人教B版(2019)高中数学必修第一册第二章《均值不等式及其应用》第1课时课件

2.2.4均值不等式及其应用第1课时2.2.4均值不等式及其应用第1课时1问题1阅读课本第71~75页，回答下列问题：整体概览（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？问题1阅读课本第71~75页，回答下列问题：整体概览（1）问题1阅读课本第71~75页，回答下列问题：整体概览（1）本节将要研究均值不等式及其应用．（2）起点是不等式的性质以及比较法，目标是知道均值不等式，会证明均值不等式定理，会用均值不等式解决简单的最大（小）问题．进一步提升数学运算、逻辑推理等素养．（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？问题1阅读课本第71~75页，回答下列问题：整体概览（1）情境与问题问题给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值；数称为a，b的几何平均值．两个数的算术平均值，实质上是这两个数在数轴上对应的点的中点坐标，那么几何平均值有什么几何意义呢？两个数的算术平均值和几何平均值之间有什么相对大小关系呢？情境与问题问题给定两个正数a，b，数称情境与问题【尝试与发现】（1）假设一个矩形的长和宽分别为a和b，求与这个矩形周长相等的正方形的边长，以及与这个矩形面积相等的正方形的边长，并比较这两个边长的大小；（2）如下表所示，再任意取几组正数，算出它们的算术平均值和几何平均值，猜测一般情况下两个数的算术平均值与几何平均值的相对大小，并根据（1）说出结论的几何意义．情境与问题【尝试与发现】（1）假设一个矩形的长和宽分别为a和情境与问题a12b14131情境与问题a12b14131新知探究均值不等式如果a，b都是正数，那么

，当且仅当a＝b时，等号成立．证明因为a，b都是正数，所以即

而且，等号成立时，当且仅当，即a＝b．新知探究均值不等式如果a，b都是正数，那么新知探究均值不等式如果a，b都是正数，那么

，当且仅当a＝b时，等号成立．值得注意的是，均值不等式中的a，b可以是任意正实数，因此我们可以代入任意满足条件的数或式子，比如

一定是正确的．新知探究均值不等式如果a，b都是正数，那么新知探究均值不等式如果a，b都是正数，那么

，当且仅当a＝b时，等号成立．综合法证明如下：因为（a－b）2≥0，所以a2＋b2－2ab≥0，所以a2＋b2＋2ab－4ab≥0，即（a＋b）2≥4ab．又因为a＞0，b＞0，所以a＋b≥

，显然，当且仅当（a－b）2＝0，即a＝b时，等号成立．即

．新知探究均值不等式如果a，b都是正数，那么新知探究问题2均值不等式也称为基本不等式（基本不等式中的a，b还可以为零），其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值．那么，均值不等式有什么几何意义呢？将均值不等式两边平方可得≥ab．如果矩形的长和宽分别为a和b，那么矩形的面积为ab，

可以看成与矩形周长相等的正方形的面积，因此均值不等式的一个几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大．新知探究问题2均值不等式也称为基本不等式（基本不等式中的a新知探究【想一想】你能推广这个结论吗？比如所有周长相等的三角形中，什么样的三角形面积最大？平面上，周长相等的所有封闭图形中，什么样的图形面积最大？正三角形，圆新知探究【想一想】你能推广这个结论吗？比如所有周长相等的三角新知探究问题3如图所示半圆中，AB为直径，O为圆心．已知AC＝a，BC＝b，D为半圆上一点，且DC⊥AB，算出OD和CD，是否可以给出均值不等式的另一个几何意义？ABDOC在RtΔABD中，由于DC⊥AB，利用射影定理可得CD＝

，又CO＝

，由图可知CO≥CD，所以

，变形为a＋b≥

．结论：均值不等式的几何意义是：一个圆的直径大于等于垂直该直径的弦．新知探究问题3如图所示半圆中，AB为直径，O为圆心．已知A新知探究例1（1）已知x＞0，求y＝x＋的最小值，并说明x为何值时y取得最小值．（2）已知x∈（－1，3），求y＝（1＋x）（3－x）的最大值，以及y取得最大值时x的值．（3）求函数y＝x（1－x），x∈[，1）的最大值．新知探究例1（1）已知x＞0，求y＝x＋的最小值，并新知探究例1（1）已知x＞0，求y＝x＋的最小值，并说明x为何值时y取得最小值．解：（1）因为x＞0，所以根据均值不等式有解得x＝1或x＝－1（舍）．其中等号成立当且仅当x＝，即x2＝1，因此x＝1时，y取得最小值2．新知探究例1（1）已知x＞0，求y＝x＋的最小值，并新知探究例1（2）已知x∈（－1，3），求y＝（1＋x）（3－x）的最大值，以及y取得最大值时x的值．解：（2）当x∈（－1，3）时，一1＜x＜3，因此1＋x＞0，3一x＞0．当且仅当1＋x＝3－x，即x＝1时，等号成立．从而（1＋x）（3－x）≤4，即y≤4．由均值不等式可得

，从而x＝1时，y取得最大值4．新知探究例1（2）已知x∈（－1，3），求y＝（1＋x）（解：（3）错解：由

≤x＜1，易知1－x＞0，新知探究例1（3）求函数y＝x（1－x），x∈[，1）的最大值．从而y＝x（1－x）≤

＝

．所以y的最大值为．正解：y＝x（1－x）＝－x2＋x＝－（x－

）2＋

，当x＝

时，ymax＝

．人教B版（2019）高中数学必修第一册第二章《均值不等式及其应用》第1课时课件【精品】人教B版（2019）高中数学必修第一册第二章《均值不等式及其应用》第1课时课件【精品】解：（3）错解：由≤x＜1，易知1－x＞0，新知探新知探究（1）在利用均值不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”：一正，a，b均为正数；二定，不等式一边为定值；三相等，不等式中的等号能取到，即a＝b有解．（2）两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．（3）利用均值不等式求最值时，等号必须取得到才能求出最值，若题设条件中的限制条件使等号不能成立，则要转换到另一种形式解答．人教B版（2019）高中数学必修第一册第二章《均值不等式及其应用》第1课时课件【精品】人教B版（2019）高中数学必修第一册第二章《均值不等式及其应用》第1课时课件【精品】新知探究（1）在利用均值不等式求最值时要注意“一正、二定、三新知探究例2（1）已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？（2）已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？在（1）中，矩形的长与宽的积是一个常数，要求长与宽之和的两倍的最小值；在（2）中，矩形的长与宽之和的两倍是一个常数，要求长与宽的积的最大值．人教B版（2019）高中数学必修第一册第二章《均值不等式及其应用》第1课时课件【精品】人教B版（2019）高中数学必修第一册第二章《均值不等式及其应用》第1课时课件【精品】新知探究例2（1）已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、新知探究例2（1）已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？解：（1）设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得xy＝100．因此，当矩形的长和宽都是10时，它的周长最短，最短周长为40．当且仅当x＝y时，等号成立，所以2（x＋y）≥40．因为x＞0，y＞0，所以由

，可知此时x＝y＝10．人教B版（2019）高中数学必修第一册第二章《均值不等式及其应用》第1课时课件【精品】人教B版（2019）高中数学必修第一册第二章《均值不等式及其应用》第1课时课件【精品】新知探究例2（1）已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、新知探究例2（2）已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？解：（2）设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得2（x＋y）＝36，即x＋y＝18．因为x＞0，y＞0，所以因此≤9，即xy≤81．当且仅当x＝y时，等号成立，由

，可知此时x＝y＝9．因此，当矩形的长和宽都是9时，它的面积最大，最大面积为81．人教B版（2019）高中数学必修第一册第二章《均值不等式及其应用》第1课时课件【精品】人教B版（2019）高中数学必修第一册第二章《均值不等式及其应用》第1课时课件【精品】新知探究例2（2）已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽新知探究方法总结：求实际问题中最值的一般思路：（1）读懂题意，设出变量，列出函数关系式；（3）在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑用均值不等式，当用均值不等式求最值的条件不具备时，再考虑利用第三章要学习的函数的单调性求解．（2）把实际问题转化为求函数的最大值或最小值问题；（4）正确地写出答案．人教B版（2019）高中数学必修第一册第二章《均值不等式及其应用》第1课时课件【精品】人教B版（2019）高中数学必修第一册第二章《均值不等式及其应用》第1课时课件【精品】新知探究方法总结：求实际问题中最值的一般思路：（1）读懂题意新知探究（1）已知a为大于0的常数，x＞0，求y＝x＋

的最小值，并求y取得最小值时相应的x的值；（2）已知x＜0，求y＝x＋

的最大值，并求y取得最大值时相应x的值；（3）已知x＞1，求y＝x＋

的最小值，并求y取得最小值时相应x的值；（4）已知x＜1，求y＝x＋

的最大值，并求y取得最大值时相应x的值．人教B版（2019）高中数学必修第一册第二章《均值不等式及其应用》第1课时课件【精品】人教B版（2019）高中数学必修第一册第二章《均值不等式及其应用》第1课时课件【精品】新知探究（1）已知a为大于0的常数，x＞0，求y＝x＋新知探究（2）当x＝－1时，y有最大值为一2；（3）当x＝2时，y有最小值为3；（4）当x＝0时，y有最大值为一1．参考答案：（1）当x＝

时，y有最小值为

；人教B版（2019）高中数学必修第一册第二章《均值不等式及其应用》第1课时课件【精品】人教B版（2019）高中数学必修第一册第二章《均值不等式及其应用》第1课时课件【精品】新知探究（2）当x＝－1时，y有最大值为一2；（3）当x＝2归纳小结回顾本节课，你有什么收获？（1）什么叫均值不等式？如何证明？（2）均值不等式的几何意义是什么？（3）如何利用均值不等式求最值？人教B版（2019）高中数学必修第一册第二章《均值不等式及其应用》第1课时课件【精品】人教B版（2019）高中数学必修第一册第二章《均值不等式及其应用》第1课时课件【精品】归纳小结回顾本节课，你有什么收获？（1）什么叫均值不等式？如作业：教科书P76练习B1，2，4．作业布置人教B版（2019）高中数学必修第一册第二章《均值不等式及其应用》第1课时课件【精品】人教B版（2019）高中数学必修第一册第二章《均值不等式及其应用》第1课时课件【精品】作业：教科书P76练习B1，2，4．作业布置人教B版（20再见人教B版（2019）高中数学必修第一册第二章《均值不等式及其应用》第1课时课件【精品】人教B版（2019）高中数学必修第一册第二章《均值不等式及其应用》第1课时课件【精品】再见人教B版（2019）高中数学必修第一册第二章《均值不等式262.2.4均值不等式及其应用第1课时2.2.4均值不等式及其应用第1课时27问题1阅读课本第71~75页，回答下列问题：整体概览（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？问题1阅读课本第71~75页，回答下列问题：整体概览（1）问题1阅读课本第71~75页，回答下列问题：整体概览（1）本节将要研究均值不等式及其应用．（2）起点是不等式的性质以及比较法，目标是知道均值不等式，会证明均值不等式定理，会用均值不等式解决简单的最大（小）问题．进一步提升数学运算、逻辑推理等素养．（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？问题1阅读课本第71~75页，回答下列问题：整体概览（1）情境与问题问题给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值；数称为a，b的几何平均值．两个数的算术平均值，实质上是这两个数在数轴上对应的点的中点坐标，那么几何平均值有什么几何意义呢？两个数的算术平均值和几何平均值之间有什么相对大小关系呢？情境与问题问题给定两个正数a，b，数称情境与问题【尝试与发现】（1）假设一个矩形的长和宽分别为a和b，求与这个矩形周长相等的正方形的边长，以及与这个矩形面积相等的正方形的边长，并比较这两个边长的大小；（2）如下表所示，再任意取几组正数，算出它们的算术平均值和几何平均值，猜测一般情况下两个数的算术平均值与几何平均值的相对大小，并根据（1）说出结论的几何意义．情境与问题【尝试与发现】（1）假设一个矩形的长和宽分别为a和情境与问题a12b14131情境与问题a12b14131新知探究均值不等式如果a，b都是正数，那么

，当且仅当a＝b时，等号成立．证明因为a，b都是正数，所以即

而且，等号成立时，当且仅当，即a＝b．新知探究均值不等式如果a，b都是正数，那么新知探究均值不等式如果a，b都是正数，那么

，当且仅当a＝b时，等号成立．值得注意的是，均值不等式中的a，b可以是任意正实数，因此我们可以代入任意满足条件的数或式子，比如

一定是正确的．新知探究均值不等式如果a，b都是正数，那么新知探究均值不等式如果a，b都是正数，那么

，当且仅当a＝b时，等号成立．综合法证明如下：因为（a－b）2≥0，所以a2＋b2－2ab≥0，所以a2＋b2＋2ab－4ab≥0，即（a＋b）2≥4ab．又因为a＞0，b＞0，所以a＋b≥

，显然，当且仅当（a－b）2＝0，即a＝b时，等号成立．即

．新知探究均值不等式如果a，b都是正数，那么新知探究问题2均值不等式也称为基本不等式（基本不等式中的a，b还可以为零），其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值．那么，均值不等式有什么几何意义呢？将均值不等式两边平方可得≥ab．如果矩形的长和宽分别为a和b，那么矩形的面积为ab，

可以看成与矩形周长相等的正方形的面积，因此均值不等式的一个几何意义为：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大．新知探究问题2均值不等式也称为基本不等式（基本不等式中的a新知探究【想一想】你能推广这个结论吗？比如所有周长相等的三角形中，什么样的三角形面积最大？平面上，周长相等的所有封闭图形中，什么样的图形面积最大？正三角形，圆新知探究【想一想】你能推广这个结论吗？比如所有周长相等的三角新知探究问题3如图所示半圆中，AB为直径，O为圆心．已知AC＝a，BC＝b，D为半圆上一点，且DC⊥AB，算出OD和CD，是否可以给出均值不等式的另一个几何意义？ABDOC在RtΔABD中，由于DC⊥AB，利用射影定理可得CD＝

，又CO＝

，由图可知CO≥CD，所以

，变形为a＋b≥

．结论：均值不等式的几何意义是：一个圆的直径大于等于垂直该直径的弦．新知探究问题3如图所示半圆中，AB为直径，O为圆心．已知A新知探究例1（1）已知x＞0，求y＝x＋的最小值，并说明x为何值时y取得最小值．（2）已知x∈（－1，3），求y＝（1＋x）（3－x）的最大值，以及y取得最大值时x的值．（3）求函数y＝x（1－x），x∈[，1）的最大值．新知探究例1（1）已知x＞0，求y＝x＋的最小值，并新知探究例1（1）已知x＞0，求y＝x＋的最小值，并说明x为何值时y取得最小值．解：（1）因为x＞0，所以根据均值不等式有解得x＝1或x＝－1（舍）．其中等号成立当且仅当x＝，即x2＝1，因此x＝1时，y取得最小值2．新知探究例1（1）已知x＞0，求y＝x＋的最小值，并新知探究例1（2）已知x∈（－1，3），求y＝（1＋x）（3－x）的最大值，以及y取得最大值时x的值．解：（2）当x∈（－1，3）时，一1＜x＜3，因此1＋x＞0，3一x＞0．当且仅当1＋x＝3－x，即x＝1时，等号成立．从而（1＋x）（3－x）≤4，即y≤4．由均值不等式可得

，从而x＝1时，y取得最大值4．新知探究例1（2）已知x∈（－1，3），求y＝（1＋x）（解：（3）错解：由

≤x＜1，易知1－x＞0，新知探究例1（3）求函数y＝x（1－x），x∈[，1）的最大值．从而y＝x（1－x）≤

＝

．所以y的最大值为．正解：y＝x（1－x）＝－x2＋x＝－（x－

）2＋

，当x＝

时，ymax＝

．人教B版（2019）高中数学必修第一册第二章《均值不等式及其应用》第1课时课件【精品】人教B版（2019）高中数学必修第一册第二章《均值不等式及其应用》第1课时课件【精品】解：（3）错解：由≤x＜1，易知1－x＞0，新知探新知探究（1）在利用均值不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”：一正，a，b均为正数；二定，不等式一边为定值；三相等，不等式中的等号能取到，即a＝b有解．（2）两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．（3）利用均值不等式求最值时，等号必须取得到才能求出最值，若题设条件中的限制条件使等号不能成立，则要转换到另一种形式解答．人教B版（2019）高中数学必修第一册第二章《均值不等式及其应用》第1课时课件【精品】人教B版（2019）高中数学必修第一册第二章《均值不等式及其应用》第1课时课件【精品】新知探究（1）在利用均值不等式求最值时要注意“一正、二定、三新知探究例2（1）已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？（2）已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？在（1）中，矩形的长与宽的积是一个常数，要求长与宽之和的两倍的最小值；在（2）中，矩形的长与宽之和的两倍是一个常数，要求长与宽的积的最大值．人教B版（2019）高中数学必修第一册第二章《均值不等式及其应用》第1课时课件【精品】人教B版（2019）高中数学必修第一册第二章《均值不等式及其应用》第1课时课件【精品】新知探究例2（1）已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、新知探究例2（1）已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？解：（1）设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得xy＝100．因此，当矩形的长和宽都是10时，它的周长最短，最短周长为40．当且仅当x＝y时，等号成立，所以2（x＋y）≥40．因为x＞0，y＞0，所以由

，可知此时x＝y＝10．人教B版（2019）高中数学必修第一册第二章《均值不等式及其应用》第1课时课件【精品】人教B版（2019）高中数学必修第一册第二章《均值不等式及其应用》第1课时课件【精品】新知探究例2（1）已知矩形的面积为100，则这个矩形的长、新知探究例2（2）已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？解：（2）设矩形的长与宽分别为x与y，依题意得2（x＋y）＝36，即x＋y＝18．因为x＞0，y＞0，所以因此≤9，即xy≤81．当且仅当x＝y时，等号成立，由

，可知此时x＝y＝9．因此，当矩形的长和宽都是9时，它的面积最大，最大面积为81．人教B版（2019）高中数学必修第一册第二章《均值不等式及其应用》第1课时课件【精品】人教B版（2019）高中数学必修第一册第二章《均值不等式及其应用》第1课时课件【精品】新知探究例2（2）已知矩形的周长为36，则这个矩形的长、宽新知探究方法总结：求实际问题中最值的一般思路：（1）读懂题意，设出变量，列出函数关系式；（3）在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑用均值不等式，当用均值不等式求最值的条件不具备时，再考虑利用第三章要学习的函数的单调性求解．（2）把实际问题转化为求函数的最大值或最小值问题；（4）正确地写出答案．人教B版（2019）高中数学必修第一册第二章《均值不等式及其应用》第1课时课件【精品】人教B版（2019）高中数学必修第一册第二章《均值不等式及其应用》第1课时课件【精品】新知探