数学分析课件第四版华东师大研制-第2章-数列极限

数列极限是整个数学分析最重要的基础§1

数列极限的概念一、数列的定义五、再论“-

N”说法四、按定义验证极限三、收敛数列的定义备知识.为今后学习级数理论提供了极为丰富的准之一,它不仅与函数极限密切相关，而且返回二、一个经典的例子六、一些例子数列极限是整个数学分析最重要的基础§1数列极限为数列.因为N+的所有元素可以从小到大排列出来,则称若函数f的定义域为全体正整数的集合或简记为{an}.这里

an所以我们也将数列写成称为数列

{an}的通项.一、数列的定义为数列.因为N+的所有元素可以从小到大排列出来,则称若函数二、一个经典的例子样的过程可以无限制地进行下去.我们把每天截下部分(或剩下部分)的长度列出：第一天截下

第二天截下第n天截下这样就得到一个数列:古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用了一句话:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”.它的意思是:一根长为一尺的木棒,每天截下一半,这二、一个经典的例子样的过程可以无限制地进行下去.我们把每天截容易看出:数列随着n的无限增大而无限趋于

0.容易看出:数列随着n的无限增大而无限趋于0.三、收敛数列的定义下面给出严格的数学定义.定义1为一个数列,a为一个常数,若对于任意的正数,总存在正整数

N,使当

n>N时,则称数列收敛于a,

又称a为数列

的极限,一般地说,对于数列

,若当

n充分变大时,

an能无限地接近某个常数a,则称收敛于a.

三、收敛数列的定义下面给出严格的数学定义.定义1为一个数列,记作若

不收敛,则称为发散数列.注定义1这种陈述方式，俗称为“-

N”说法.记作若不收敛,则称为发散数四、按定义验证极限以说明,希望大家对“-

N”说法能有正确的认识.

例1用定义验证:分析对于任意正数要使只要证对于任意的正数

,所以为了加深对数列收敛定义的了解,下面结合例题加四、按定义验证极限以说明,希望大家对“-N”说法例2

用定义验证分析

对于任意的正数

,要使

只要这就证明了证例2用定义验证分析对于任意的正数,要使只要这只要即可.例3

用定义验证分析故要使成立,只要即可.例3用定义验证对于任意的正数

,取即得注意解这个不等式是在的条件下进行的.证对于任意的正数,取即得注意解这个不等式是在所以例4用定义验证因此证得证

这里只验证的情形（时自证）.故对于任意正数所以例4用定义验证因此证得证这里只验证的情形（五、再论“-

N”说法从定义及上面的例题我们可以看出:此外，又因是任意正数,所以1.

的任意性:

定义中的用来刻画数列{an}的通项与定数a的接近程度.显然正数愈小,表示an与a接近的程度愈高；是任意的,这就表示an与a可以任意接近.要注意，一旦给出，在接下来计算N的过程中，它暂时看作是确定不变的.五、再论“-N”说法从定义及上面的例题我们可以看出可以用(K为某一正常数)来代替.定义1,那么对1

自然也可以验证成立.均可看作任意正数,故定义1中的不等式2.

N的相对性:从定义1中又可看出,

随着的取值不同,N当然也会不同.但这并不意味着N是由再有,我们还可以限定小于某一个正数(比如<1).事实上,对0<<1若能验证{an

}满足可以用(K为某一正常数)来代替.定义1,那则当n>N1=2N

时,对于同样的,更应有惟一确定.例如,当n>N时,有求N

的“最佳性”.也就是说,在这里只是强调N

的存在性,而不追则当n>N1=2N时,对于同样的,3.

极限的几何意义示当n>N时,

从几何上看,,实际上就是时有所有下标大于N的an

全都落在邻域之内，而在之外,{an

}至多只有有限项(N项).反过来,如果对于任意正数,落在

之外至多只有有限项,设这些项的最大下标为N,这就表3.极限的几何意义示当n>N时,从几何上看,,实{an}的有限多项,则称数列{an}收敛于a.这样,{an}不以a为极限的定义也可陈述为:存在之外含有{an}中的无限多不以任何实数a为极限.以上是定义1的等价说法,写成定义就是:定义1'任给,若在

之外至多只有项.注{an

}无极限（即发散）的等价定义为:{an

}{an}的有限多项,则称数列{an}收敛于以下定理显然成立,请读者自证.4.无穷小数列和无穷大数列以下定理显然成立,请读者自证.4.无穷小数列和无穷大数列数学分析课件第四版华东师大研制--第2章-数列极限六、一些例子为了更好地理解定义,再举一些例题.例5

证明发散.又因a是任意的,所以发散.

a为极限.证对于任意实数a,取之外有无限多所以由定义1',不以个偶数项（奇数项）.六、一些例子为了更好地理解定义,再举一些例题.例5证明例6

证明解当时，从而例6证明解当时，从而证我们用两种方法来证明.例7

证明1)任给正数有项都能使不等式成立即可.注这里我们将N取为正数,而非正整数.实际上N只是表示某个时刻,保证从这一时刻以后的所证我们用两种方法来证明.例7证明1)任给正数有没有定义.2)任给正数,限制由可知只需取注这里假定0<<1是必要的,否则arcsin便没有定义.2)任给正数,限制由可复习思考题1.极限定义中的“”是否可以写成“”?为什么?2.反之是否成立?3.已知是一个一一影射.请依据极限定义证明:复习思考题1.极限定义中的“一、惟一性§2收敛数列的性质本节首先考察收敛数列这个新概念有哪七、一些例子六、极限的四则运算五、迫敛性(夹逼原理)四、保不等式性三、保号性二、有界性些优良性质？然后学习怎样运用这些性质.返回一、惟一性§2收敛数列的性质本节首先考察收敛数一、惟一性定理2.2若收敛,则它只有一个极限.证设下面证明对于任何定数若

a，b都是{an}的极限，则对于任何正数

>0,一、惟一性定理2.2若收敛,则它只有一个极限.证设下面证当n>N时(1),(2)同时成立,从而有当n>N时(1),(2)同时成立,从而有二、有界性即存在证对于正数若令则对一切正整数n,都有定理2.3

若数列二、有界性即存在证对于正数若令则对一切正整数n,都有定件.注

数列是有界的,但却不收敛.这就说明有界只是数列收敛的必要条件，而不是充分条件.注数列是有界的,但却不收敛.这就说明有界只是数列收三、保号性定理2.4对于任意两个实数b,c,证注我们可取这也是为什么称该定理为保号性定理的原因.,则存在N,当n>N时,三、保号性定理2.4对于任意两个实数b,c,证注我例1

证明证对任意正数,所以由这就证明了定理2.4,例1证明证对任意正数,所以由这就证明了定理四、保不等式性定理2.5均为收敛数列,如果存在正证所以四、保不等式性定理2.5均为收敛数列,如果存在正证所以是严格不等式.注

若将定理2.5中的条件改为这就是说,即使条件是严格不等式,结论却不一定也只能得到例如,虽然是严格不等式.注若将定理2.5中的条件五、迫敛性(夹逼原理)定理2.6设数列都以a为极限,证对任意正数所以分这就证得满足:存在则五、迫敛性(夹逼原理)定理2.6设数列都以a为极限例2

求数列的极限.所以由迫敛性，求得又因解有例2求数列的极限.所以由迫敛性，求得又因解有六、四则运算法则定理2.7则(1)(2)当为常数c时,(3)也都是收敛数列,且有六、四则运算法则定理2.7则(1)(2)当为常数c时,(所以的任意性,得到证明(2)对于任意证明(1)所以的任意性,得到证明(2)对于任意证明(1)的任意性,证得

证明(3)由(2),只要证明据保号性,于是的任意性,证得证明(3)由(2),只要证明据保号性又因为即又因为即七、一些例子例3

用四则运算法则计算(1)当m=k时,有分别得出:解七、一些例子例3用四则运算法则计算(1)当m=k(2)当m<k时,有(2)当m<k时,有所以所以例4

证根据极限的保不等式性,有对于任意于是可得:例4证根据极限的保不等式性,有对于任意于是可得:例5

证根据极限的保号性,存在N,当n>N时,有又因为所以由极限的迫敛性,证得例5证根据极限的保号性,存在N,当n>N时,有例6

解所以由极限四则运算法则,得故得例6解所以由极限四则运算法则,得故得例7

为m个正数,证明证由以及极限的迫敛性,可得例7为m个正数,证明证由以及极限的迫敛性,可得定义1注定义1注定理2.8证注定理2.8证注例8

证(必要性)例8证(必要性)数学分析课件第四版华东师大研制--第2章-数列极限例9解因此,例9解因此,1.极限的保号性与保不等式性有什么不同？2.仿效例题5的证法,证明：复习思考题1.极限的保号性与保不等式性有什么不同？2.仿效例题5的证法

学过数列极限概念后，自然会产生两个§3

数列极限存在的条件一、单调有界定理

下面就极限存在性问题,介绍两个重要定理.二、柯西收敛准则理论中占有非常重要的地位.极限?其中,判断数列是否收敛,这在极限即极限的存在性问题;二是如何计算数列的问题：一是怎么知道一个数列是收敛的?返回学过数列极限概念后，自然会产生两个§3数列极限一、单调有界定理定理

2.7

单调有界数列必有极限.证该命题的几何意义是十分明显的.单调增，有上界.由确界定理，存在由上确界的定义，对于任意的使存在()一、单调有界定理定理2.7单调有界数列必有极限.证例1设求解这就证明了例1设求解这就证明了由此得到有上界2,由极限的不等式性,知道,所以下面再来证明此数列有上界.于是由可得由此得到有上界2,由极限的不等式性,知道例2

下面的叙述错在哪儿？因为显然有从而得出例2下面的叙述错在哪儿？因为显然有从而得出是最基本的,而教材上的证法技巧性较强.是最基本的,而教材上的证法技巧性较强.由此得由此得数学分析课件第四版华东师大研制--第2章-数列极限*例3证证明:*例3证证明:数学分析课件第四版华东师大研制--第2章-数列极限数学分析课件第四版华东师大研制--第2章-数列极限数学分析课件第四版华东师大研制--第2章-数列极限例4证例4证数学分析课件第四版华东师大研制--第2章-数列极限数学分析课件第四版华东师大研制--第2章-数列极限二、柯西收敛准则定理2.8

数列收敛的充要条件是:柯西准则的充要条件可用另一种形式表达为：满足上述条件的数列称为柯西列.对任意均有二、柯西收敛准则定理2.8数列收敛的充要条件是:柯西准时,有证此这里仅给出必要性的证明.由此推得

柯西(

Cauchy,A.L.

1789－1857,法国)

由于该定理充分性的证明需要进一步的知识，因时,有证此这里仅给出必要性的证明.由此推得柯西(Ca由柯西收敛准则的否定陈述,可知发散.发散.证明例5证取使得由柯西收敛准则的否定陈述,可知发散.发散.证明例5证例6求证证例6求证证例7证例7证数学分析课件第四版华东师大研制--第2章-数列极限论上特别有用,大家将会逐渐体会到它的重要性.

2.

试给出{an}不是柯西列的正面陈述.1.对于数列是否收敛的各种判别法加以总结.复习思考题注

柯西收敛准则的意义在于:可以根据数列通项本身的特征来判断该数列是否收敛,而不必依赖于极限定义中的那个极限值A.

这一特点在理论上特别有用,大家将会逐渐体会到它的重要性.2

数列极限是整个数学分析最重要的基础§1

数列极限的概念一、数列的定义五、再论“-

N”说法四、按定义验证极限三、收敛数列的定义备知识.为今后学习级数理论提供了极为丰富的准之一,它不仅与函数极限密切相关，而且返回二、一个经典的例子六、一些例子数列极限是整个数学分析最重要的基础§1数列极限为数列.因为N+的所有元素可以从小到大排列出来,则称若函数f的定义域为全体正整数的集合或简记为{an}.这里

an所以我们也将数列写成称为数列

{an}的通项.一、数列的定义为数列.因为N+的所有元素可以从小到大排列出来,则称若函数二、一个经典的例子样的过程可以无限制地进行下去.我们把每天截下部分(或剩下部分)的长度列出：第一天截下

第二天截下第n天截下这样就得到一个数列:古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用了一句话:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”.它的意思是:一根长为一尺的木棒,每天截下一半,这二、一个经典的例子样的过程可以无限制地进行下去.我们把每天截容易看出:数列随着n的无限增大而无限趋于

0.容易看出:数列随着n的无限增大而无限趋于0.三、收敛数列的定义下面给出严格的数学定义.定义1为一个数列,a为一个常数,若对于任意的正数,总存在正整数

N,使当

n>N时,则称数列收敛于a,

又称a为数列

的极限,一般地说,对于数列

,若当

n充分变大时,

an能无限地接近某个常数a,则称收敛于a.

三、收敛数列的定义下面给出严格的数学定义.定义1为一个数列,记作若

不收敛,则称为发散数列.注定义1这种陈述方式，俗称为“-

N”说法.记作若不收敛,则称为发散数四、按定义验证极限以说明,希望大家对“-

N”说法能有正确的认识.

例1用定义验证:分析对于任意正数要使只要证对于任意的正数

,所以为了加深对数列收敛定义的了解,下面结合例题加四、按定义验证极限以说明,希望大家对“-N”说法例2

用定义验证分析

对于任意的正数

,要使

只要这就证明了证例2用定义验证分析对于任意的正数,要使只要这只要即可.例3

用定义验证分析故要使成立,只要即可.例3用定义验证对于任意的正数

,取即得注意解这个不等式是在的条件下进行的.证对于任意的正数,取即得注意解这个不等式是在所以例4用定义验证因此证得证

这里只验证的情形（时自证）.故对于任意正数所以例4用定义验证因此证得证这里只验证的情形（五、再论“-

N”说法从定义及上面的例题我们可以看出:此外，又因是任意正数,所以1.

的任意性:

定义中的用来刻画数列{an}的通项与定数a的接近程度.显然正数愈小,表示an与a接近的程度愈高；是任意的,这就表示an与a可以任意接近.要注意，一旦给出，在接下来计算N的过程中，它暂时看作是确定不变的.五、再论“-N”说法从定义及上面的例题我们可以看出可以用(K为某一正常数)来代替.定义1,那么对1

自然也可以验证成立.均可看作任意正数,故定义1中的不等式2.

N的相对性:从定义1中又可看出,

随着的取值不同,N当然也会不同.但这并不意味着N是由再有,我们还可以限定小于某一个正数(比如<1).事实上,对0<<1若能验证{an

}满足可以用(K为某一正常数)来代替.定义1,那则当n>N1=2N

时,对于同样的,更应有惟一确定.例如,当n>N时,有求N

的“最佳性”.也就是说,在这里只是强调N

的存在性,而不追则当n>N1=2N时,对于同样的,3.

极限的几何意义示当n>N时,

从几何上看,,实际上就是时有所有下标大于N的an

全都落在邻域之内，而在之外,{an

}至多只有有限项(N项).反过来,如果对于任意正数,落在

之外至多只有有限项,设这些项的最大下标为N,这就表3.极限的几何意义示当n>N时,从几何上看,,实{an}的有限多项,则称数列{an}收敛于a.这样,{an}不以a为极限的定义也可陈述为:存在之外含有{an}中的无限多不以任何实数a为极限.以上是定义1的等价说法,写成定义就是:定义1'任给,若在

之外至多只有项.注{an

}无极限（即发散）的等价定义为:{an

}{an}的有限多项,则称数列{an}收敛于以下定理显然成立,请读者自证.4.无穷小数列和无穷大数列以下定理显然成立,请读者自证.4.无穷小数列和无穷大数列数学分析课件第四版华东师大研制--第2章-数列极限六、一些例子为了更好地理解定义,再举一些例题.例5

证明发散.又因a是任意的,所以发散.

a为极限.证对于任意实数a,取之外有无限多所以由定义1',不以个偶数项（奇数项）.六、一些例子为了更好地理解定义,再举一些例题.例5证明例6

证明解当时，从而例6证明解当时，从而证我们用两种方法来证明.例7

证明1)任给正数有项都能使不等式成立即可.注这里我们将N取为正数,而非正整数.实际上N只是表示某个时刻,保证从这一时刻以后的所证我们用两种方法来证明.例7证明1)任给正数有没有定义.2)任给正数,限制由可知只需取注这里假定0<<1是必要的,否则arcsin便没有定义.2)任给正数,限制由可复习思考题1.极限定义中的“”是否可以写成“”?为什么?2.反之是否成立?3.已知是一个一一影射.请依据极限定义证明:复习思考题1.极限定义中的“一、惟一性§2收敛数列的性质本节首先考察收敛数列这个新概念有哪七、一些例子六、极限的四则运算五、迫敛性(夹逼原理)四、保不等式性三、保号性二、有界性些优良性质？然后学习怎样运用这些性质.返回一、惟一性§2收敛数列的性质本节首先考察收敛数一、惟一性定理2.2若收敛,则它只有一个极限.证设下面证明对于任何定数若

a，b都是{an}的极限，则对于任何正数

>0,一、惟一性定理2.2若收敛,则它只有一个极限.证设下面证当n>N时(1),(2)同时成立,从而有当n>N时(1),(2)同时成立,从而有二、有界性即存在证对于正数若令则对一切正整数n,都有定理2.3

若数列二、有界性即存在证对于正数若令则对一切正整数n,都有定件.注

数列是有界的,但却不收敛.这就说明有界只是数列收敛的必要条件，而不是充分条件.注数列是有界的,但却不收敛.这就说明有界只是数列收三、保号性定理2.4对于任意两个实数b,c,证注我们可取这也是为什么称该定理为保号性定理的原因.,则存在N,当n>N时,三、保号性定理2.4对于任意两个实数b,c,证注我例1

证明证对任意正数,所以由这就证明了定理2.4,例1证明证对任意正数,所以由这就证明了定理四、保不等式性定理2.5均为收敛数列,如果存在正证所以四、保不等式性定理2.5均为收敛数列,如果存在正证所以是严格不等式.注

若将定理2.5中的条件改为这就是说,即使条件是严格不等式,结论却不一定也只能得到例如,虽然是严格不等式.注若将定理2.5中的条件五、迫敛性(夹逼原理)定理2.6设数列都以a为极限,证对任意正数所以分这就证得满足:存在则五、迫敛性(夹逼原理)定理2.6设数列都以a为极限例2

求数列的极限.所以由迫敛性，求得又因解有例2求数列的极限.所以由迫敛性，求得又因解有六、四则运算法则定理2.7则(1)(2)当为常数c时,(3)也都是收敛数列,且有六、四则运算法则定理2.7则(1)(2)当为常数c时,(所以的任意性,得到证明(2)对于任意证明(1)所以的任意性,得到证明(2)对于任意证明(1)的任意性,证得

证明(3)由(2),只要证明据保号性,于是的任意性,证得证明(3)由(2),只要证明据保号性又因为即又因为即七、一些例子例3

用四则运算法则计算(1)当m=k时,有分别得出:解七、一些例子例3用四则运算法则计算(1)当m=k(2)当m<k时,有(2)当m<k时,有所以所以例4

证根据极限的保不等式性,有对于任意于是可得:例4证根据极限的保不等式性,有对于任意于是可得:例5

证根据极限的保号性,存在N,当n>N时,有又因为所以由极限的迫敛性,证得例5证根据极限的保号性,存在N,当n>N时,有例6

解所以由极限四则运算法则,得故得例6解所以由极限四则运算法则,得故得例7

为m个正数,证明证由以及极限的迫敛性,可得例7为m个正数,证明证由以及极限的迫敛性,可得定义1注定义1注定理2.8证注定理2.8证注例8

证(必要性)例8证(必要性)数学分析课件第四版华东师大研制--第2章-数列极限例9解因此,例9解因此,1.极限的保号性与保不等式性有什么不同？2.仿效例题5的证法,证明：复习思考题1.极限的保号性与保不等式性有什么不同？2.仿效例题5的证法

学