微分方程复习要点培训资料课件

1．一阶微分方程2．可降阶的二阶微分方程3．二阶线性微分方程的解的结构4．二阶常系数线性微分方程一、第七章要点1．一阶微分方程一、第七章要点1．一阶微分方程1)可分离变量的微分方程解法类型2)一阶线性微分方程类型解法1．一阶微分方程1)可分离变量的微分方程解法类型2)一阶线性3)齐次方程此为变量可分离的微分方程．类型解法令，则．原方程变为3)齐次方程此为变量可分离的微分方程．类型解法令4)伯努利方程为一阶线性微分方程．类型解法令，则原方程变为4)伯努利方程为一阶线性微分方程．类型解法令2．可降阶的二阶微分方程方法作次积分．新方程是一个一阶微分方程．1)类型2)类型方法令，则原方程转变为2．可降阶的二阶微分方程方法作次积分．新方程新方程是一个一阶微分方程．3)类型方法令，则原方程转变为新方程是一个一阶微分方程．3)类型方法令3．二阶线性微分方程的解的结构设二阶线性微分方程而称方程为方程⑴所对应的齐次线性方程．有⑴⑵1)若是方程⑵的线性无关解，则方程⑵有通解3．二阶线性微分方程的解的结构设二阶线性微分方程而称方程为方的一个特解．2)若是方程⑴的特解，则方程⑴有通解3)若是方程的特解，则为方程的一个特解．2)若是方程⑴的特解，则方程⑴有通解34．二阶常系数线性微分方程1)二阶常系齐次数线性微分方程设方程相应的特征方程为则：①若方程有两个不同的实根，则方程的通解为4．二阶常系数线性微分方程1)二阶常系齐次数线性微分方程设方②若方程有两个相同的实根，则方程的通解为③若方程有一对共轭复根，则方程的通解为②若方程有两个相同的实根，则方程的通2)二阶常系数非齐次线性微分方程①设方程为则方程有特解其中是一个与同次的多项式，而若不是特征方程的根，若是特征方程的单根，若是特征方程的二重根．2)二阶常系数非齐次线性微分方程①设方程为则方程有特解其中②设方程则方程有特解其中是次的多项式，，而

按是否为特征方程的根而分别取1或0．②设方程则方程有特解其中二、例题选讲解此方程为一个可分离变量的微分方程．分离变量，因得例1求解方程．二、例题选讲解此方程为一个可分离变量的微分方程两边积分，得即得原方程的通解两边积分，得即得原方程的通解解原方程变形后为齐次方程例2求解方程，．作变换，则有解原方程变形后为齐次方程例2求解方程移项，得两边积分，得将代入，有移项，得两边积分，得将代入，有即满足初始条件的解为由初始条件，得，即原方程的解为即满足初始条件的解为由初始条件解原方程变形为即例3求微分方程的通解．此是关于函数的一阶线性非齐次线性微分方程，由求解公式得解原方程变形为即例3求微分方程微分方程复习要点培训资料课件分离变量，得两边积分，得例4求解微分方程．解法1此方程为齐次方程，作代换，则有分离变量，得两边积分，得例4求解微分方程故方程的通解为即由于故方程的通解为即由于解法2方程变形为故方程的通解为代回原变量，得此方程为贝努利方程，此时令，则有解法2方程变形为故方程的通解为代回原变量，得此方程为贝例5求解下列方程即方程的解为1.；2.．解1.此方程不含变量，故令变换，则方程为例5求解下列方程即方程的解为1.即所以，方程的通解为即所以，方程的通解为方程变形为即有2.此方程中不含变量，作变换，则方程变形为即有2.此方程中不含变量，作变换解得即分离变量后，再两边积分得从而得方程的通解由，得方程的解为．由解得即分离变量后，再两边积分得从而得方程的通解由例6求下列方程的通解解1.特征方程为解得，由此得到方程的通解1.；2.；3.．例6求下列方程的通解解1.特征方程为解得则2.特征方程为，因而齐次方程的通解为由于为单根，故可设方程的特解为则2.特征方程为代入方程后，比较系数得所以因而方程的通解为代入方程后，比较系数得所以因而方程的通解为代入到原方程，得3.特征方程为，解得，所以齐次方程的通解为注意到不是特征方程的根，故方程的特解可设为代入到原方程，得3.特征方程为1．一阶微分方程2．可降阶的二阶微分方程3．二阶线性微分方程的解的结构4．二阶常系数线性微分方程一、第七章要点1．一阶微分方程一、第七章要点1．一阶微分方程1)可分离变量的微分方程解法类型2)一阶线性微分方程类型解法1．一阶微分方程1)可分离变量的微分方程解法类型2)一阶线性3)齐次方程此为变量可分离的微分方程．类型解法令，则．原方程变为3)齐次方程此为变量可分离的微分方程．类型解法令4)伯努利方程为一阶线性微分方程．类型解法令，则原方程变为4)伯努利方程为一阶线性微分方程．类型解法令2．可降阶的二阶微分方程方法作次积分．新方程是一个一阶微分方程．1)类型2)类型方法令，则原方程转变为2．可降阶的二阶微分方程方法作次积分．新方程新方程是一个一阶微分方程．3)类型方法令，则原方程转变为新方程是一个一阶微分方程．3)类型方法令3．二阶线性微分方程的解的结构设二阶线性微分方程而称方程为方程⑴所对应的齐次线性方程．有⑴⑵1)若是方程⑵的线性无关解，则方程⑵有通解3．二阶线性微分方程的解的结构设二阶线性微分方程而称方程为方的一个特解．2)若是方程⑴的特解，则方程⑴有通解3)若是方程的特解，则为方程的一个特解．2)若是方程⑴的特解，则方程⑴有通解34．二阶常系数线性微分方程1)二阶常系齐次数线性微分方程设方程相应的特征方程为则：①若方程有两个不同的实根，则方程的通解为4．二阶常系数线性微分方程1)二阶常系齐次数线性微分方程设方②若方程有两个相同的实根，则方程的通解为③若方程有一对共轭复根，则方程的通解为②若方程有两个相同的实根，则方程的通2)二阶常系数非齐次线性微分方程①设方程为则方程有特解其中是一个与同次的多项式，而若不是特征方程的根，若是特征方程的单根，若是特征方程的二重根．2)二阶常系数非齐次线性微分方程①设方程为则方程有特解其中②设方程则方程有特解其中是次的多项式，，而

按是否为特征方程的根而分别取1或0．②设方程则方程有特解其中二、例题选讲解此方程为一个可分离变量的微分方程．分离变量，因得例1求解方程．二、例题选讲解此方程为一个可分离变量的微分方程两边积分，得即得原方程的通解两边积分，得即得原方程的通解解原方程变形后为齐次方程例2求解方程，．作变换，则有解原方程变形后为齐次方程例2求解方程移项，得两边积分，得将代入，有移项，得两边积分，得将代入，有即满足初始条件的解为由初始条件，得，即原方程的解为即满足初始条件的解为由初始条件解原方程变形为即例3求微分方程的通解．此是关于函数的一阶线性非齐次线性微分方程，由求解公式得解原方程变形为即例3求微分方程微分方程复习要点培训资料课件分离变量，得两边积分，得例4求解微分方程．解法1此方程为齐次方程，作代换，则有分离变量，得两边积分，得例4求解微分方程故方程的通解为即由于故方程的通解为即由于解法2方程变形为故方程的通解为代回原变量，得此方程为贝努利方程，此时令，则有解法2方程变形为故方程的通解为代回原变量，得此方程为贝例5求解下列方程即方程的解为1.；2.．解1.此方程不含变量，故令变换，则方程为例5求解下列方程即方程的解为1.即所以，方程的通解为即所以，方程的通解为方程变形为即有2.此方程中不含变量，作变换，则方程变形为即有2.此方程中不含变量，作变换解得即分离变量后，再两边积分得从而得方程的通解由，得方程的解为．由解得即分离变量后，再两边积分得从而得方程的通解由例6求下列方程的通解解1.特征方程为解得，由此得到方程的通解1.；2.；3.．例6求下列方程的通解解1.特征方程为解得则2.特征方程为，因而齐次方程的通解为由于为单根，故可设方程的特解为则2.特征方程为代入方程后，比较系数得所以因而方程的通解为代入方程后，比较系数得所以因而方程的通解为代入到原方程，得3.特征方程为，解得，所以齐次方程的通解为注意到不是特征方程的根，故方程的特解可设为代入到原方程，得3.特征方程为1．一阶微分方程2．可降阶的二阶微分方程3．二阶线性微分方程的解的结构4．二阶常系数线性微分方程一、第七章要点1．一阶微分方程一、第七章要点1．一阶微分方程1)可分离变量的微分方程解法类型2)一阶线性微分方程类型解法1．一阶微分方程1)可分离变量的微分方程解法类型2)一阶线性3)齐次方程此为变量可分离的微分方程．类型解法令，则．原方程变为3)齐次方程此为变量可分离的微分方程．类型解法令4)伯努利方程为一阶线性微分方程．类型解法令，则原方程变为4)伯努利方程为一阶线性微分方程．类型解法令2．可降阶的二阶微分方程方法作次积分．新方程是一个一阶微分方程．1)类型2)类型方法令，则原方程转变为2．可降阶的二阶微分方程方法作次积分．新方程新方程是一个一阶微分方程．3)类型方法令，则原方程转变为新方程是一个一阶微分方程．3)类型方法令3．二阶线性微分方程的解的结构设二阶线性微分方程而称方程为方程⑴所对应的齐次线性方程．有⑴⑵1)若是方程⑵的线性无关解，则方程⑵有通解3．二阶线性微分方程的解的结构设二阶线性微分方程而称方程为方的一个特解．2)若是方程⑴的特解，则方程⑴有通解3)若是方程的特解，则为方程的一个特解．2)若是方程⑴的特解，则方程⑴有通解34．二阶常系数线性微分方程1)二阶常系齐次数线性微分方程设方程相应的特征方程为则：①若方程有两个不同的实根，则方程的通解为4．二阶常系数线性微分方程1)二阶常系齐次数线性微分方程设方②若方程有两个相同的实根，则方程的通解为③若方程有一对共轭复根，则方程的通解为②若方程有两个相同的实根，则方程的通2)二阶常系数非齐次线性微分方程①设方程为则方程有特解其中是一个与同次的多项式，而若不是特征方程的根，若是特征方程的单根，若是特征方程的二重根．2)二阶常系数非齐次线性微分方程①设方程为则方程有特解其中②设方程则方程有特解其中是次的多项式，，而

按是否为特征方程的根而分别取1或0．②设方程则方程有特解其中二、例题选讲解此方程为一个可分离变量的微分方程．分离变量，因得例1求解方程．二、例题选讲解此方程为一个可分离变量的微分方程两边积分，得即得原方程的通解两边积分，得即得原方程的通解解原方程变形后为齐次方程例2求解方程，．作变换，则有解原方程变形后为齐次方程例2求解方程移项，得两边积分，得将代入，有移项，得两边积分，得将代入，有即满足初始条件的解为由初始条件，得，即原方程的解为即满足初始条件的解为由初始条件解原方程变形为即例3求微分方程的通解．此是关于函数的一阶线性非齐次线性微分方程，由求解公式得解原方程变形为即例3求微分方程微分方程复习要点培训资料课件分离变量，得两边积分，得例4求解微分方程．解法1此方程为齐次方程，作代换，则有分离变量，得两边积分，得例4求解微分方程故方程的通解为即由于故方程的通解为即由于解法2方程变形为故方程的通解为代回原变量，得此方程为贝努利方程，此时令，则有解法2方程变形为故方程的通解为代回原变量，得此方程为贝例5求解下列方程即方程的解为1.；2.．解1.此方程不含变量，故令变换，则方程为例5求解下列方程即方程的解为1.即所以，方程的通解为即所以，方程的通解为方程变形为即有2.此方程中不含变量，作变换，则方程变形为即有2.此方程中不含变量，作变换解得即分离变量后，再两边积分得从而得方程的通解由，得方程的解为．由解得即分离变量后，再两边积分得从而得方程的通解由例6求下列方程的通解解1.特征方程为解得，由此得到方程的通解1.；2.；3.．例6求下列方程的通解解1.特征方程为解得则2.特征方程为，因而齐次方程的通解为由于为单根，故可设方程的特解为则2.特征方程为代入方程后，比较系数得所以因而方程的通解为代入方程后，比较系数得所以因而方程的通解为代入到原方程，得3.特征方程为，解得，所以齐次方程的通解为注意到不是特征方程的根，故方程的特解可设为代入到原方程，得3.特征方程为1．一阶微分方程2．可降阶的二阶微分方程3．二阶线性微分方程的解的结构4．二阶常系数线性微分方程一、第七章要点1．一阶微分方程一、第七章要点1．一阶微分方程1)可分离变量的微分方程解法类型2)一阶线性微分方程类型解法1．一阶微分方程1)可分离变量的微分方程解法类型2)一阶线性3)齐次方程此为变量可分离的微分方程．类型解法令，则．原方程变为3)齐次方程此为变量可分离的微分方程．类型解法令4)伯努利方程为一阶线性微分方程．类型解法令，则原方程变为4)伯努利方程为一阶线性微分方程．类型解法令2．可降阶的二阶微分方程方法作次积分．新方程是一个一阶微分方程．1)类型2)类型方法令，则原方程转变为2．可降阶的二阶微分方程方法作次积分．新方程新方程是一个一阶微分方程．3)类型方法令，则原方程转变为新方程是一个一阶微分方程．3)类型方法令3．二阶线性微分方程的解的结构设二阶线性微分方程而称方程为方程⑴所对应的齐次线性方程．有⑴⑵1)若是方程⑵的线性无关解，则方程⑵有通解3．二阶线性微分方程的解的结构设二阶线性微分方程而称方程为方的一个特解．2)若是方程⑴的特解，则方程⑴有通解3)若是方程的特解，则为方程的一个特解．2)若是方程⑴的特解，则方程⑴有通解34．二阶常系数线性微分方程1)二阶常系齐次数线性微分方程设方程相应的特征方程为则：①若方程有两个不同的实根，则方程的通解为4．二阶常系数线性微分方程1)二阶常系齐次数线性微分方程设方②若方程有两个相同的实根，则方程的通解为③若方程有一对共轭复根，则方程的通解为②若方程有两个相同的实根，则方程的通2)二阶常系数非齐次线性微分方程①设方程为则方程有特解其中是一个与同次的多项式，而若不是特征方程的根，若是特征方程的单根，若是特征方程的二重根．2)二阶常系数非齐次线性微分方程①设方程为则方程有特解其中②设方程则方程有特解其中是次的多项式，，而

按是否为特征方程的根而分别取1或0．②设方程则方程有特解其中二、例题选讲解此方程为一个可分离变量的微分方程．分离变量，因得例1求解方程．二、例题选讲解此方程为一个可分离变量的微分方程两边积分，得即得原方程的通解两边积分，得即得原方程的通解解原方程变形后为齐次方程例2求解方程，．作变换，则有解原方程变形后为齐次方程例2求解方程移项，得两边积分，得将代入，有移项，得两边积分，得将代入，有即满足初始条件的解为由初始条件，得，即原方程的解为即满足初始条件的解为由初始条件解原方程变形为即例3求微分方程