＝CD,∴AB2＋AC2＝2AD2＋2DC2＝2(AD2＋CD2)．【互动总结】(学生总结,老师讨论)结构直角三角形,利用勾股定理把需要证明的线段联系起来．一般地,波及线段之间的平方关系问题时,平常沿着这个思路去分析问题．活动2坚固练习(学生独学)1．在△ABC中,∠C＝90°若.a＝5,b＝12,则c＝13；若c＝41,a＝9,则b＝40.2．等腰△ABC的腰长AB＝10cm,底BC为16cm,则底边上的高为6,面积为48.3．已知在△ABC中,∠C＝90°,BC＝a,AC＝b,AB＝c.(1)若a＝5,b＝12,求c；(2)若a＝15,c＝17,求b.解：(1)依据勾股定理,得c2＝a2＋b2＝52＋122＝169.∵c>0,∴c＝13.(2)依据勾股定理,得b2＝c2－a2＝172－152＝64.∵b>0,∴b＝8.活动3拓展延长(学生对学)【例3】在△ABC中,AB＝20,AC＝15,AD为BC边上的高,且AD＝12,求△ABC的周长．【互动研究】应试虑高AD在△ABC内和△ABC外的两种情况．【解答】当高AD在△ABC内部时,如图1.在Rt△ABD中,由勾股定理,得BD2＝AB2－AD2202－122＝162,∴BD＝16；在Rt△ACD中,由勾股定理,得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝92,∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25,∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60.当高AD在△ABC外面时,如图2.同理可得BD＝16,CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7,∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42.综上所述,△ABC的周长为42或60.图1图2【互动总结】(学生总结,老师讨论)题中未给出图形时,作高结构直角三角形易遗漏钝角三角形的情况．如在本例中,易只考虑高AD在△ABC内的情况,忽略高AD在△ABC外的情形,致使漏解．环节3讲堂小结,当堂达标(学生总结,老师讨论)勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．假如用a,b,c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2＋b2＝c2.请达成本课时对应练习！第2课时勾股定理的证明一、基本目标勾股定理的面积证法；会用勾股定理进行简单的计算．二、重难点目标【讲课要点】勾股定理的面积证法．【讲课难点】勾股定理的应用．环节1自学纲领,生成问题5min阅读】阅读教材P4～P6的内容,达成下边练习．3min反应】1．在△ABC中,∠C＝90°若.a＝6,c＝10,则b＝8.2．某田舍的大门是一个木制的矩形栅栏,它的高为2m,宽为1.5m,现需要在相对的极点间用一块木板加固,则木板的长为2.5m.3．依据以以下图,利用面积法证明勾股定理．证明：∵S梯形ABCD＝S△ABE＋S△BCE＋S△EDA,又∵S梯形ABCD＝12△BCE△EDA1△ABE122(a＋b),S＝S＝2ab,S＝2c,12112∴(a＋b)＝2×ab＋c,222∴a2＋b2＝c2,即勾股定理得证．环节2合作研究,解决问题活动1小组讨论(师生对学)【例1】作8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形,将它们像以以下图所示拼成两个正方形．证明：a2＋b2＝c2.【互动研究】(引起学生思虑)从整体上看,这两个大正方形的边长都是a＋b,所以它们的面积相等．我们再用不一样样的方法来表示这两个正方形的面积,即可证明勾股定理．【证明】由图易知,这两个正方形的边长都是a＋b,∴它们的面积相等．1左侧大正方形面积可表示为a2＋b2＋2ab×4,1右侧大正方形面积可表示为c2＋2ab×4.a2＋b2＋12ab×4＝c2＋12ab×4,a2＋b2＝c2.【互动总结】(学生总结,老师讨论)依据拼图,经过对拼接图形的面积的不一样样表示方法,建立相等关系,进而考证勾股定理．活动2坚固练习(学生独学)1．等腰三角形的腰长为13cm,底边长为10cm,则它的面积为(D)A．30cm2B．130cm2C．120cm2D．60cm22．直角三角形两直角边长分别为5cm,12cm,则斜边上的高为60cm.133．如图,某人欲横渡一条河,因为水流的影响,实质登岸地点C偏离欲抵达地点B200m,结果他在水中实质游了520m,该河流的宽度为多少？解：依据图中数据,运用勾股定理该河流的宽度为480m.活动3拓展延长(学生对学)【例2】如图,高速公路的同侧有

,得AB＝AC2－BC2＝5202－2002＝480(m)．A,B两个乡村,它们到高速公路所在直线MN的距离分别为

AA1＝2km,BB1＝4km,A1B1＝8km.现要在高速公路上

A1,B1之间设一个出口

P,使

A,B两个乡村到

P的距离之和最短

,求这个最短距离之和．【互动研究】怎样找到这个点P？找到此后怎样算出最短距离呢？【解答】作点B对于MN的对称点B′,连结AB′交A1B1于点P,连结BP.则AP＋BP＝AP＋PB′＝AB′,易知点P即为到点A,B距离之和最短的点．过点A作AE⊥BB′于点E,则AE＝A1B1＝8km,B′E＝AA1＋BB1＝2＋4＝6(km)．由勾股定理,得B′A2＝AE2＋B′