黑龙江省各地区2022年中考数学真题按题型分层分类汇编-07解答题（中档题）

黑龙江省各地区2022年中考数学真题按题型分层分类汇编・07

解答题（中档题）一.分式的化简求值（共1小题）21.（2022•黑龙江）先化简，再求值：（」二2a-］）其中a=2cos30°+1.a2-l a+1二.一次函数的应用（共2小题）（2022•牡丹江）在一条平坦笔直的道路上依次有A,B,C三地，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，到达4地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象.请解答下列问题：（1）填空：甲的速度为米/分钟，乙的速度为米/分钟；（2）求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案.（2022•黑龙江）为抗击疫情，支援8市，A市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往B市.甲、乙两辆货车从A市出发前往8市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B市.甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B市.乙车维修完毕后立即返回A市.两车离A市的距离y（km）与乙车所用时间x（〃）之间的函数图象如图所示.

(1)甲车速度是km/h,乙车出发时速度是km/h；(2)求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y(切I)与乙车所用时间x(/z)的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；(3)乙车出发多少小时，两车之间的距离是120km?请直接写出答案.三.反比例函数与一次函数的交点问题(共1小题)(2022•大庆)已知反比例函数y=K和一次函数y=x-1,其中一次函数图象过(3a,b),X(3a+1,b+^~)两点.3(1)求反比例函数的关系式；(2)如图，函数y=_kr,y=3x的图象分别与函数y=K(x>0)图象交于4,B两点，3 x在y轴上是否存在点尸，使得△AB尸周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在,(2022•绥化)在平面直角坐标系中，已知一次函数与坐标轴分别交于A(5,0),B(0,1)两点，且与反比例函数”="的图象在第一象限内交于P,K两点，连接2 X

OP,△O4P的面积为5.4(1)求一次函数与反比例函数的解析式.(2)当">»时，求x的取值范围.(3)若C为线段OA上的一个动点，当尸C+KC最小时，求△PKC的面积.(2022•黑龙江)如图，抛物线y=*+fex+c经过点4(-1,0),点8(2,-3),与y轴交于点C,抛物线的顶点为D(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点P,使△PBC的面积是△BC。面积的4倍，若存在，请直接写(2022•大庆)某果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量.如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低.根据经

验，增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为75依.在确保每棵果树平均产量不低于40必的前提下，设增种果树x（x>0且x为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为ykg,它们之间的函数关系满足如图所示的图象.（1）图中点P所表示的实际意义是,每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少kg；（2）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围;（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（依）最大？最大产量是多少？七.全等三角形的判定与性质（共1小题）（2022•黑龙江）△ABC和△AOE都是等边三角形.（1）将△AOE绕点A旋转到图①的位置时，连接BC,CE并延长相交于点尸（点尸与点A重合），有玖+PB=PC PA+PC=PB）成立（不需证明）；（2）将△AOE绕点4旋转到图②的位置时，连接BD,CE相交于点尸，连接外，猜想线段附、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；（3）将△AOE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD,CE相交于点P,连接玄，猜想线段以、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明.图①

图①A.平行四边形的判定与性质（共1小题）（2022•大庆）如图，在四边形ABOF中，点E,C为对角线BF上的两点，AB=DF,AC=DE,EB=CF.连接AE,CD.（1）求证：四边形ABO尸是平行四边形；（2）若AE=AC,求证：AB=DB.九.矩形的性质（共1小题）（2022•哈尔滨）已知矩形ABC。的对角线AC,8。相交于点。，点E是边上一点,连接BE,CE,OE,且BE=CE.（1）如图1,求证：4BEO冬ACEO；（2）如图2,设BE与AC相交于点F,CE与8。相交于点H,过点。作AC的平行线交BE的延长线于点G,在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（△AEF除外），使写出的每个三角形的面积都与△AEF的面积相等.一十.四边形综合题（共1小题）（2022•黑龙江）在菱形ABCQ和正三角形BGF中，N4BC=60°,P是。尸的中点,连接PG、PC.（1）如图1,当点G在BC边上时，写出尸6与PC的数量关系.（不必证明）（2（2）如图2,当点尸在A8的延长线上时,线段尸C、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明;（3（3）如图3,当点尸在C8的延长线上时,线段PC、PG又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）.DD图3DD图3一十一.切线的判定与性质（共1小题）（2022•齐齐哈尔）如图，在8c中，AB=AC,以A8为直径作。。，AC与。。交于点、D,8c与。。交于点E,过点C作CF〃AB,且CF=CO,连接8F.（1）求证：BF是。。的切线;（2（2）若NBAC=45°,AD=4,求图中阴影部分的面积.（2022•牡丹江）在菱形ABCO中，对角线AC和8。的长分别是6和8,以AO为宜角边向菱形外作等腰直角三角形AOE，连接CE.请用尺规或三角板作出图形，并直接写出线段CE的长.一十三.作图一复杂作图（共1小题）（2022•绥化）已知：△ABC.（1）尺规作图：用直尺和圆规作出△ABC内切圆的圆心O.（只保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）如果△ABC的周长为14cm,内切圆的半径为1.3cm求△ABC的面积.

A一十四.A一十四.坐标与图形变化-平移(共1小题)(2022•黑龙江)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，ZVIBC的三个顶点坐标分别为A(1,-1),B(2,-5),C(5,-4).(1)将△ABC先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到△481。，画出两次平移后的△481C1,并写出点4的坐标;(2)画出△AiBiCi绕点。顺时针旋转90°后得到△A2B2C1,并写出点A2的坐标:(3)在(2)的条件下，求点4旋转到点42的过程中所经过的路径长(结果保留n).一十五.作图-旋转变换(共1小题)(2022•黑龙江)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，OEF关于点。成中心对称,ZVIBC与△OEF的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题.(1)在图中画出点O的位置.(2)将aABC先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△AiBiCi,请画出△A1BC1；(3)在网格中画出格点M,使平分/B14C1.

一十六.解直角三角形的应用（共1小题）（2022•绥化）如图所示，为了测量百货大楼顶部广告牌EO的高度，在距离百货大楼30"?的A处用仪器测得/D4C=30°；向百货大楼的方向走10m,到达B处时，测得NEBC=48°,仪器高度忽略不计，求广告牌EO的高度.（结果保留小数点后一位）（参考数据：百-1.732,sin48-^0.743,cos48°=0.669,tan48°=1.111）一十七.解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）（2022•大庆）如图，为了修建跨江大桥，需要利用数学方法测量江的宽度4B.飞机上的测量人员在C处测得A,8两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度CO为1000,〃，且点。，A,8在同一水平直线上，试求这条江的宽度AB（结果精确到1根，参考数据：&弋1.4142,73^1.7321）.-+A.频数（率）分布直方图（共1小题）（2022•齐齐哈尔）“双减”政策实施后，某校为了解本校学生每天课后进行体育锻炼的时间情况，在5月份某天随机抽取了若干名学生进行调查，现将调查结果绘制成两幅尚不完整的统计图表.请根据统计图表提供的信息、，回答下列问题：（1）表中加=,n=,p=；（2）将条形图补充完整；（3）若制成扇形图，则C组所对应的圆心角为°；（4）若该校学生有2000人，请根据以上调查结果估计：该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生约有多少人？组别锻炼时间（分钟）频数（人）百分比A0«305025%B30<x^60tn40%C60〈xW9040PDx>90n15%（2022•牡丹江）为推进“冰雪进校园”活动，我市某初级中学开展：A.速度滑冰，B.冰赤，C.雪地足球，D.冰壶，E.冰球等五种冰雪体育活动，并在全校范围内随机抽取了若干名学生，对他们最喜爱的冰雪体育活动的人数进行统计（要求：每名被抽查的学生必选且只能选择一种），绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图.抽样调查最喜爱的冰雪体育活动人数的条形统计图抽样调查最喜爱的冰雪体育活动人数的扇形统计图（1）这次被抽查的学生有多少人？（2）请补全条形统计图，并写出扇形统计图中8类活动扇形圆心角的度数是；（3）若该校共有1500人，请你估计全校最喜爱雪地足球的学生有多少人？（2022•黑龙江）某电视台为了解观众对‘'谍战”题材电视剧的喜爱情况，随机抽取某社区部分电视观众，进行问卷调查，整理绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图：男、女观众对“谍战”题材电视剧的有爱情况统计图里观众对“谍战”题材电视剧的有爱情况统计图请根据以上信息，解答下列问题:（1）在这次接受调查的女观众中，表示“不喜欢”的女观众所占的百分比是多少？（2）求这次调查的男观众人数，并补全条形统计图.（3）若该社区有男观众约1000人，估计该社区男观众喜欢看“谍战”题材电视剧的约有多少人？黑龙江省各地区2022年中考数学真题按题型分层分类汇编-07解答题（中档题）参考答案与试题解析一.分式的化简求值（共1小题）TOC\o"1-5"\h\z（2022•黑龙江）先化简，再求值：.-2a_]）+纭L,其中q=2cos30°+1.a2-l a+1\o"CurrentDocument"2【解答】解：（&2・i）+世La2-l a+1=12_2包g2_] 2a-]I21-2J•■TTTa-1a-1 «1l-2axa+1（a+1）（a-l）2a-l\o"CurrentDocument"_1- ，1-a当a=2cos30°+1=2*1+1=百+1时，2\o"CurrentDocument"原式=一3-=-1.1-V3-1 3二.一次函数的应用（共2小题）（2022•牡丹江）在一条平坦笔直的道路上依次有A,B,C三地，甲从8地骑电瓶车到C地，同时乙从8地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象.请解答下列问题：（1）填空：甲的速度为300米/分钟,乙的速度为800米/分钟:（2）求图象中线段尸G所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案.，乙的速度为：8004-1=800(米/分钟)，，乙从B地到C地用时：24004-800=3(分钟)，：.G(6,2400).：.H(8,2400).甲的速度为2400+8=300(米/分钟)，故答案为：300；800；(2)设直线尸G的解析式为：y=kx+b(ZW0),且由图象可知尸(3,0),由(1)知G(6,2400)..f3k+b=0l6k+b=2400，解得，尸oo.lb=-2400,直线FG的解析式为Ly=800x-2400(3<x<6).(3)由题意可知，AB相距800米，BC相距2400米.•：O(0,0),H(8,2400),.,.直线OH的解析式为：y=300x,"：D(1,800),二直线。O的解析式为：y=800x,当OWxWl时，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从8地骑摩托车到A地，即甲乙朝相反方向想走，:,令800x+300x=600,解得x=&11•当x>2时，甲从B继续往C地走，乙从A地往C地走,/.3OOX+8OO-800(X-2)=600或800(x-2)-(300x+800)=600,解得■或x=6.5综上，出发且分钟或魅分钟或6分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米.11 5(2022•黑龙江)为抗击疫情，支援8市，4市某蔬菜公司紧急调运两车蔬菜运往8市.甲、乙两辆货车从A市出发前往8市，乙车行驶途中发生故障原地维修，此时甲车刚好到达B市.甲车卸载蔬菜后立即原路原速返回接应乙车，把乙车的蔬菜装上甲车后立即原路原速又运往B市.乙车维修完毕后立即返回A市.两车离A市的距离y(km)与乙车所用时间x(〃)之间的函数图象如图所示.(1)甲车速度是 100km/h,乙车出发时速度是60km/hi(2)求乙车返回过程中，乙车离A市的距离y(hn)与乙车所用时间x(〃)的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；(3)乙车出发多少小时，两车之间的距离是120h〃？请直接写出答案.甲车的速度为：5004-5=100(km/h),乙车出发时速度是：3004-5=60(km/h),故答案为：100,60；(2)乙车返回过程中，设乙车离A市的距离y(«山)与乙车所用时间x(〃)的函数解析式是y=Ax+b,•点(9,300),(12,0)在该函数图象上，.(9k+b=300I12k+b=0'解得(k=T。。，lb=1200即乙车返回过程中，乙车离A市的距离y(km)与乙车所用时间x(h)的函数解析式是y=-lOOx+1200；(3)设乙车出发小小时，两车之间的距离是120km,当0<桁<5时，100/n-60/h=120,解得〃?=3；当5.5</n<8时，100(/n-5.5)+120+300=500,解得m=6.3；当9<m<12时，乙车返回的速度为：3004-(12-9)=100(km/h),100(/n-8)+100Cm-9)=120,解得m=9.1；答：乙车出发3小时或6.3小时或9.1小时，两车之间的距离是120km.三.反比例函数与一次函数的交点问题(共1小题)(2022•大庆)已知反比例函数y=K和一次函数y=x-1,其中一次函数图象过(3a,b),X(3fl+1>/?+工>)两点.3(1)求反比例函数的关系式；(2)如图，函数y=_kr,y=3x的图象分别与函数y=K(x>0)图象交于A,8两点，3 x在)，轴上是否存在点P,使得△A8P周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在,请说明理由.【解答】解：（1）把（3a,b）,（3。+1,>K）代入y=x-1中可得：3 .b=3a-l'b-t4=3a+l-l'解得：k=3,...反比例函数的关系式为：y=3：x（2）存在，作点8关于y轴的对称点B',连接AB'交y轴于点P,连接8尸，此时AP+5P的最小,即△A8P周长最小，二由题意得：，yq,y=3x解得：fx=l或(x=T,ly=3]y=-3：.B(1,3),f3y=由题意得：，:，尸铲解得：卜=3或0=-3,Iy=lly=-l(3,1),.,.A8=2&,■:点、B与点、B'关于)，轴对称,：.B'(-1,3),BP=B'P,

：.AB'=2>/5,：.AP+BP=AP+B'P=AB'=2匾，：.AP+BP的最小值为2娓,二△ABP周长最小值=2遥+2、厉，...△ABP周长的最小值为2遥+2&.(2022•绥化)在平面直角坐标系中，已知一次函数yi=Hx+b与坐标轴分别交于A(5,0),B(0,1)两点，且与反比例函数”="的图象在第一象限内交于P,K两点，连接2 xOP,△O4P的面积为4(1)求一次函数与反比例函数的解析式.(2)当y2>yi时，求x的取值范围.(3)若C为线段OA上的一个动点，当尸C+KC最小时，求的面积.【解答】解：⑴••,一次函数yi=kix+力与坐标轴分别交于A(5,0),B(0,_1)两点,.•.一次函数的解析式为：yi=-22•••△O4P的面积为5,4.,0•042 - 4•点P在一次函数图象上，...令-工+$=工.解得x=4,222：.P(4,A).2•.•点P在反比例函数”="的图象上，X•'.j12=4XA=2.2...一次函数的解析式为：yi=-lx+1.反比例函数的解析式为：”=2.22 x(2)令-JLr+—=—,解得x=l或x=4,22x：.K(1,2),由图象可知，当"〉yi时，x的取值范围为：0<x<l或x>4.(3)如图，作点P关于x轴的对称点P',连接KP',线段KP'与x轴的交点即为点2：.P'(4,-A).2：.PP'=1,直线KP'的解析式为:产-昂+1L66令y=0,解得x=4.5：.C(卫，0).5'•S^PKC=—<XC-XK)。PP'2=Ax(JZ-1)X12 5=6.5"当PC+KC最小时，APKC的面积为2.5五.待定系数法求二次函数解析式(共1小题)(2022•黑龙江)如图，抛物线y=/+bx+c经过点A(-1,0),点8(2,-3),与y轴交于点C,抛物线的顶点为D(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点P,使APBC的面积是△BC。面积的4倍，若存在，请直接写【解答】解：(1)•.•抛物线y=/+6x+c经过点A(-1,0),点8(2,-3),・rl-b+c=O14+2b+c=-3解得b=-2,c--3,，抛物线的解析式：y=7-2r-3：（2）存在，理由如下：,.>=/-2x-3=（x-1）2-4,二。点坐标为（1,4）,令x=0,则y=7-2x-3=-3,...C点坐标为（0,-3）,又点坐标为（2,-3）,，BC〃x轴，.".Sj\BCD=—'X2'X1=1,2设抛物线上的点尸坐标为（m,m2-2m-3）,/.Sapbc=Ax2X|m2-2m-3-（-3）|=|m2-2m\,2^|zn2-2m|=4Xl时，解得w=l±V5>当 时，-2m-3=1,当m=1-5/^时，m2-2m-3=1,综上，P点坐标为（1+遥，1）或（1-代，D.六.二次函数的应用（共1小题）（2022•大庆）某果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量.如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低.根据经验，增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为75依.在确保每棵果树平均产量不低于40依的前提下，设增种果树x（x>0且x为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为ykg,它们之间的函数关系满足如图所示的图象.（1）图中点尸所表示的实际意义是增种果树28棵，每棵果树平均产量为66胡，每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少_L_kg；~2~（2）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（kg）最大？最大产量是多少？

【解答】解：（1）根据题意可知：点P所表示的实际意义是增种果树28棵，每棵果树平均产量为66kg,(75-66)+(28-10)=A2•••每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少工g,2故答案为：增种果树28棵，每棵果树平均产量为66仅，白根据题意可得Ln=75-40,2解得/n=70,：.A(80,40),设y与x之间的函数关系式：y=kx+h,把尸(28,66),A(80,40),(28k+b=66,l80k+b=40，解得火=-A,6=80,2与x之间的函数关系式：y=--lx+80；2自变量x的取值范围：0&W80；（3）设增种果树。棵，W=（60+a）（-0.5a+80）=-0.5a2+50a+4800,-0.5<0,卬收大=6050,当增种果树50棵时，果园的总产量w（依）最大，最大产量是6050依.七.全等三角形的判定与性质（共1小题）（2022•黑龙江）△4BC和△AOE都是等边三角形.（1）将△4OE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD,CE并延长相交于点P（点、P与点A重合），WPA+PB=PC（或附+PC=PB）成立（不需证明）：（2）将△ACE绕点A旋转到图②的位置时，连接80，CE相交于点P,连接附，猜想线段网、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；（3）将△4OE绕点A旋转到图③的位置时，连接3D,CE相交于点P,连接以，猜想线段以、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明.【解答】解：（2）PB=PA+PC,理由如下:如图②，在BP上截取BF=PC,连接A尸,图②:△ABC、△△£>£：都是等边三角形，：.AB=AC,AD=AE,NBAC=NDAE=60°,:.N3AC+NC4O=NCAO+NOAE,即NOAB=NE4C,AAABD^AAC£(SAS),:.NABD=NACE,VAB=AC,BF=CP,：./\BAF^^\CAP(SAS),：.AF=AP,4BAF=/CAP,・・・/84C=N抬尸=60°,•・.△AFP是等边三角形，：.PF=PA,：.PB=BF+PF=PC+PA；(3)尸。=必+尸8,理由如下：如图③，在PC上截取CM=P&连接AM,同理得：△ABO名ZXACE(SAS),:.NABD=NACE,9：AB=AC,PB=CM,（SAS）,：.AM=AP,ZBAP=ZCAM,，/3AC=/BUf=60°,.,.△AMP是等边三角形，：.PM=PA,：.PC=PM+CM=PA+PB.A.平行四边形的判定与性质（共1小题）（2022•大庆）如图，在四边形ABOk中，点E,C为对角线8尸上的两点，AB^DF,AC=DE,EB=CF.连接A£CD.（1）求证：四边形ABO尸是平行四边形；（2）若AE=4C,求证：AB—DB.【解答】证明：（1）,.•E8=CF,：.EB+EC=CF+EC,：.BC=EF,,:AB=DF,AC=DE,：./XABC^^DFE（SSS）,：.NA8C=ZDFE,：.AB//DF,四边形abdf是平行四边形；（2）连接4。交8F于点O,四边形ABDF是平行四边形,OB=OF,•:BE=CF,：.OB-BE=OF-CF,：.OE=OC,VAE=AC,：.AOLEC,・・・四边形A3。尸是菱形,：.AB=BD.九.矩形的性质（共1小题）（2022•哈尔滨）已知矩形A8CO的对角线AC,BO相交于点O,点E是边A。上一点，连接BE,CE,OE,ELBE=CE.（1）如图1,求证：△BEO94CEO;（2）如图2,设BE与AC相交于点F,CE与8。相交于点H,过点力作AC的平行线交BE的延长线于点G,在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（AAEF除外），使写出的每个三角形的面积都与AAE尸的面积相等.图2【解答】(1)证明：•.•四边形ABC。是矩形，.•.OA=OC=X1C,ob=od=Lbd,ac^bd,2 2：.OB=OC=OA=OD,'：BE=CE,OE=OE,...△8E0丝△CEO(SSS)；(2)解：ADHE,△CHO,ADEG,△Bf'。都与△AEf的面积相等，理由：•••四边形ABC。是矩形，：.ZBAD=ZCDA=90°AB//CD,AB=DC,,:BE=CE,：.RtABAE^RtACDE(HL),:.NAEB=NDEC,AE=DE,'：OA=OD,：.ZOEA=ZOED=90°,：.ZBAD=ZOED=90°,ZADC=ZAEO=90°,：.AB//OE,DC//OE,.♦.△AEO的面积=Z\BEO的面积，ADEO的面积=Z\COE的面积，AAEO的面积-△E%>的面积=/i8£0的面积-AEFO的面积，2DEO的面积-△EHO的面积=ZXCOE的面积-△E”。的面积，：./\AEF的面积=4BFO的面积，XDHE的面积=Z\C”O的面积，"：OA=OD,乙DAO=ZADO,：.^AEF^^DEH(ASA),：./\AEF的面积=△£>”£的面积=Z\CHO的面积，'：DG//AC,：.ZG=ZAFE,NGDE=NFAE,：.^AEF^^DEG(AAS),...△AEF的面积=4QEG的面积，AD/7E,△C”O,△OEG,△BFO都与△4£下的面积相等.一十.四边形综合题（共1小题）（2022•黑龙江）在菱形A8C£＞和正三角形BG尸中，NABC=60°,P是。尸的中点,连接PG、PC.（1）如图1,当点G在BC边上时，写出PG与PC的数量关系.（不必证明）（2）如图2,当点尸在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明；（3）如图3,当点F在C8的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）.【解答】解：（1）pg=Mpc；如图1,延长GP交。C于点E,B图1是。尸的中点,:.PD=PF,•..△BGF是正三角形，.".ZBGF=60",V60°,；.NBGF=Z.ABC,J.AB//GF,•.•四边形48CC是菱形,J.AB//CD,J.CD//GF,：.NCDP=NPFG,在△户££>和△PGF中，'NDPE=NFPG-DP=PF，NCDP=/PFG，APED空△PGF(ASA),：.PE=PG,DE=FG,•••△BG/是正三角形，:.FG=BG,•.•四边形A8CQ是菱形，：.CD=CB,：.CE=CG,，CP是EG的垂直平分线，在RtZXCPG中，NPCG=60°,：.PG=tanZPCG-PC=y/3PCi(2)猜想：PG=MpC,证明如下：如图2,延长GP交D4于点E,连接EC,GC,BVZABC=60",△BGF是等边三角形,.".GF//BC//AD,：.NEDP=NGFP,在和△PGF中，fZEDP=ZGFP-DP=FP，ZDPE=ZFPG:.△PEgAPGF(ASA),：.PE=PG,DE=FG=BG,在△<?£>£；和ACBG中，"CD=CB<ZCDE=ZCBG>DE=BG.♦.△CDE/ACBG(SAS),:・CE=CG,NDCE=NBCG,/.ZECG=ZDCB=120°,,:PE=PG,:・CPLPG,NPCG=«l/ECG=60°,2・•・PG=lanNPCG・PC=y/3PC；(3)猜想：PG=MpC,如图3,延长GP到〃，使P”=PG,连接C〃，CG,DH,过点尸作E尸〃。C,TP是线段。尸的中点，：.FP=DP,：.NGPF=NHPD,•••△GFPg△〃£)「，:.GF=HD,4GFP=/HDP,•；/GFP+NPFE=120°,NPFE=/PDC,：.ZCDH=/HDP+ZPDC=120°,・・•四边形ABC。是菱形，:.CD=CB,ZADC=ZABC=60°,点A,B,G,在同一直线上,AZGBC=120°,・・•四边形BEFG是菱形,:.GF=GB,:.HD=GB,•••△HDgAGBC(SAS),：・CH=CG,4DCH=/BCG,：・NDCH+NHCB=NBCG+NHCB=120°,即NHCG=120°,■:CH=CG,PH=PG,C.PGLPC.NGCP=N"C尸=60°,:.PG=\anNPCG，PC=MPC.一十一.切线的判定与性质（共1小题）12.（2022•齐齐哈尔）如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径作0O,AC与。。交于点O,BC与交于点E,过点。作（7/〃A8,且CF=CO,连接8户.（1）求证：B尸是。。的切线；（2）若/BAC=45°,AD=4,求图中阴影部分的面积.【解答】（1）证明：如图1,连接BD,图1是直径，/.ZADB=ZBDC=90°,'：AB=AC,：.ZABC=ZACB,'：AB//CF,：.ZABC=ZFCB,：.NACB=NFCB,在△OCB和△FCB中，'CD=CF<ZDCB=ZFCB>CB=CB:./XDCB名AFCB(SAS),.,.ZF=ZCDB=90",•JAB//CF,：.ZABF+ZF=180",...NAB尸=90°,BPABA.BF,■：AB为直径，.•.BF是。。的切线；（2）解：如图2,连接8£）、OE交于点M,连接AE,图2,：AB是直径，：.AELBC,AD±BD,'：ZBAC=45°,AD=4,...△ABO是等腰直角三角形，：.BD=AD=4,^=VaD2+BD2=V42+42==4^2,：.OA=OB=2近,...OE是△408的中位线，：.OE//AD,.\ZBOE=ZBAC=45°,OELBD,BDAB2BM=AbD=AX4=2,2 2•,•S阴膨部分=S醐形BOE-S^BOE=45X7ix(2V2)2-lx272X2360 2=K-2V2.一"p二.作图一基本作图（共1小题）13.（2022•牡丹江）在菱形A8CQ中，对角线AC和3。的长分别是6和8,以AO为直角边向菱形外作等腰直角三角形AOE,连接C£.请用尺规或三角板作出图形，并直接写出线段CE的长.【解答】解：利用三角板可作图1,图2；(1)如图1,过点E作AC的垂线，交C4的延长线于点F,•.•四边形ABCQ是菱形，：.AC±BD,OA=OC=1AC=3,OB=OD=LbD=4,2 2+^2=5=BC=CD=AD,•••△AOE是等腰直角三角形，...NQAE=90°,AE^AD,：.ZOAD+ZFAE=l^O°-90°=90°,又项E+NFEA=90°,：.ZOAD=ZFEA,在△400和△£；初中，'NOAD=NFEA-ZAOD=ZEFA=90°>AD=EAAAA0D^A£M(AAS),.•.AF=OO=4,EF=AO=3,在RtZ\CEF中，CT=4+6=10,EF=3,EC=a/CF2+ef2=a/739；(2)如图2,过点E作BO的垂线，交8£)的延长线于点F,过点C作E尸的垂线交EF的延长线于点G,•.•四边形ABCC是菱形，：.ACLBD,即NCOO=90°,'：EF±BD,：.ZOFG=9Q°,又；CGJ_EG,/.ZG=90o,四边形OCGr是矩形，由(1)的方法可证，△AOO且ZXOFECAAS),

：.DF=A0=3.E尸=00=4,・・・OF=OD+DF=4+3=7=CG,在RtZXECG中，CG=7,EG=EF+FG=4+3=7,•••EC=VcG2+EG2=V72+72=7后综上所述，EC=Ji而或EC=7迎.一十三.作图一复杂作图（共1小题）（2022•绥化）已知：△ABC.（1）尺规作图：用直尺和圆规作出△ABC内切圆的圆心O.（只保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）如果△ABC的周长为14cm,内切圆的半径为1.3an,求△A8C的面积.【解答】解：（1）如图，点。即为所求;(2)由题意，/XABC的面积=工义14X1.3=9.1(cw2).2一十四.坐标与图形变化-平移(共1小题)(2022•黑龙江)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，AABC的三个顶点坐标分别为A(1,-1),8(2,-5),C(5,-4).(1)将△ABC先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到△AiBiCi,画出两次平移后的△481C1,并写出点4的坐标；(2)画出△AiBiCi绕点Ci顺时针旋转90°后得到△A2B2C1,并写出点A2的坐标；(3)在(2)的条件下，求点4旋转到点A2的过程中所经过的路径长(结果保留n).【解答】解：(I)如图，△4B1G即为所求，点4的坐标(-5,3)；(2)如图，△A2aC1即为所求，点为的坐标(2,4)：(3)VAiCi=^32+42=5,.•.点4旋转到点A2的过程中所经过的路径长=90兀义5=①.180

一十五.作图-旋转变换(共1小题)(2022•黑龙江)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△48。与4OEF关于点O成中心对称,ZvlBC与△£)£厂的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题.(1)在图中画出点O的位置.(2)将△4BC先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A1B1C1,请画出△A1BC1:(3)在网格中画出格点M,使4M平分NBiAiCi.【解答】解：(1)如图所示，点。为所求.(2)如图所示，△4B1C1为所求.(3)如图所示，点M为所求.（2022•绥化）如图所示，为了测量百货大楼C。顶部广告牌EO的高度，在距离百货大楼30"?的4处用仪器测得ND4c=30°：向百货大楼的方向走10m,到达8处时，测得ZEfiC=48°,仪器高度忽略不计，求广告牌的高度.（结果保留小数点后一位）（参考数据：料N1.732,sin48°g0.743,cos48°20.669,tan48°^1.111）【解答】解：在RtZ\AOC中，ZDAC=30°,AC=30米，，CO=AC・tan30°=30X—=ioV3（米），3；AB=10米，：.BC=AC-AB=20（米），在RtZ\BCE中，NEBC=48°,.,.EC=BC-tan48°^20X1.111=22.22（米），：.DE