简单线性规划的应用

PAGEPAGE5简单线性规划的应用双基达标限时20分钟某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为a1、b1千克，生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为a2、b2千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为d1、d2元．月初一次性购进本月用的原料A、B各c1、c2千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大．在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x千克、y千克，月利润总额为z元，那么，用于求使总利润z＝d1x＋d2y最大的数学模型中，约束条件为()．A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1x＋a2y≥c1，,b1x＋b2y≥c2，,x≥0，,y≥0))B.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1x＋b1y≤c1，,a2x＋b2y≤c2，,x≥0，,y≥0))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1x＋a2y≤c1，,b1x＋b2y≤c2，,x≥0，,y≥0))D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1x＋a2y＝c1，,b1x＋b2y＝c2，,x≥0，,y≥0))解析比较选项可知C正确．答案C2.车间有男工25人，女工20人，要组织甲、乙两种工作小组，甲组要求有5名男工，3名女工，乙组要求有4名男工，5名女工，并且要求甲种组数不少于乙组，乙种组数不少于1组，则最多各能组成工作小组为()．A．甲4组、乙2组B．甲2组、乙4组C．甲、乙各3组D．甲3组、乙2组解析设甲、乙两种工作小组分别有x、y组，依题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋4y≤25，,3x＋5y≤20，,x≥y，,y≥1.))作出可行域可知(3,2)符合题意，即甲3组，乙2组．答案D3．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价为60元和70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买三片，磁盘至少买两盒，则不同的购买方式共有()．A．5种B．6种C．7种D．8种解析设买x片软件，y盒磁盘，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(60x＋70y≤500，,x≥3，x∈N＋，,y≥2，y∈N＋，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6x＋7y≤50，,x≥3，x∈N＋，,y≥2，y∈N＋.))当x＝3时，y可取2,3,4；当x＝4时，y可取2,3.当x＝5时，y可取2；当x＝6时，y取2.答案C4．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：ab/万吨c/百万元A50%13B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．解析设购买铁矿石A为x万吨，购买铁矿石B为y万吨，则根据题意得到约束条件为：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,0.5x＋0.7y≥1.9，,x＋0.5y≤2，))则z＝3x＋6y，当目标函数经过(1,2)点时取得最小值为：zmin＝3×1＋6×2＝15.答案155．某公司租赁甲、乙两种设备生产A、B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元．现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，则所需租赁费最少为________元．解析设需租赁甲种设备x天，乙种设备y天．租赁费为z元．根据题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋6y≥50，,10x＋20y≥140，,x≥0且x∈N，,y≥0且y∈N.))z＝200x＋300y.如图可知z在A(4,5)处取到最小值，zmin＝4×200＋5×300＝2300.答案23006．已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和260万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地，东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/吨和1.5元/吨，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8元/吨和1.6元/吨，煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？解设甲煤矿向东车站运x万吨煤，乙煤矿向东车站运y万吨煤，总运费为z元，那么总运费z＝x＋1.5(200－x)＋0.8y＋1.6(260－y)，即z＝716－0.5x－0.8y.x，y应满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,200－x≥0，,260－y≥0，,x＋y≤280，,200－x＋260－y≤360，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤200，,0≤y≤260，,x＋y≤280，,x＋y≥100.))作出可行域(略)．作直线l：716－0.5x－0.8y＝0，当l移至260－y＝0和x＋y＝280的交点M时，z取最小值．因为点M的坐标为(20,260)，所以甲煤矿生产的煤向东车站运20万吨，向西车站运180万吨，乙煤矿生产的煤全部运往东车站时，总运费最少．综合提高（限时25分钟）7．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙的投资的eq\f(2,3)倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为()．A．36万元B．31.2万元C．30.4万元D．24万元解析设对甲、乙两个项目分别投资x，y万元，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(2,3)y，,x≥5，,y≥5，,x＋y≤60.))作出可行域如右图阴影所示，最大利润为L＝0.4x＋0.6y.在点P处有最大值，而P(24,36)，故L＝0.4×24＋0.6×36＝31.2.答案B8．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是()．A．12万元B．20万元C．25万元D．27万元解析设生产甲产品x吨、乙产品y吨，则获得的利润为z＝5x＋3y.由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,3x＋y≤13，,2x＋3y≤18，))可行域如图阴影所示．由图可知当x、y在A点取值时，z取得最大值，此时x＝3，y＝4，z＝5×3＋3×4＝27(万元)．答案D9．某人承揽一项业务，需做文字标牌2个，绘画标牌3个，现有两种规格的原料，甲种规格每张3m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，为了使总用料面积最小，则甲种规格的原料应用________张，乙种规格的原料应用________张．解析设甲种规格的原料应用x张，乙种规格的原料应用y张，根据题意得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≥2，,2x＋y≥3，,x，y∈N.))目标函数z＝3x＋2y.画出可行域(图略)，由图知当x＝1，y＝1时，z最小．答案1110．某生产车间生产甲、乙两种产品，已知制造一件甲种产品需要原材料A5个、原材料B3个；制造一件乙种产品需要原材料A3个、原材料B3个；现有原材料A180个，原材料B135个．据市场调查知，每件甲产品可获利润20元，每件乙产品可获利润15元，在现有条件下，生产获得最大利润为________．解析设生产甲产品x件，乙产品y件，获得利润为z元，则z＝20x＋15y，根据题意有：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，x∈N＋，,y≥0，y∈N＋，,5x＋3y≤180，,3x＋3y≤135.))z＝20x＋15y，作出可行域，如图，由图可知，当直线z＝20x＋15y过点A时，z取得最大值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋3y＝180，,3x＋3y＝135，))得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(45,2)，\f(45,2))).因为x，y都是正整数，所以易知当x＝22，y＝23时，z有最大值为20×22＋15×23＝785(元)．答案785元11．有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种工具运输，每天每艘轮船可运300t粮食和250t石油，每架飞机可运150t粮食和100t石油，现在要在一天内运输完2000t粮食和1500t石油，且使轮船和飞机的数量之和最小，需安排多少艘轮船和多少架飞机？解设需安排x艘轮船和y架飞机，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300x＋150y≥2000，,250x＋100y≥1500，,x≥0，x∈N，,y≥0，y∈N.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6x＋3y≥40，,5x＋2y≥30，,x≥0，x∈N，,y≥0，y∈N.))且目标函数z＝x＋y.画出可行域如图所示，作l：x＋y＝0.则l的平行线l′经过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\f(1,3)，6\f(2,3)))时，z最小，但A为非整数点，不是此题最优解，当l′过B(4,6)时最优，故需轮船4艘，飞机6架.12．(创新拓展)某家具厂有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1m3，五合板2m2，生产每个书橱需要方木料0.2m3，五合板1m2.出售一张方书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．怎样安排生产可使所得利润最大？解由题意可列表格如下：方木料(m3)五合板(m2)利润(元)书桌(个)0.1280书橱(个)0.21120设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元．则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0.1x＋0.2y≤90，,2x＋y≤600，,x∈N，,y∈N，))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤900，,2x＋y≤600，,x∈N，,y∈N.))z＝80x＋12