《分式方程》课件-(公开课获奖)2022年沪科版-

9.3分式方程9.3分式方程1情景问题:

一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的水流速度为多少？分析：设江水的水流速度为v千米/时，轮船顺流航行的速度为_____千米/时，逆流航行的速度为_____千米/时，顺流航行100千米所用时间为______小时,逆流航行60千米所用时间为______小时.(20+v)(20-v)列得方程:分式方程:分母含有未知数的方程.情景问题:一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时2找一找：下列方程中属于分式方程的有（）;属于一元分式方程的有（）.

①②③④

x2+2x-1=0①③①巩固定义找一找：①③①巩固定义3

怎样才能解这个方程呢?说说你的想法.两边同乘以得:解得:v=5

检验:将v=5代入原方程,左边=4=右边,因些v=5是分式方程的解.各分母的最简公分母解一元一次方程的一般步骤是什么?怎样才能解这个方程呢?说说你的想法.两边同乘以4解分式方程解：在方程两边都乘以最简公分母(x+1)(x-1)得，

x+1=2

解这个整式方程，得x=1.把x=1代入原分式方程检验，结果x=1使分式方程式

的分母的值为0，这两个分式没有意义，因此x=1不是原分式方程的根.解分式方程解：把x=1代入原分式方程检验，结果x=1使分式方5解分式方程解方程两边同乘以最简公分母(x＋1)(x－1),解整式方程,得

x

=-1检验:把x

=-1代入原方程结果使原方程的最简公分母x2-1=0,分式无意义，因此x

=-1不是原方程的根.

∴

原方程无解.①

②

③

得（x-1)2=5x+9+1+1·(x+1)(x-1)增根x2-2x+1=5x+9+x2-1-7x=7x=-1解分式方程解方程两边同乘以最简公分母(x＋1)(x－6增根与验根在上面的方程中,x=-1不是原方程的根,因为它使得原分式方程的分母为零,我们你它为原方程的增根.产生增根的原因是,我们在方程的两边同乘了一个可能使分母为零的整式.因此解分式方程可能产生增根,所以解分式方程必须检验.增根与验根在上面的方程中,x=-1不是原方程的根,因为它使得7总结通过例题的讲解和练习的操作,你能总结出解分式方程的一般步骤吗?解分式方程的一般步骤:在方程的两边都乘以最简公分母,化成____________方程;解这个____________方程;检验:把__________方程的根代入____________.如果值_________,就是原方程的根;如果值__________,就是增根.应当__________.整式整式这个整式最简公分母中不为零为零舍去总结通过例题的讲解和练习的操作,你能总结出解分式方程的一般步8

解下列方程:解下列方程:9解分式方程容易犯的错误主要有：(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘．(2)约去分母后，分子是多项式时，要注意添括号．(3)增根不舍掉.(4)……想一想解分式方程容易犯的错误主要有：(1)去分母时，原方程的整式部10x2x-353-2x(2)+=43x-14x(1)=解方程随堂练习思考题:

解关于x的方程产生增根,则常数m的值等于()(A)-2(B)-1(C)1(D)2x-3x-1x-1m=x2x-353-2x(2)+111、分式方程的最简公分母是

.2、如果有增根,那么增根为

.4、若分式方程有增根x=2,则

a=.X=2X-1分析:

原分式方程去分母,两边同乘以(x2-4),得a(x+2)+4=0①把x=2代入整式方程①,得4a+4=0,a=-1∴a=-1时,x=2是原方程的增根.-13、关于x的方程=4的解是x=,则a=.2练习：1、分式方程的最简公12

13观察与思考∠1是∠3的

，两边分别在同一条直线上.因此一个角的对顶角可看作是把这个角的两边

延长得到的没有公共边的角观察与思考∠1是∠3的14∠AOC和∠BOD有公共顶点，且∠AOC的两边分别是∠BOD两边的反向延长线.如图直线AB与CD相交于点O，∠1和∠3有公共顶点O，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.对顶角：观察总结

∠AOC和∠BOD有公共顶点，且∠AOC的两边分别是∠BOD15那么对顶角有什么样的关系呢？对顶角相等那么对顶角有对顶角相等16实验探究

由∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°，可得∠1＝∠3.对顶角相等实验探究由∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠317（对顶角相等）∵∠3=∠1∠1=68°（）已知∴∠3=68°解：（等量代换）∴∠2=180°—∠1=112°∴∠4=∠2=112°（对顶角相等）（对顶角相等）∵∠3=∠1∠1=68°（）已知18

如图所示，有一个破损的扇形零件，怎样用量角器量出这个扇形零件的圆心角的度数.如图所示，有一个破损的扇形零件，怎样用量角器量出这个19生活拓展观察下列各图，寻找对顶角（不含平角)

⑴如图a，图中共有

对对顶角⑵如图b，图中共有

对对顶角⑶如图c，图中共有

对对顶角⑷研究⑴～⑶小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成

对对顶角⑸若有2008条直线相交于一点，则可形成

对对顶角.

生活拓展观察下列各图，寻找对顶角（不含平角)⑴如图20其中一条直线叫做另一条直线的垂线1.定义：当两条直线AB和CD所成的四个角中，如果有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直.2.垂直用符号“⊥”来表示，读作“垂直于”.如“直线AB垂直于直线CD”，就记作“AB⊥CD”.OABCD3.交点O叫做垂足探究新知：垂线的定义其中一条直线叫做另一条直线的垂线1.定义：当两条直线AB和C21FEMNO记作：_________,垂足为___.ABOE记作：

______，垂足为____.试一试填一填MN⊥EFOAB⊥OEO或者MN⊥EF于O或者AB⊥OE于OFEMNO记作：_________,垂足为___.ABOE22日常生活中,两条直线互相垂直的情形很常见,说出图中的一些互相垂直的线条.你能再举出其他例子吗?你能举出生活中直线互相垂直的例子吗？日常生活中,两条直线互相垂直的情形很常见,说出图中的一些互相23生活中的垂直生活中的垂直241、∵AB⊥CD（已知）∴∠1=90°（垂线的定义）2、∵∠1=90°（已知）∴AB⊥CD（垂线的定义）ABCD1ABCD1垂直有以下两层含义1、∵AB⊥CD（已知）2、∵∠1=90°（已知）ABCD125解：∵∠1＝35°，∠2＝55°（已知）

垂直∴∠AOE＝180°－∠1－∠2

＝180°－35°－55°

＝90°∴OE⊥AB(垂直的定义)CDABOE12例如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE为射线，若∠1＝35°∠2＝55°，则OE与AB的位置关系是

.

应用新知解：垂直∴∠AOE＝180°－∠1－∠2∴OE⊥A261、两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是()

（A）有两个角相等（B）有两对角相等（C）有三个角相等（D）有四对邻补角（C）

练一练（C）练一练272、下面四种判定两条直线的垂直的方法，正确的有（）个（1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直（2）两条直线相交，只要有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直（3）两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线互相垂直（4）两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直（A）4（B）3

（C）2（D）1A2、下面四种判定两条直线的垂直的方法，正确的有（）28问题：这样画L的垂线可以画几条？1靠、2画线、LO(1)如图，已知直线L,作L的垂线.A无数条1.用三角尺画垂线动手操作问题：怎么样画已知直线的垂线？问题：LO(1)如图，已知直线L,作L的垂线.A无数条1.29LA(2)如图，已知直线L和L上的一点A,作L的垂线.B1靠（线）:把三角板的一直角边靠在直线上;3画（线）:沿着三角板的另一直角边画出垂线.2过（点）:三角板的另一条直角边过已知点;则所画直线AB是过点A的直线L的垂线.问题：这样画L的垂线可以画几条？1条LA(2)如图，已知直线L和L上的一点A,作L的垂线.30LA(3)如图，已知直线L和L外的一点A,作L的垂线.B3画（线）:沿着三角板的另一直角边画出垂线.2过（点）:三角板的另一条直角边过已知点;1靠（线）:把三角板的一直角边靠在直线上;则所画直线AB是过点A的直线L的垂线.问题：这样画L的垂线可以画几条？1条LA(3)如图，已知直线L和L外的一点A,作L的垂线.31根据以上的操作，你能得出什么结论？垂线的第一性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

（1）“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外.

（2）“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.注意：

总结：根据以上的操作，你能得出什么结论？垂线的第一性质：过一点有且321.在小学学段我们曾通过折纸的方法，得到两条垂线，现在你可以用几种折法得到两条垂线？

2.用折纸方法画垂线1.在小学学段我们曾通过折纸的方法，得到两条垂线，现在你可以332.如图(5)：直线a上有一点A，经过点A，你能折出几条与a垂直的直线？如图(6)：直线a外有一点B,经过点B，你能折出几条与a垂直的直线？想一想做一做过点A、B分别可以做直线a的几条垂线呢？2.如图(5)：直线a上有一点A，经过点A，你能折出几条与a341.过点P向线段AB所在直线引垂线，正确的是（）.

ABCDC课堂练习PPPPPPABO1.过点P向线段AB所在直线引垂线，正确的是（35EEE注意:画线段(或射线)的垂线时,有时要将线段延长(或将射线反向延长)后再画垂线.2、问题：如何画一条线段或射线的垂线？EEE注意:画线段(或射线)的垂线时,有时要将线段延长(或将363.如图，已知AB.CD相交于O,OE⊥CD于O,∠AOC=36°，则∠BOE=.

（A）36°(B)64°(C)144°(D)54°ABOCDED3.如图，已知AB.CD相交于O,OE⊥CD379.3分式方程9.3分式方程38情景问题:

一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的水流速度为多少？分析：设江水的水流速度为v千米/时，轮船顺流航行的速度为_____千米/时，逆流航行的速度为_____千米/时，顺流航行100千米所用时间为______小时,逆流航行60千米所用时间为______小时.(20+v)(20-v)列得方程:分式方程:分母含有未知数的方程.情景问题:一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时39找一找：下列方程中属于分式方程的有（）;属于一元分式方程的有（）.

①②③④

x2+2x-1=0①③①巩固定义找一找：①③①巩固定义40

怎样才能解这个方程呢?说说你的想法.两边同乘以得:解得:v=5

检验:将v=5代入原方程,左边=4=右边,因些v=5是分式方程的解.各分母的最简公分母解一元一次方程的一般步骤是什么?怎样才能解这个方程呢?说说你的想法.两边同乘以41解分式方程解：在方程两边都乘以最简公分母(x+1)(x-1)得，

x+1=2

解这个整式方程，得x=1.把x=1代入原分式方程检验，结果x=1使分式方程式

的分母的值为0，这两个分式没有意义，因此x=1不是原分式方程的根.解分式方程解：把x=1代入原分式方程检验，结果x=1使分式方42解分式方程解方程两边同乘以最简公分母(x＋1)(x－1),解整式方程,得

x

=-1检验:把x

=-1代入原方程结果使原方程的最简公分母x2-1=0,分式无意义，因此x

=-1不是原方程的根.

∴

原方程无解.①

②

③

得（x-1)2=5x+9+1+1·(x+1)(x-1)增根x2-2x+1=5x+9+x2-1-7x=7x=-1解分式方程解方程两边同乘以最简公分母(x＋1)(x－43增根与验根在上面的方程中,x=-1不是原方程的根,因为它使得原分式方程的分母为零,我们你它为原方程的增根.产生增根的原因是,我们在方程的两边同乘了一个可能使分母为零的整式.因此解分式方程可能产生增根,所以解分式方程必须检验.增根与验根在上面的方程中,x=-1不是原方程的根,因为它使得44总结通过例题的讲解和练习的操作,你能总结出解分式方程的一般步骤吗?解分式方程的一般步骤:在方程的两边都乘以最简公分母,化成____________方程;解这个____________方程;检验:把__________方程的根代入____________.如果值_________,就是原方程的根;如果值__________,就是增根.应当__________.整式整式这个整式最简公分母中不为零为零舍去总结通过例题的讲解和练习的操作,你能总结出解分式方程的一般步45

解下列方程:解下列方程:46解分式方程容易犯的错误主要有：(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘．(2)约去分母后，分子是多项式时，要注意添括号．(3)增根不舍掉.(4)……想一想解分式方程容易犯的错误主要有：(1)去分母时，原方程的整式部47x2x-353-2x(2)+=43x-14x(1)=解方程随堂练习思考题:

解关于x的方程产生增根,则常数m的值等于()(A)-2(B)-1(C)1(D)2x-3x-1x-1m=x2x-353-2x(2)+481、分式方程的最简公分母是

.2、如果有增根,那么增根为

.4、若分式方程有增根x=2,则

a=.X=2X-1分析:

原分式方程去分母,两边同乘以(x2-4),得a(x+2)+4=0①把x=2代入整式方程①,得4a+4=0,a=-1∴a=-1时,x=2是原方程的增根.-13、关于x的方程=4的解是x=,则a=.2练习：1、分式方程的最简公49

50观察与思考∠1是∠3的

，两边分别在同一条直线上.因此一个角的对顶角可看作是把这个角的两边

延长得到的没有公共边的角观察与思考∠1是∠3的51∠AOC和∠BOD有公共顶点，且∠AOC的两边分别是∠BOD两边的反向延长线.如图直线AB与CD相交于点O，∠1和∠3有公共顶点O，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.对顶角：观察总结

∠AOC和∠BOD有公共顶点，且∠AOC的两边分别是∠BOD52那么对顶角有什么样的关系呢？对顶角相等那么对顶角有对顶角相等53实验探究

由∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°，可得∠1＝∠3.对顶角相等实验探究由∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠354（对顶角相等）∵∠3=∠1∠1=68°（）已知∴∠3=68°解：（等量代换）∴∠2=180°—∠1=112°∴∠4=∠2=112°（对顶角相等）（对顶角相等）∵∠3=∠1∠1=68°（）已知55

如图所示，有一个破损的扇形零件，怎样用量角器量出这个扇形零件的圆心角的度数.如图所示，有一个破损的扇形零件，怎样用量角器量出这个56生活拓展观察下列各图，寻找对顶角（不含平角)

⑴如图a，图中共有

对对顶角⑵如图b，图中共有

对对顶角⑶如图c，图中共有

对对顶角⑷研究⑴～⑶小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成

对对顶角⑸若有2008条直线相交于一点，则可形成

对对顶角.

生活拓展观察下列各图，寻找对顶角（不含平角)⑴如图57其中一条直线叫做另一条直线的垂线1.定义：当两条直线AB和CD所成的四个角中，如果有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直.2.垂直用符号“⊥”来表示，读作“垂直于”.如“直线AB垂直于直线CD”，就记作“AB⊥CD”.OABCD3.交点O叫做垂足探究新知：垂线的定义其中一条直线叫做另一条直线的垂线1.定义：当两条直线AB和C58FEMNO记作：_________,垂足为___.ABOE记作：

______，垂足为____.试一试填一填MN⊥EFOAB⊥OEO或者MN⊥EF于O或者AB⊥OE于OFEMNO记作：_________,垂足为___.ABOE59日常生活中,两条直线互相垂直的情形很常见,说出图中的一些互相垂直的线条.你能再举出其他例子吗?你能举出生活中直线互相垂直的例子吗？日常生活中,两条直线互相垂直的情形很常见,说出图中的一些互相60生活中的垂直生活中的垂直611、∵AB⊥CD（已知）∴∠1=90°（垂线的定义）2、∵∠1=90°（已知）∴AB⊥CD（垂线的定义）ABCD1ABCD1垂直有以下两层含义1、∵AB⊥CD（已知）2、∵∠1=90°（已知）ABCD162解：∵∠1＝35°，∠2＝55°（已知）

垂直∴∠AOE＝180°－∠1－∠2

＝180°－35°－55°

＝90°∴OE⊥AB(垂直的定义)CDABOE12例如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE为射线，若∠1＝35°∠2＝55°，则OE与AB的位置关系是

.

应用新知解：垂直∴∠AOE＝180°－∠1－∠2∴OE⊥A631、两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是()

（A）有两个角相等（B）有两对角相等（C）有三个角相等（D）有四对邻补角（C）

练一练（C）练一练642、下面四种判定两条直线的垂直的方法，正确的有（）个（1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直（2）两条直线相交，只要有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直（3）两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线互相垂直（4）两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直（A）4（B）3

（C）2（D）1A2、下面四种判定两条直线的垂直的方法，正确的有（）65问题：这样画L的垂线可以画几条？1靠、2画线、LO(1)如图，已知直线L,作L的垂线.A无数条1.用三角尺画垂线动手操作问题：怎么样画已知直线的垂线？问题：LO(1)如图，已知直线L,作L的垂线.A无数条1.66LA(2)如图，已知直线L和L上的一点A,作L的垂线.B1靠（线）:把三角板的一直角边靠在直线上;3画（线