浙江省宁波市海曙区2021-2022学年九年级上学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年年浙江省宁波市海曙区兴宁中学九年级（上）

期中数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）.已知。。的半径为5,若尸0=4,则点P与。。的位置关系是（ ）A.点P在。。内 B.点P在。。上 C.点P在。。外 D.无法判断【答案】A【解析】【分析】已知圆O的半径为r,点P到圆心O的距离是d,①当r>d时，点P在。O内，②当r=d时，点P在。O上，③当r<d时，点P在。O外，根据以上内容判断即可.【详解】。的半径为5,若PO=4,.,.4<5,...点P与。O的位置关系是点P在。。内，故选：A.【点睛】本题考查了点与圆位置关系的应用，注意：已知圆。的半径为r,点P到圆心。的距离是d,①当r>d时，点P在。0内，②当r=d时，点P在。。上，③当r<d时，点P在。。外..若2x=3y,则一的值为（）yTOC\o"1-5"\h\z3 5 2A.— B.— C.— D.—2 3 5【答案】B【解析】【分析】根据比例的基本性质：两内项的积等于两外项的积即可求解.【详解】解：•；2x=3y,2x....=3,一）故选：B.【点睛】此题考查比例的基本性质熟记性质并进行正确的变形计算是解题的关键..如图，。。的直径AB,C,D是。O上的两点，若NADC=20°,则NCAB的度数为（

A.40°B.80°【答案】【解析】C.70°A.40°B.80°【答案】【解析】C.70°D.50°【分析】先根据圆周角定理的推论得出NACB=90°,然后根据圆周角定理得到/D=/B,最后利用ZCAB=90°-ZB即可求解.【详解】YAB是直径,.\ZACB=90o,,.,ZD=ZB=20",AZCAB=90°-ZB=90°-20°=70°.故选：C.【点睛】本题主要考查圆周角定理及其推论，直角三角形两锐角互余，掌握圆周角定理及其推论是解题的关键..如图，D是4ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍然不能使△ACDs/\ABC的是（A.ZACB=ZADCB.ZACD=A.ZACB=ZADCB.ZACD=ZABCC/=生ABACCDADD. = BCAC【答案】D【解析】【分析】直接利用相似三角形的判定方法分别分析得出答案.【详解】解：A、当/ACB=NADC时，再由NA=/A,可得出△ACDsaABC,故此选项不合题意;B、当/ACD=/ABC时，再由/A=NA,可得出△ACDs/\ABC,故此选项不合题意;ACADC、当 = 时，再由NA=NA,可得出△ACDsz^aBC,故此选项不合题意;ABAC

D、当C2=42时，无法得出△ACDs^ABC,故此选项符合题意；BCAC故选：D.【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键..如图，的半径为6cm,四边形ABCD内接于0O,连结OB、OD,若NBOD=/BCD,则BD的长A.47r B.3兀 C.2n D.1兀【答案】A【解析】【分析】由圆内接四边形的性质和圆周角定理求出NA=60。，得出/BOD=120。，再由弧长公式即可得出答案.【详解】解：,・•四边形ABCD内接于OO,.\ZBCD+ZA=180°,VZBOD=2ZA,ZBOD=ZBCD,.\2ZA+ZA=180o,解得：ZA=60°,.\ZBOD=120°,.坂crAJ"1204x6d/.弧BD的长= =47r；180故选A.【点睛】本题考查了弧长公式、圆内接四边形的性质、圆周角定理；熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理，求出NBOD=120。是解决问题的关键..如图，小李打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m的位置上，则球拍击球的高度卜为（ ）4m45mA.1.6mB.1.5m4m45mA.1.6mB.1.5mC.2.4mD.1.2m【答案】B【解析】【详解】分析：本题是利用三角形相似的判定和性质来求数据.解析：根据题意三角形相似，.•.”=」一,40=0.8x7.5,〃=1.5.h4+3.5故选B..如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆P的圆心P的坐标为（-3,0）,将圆P沿x轴的正方向平移，使得圆P与y轴相切，则平移的距离为（ ）A.I B.3 C.5 D.1或5【答案】D【解析】【分析】分圆P在y轴的左侧与y轴相切、圆尸在y轴的右侧与y轴相切两种情况，根据切线的判定定理解答.【详解】当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3-2=1,当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2=5,故选：D.【点睛】本题考查的是切线的判定、坐标与图形的变化-平移问题，掌握切线的判定定理是解题的关键，解答时，注意分情况讨论思想的应用..如图，所有矩形都是正方形，设最大正方形的边长是最小正方形边长的〃倍，则〃的值为（）【答案】D【解析】【分析】如图，A、C、D、E为正方形的顶点，作AB_LC£>,交大正方形的边于点B,于是得到△ABCsACDE,而这两个相似三角形的相似比恰好是2：1,再设最小正方形的边长为，，可以列方程求出〃的值，得出答案.【详解】解：如图，A、C、。、E为正方形的顶点，作交大正方形的边于点B,:.ZACB=90°-ZDCE=ZCED,：.AABCs^CDE,.ABBCACcCDDECE设最小正方形的边长为r(r>0),则A8=〃r-r,BC=2DE=2r,CD^nr-2r-3r=nr-5r,'：AB=2CD,/.nr-r=2(nr-5r),解得〃=9,故选：D.【点睛】此题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是通过作辅助线构造相似三角形，再根据相似三角形的性质推出相等关系..如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为(2,0),(0,4),过A、O、B三点作圆，点C在第一象限部分的圆上运动，连接co,过点。作co的垂线交C8的延长线于点。，下列说法：①NAOC=NBOD；②tanNOO8=g；③CO的最大值为10.其中正确的是()A.①② B.①@ C.(2X3) D.①②③【答案】D【解析】【分析】根据NOOC=NBOA=90。.可得NAOC=NBO。，故①正确；连接AB,根据圆周角定理可得(JA1NC=NOAB,从而得到可得tanNO0B=tanNO84=——=-,故②正确；可得OB2OD=2OC,由勾股定理可得C0=6OC，再由当0C为圆的直径时，CO取得最大值.求出A8,可得③正确，即可求解.【详解】解：VOC1OD,BOLAO,：.ZDOC=ZBOA=90°.：./DOB+/BOC=/BOC+/COA=90。：.ZAOC=ZBOD,故①正确；连接A8,如图，・・,点A,8的坐标分别为(2,0),(0,4),：.OA=2f08=4.VOC±ODfB0L4。，/.ZC+ZD=90°,ZOAB+ZOBA=90°.VZC=ZOAB,：.ZODB=ZOBA.：.tan^ODB=tanZOBA=—=-= 故②正确;OB42,：tanZ.ODB=—,20D=20C,：•CD=y/0C2+0D2=y[5OC，•••OC是圆的弦，直径是圆中最长的弦，...当OC为圆的直径时，8取得最大值.•••直径AB=y/OA'+OB2=275，...（7。的最大值为26*逐=10，故③正确：,正确的结论为①②@.故选：D【点睛】本题主要考查了圆周角定理，解直角三角形，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键.10.如图，点尸，Q,R分别在等边△ABC的三边上，且AP=8Q=CR,过点P,Q,R分别作8C,CA,AB边的垂线，得到ADE尸、若要求AOE尸的面积，则只需知道（）A.EP的长 B.EF的长 C.4P的长 D.OP的长【答案】C【解析】【分析】延长R。交A8于点J,延长Q尸交AC于N,先证明△OEr是等边三角形，可得AOE/的面积等于=且2,然后根据△ CNQ,可得A/=CN,设AP=B0=CR=a,AC=BC=AB=b,可得到4 ' "DF=岛，即可求解.【详解】解：如图，延长交AB于点J,DR交AB于J.延长。尸交AC于N,:AABC等边三角形，•・Z4=60°,9：RJ_LAB,：.NAJR=90。，VPE1BC,ZB=60°,JNJPD=30。，:.NPDJ=/EDF=60°,同理，ZDEF=ZDF£=60°,••△。斯是等边三角形，・・・△DEF的面积等于=3。/2,4\'AP=CR=BQ1：.CQ=ARt在△AR/和^CNQ中,VZA=ZC=60°,ZAJR=ZQNC=90°,AR=CQt:.bARJQkCNQ(AAS),：.AJ=CN,iSAP=BQ=CR=a9AC=BC=AB=b,.\AR=b-afZARJ=30°f

..jb-a >j3(b—a}TOC\o"1-5"\h\z：.AJ= =CN,jr= L,2 2.nrb—a b—3a：.PJ= a= =NR,2 2.•.T=陛3L府，石6•••RF=INF="他一"),3-a)石-a)石(b-3a)6(b-3a).•.△OE尸的面积为走=2Ap2,4 4要求△ABC的面积，则只需知道AP.故选：C【点睛】本题考查了全等三角形的判定和和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，利用参数求出。尸的长是本题的关键.二、填空（每小题5分，共30分）11.如图，点A,B,C,。在。。上，NAOC=140。，点8是弧AC的中点，则/。的度数是一.【答案】35°##35度【解析】【分析】根据点8是弧AC的中点，可得NAOB=70°,再由圆周角定理，即可求解.【详解】解：点8是弧AC的中点，♦♦・,AB=BC，：.NAOB=/BOC,・.・ZAOC=140°,AZAOB=10°,ZA0B=2ZD,/.ZD=35O.故答案为：35。【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键.12.如图，在R/AABC中，ZC=90°,AC=12,sinA=—,贝ij8C=【答案】5【解析】【分析】根据sinA=—,可设BC=5x,则A8=13x,再由勾股定理，即可求解.13【详解】解：.；sinA=2，sinA=—,ZC=90°,13 ABBC5•一,AB13设BC=5x,则AB=13x,:AC2+BC2=AB2，...122+(5x)2=(13x)2,解得：尸i或」(舍去)，：.BC=5.故答案为：5【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键.13.如图，A8为。。的直径，AC=2BC，M为8c的中点，过M作MN//OC交A8于N,连接BM.则N8MV的度数为.【答案】45°【解析】【分析】连接OM.根据弧与圆心角的度数求得NBOC的度数，然后利用M为BC的中点，求得NMOB=NCOM=30。，结合平行线的性质和等腰三角形的性质求得NMNB,ZB,即可解决问题.【详解】解：连接OM.,..AB是直径，AC=2BC<.,.ZBOC=-x180°=60°,3为6C的中点，BM=CM.,.ZMOB=ZCOM=30°,•；OM=OB,.*.ZB=ZOMB=1(180°-30°)=75°,；OC〃MN,•,.ZMNB=ZCOB=60°,ZBMN=180°-ZBNM-ZNBM=1800-60o-75o=45°,故答案为：45°.【点睛】本题考查圆周角定理，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.14.如图，在平面直角坐标系中，OM与x轴相切于点A(8,0).与y轴分别交于点8(0,4)与点C(0,16).则圆心M到坐标原点。的距离是.【答案】2向【解析】【分析】如图连接BM、OM,AM,作MHLBC于H,先证明四边形OAMH是矩形，根据垂径定理求出HB,在RTaAOM中求出OM即可.【详解】解：如图连接BM、OM,AM,作MHLBC于H.・・・0M与x轴相切于点A(8,0),AAM1OA,OA=8,:.ZOAM=ZMHO=ZHOA=90°,・•・四边形OAMH是矩形，AAM=OH,VMH1BC,HC=HB=6,.\OH=AM=10,在RT^AOM中，OM=JAM?+042=荷+1。2=2西.故答案为2d.【点睛】本题考查切线的性质、坐标与图形性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是正确添加辅助线，构造直角三角形.15.如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角（如/O）为60。，A,B,C,D都在格点上，且线段AB、CD相交于点P,则NAPC的正切值为.【解析】【分析】如图取格点E,连接EC、DE.设小菱形的边长为1.首先证明NAPC=NECD,再证明NCDE=90。,根据tanZAPC=tanZECD,即可解决问题；【详解】解：如图取格点E,连接EC、DE.设小菱形的边长为1.由题意：EC〃AB,/.ZAPC=ZECD,VZCDO=60°,ZEDB=30°,:.ZCDE=90°,VCD=2,DE=5tanZAPC=tanZECD= ,CD2故答案为3.2【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型.16.如图，将"BC沿着CE翻折，使点A落在点。处，CD与AB交于点、F,恰好有CE=CF,若£＞尸=4y/2.A尸=12,则tan/CEF=—.【答案】5/7【解析】【分析】如图，作C〃_LA8于".CF=EC=x.E&CF=CE,CH1.EF,推出FH=E"，设FH=EH=y,根据勾股定理可得/-产=（了+4祀）2-（12-丁）2,证明4即06/^£4,可得应1_=22,解方程组，进12-2yx而根据正切的定义即可求解.【详解】解：如图，作于”.设CF=EC=x,,:CF=CE,CHLEF,：.FH=EH,没FH=EH=y,则有工2一'2=（》+4拒）2—（[2—y）2,整理得岳+3y=14①，■:NCFE=NCEF,NCFE=ND+NFED,ZCEF=ZA+ZECA,NA=NO,:.NFED=NECA,:./XEFDsACEA,DFEF = ,AEEC———=2^,整理得\[2x=6y—），②，\2-2yx -'由①②可得后4、回，y=2,；.CH=Jx2-y2=2币,./rrpCH2币旧••tanNCEF= = =yj/，EH2故答案为J7.【点睛】本题考查翻折变换、求正切、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题三、解答题.计算：2°-2sin30白tan45?tan600.

【答案】6【解析】【分析】先根据零指数累，特殊角锐角三角函数值化简，再合并，即可求解.【详解】解：2°-2sin3（^tan45?tan60°=1-2仓I1+V32=1—1+-^3=>/3•【点睛】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值的混合运算，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键..在正方形网格中，仅用无刻度直尺按下列要求作图.①AB①AB（1）如图①中，在AB上找点C,使得AC：BC=2：3；（2）在图②中作ND48,使得tanND48=g.（保留作图痕迹）【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）取格点M,N,连接MN交4B于点C,点C即为所求作；（2）利用网格的特点，勾股定理构造直角三角形，根据正切的定义即可求解.【小问1详解】如图，点C即为所求作.N3AfBM①理由，AM〃BN、AM=2,BN=3,:.MtCs^BNC,ACAM2"~BC~~BN~3'【小问2详解】如图，ND48即为所求作.理由，AB=+3)=-\Ao'BD=Vl2+12=应，AD=V22+22=2夜，AB2=10,BD2+AD2=2+8=10,.♦.△A3。是直角三角形，且NABO=90°,—二也益1【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，相似三角形与网格问题，正切的定义，掌握以上知识是解题的关键..如图，为测量学校旗杆的高度，小齐在教学一楼站立望旗杆顶端A的仰角是45。，在三楼站立望旗杆顶端A的仰角是30。，已知每层楼高度为4米，小齐站立时，眼睛离地1.5米.(1)求/。。的度数.(2)求旗杆高度.(结果保留根号)【答案】(1)15。 (2)(13.5+4V3)X【解析】进而【分析】(1)作过点A的水平线交直线OE于点H,由题意得N4CH=NCA〃=45。，N/M£>=30。,进而可求出NC4Z)的值；n进而(2)设4”=x米，则CH=x米，O//=Ktan3()o=*ix(米)，由OC=8可求出x=12+46(米)进而可求出旗杆的高度.【小问1详解】解：如图，作过点A的水平线交直线。E于点”,由题意得NACH=NC4，=45。，ZHAD=30°,：.NCAO=ACAH-ZDAH=45°-30°=15°；【小问2详解】由题意得£>C=8米，CE=1.5米，设AH=x米，则CH=x米，DH—x,Xan30°=—3*（米）,3工DC=CH-DH=x-叵x=8,3解得x=(12+473)(米),，旗杆高度AB="E=CH+CE=xH.5=(13.5+473)(米).【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质，正确的添加辅助线是解题的关键..如图，已知AB为。。的直径，C£＞是弦，A8_LCO于E,OEL4C于尸，BE=OF.B(1)求证：OF//BC.(2)求证：/\AFO丝IXCEB.(3)若EB=5cm,设OE=x,求x值及阴影部分的面积.【答案】(1)见解析(2)见解析C\C\jr t~~x=5,阴影部分面积为( 25V3)cm2【解析】【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角，以及垂直于同一直线的两直线平行即可证得；(2)根据垂径定理以及等弧所对的圆周角相等，即可证得：ZVIFO和ACEB的两个角相等，从而证得两个三角形全等；(3)根据三角形中位线定理求得BC,由等腰三角形性质求得OA=BC=O8=10cm,进而求得x的值，解直角三角形求得圆心角，然后根据阴影部分的面积=扇形COO的面积-△COO的面积即可求解.【小问1详解】证明：为。。的直径，C.ACX.BC,XVOF1AC,AOF//BC；【小问2详解】证明：-JABLCD,,BC=BD，：.NCAB=NBCD,在△AFO和△CEB中，[N4=NBCE\zAFO=ZCEB=90°[OF=BE：./XAFO^^CEB(AAS)；【小问3详解】解：连接OO.设OE=x,•：OF//BC,04=08,:.OF=；BC,'：。尸=BE=5cm,，BC=10cm,:4AFO学ACEB(AAS)；/.AO=BC,/.BO=OC=BC，/.△OBC是等边三角形，・•・"03=60。，・•BC=BD，，/BOD=NBOC=60。,AZCO/>120°,

扇形COD的面积是:120万xIO?扇形COD的面积是:120万xIO?100乃cm2，360 3由垂径定理可得：CE=qOC。一OE? —5?=56,二CO=2CE=10®S《COD='x10-73x5=255/3,.•.阴影部分面积为(詈土-25V3)cm2.【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，以及扇形的面积的计算，正确求得/COE的度数是解决本题的关键.21.如图，在△ABC中，AC=4,BC=20,ZC=90°,点。为AB边上一点；③。切边AC于点。，设CO=x,G)O的半径为y.(1)求y关于x的函数解析式.(2)当y=5时，求。。在BC边上截得线段E尸的长.【答案】(1)产-5x+20(2)8【解析】【分析】(1)连接O。，如图，根据切线的性质得到OOLAC,再证明△AOOsAABC,利用相似比得到y与x的关系式；(2)先利用函数关系式求出产5时对应的x的值得到CD=3,作。从LBC于〃，连接。£,如图，根据垂径定理得到易得四边形ODCH为矩形，所以O4=C£>=3,然后利用勾股定理计算出4E,从而得到所的长.【小问1详解】解：连接0。如图,•・・。0切边AC于点/.0DL\C,,:ZC=90°,ABC1AC,J0D//BC,：.XAODsXABC,.AD_0D••就一茄’，y=-5x+20；【小问2详解】当y=5时，・5x+20=5,解得x=3,即C£)=3,作O〃_L8C于"，连接OE,如图，则EH=FH,■:ZODC=ZC=ZOHC=90°,・•・四边形0DC”为矩形，:.0H=CD=3,在Rt/XOEH中，HE=\/OE2-OH2=V52-32=4,：.EF=2HE=S.【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理和相似三角形的判定与性质，函数关系式，掌握以上知识是解题的关键.22.课本中有一道作业题：有一块三角形余料A8C,它的边BC=l2m,高线AO=8m.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB,4c上.问加工成的正方形零件的边长为多少米？小颖解得此题的答案为4.8m.(1)你知道小颖是怎么做的吗？请你写出解答过程？(2)善于反思，她又提出了如下的问题，如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2,这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长.(3)如图3,小颖想如果这块余料形状改为放AABC的斜板，已知NA=90。，AB=8m,AC=6m,要把它加工成一个形状为平行四边形PQMN的工件，使在BC上，P、N两点分别在AB,AC上，且PN=8m,则平行四边形PQMN的面积为m?.【答案】(1)见解析(2)达到这个最大值时矩形零件的两条边长尸。=4m,PN=6m(3)7.68【解析】【分析】(1)设正方形PQMN的边长为xm,则PN=PQ=E£)=xm,AE=AD-ED=(8-x)m,再证明,一,AEPN„„8-xx ，”4“"I•△APNsaabC,得到一=—,即 =—,由此求解即可；ADBC8 12(2)设PN=xm,矩形PQMN的面积为Sn?,同理可证△APNs^ABC,求出尸Q=(8-gx]m,则2 7S=PNPQ=一一(x-6)-+24,由此利用二次函数的性质求解即可；(3)如图所示，过点A作AO_LBC于。，交PN于E,同理可证AAPNsaABC,AE工PN,得到AEPN—=—,利用勾股定理和面积法求出BC=10m,A£>=4.8m,从而求出£)£=0.96m,则ADBCS平行四边形世"N=PN.DE=7.68m*.【小问i详解】解：由题意得四边形PQOE是矩形，设正方形PQMN的边长为xm,则PN=PQ=E»=xm,.,.AE=AD-ED=(8-x)m,,••四边形尸QMN正方形，PN//QM,：.4APNs/\ABC,'JADLBC,:.AE1_PN,AEPNanS-xx：.——=——，即 =—,ADBC8 12解得x-4.8,二正方形PQMN的边长为4.8m；解：设尸N=xm,矩形PQMN的面积为Sm?,同理可证4APNsxABC,AEPNanx8-PQ:.——=——，即一= -ADBC12 8/.PQ=(8一•|x)m,二S=PN.PQ=x(8_1x]=_|尤2+8x=_|(x—6)2+24,2*.*a=—<0,3...当x=6时，S有最大值，最大值为24m2，PQ=4m,，达到这个最大值时矩形零件的两条边长PQ=4m,PN=6m【小问3详解】解：如图所示，过点A作AC8c于O,交PN于E,同理可证△APNsaABC,AE±PN,.AEPN••一,ADBC在 中，ZA=90°,AB=8m,AC=6m,；•BC=\lAB2+AC2=10m，,：SAabc=-ADBC=-ACAB,2 2

..AB.ACAo・・AD= =4.8m,BC，AE=AD-DE=4.S-DE,4.8-DE8104.810£>£=0.96m,S平行四边形pqmn=PN•DE=7.68m2,故答案为：7.68.AQDMC【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，二次函数的应用等等，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键.23.如图1,在RdABC中，/BAC=90。，AQDMC【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，二次函数的应用等等，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键.23.如图1,在RdABC中，/BAC=90。，AB=AC,D,E两点分别在AC,BC上，且 将△CDE绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a.(1)问题发现:An当@=0。时，一的值为BE(2)拓展探究:An当0。3(<360。时，若AECC转到如图2的情况时，求出一的值.BE(3)问题解决:当AEDC旋转至A,B,E三点共线时，若设CE=4,AC=3,直接写出线段BE的图2备用图【答案】(1)之2<3)3土耳【解析】【分析】(1)先证△OEC为等腰直角三角形，求出= 再通过平行线分线段成比例的性质可直接CE2An写出"的值；BEAn(2)证ABCEs/xacQ,由相似三角形的性质可求出——的值；BE(3)分两种情况讨论，一种是点E在线段54的延长线上，一种是点E在线段8A上，可分别通过勾股定理求出AE的长，即可写出线段BE的长.【小问1详解】解：如图1VZBAC=90°,AB=AC,.•.△ABC为等腰直角三角形，NB=45°,DE//AB,：.ZDEC=ZB=45°,ZCDE=NA=90°,...△QEC为等腰直角三角形，二EC=yfiCD，.CDy/2••,CE2•：DE//AB,：.4CABS4CDE.ADCD41"~BE~~CE~^2'故答案为：2【小问2详解】如图,zx\r^DBc图2由（1）知，△BAC和△（7£>£均为等腰直角三角形,.ACDC也"~BC~~EC~^2,又NBCE=NACD=a,:ABCEsMCD,.ADAC6即空=也；BE2【小问3详解】①如图3-1,图3-1当点E在线段BA的延长线上时，ZBAC=90°,ZCA£=90°,•*-ae=Rec?-AC?=V42_32=S>:.BE=BA+AE=3+币；②如图3-2,当点E在线段BA上时，AD图3-2AE=NeC2-AC2=742-32=>/7，:.BE=BA-AE=3-正,综上所述，BE的长为3±行.故答案为：3土址.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是注意分类讨论思想在解题过程中的运用.24.如图1,心AABC中，ZC=90°,NB=60。，经过顶点B,C作。。，分别交边AB,AC于点。，E.(1)求证：AD=73ED.(2)当AE=5,CE=4,求。。半径.AE(3)设 =x,tanZDCB=y.EC①求y关于x的函数表达式；S②如图2,连接OE,OD,若—，求y的值.【答案】(1)见解析(2)2(3)①二拽+①，②63x3【解析】【分析】(1)利用圆的内接四边形的性质可得NAOE=90。，ZAED=60°,解直角三角形可得结论：(2)连接BE,利用90。的圆周角所对的弦为直