复试信号与系统第四章

第四章

连续时间傅立叶变换主要内容复习:CTFS连续时间傅立叶变换周期信号与非周期信号的关系连续时间傅立叶变换CTFTCTFT的存在条件CTFT的举例主要内容周期信号的傅立叶变换CTFT的性质

举例卷积性质

举例相乘性质主要内容LTI系统的频域表示由线性常系数微分方程表征的系统的频率响应小结复习:CTFS连续时间周期信号x(t)如果满足狄里赫利条件，则其存在傅立叶级数对：分析公式综合公式复习:CTFS综合公式告诉我们：周期信号x(t)

可被看作成谐波关系的周期复指数信号的线性组合。综合公式首先：复习:CTFS傅立叶级数系数ak

表明了周期信号每个频率分量的复数幅值。分析公式返回周期信号与非周期信号的关系这章及下章，我们将这些概念推广到非周期信号的应用中。非周期信号x(t)可被看作是周期为无限值的周期函数：令T→∞周期信号与非周期信号的关系考虑傅立叶级数系数ak:因为T→∞,因此ak→0,在此情况下，对ak的讨论没有意义。周期信号与非周期信号的关系kω0

变为连续变量，记其为ω.可能为非零值。可知,当T→∞,且返回4.1.1非周期信号的傅立叶变换表示的导出4.1非周期信号的表示：连续时间傅立叶变换CTFT重新考虑连续时间周期方波：其中4.1非周期信号的表示：连续时间傅立叶变换CTFT其傅立叶级数表示如下：4.1非周期信号的表示：连续时间傅立叶变换CTFT现关注T∙ak：当周期T分别为2s,4s

和8s,相应的T∙ak如下图表示：4.1非周期信号的表示：连续时间傅立叶变换CTFTT=2s包络T=4sT=8s4.1非周期信号的表示：连续时间傅立叶变换CTFTT=2s包络T=4sT=8s包络函数定义为：4.1非周期信号的表示：连续时间傅立叶变换CTFT上述公式描述了傅立叶级数系数与包络之间的关系。所以，周期信号的傅立叶级数系数可以表示如下：4.1非周期信号的表示：连续时间傅立叶变换CTFT周期信号的傅立叶级数表示描述如下：其中，4.1非周期信号的表示：连续时间傅立叶变换CTFT如前所述，当T→∞,

周期信号变为非周期信号，函数Tak

变为包络函数，即：4.1非周期信号的表示：连续时间傅立叶变换CTFT周期信号x^(t)

表示如下：积分形式如下:4.1非周期信号的表示：连续时间傅立叶变换CTFT上述两公式被称为傅立叶变换对。因此，可给出傅立叶变换的定义:傅立叶反变换定义如下：4.1非周期信号的表示：连续时间傅立叶变换CTFT其中{ejkω0t}为成谐波关系的周期复指示信号，且{ak}描述了这些复指数信号分量的复数幅值。傅立叶变换的物理意义。对于周期信号，其傅立叶级数表示为：4.1非周期信号的表示：连续时间傅立叶变换CTFT同理，对非周期信号x(t),X(jω)被称为x(t)

的频谱，用来描述信号的幅值和相位的相对关系。X(jω)

告诉我们将信号x(t)表示为不同频率正弦信号的线性组合所需要的信息。4.1非周期信号的表示：连续时间傅立叶变换CTFT比较下述两种表示：表示复数幅值傅立叶变换X(jω)

有时被称为频谱密度函数。4.1非周期信号的表示：连续时间傅立叶变换CTFT4.1.2傅立叶变换的收敛根据傅立叶变换的定义：可知，如果信号x(t)收敛，则其傅立叶变换存在。4.1非周期信号的表示：连续时间傅立叶变换CTFT事实上，如果信号x(t)

满足狄里赫利条件，则x(t)存在傅立叶变换。狄里赫利条件如下所述:

1.

x(t)

绝对可积，即：2.x(t)

在任意有限区间内只有有限个最大值和最小值；4.1非周期信号的表示：连续时间傅立叶变换CTFT3.x(t)在任何有限区间内，有有限个不连续点，并且在每个不连续点都必须是有限值。注意：狄里赫利条件是充分条件但不是必要条件。返回4.1非周期信号的表示：连续时间傅立叶变换CTFT4.13连续时间傅立叶变换的举例例

4.1考虑信号：根据傅立叶变换的定义：4.1非周期信号的表示：连续时间傅立叶变换CTFT因为傅立叶变换为复数值，所以其幅值和相位可表示如下:幅度频谱相位频谱4.1非周期信号的表示：连续时间傅立叶变换CTFT傅立叶变换也可表示为直角坐标形式：4.1非周期信号的表示：连续时间傅立叶变换CTFT傅立叶变换计算的

MATLAB

函数表示：p=0.01;t=-5:p:5;x=exp(-a*t).*u(t);w=-4*pi:0.01:4*piX=x*exp(-j*t'*w)*p;

X1=abs(X);phi=57.3*angle(X);4.1非周期信号的表示：连续时间傅立叶变换CTFT例

4.2

令根据傅立叶变换的定义：4.1非周期信号的表示：连续时间傅立叶变换CTFT4.1非周期信号的表示：连续时间傅立叶变换CTFT根据上述两种复指数信号的幅度频谱，可知，低频分量的幅值大于高频分量的幅值。有时，我们将在例4.1和例4.2中讨论的信号称为低通信号。4.1非周期信号的表示：连续时间傅立叶变换CTFT例

4.3

确定单位冲激信号的傅立叶变换：4.1非周期信号的表示：连续时间傅立叶变换CTFT根据单位冲激信号的傅立叶变换表示，可知，其所有的频率分量都有相同的幅值和相位。我们将其称为“白噪声谱”4.1非周期信号的表示：连续时间傅立叶变换CTFT例

4.4

考虑矩形信号：根据傅立叶变换的定义:4.1非周期信号的表示：连续时间傅立叶变换CTFT其也可表示为:4.1非周期信号的表示：连续时间傅立叶变换CTFT频谱:T1=1s4.1非周期信号的表示：连续时间傅立叶变换CTFT确定傅立叶反变换x(t)例

4.5

考虑信号x(t)，其傅立叶变换为：傅立叶反变换为：4.1非周期信号的表示：连续时间傅立叶变换CTFT返回4.2周期信号的傅立叶变换根据傅立叶反变换定义公式，得到：考虑一个信号x(t)，其傅立叶变换X(jω)

是一个面积为2π，出现在ω=ω0处的单独一个冲激，即4.2周期信号的傅立叶变换即，更一般地，如果X(jω)是在频率上等间隔的一组冲激函数的线性组合，即则其反变换为：4.2周期信号的傅立叶变换结论:周期信号x(t)的傅立叶变换为一冲激串（冲激群）。其为连续时间周期信号的傅立叶变换的特征。周期信号傅立叶变换4.2周期信号的傅立叶变换例4.6

重新考虑方波，确定其傅立叶变换。解答:

1.确定其基波频率ω0:4.2周期信号的傅立叶变换则其傅立叶变换可以直接给出，如下所示:2.确定其傅立叶级数系数ak:4.2周期信号的傅立叶变换根据抽样函数Sa(x)表示:4.2周期信号的傅立叶变换例4.7

确定周期正弦信号的傅立叶变换:

x(t)=sinω0t可以根据复指数信号表示x(t):其傅立叶级数系数如下：4.2周期信号的傅立叶变换因此，其傅立叶变换为：4.2周期信号的傅立叶变换同理，当其傅立叶级数系数为：则傅立叶变换为：例4.8

考虑周期冲激串，4.2周期信号的傅立叶变换很明显，

x(t)

是基波周期为T的周期信号。

单个脉冲的傅立叶变换可以计算如下:(1)4.2周期信号的傅立叶变换其傅立叶变换为：则，傅立叶级数系数为:注意：必须记住此公式。4.2周期信号的傅立叶变换单位冲激函数和单位冲激串的傅立叶变换用图形表示如下:(1)(1)返回4.3CTFT的性质这节以及后面两节讨论傅立叶变换的几个重要性质。这些性质可以简化对傅立叶变换及反变换的求取。4.3CTFT的性质性质信号CTFT线性时移共轭微分积分4.3CTFT的性质性质信号CTFT实信号的共轭对称性实信号4.3CTFT的性质实奇对称性实奇纯虚且是奇函数实偶对称性实偶实偶性质信号CTFT4.3CTFT的性质帕斯瓦尔定理实信号的奇偶分量性质信号CTFT4.3CTFT的性质时域和频域的尺度变换对偶性性质信号CTFT频域微分特性频移特性返回4.3CTFT的性质线性

和

时移例

4.9

给定一个信号x(t)

如右图所示:x(t)t111.5234解答：根据傅立叶变换对:1x(t)tT1-T14.3CTFT的性质则可通过线性和时移性质确定其傅立叶变换。因为x(t)可看作两个矩形脉冲的和。x(t)t111.5234为什么？线性时移时移4.3CTFT的性质即：-1/2x2(t)t11/2-3/2x1(t)t13/2x(t)t111.5234线性4.3CTFT的性质两个矩形脉冲的傅立叶变换计算如下：-1/2x2(t)t11/2-3/2x1(t)t13/2时移4.3CTFT的性质利用线性和时移性质,可得：4.3CTFT的性质x1(t-2.5),0.5x2(t-2.5)

和x(t)

的频谱如下所示：时域积分例

4.11

确定单位阶跃信号的傅立叶变换。4.3CTFT的性质解答:

利用积分特性,可确定其傅立叶变换：积分4.3CTFT的性质相反地,利用微分特性，可得：这里微分4.3CTFT的性质解答:

求x(t)的一阶导数：

tx(t)11-1-1微分特性例4.12

假设信号x(t)

如图所示，求其傅立叶变换。tdx(t)/dt11-14.3CTFT的性质矩形脉冲和冲激函数的傅立叶变换可知：由时移性质：4.3CTFT的性质由微分特性：微分4.3CTFT的性质其傅立叶变换为：例-

重新考虑矩形脉冲。4.3CTFT的性质现确定如下信号的傅立叶变换。假设其傅立叶变换为X2(jω),根据对偶性：4.3CTFT的性质因为：替换

t

为ω：4.3CTFT的性质对偶性描述如下：返回4.4卷积性质如第2章和第3章，

LTIsystem--频率响应--卷积表示4.4卷积性质对卷积表示求傅立叶变换可得到卷积性质如下：

LTI系统h(t)---

卷积性质4.4卷积性质因此，在频域可以这样表示LTI系统：

LTI系统h(t)

LTI系统H(jω)4.4卷积性质尽管LTI系统的频率响应有着重要的作用，然而不是每个LTI系统的频率响应都可以定义。当且仅当LTI系统的单位冲激响应h(t)

满足狄里赫利条件，才有频率响应存在。绝对可积返回4.4卷积性质例-4.15考虑一连续时间LTI系统，其单位冲激响应为：频率响应为：利用卷积性质确定其输入-输出关系。4.4卷积性质则：因此，对任意输入x(t)，其傅立叶变换为X(jω),其输出的傅立叶变换为：根据时移性质：4.4卷积性质例-4.16

考虑一系统，其特性由下式表示：根据微分性质，可得：其频率响应为：4.4卷积性质例-4.18

考虑理想低通滤波器，其频率响应表示为：单位冲激响应为：4.4卷积性质例-4.19

确定LTI系统的频率响应，其单位冲激响应为：输入信号为：解答:输出响应y(t)可以通过下式直接求得：卷积求解困难4.4卷积性质可利用卷积性质求解。频率响应为：x(t)

的傅立叶变换为：4.4卷积性质输出响应y(t)

的傅立叶变换可得：则输出响应为：a≠b4.4卷积性质根据频域微分性质有：如果a=b，则：因为：4.4卷积性质例-4.20

现考虑一理想低通滤波器，其截止频率为ωc

。如果其输入信号x(t)给定如下：确定输出响应y(t)。4.4卷积性质解答:

根据对偶性，可知，输入信号x(t)

的傅立叶变换为：根绝卷积性质，可得输出响应y(t)的傅立叶变换为：4.4卷积性质两种情况：若ωc>ωi若ωc<ωi返回4.5相乘性质给定两信号p(t)

和

s(t),假设其傅立叶变换分别为P(jω)

和

S(jω)

。令有时，称为调制性质。相乘性质表示为：4.5相乘性质例-4.21

令信号

s(t)的频谱S(jω)如下图所示，p(t)

为正弦信号：确定s(t)p(t)的傅立叶变换。4.5相乘性质解答:根据调制性质，4.5相乘性质4.5相乘性质信号s(t)为调制信号,p(t)

为载波信号，r(t)

为已调信号。信道s(t)p(t)×发射机4.5相乘性质例-4.22

考虑在例4.21中得到的信号r(t)：p(t)=cos(ω0t)。p(t)×g(t)接收机确定g(t)的傅立叶变换。s(t)p(t)×r(t)发射机4.5相乘性质根据相乘性质：4.5相乘性质频谱如下：4.5相乘性质信道r(t)p(t)×g(t)接收机理想低通滤波器

H(jω)s(t)/24.5相乘性质例-4.23

作为傅立叶变换相乘性质的另一个应用是用来求下述信号的傅立叶变换：4.5相乘性质解答:

信号x(t)

表示如下：4.5相乘性质则信号x(t)的傅立叶变换可通过卷积运算得到：返回4.7由线性常系数微分方程表征的系统这节,我们讨论如何确定由微分方程描述的LTI系统的频率响应问题。整个讨论过程，假设系统稳定，频率响应H(jω)存在。4.7由线性常系数微分方程表征的系统切入点：

LTI系统H(jω)4.7由线性常系数微分方程表征的系统对方程的两端进行傅立叶变换，有：现考虑微分方程：4.7由线性常系数微分方程表征的系统则：4.7由线性常系数微分方程表征的系统可知：频率响应H(jω)是关于

(jω)

的有理函数，且分子和分母是关于(jω)的有理多项式。因此，频率响应为：4.7由线性常系数微分方程表征的系统例4.24

考虑一个稳定的LTI系统，由