初中数学几何探究压轴题专题练习含答案

初中数学几何探究压轴题专题练习.已知正方形ABCD的边长为1,点P为正方形内一动点，若点M在AB上，且满足△PBCs^PAM,延长BP交AD于点N,连接CM.(1)如图①，若点M在线段AB上，求证：APXBN;AM=AN.(2)①如图②，在点P运动过程中，满足APBC^APAM的点M在AB的延长线上时，APXBN和AM=AN是否成立(不需说明理由)?②是否存在满足条件的点p,使得pc=1?请说明理由.图①闰②.已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm.对角线AC,BD交于点O,点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动.连接PO并延长，交BC于点E,过点Q作QF//AC,交BD于点F.设运动时间为t(s)(0<t<6),解答下列问题：(1)当t为何值时，AAOP是等腰三角形？(2)设五边形OECQF的面积为S(cm2),试确定S与t的函数关系式；(3)在运动过程中，是否存在某一■时刻t,使S五边形OECQF:SAACD=9：16?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使OD平分/COP?若存在，求出t值；若不存在，请说明理由.

.某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF,连接CF.(1)观察猜想如图①，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：.②BC,CD,CF之间的数量关系为：(将结论直接写在横线上).(2)数学思考如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明.(3)拓展延伸1如图③，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G,连接GE.若已知AB=2«2,CD=[BC,请求出GE的长.国①阴②国①阴②国③.(1)阅读理解：如图①，在那BC中，若AB=10,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD,再连接BE(或将"CD绕着点D逆时针旋转180°得至iJ^EBD).把AB,AC,2AD集中在祥BE中，利用三角形三边的关系即可判断.中线AD的取值范围是;(2)问题解决：DEXDF于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点DEXDF于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.7二(0/a<180),.在4ABC中，AB=6,AC=BC=5,将4ABC绕点A按顺时针方向旋转，得至UAADE,旋转角为a点B的对应点为点D,点C的对应点为点E,(0/a<180),(1)如图，当a=60°时，延长BE交AD于点F.①求证：AABD是等边三角形；②求证：BFXAD,AF=DF;③请直接写出BE的长；且线段DG与(2)在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB,垂足为点G,连接CE,当/DAG=/ACB,线段AE无公共点时，请直接写出且线段DG与温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答.!>备用图.已知矩形ABCD中AD=8,将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处.(1)如图①，已知折痕与边BC交于点O,连接AP、OP、OA,若4OCP与APDA的面积比为1：4,求边CD的长；(2)如图②，在(1)的条件下擦去AO、OP,连接BP,动点M在线段AP上(点M不与点P、A重合)，动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM,连接MN交PB于点F,作MELBP于点E,试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律，若不变，求出线段EF的长度.I)lJCf)PC图①图②.阅读理解：我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形.如图①，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为“，我们把'的值叫做这个平行四边形的变形度.sina(1)若矩形发生形变后的平行四边形有一个内角是120°,则这个平行四边形的变形度是;猜想证明：

1(2)设矩形的面积为S1,其变形后的平行四边形面积为S2,试猜想S2,,之间的数量关系，并说明理由;sina拓展探究:AiBiCiDi,2m(m>0),(3)如图②，在矩形ABCDAiBiCiDi,2m(m>0),Ei为E的对应点，连接B1E1,BiDi,若矩形ABCD的面积为4ym(m>0),平行四边形AiBiCiDi的面积为试求/A1E1B1+/A1D1B1的度数..已知AC,EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在AABC内，ZCAE+ZCBE=90°.(1)如图①，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF.①求证：△CAEs^CBF;②若BE=1,AE=2,求CE的长；求k的值;(2)如图②，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且AC=ff=k求k的值;(3)如图③，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且/DAB=/GEF=45°时，设BE=m,AE=n,CE=p，试探究m,n,p探究m,n,p三者之间满足的等量关系(直接写出结果，不必写出解答过程).参考答案1.(1)证明：△PBC^APAM,・•./PBC=/PAM...四边形ABCD是正方形，・./PBC+/PBA=/CBA=90°,PAM+/PBA=90°,APN=90°,即APXBN,•./BPA=/BAN=90.「/ABP=/NBA,•.△ABPs△NBA,PBAbPA——AN△NBA,PBAbPA——AN.ANPA「八、八-胡.又△PAMsAPBC,ABPBPAAMAN•♦丽二瓦，故ABAM「二.又AB=BC,BCAM=AN;(2)解：①点M在AB的延长线上时，AP±BN和AM=AN仍然成立；②不存在，理由如下：选择图②，以AB为直径，作半圆O,连接OC,OP,•••BC=1,OB=2,，OC=坐.•.•由①知，AP±BN,.••点P一定在以点O为圆心、半径长为J的半圆上(A,B两点除外).如果存在点P,那么OP+POOC,则PC^F.="5>>J1故不存在满足条件的点p,使得pc=2..解：(1)分三种情况：①若AP=AO,在矩形ABCD中，.AB=6,BC=8,，AC=10,/.AO=CO=5,AP=5,，t=5,②若AP=PO=t,在矩形ABCD中，.AD//BC,/PAO=/OCE,/APO=/OEC,又••・OA=OC,.-.AAPO^ACEO,，PO=OE=t.作AG//PE交BC于点G,则四边形APEG是平行四边形，「•AG=PE=2t,GE=AP=t.又,「EC=AP=t,，BG=8—2t.在RtAABG中，根据勾股定理知62+(8-2t)2=(2t)2,解得t.③若OP=AO=5,则t=0或t=8,不合题意，舍去.综上可知，当t=5或t=25时，3OP是等腰三角形•(2)如图，作OM±BC,垂足是M,作ONLCD,垂足是N.1111311则OM=、AB=3,ON=]BC=4,•,.SqEC=2CEOM=2t3=/S/cd'CDON=-64=12..QF//AC,DFQ^ADOC,.S^DfqDQ2DFQ^ADOC,.S^DfqDQ2Sadfqto.〜1j.Sdoc=(DC),即12=(6)，―g二1,12•S四边形OFQC=12—t,3•S五边形OECQF=S四边形OFQC+SA0Ec=12-3t2+3t,即S=-3t2+3t+12(0<t<6).(3)存在.理由如下：要使S五边形oecqf：S%cd=9：16,即(-3t2+3t+12)：(1X6X8)=9：16,解得t1=3,t2=1.5,两个解都符合题意,，存在两个t值，使S五边形oecqf：Saacd=9：16,此时t〔=3,t2=1.5;(4)存在.理由如下：如图，作DIXOP,垂足是I,DJXOC,垂足是J,1124一一作AG//PE父BC于点G.「S/\ocd=2OCDJ=25DJ,且由(2)知，S3cd=12,•.DJ=》.「0D平分/POC,DI±24OPDJXOC，DI=DJ=—=4.8..AG//PE,ZDPI=ZDAG.AD//BC,../DAG=/AGB,•./DPI=/5-、八八人ABBG._6_8—2t44AGB,•.RtAABGsRtADIP.由(1)知，在RtAABG中，BG=8-2t,，DI=IP，-48=IP，•IP=5(8—2t).在RtADPI中，根据勾股定理得(24)2+[4(8—2t)]2=(8—t)2,解得t=112.(t=0不合题意，舍去)5539.(1)解：①BCLCF;②BC=CD+CF.【解法提示】①「/BAC=/DAF=90°,../BAD=/CAF,又「AB=AC,AD=AF,.ABDACF,•./ACF=/ABC=45°,/ACB=45°,../BCF=90°,即BC^CF;②:△ABD0△ACF,BD=CF,1.BC=CD+BD,，BC=CD+CF.(2)解：结论①仍然成立，②不成立.①证明：:/BAC=ZDAF=90°,../BAD=/CAF,又「AB=AC,AD=AF,..△ABDACF,•./ACF=/ABD=180-45=135°,1./ACB=45°,/BCF=90°,即BCXCF;②结论为：BC=CD—CF.证明：/△ABDACF,BD=CF,•••BC=CD-BD,，BC=CD—CF.(3)解：如解图，过点E作EM，CF于M,作EN，BD于点N,过点A作AH，BD于点H...AB=AC=2^2,1____1____—••BC=4,AH=2BC=2,/CD=4BC,..CD=1,「/BAC=/DAF=90,../BAD=/CAF,又「AB=AC,AD=AF,.1.AABDACF,•./ACF=/ABC=45°,「/ACB=45°,../BCF=90.CN=ME,CM=EN,・./AGC=/ABC=45°,，CG=BC=4,「/ADE=90°,/ADH+/EDN=/EDN+/DEN=90°,/ADH=/DEN,又.•/AHC=/DNE=90°,AD=DE,△AHDDNE,，DN=AH=2,EN=DH=3,..CM=EN=3,ME=CN=3,贝UGM=CG—CM=4—3=1,EG=(EM2+GM2=^/10..(1)解：如图①中，••,AB=10,AC=6,AD是BC边上中线，由旋转性质知，BE=AC=6,AD=DE.z.在那BE中，10—6<AE<10+6,即4<2AD<16,•.2<AD<8;(2)证明：延长FD至M,n使FD=MD,连接ME,MB.如图所示./ED±FM,FD=DM,..ME=EF.「CD=BD,/CDF=/BDM,CDF^ABDM(SAS),「.CF=BM.「BM+BE>ME,「.BE+CF>EF..(1)①证明：:△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到"DE,，AB=AD,/BAD=60°,「.△ABD是等边三角形；②证明：由①得4ABD是等边三角形，AB=BD,/AABC绕点A顺时针方向旋转60°得至1]”口£,..AC=AE,BC=DE,又,「AC=BC,，EA=ED,.,•点B,E在AD的中垂线上，二.BE是AD的中垂线，二,点F在BE的延长线上，BFXAD,AF=DF;③解：BE的长为373-4;(2)解:BE+CE的值为13;.解：(1)由矩形性质与折叠可知，/APO=/B=/C=/D=90°,/CPO+/DPA=/DPA+/DAP=90°,「•/DAP=」CPO,.△OCPsAPDA，・.・第=匿)2,即4=(CP)2,，CP=4,设CD=x,则DP=x-4,AP=AB=CD=x,-.AP2-DP2=AD2,「.x2—(x—4)2=8；解得x=10,故CD=10.(2)线段EF的长度始终不发生变化，为2.5..解：(1)等.【解法提示】sin120=乎，故这个平行四边形的变形度是乎.(2)—=11,理由如下：''323''sinsS2如图，设矩形的长和宽分别为a,b,其变形后的平行四边形的高为h,

贝US1=ab,S2=ah,sina=->•鱼=—=—,又,:12bS2ahh2=AEAD,可得AiB2=A12=AEAD,可得AiB2=A1E1A1D1,即AT5；=A^.又./BiAiEi=/DiAiBi'..△BiAiEis^DiAiBi,./AiBiEi=/AiDiBi,1I,可得4Jmsin/AiBiCJ2折一•，一1=2,•.sin/A1B1cl=2，../A1B1cl=30,/A1E1B1+/A1D1BL30.(10分)-AiDi//B1C1,••/AiEiBi=/C1I,可得4Jmsin/AiBiCJ2折一•，一1=2,•.sin/A1B1cl=2，../A1B1cl=30,/A1E1B1+/A1D1BL30.(10分)8.⑴①证明：•./ACE+/ECB=45°,ZBCF+ZECB=45°,../ACE=/BCF,又••四边形ABCD和EFCG是一、一，ACCE一一AEACAE正万形,♦=CTW，△ca-cbf.②解：ae=2,由ACAEs^CBF可得/CAE=/CBF,又「/CAE+/CBE=9