5-第五章-图像恢复课件

《数字图像处理》研究生课程第五章图像恢复李俊山主讲第二炮兵工程学院《数字图像处理》研究生课程第五章图像恢复1图像恢复，是一种使退化了的图像去除退化因素，并以最大保真度恢复成原来图像的技术。

图像恢复与图像增强的研究内容有一定的交叉性。

◆图像增强是一种改进图像视觉效果的技术；

◆图像恢复是一种对退化（或品质下降）了的图像去除退化因素，并进而复原或重建被退化了的图像的技术。图像恢复，是一种使退化了的图像去除退化因素，并以最大25.1图像的退化模型

进行图像恢复的基本思路就是找出使原图像退化的因素，将图像的退化过程模型化，并据此采用相反的过程对图像进行处理，从而尽可能地恢复出原图像来。

5.1图像的退化模型进行图像恢复的基本思路35.1图像的退化模型5.1.1常见退化现象的物理模型图5.1常见的4种退化现象的物理模型示意图

5.1图像的退化模型5.1.1常见退化现象的物理模型45.1图像的退化模型5.1.2图像退化模型的表示

图像的退化过程可以理解为施加于原图像上的运算和噪声两者联合作用的结果，由此可得到图像的退化模型为：

并可以表示为：

（5.1）

5.1图像的退化模型5.1.2图像退化模型的表示55.1图像的退化模型5.1.3离散退化模型

1.一维离散退化模型

设f(x)是具有A个均匀采样值的一维离散函数，h(x)为具有C个均匀采样值的系统脉冲响应，g(x)是系统的输出函数。当利用卷积计算时，由A个样本表示的函数与由C个样本表示的另一个函数进行卷积将得到A+C-1个样本序列。5.1图像的退化模型5.1.3离散退化模型1.一65.1.3离散退化模型

1.一维离散退化模型（续1）由于离散卷积和离散傅里叶变换均是针对周期函数定义的，为了避免离散卷积的周期性序列之间发生相互重叠现象，必须对函数和进行周期性延拓，并取M=A+C-1，则有：5.1.3离散退化模型1.一维离散退化模型（续1）75.1.3离散退化模型

1.一维离散退化模型（续2）也即：（5.2）

（5.3）

这时，fe(x)和he(x)均成为周期长度为M的周期性离散函数，且它们两者的卷积为：

（5.4）

5.1.3离散退化模型1.一维离散退化模型（续2）（85.1.3离散退化模型

1.一维离散退化模型（续3）若设：（5.5）（5.6）则可以将式（5.4）改写成矩阵表示形式：

(5.7)5.1.3离散退化模型1.一维离散退化模型（续3）（95.1.3离散退化模型

1.一维离散退化模型（续4）根据he(x)的周期性可知有he(x)=he(x+M)，所以可以将式(5.6)中的H进一步写成：(5.8)

可以看出，矩阵H是一个循环矩阵。5.1.3离散退化模型1.一维离散退化模型（续4）(105.1.3离散退化模型

2.二维离散退化模型设f(x,y)具有A×B个均匀采样值，h(x,y)具有C×D个均匀采样值，并把它们都周期性地延拓成M×N个样本。即有：

（5.9）

（5.10）

5.1.3离散退化模型2.二维离散退化模型设115.1.3离散退化模型

2.二维离散退化模型这时，fe(x,y)和he(x,y)均成为在x和y方向上周期长度分别为M和N的二维周期性离散函数，且它们两者的卷积为：（5.11）

5.1.3离散退化模型2.二维离散退化模型这125.1.4图像的离散退化模型

如果把式（5.1）中的噪声项n(x,y)也离散化，并周期性地延拓成M×N个样本，并记为ne(x,y)，则退化图像的二维离散模型就可以表示成：（5.12）

5.1图像的退化模型5.1.4图像的离散退化模型如果把式（5.1）中135.1.4图像的离散退化模型

并进一步可以将式（5.12）表示成矩阵形式：

（5.13）

也即：

(5.14)且：

(5.15)5.1.4图像的离散退化模型并进一步可以将式（5145.2空间域图像的恢复

图像恢复分类方法：

◆按图像恢复系统的控制方式：自动恢复方法和交互式恢复方法；

◆按对图像恢复是否外加约束条件：无约束恢复方法和有约束恢复方法；

◆按空间域处理技术和频率域处理技术：空间域恢复方法和频率域恢复方法。5.2空间域图像的恢复图像恢复分类方法：155.2空间域图像的恢复

5.2.1基于最小二乘方的代数恢复方法

5.2空间域图像的恢复5.2.1基于最小二乘方的代数恢165.2.1基于最小二乘方的代数恢复方法

1.无约束的最小二乘方恢复由式（5.13）有：当叠加噪声n无法知道时，显然可从g–Hf获得n。由于g是已知的退化图像，所以如果取为f的估计，就可使在最小均方误差的意义下代替Hf，从而可把图像的恢复问题看作是对求下式的最小值：（5.16）

也即求退化后的实际图像g与退化图像的估值的模(范数)平方。这显然是典型的最小二乘方最佳估值问题。5.2.1基于最小二乘方的代数恢复方法1.无约束的最175.2.1基于最小二乘方的代数恢复方法

1.无约束的最小二乘方恢复(续1)对上式中原图像f的估值求偏导数，也即令：∴

（5.17）给上式两端同乘以得：

（5.18）5.2.1基于最小二乘方的代数恢复方法1.无约束的最185.2.1基于最小二乘方的代数恢复方法

1.无约束的最小二乘方恢复(续2)当图像矩阵的尺寸满足M=N，且H为满秩非奇异(即可逆)时，则有：式（5.19）说明：当已知H时，便可由g求出估f的值。（5.19）

5.2.1基于最小二乘方的代数恢复方法1.无约束的最195.2.1基于最小二乘方的代数恢复方法

2.有约束的最小二乘方恢复有约束的最小二乘方恢复方法需要知道噪声的模平方,可以证明，能用噪声的均值和方差表示为：

（5.20）可见，有约束的最小二乘方恢复方法只需要知道噪声的均值和方差。

下面先讨论有约束恢复的一般表示形式，然后在此基础上给出两种具体恢复方法。

5.2.1基于最小二乘方的代数恢复方法2.有约束的最205.2.1基于最小二乘方的代数恢复方法

2.有约束的最小二乘方恢复(续1)设对原图像施加某一线性运算，求在约束条件（5.21）下，使为最小的原图像f的最佳估计。这一问题实际上是求极值问题，故可使用拉格朗日乘数法来实现。5.2.1基于最小二乘方的代数恢复方法2.有约束的最215.2.1基于最小二乘方的代数恢复方法

2.有约束的最小二乘方恢复(续2)利用拉格朗日乘数法构造一辅助函数：

（5.22）令：

（5.23）5.2.1基于最小二乘方的代数恢复方法2.有约束的最225.2.1基于最小二乘方的代数恢复方法

2.有约束的最小二乘方恢复(续3)设，并带入式（5.23）可得：∴

（5.24）5.2.1基于最小二乘方的代数恢复方法2.有约束的最235.2.1基于最小二乘方的代数恢复方法

2.有约束的最小二乘方恢复(续4)由此可得恢复步骤为：

①选取一个r代入式（5.24），把求得的代入式（5.21）；

②当结果大于，减小r，返回①；

③当结果小于，增加r，返回①；

④重复上述迭代过程，直到式（5.21）满足为止。

5.2.1基于最小二乘方的代数恢复方法2.有约束的最245.2.1基于最小二乘方的代数恢复方法

2.有约束的最小二乘方恢复(续5)

2种基于有约束最小二乘方恢复方法的具体恢复方法:（1）最小均方误差滤波（维纳滤波）恢复

（2）最大熵约束恢复

√

5.2.1基于最小二乘方的代数恢复方法2.有约束的最255.2.1基于最小二乘方的代数恢复方法

◆图像恢复的病态性：在图像恢复中，由于在通常情况下是无法得知原图像的本来面目的，所以恢复后的图像只能是原图像的一种近似。其次，由于噪声具有随机性，这就使得模糊图像（即，被噪声污染了的图像）可能有无限多的可能情况，所以恢复后的图像不具有唯一性，这称为图像恢复的病态性。5.2.1基于最小二乘方的代数恢复方法◆图像恢复的病态性265.2.1基于最小二乘方的代数恢复方法

◆图像恢复的奇异性：

由式可知，在不考虑图像噪声的情况下要恢复原图像需要对矩阵H求逆，即：

（5.34）在实际中可能有逆矩阵不存在的情况，但却确实存在着与十分近似的解，这称为恢复问题的奇异性。

5.2.1基于最小二乘方的代数恢复方法◆图像恢复的奇异性275.2空间域图像的恢复

5.2.2匀速直线运动模糊的恢复方法

{自学}5.2空间域图像的恢复5.2.2匀速直线运动模糊的恢复285.3图像噪声与被噪声污染图像的恢复5.3.1常见的噪声及其概率密度函数

（1）高斯噪声高斯噪声是一种源于电子电路噪声和由低照明度或高温带来的传感器噪声。高斯噪声也称为正态噪声，其概率密度函数为：（5.48）其中，高斯随机变量z表示灰度值；μ表示z的平均值或期望值；σ表示z的标准差，而标准差的平方σ2称为z的方差。

5.3图像噪声与被噪声污染图像的恢复5.3.1常见的噪295.3图像噪声与被噪声污染图像的恢复5.3.1常见的噪声及其概率密度函数

高斯噪声是白噪声的一个特例。所谓白噪声，是指图像面上不同点的噪声是不相关的，其功率谱为常量，也即其强度不随频率的增加而衰减。

（1）高斯噪声（续1）5.3图像噪声与被噪声污染图像的恢复5.3.1常见的噪305.3图像噪声与被噪声污染图像的恢复5.3.1常见的噪声及其概率密度函数

（2）瑞利噪声瑞利噪声的概率密度函数为：概率密度的均值和方差分别为：

（5.49）

（5.50）

（5.51）

5.3图像噪声与被噪声污染图像的恢复5.3.1常见的噪315.3图像噪声与被噪声污染图像的恢复5.3.1常见的噪声及其概率密度函数

（2）瑞利噪声(续1)5.3图像噪声与被噪声污染图像的恢复5.3.1常见的噪325.3图像噪声与被噪声污染图像的恢复5.3.1常见的噪声及其概率密度函数

（3）均匀分布噪声均匀分布噪声的概率密度函数为：概率密度的期望值和方差分别为：

（5.52）

（5.53）

（5.54）

5.3图像噪声与被噪声污染图像的恢复5.3.1常见的噪335.3图像噪声与被噪声污染图像的恢复5.3.1常见的噪声及其概率密度函数

（3）均匀分布噪声（续1）5.3图像噪声与被噪声污染图像的恢复5.3.1常见的噪345.3.1常见的噪声及其概率密度函数

（4）脉冲噪声（椒盐噪声）

(双极)脉冲噪声的概率密度为：

（5.55）

式(5.55)表示的脉冲噪声在Pa或Pb均不可能为零，且在脉冲可能是正的，也可能是负值的情况下，称为双极脉冲噪声。5.3.1常见的噪声及其概率密度函数（4）脉冲噪声（355.3.1常见的噪声及其概率密度函数

（4）脉冲噪声（椒盐噪声）(续1)如果b>a，灰度b的值在图像中将显示一个亮点，而灰度a的值在图像中将显示一个暗点。如果Pa或Pb均不可能为零，尤其是它们近似相等时，脉冲噪声值就类似于随机分布在图像上的胡椒和盐粉微粒，所以双极脉冲噪声也称为椒盐噪声.式（5.55）表示的脉冲噪声如果Pa或Pb为零，则脉冲噪声称为单极脉冲噪声。通常情况下脉冲噪声总是数字化为允许的最大值或最小值，所以负脉冲以黑点(胡椒点)出现在图像中，正脉冲以白点（盐点）出现在图像中。

5.3.1常见的噪声及其概率密度函数（4）脉冲噪声365.3.1常见的噪声及其概率密度函数

（4）脉冲噪声（椒盐噪声）(续2)

实验表明：对于上述的四种噪声，椒盐噪声是唯一的一种引起退化的视觉可见的噪声类型。5.3.1常见的噪声及其概率密度函数（4）脉冲噪声（375.3图像噪声与被噪声污染图像的恢复设f(x,y)是一幅原图像，经过退化过程H(x,y)后，形成的退化图像为g(x,y)。当一幅图像中存在的唯一退化因素是噪声n(x,y)，并且噪声与图像不相关时，则在空间域中的退化图像就可以表示为：

在图像中仅存在噪声这唯一的一种退化因素的情况下，图像的恢复和图像的增强就几乎完全没有区别了，也就是说在4.4节中介绍的图像噪声消除方法同样可用于本节的图像恢复。

（5.56）5.3.2被噪声污染图像的恢复

5.3图像噪声与被噪声污染图像的恢复设f(x,y385.3.1常见的噪声及其概率密度函数1.谐波均值滤波设为g(x,y)退化图像，为恢复后的图像，Sxy表示中心在(x，y)点，尺寸为m×n的矩形子图像窗口的坐标。则对图像进行谐波均值滤波的谐波均值滤波器可表示为：

（5.57）谐波均值滤波器善于处理象高斯噪声那样的一类噪声，且对“盐”噪声处理效果很好，但不适用于对“胡椒”噪声的处理。5.3.1常见的噪声及其概率密度函数1.谐波均值滤波（395.3.1常见的噪声及其概率密度函数2.逆谐波均值滤波

对图像进行逆谐波均值滤波的逆谐波均值滤波器可表示为：

（5.58）其中，称为滤波器的阶数。逆谐波均值滤波器适合于减少和消除椒盐噪声。当为正数时，该滤波器用于消除“胡椒”噪声；当为负数时，该滤波器用于消除“盐”噪声。但它不能同时消除“胡椒”噪声和“盐”噪声。当=-1时，逆谐波均值滤波器就退变成谐波均值滤波器。5.3.1常见的噪声及其概率密度函数2.逆谐波均值滤波（405.3.1常见的噪声及其概率密度函数3.中点滤波

对图像进行中点滤波是指在中点滤波器涉及的范围内计算最大值和最小值之间的中点，中点滤波器定义为：（5.59）这种滤波器结合了顺序统计和求平均的优点，对于高斯和均匀随机分布类噪声有最好的效果。

5.3.1常见的噪声及其概率密度函数3.中点滤波（5.5415.3.1常见的噪声及其概率密度函数4.自适应中值滤波

自适应滤波是一种基于由矩形窗口定义的区域内图像的统计特性的一种滤波技术。最典型的自适应滤波器是自适应中值滤波器。与4.4.2节中讨论的中值滤波相比，自适应中值滤波可以处理具有更大概率的冲激噪声，并且在平滑非冲激噪声时可以保存细节，这是传统中值滤波器所无法做到的。5.3.1常见的噪声及其概率密度函数4.自适应中值滤波425.4几何失真的校正几种典型的几何失真:（a）原图像（b）透视失真（c）枕形失真（d）桶形失真

对图像的几何失真校正一般分为两步。首先是对图像进行坐标变换，也即对图像平面上的像素坐标位置进行校正或重新排列，以恢复其原空间关系；其次是进行灰度级插值，也即对空间变换后的图像的像素赋予相应的灰度值，以恢复其原空间位置上的灰度值。

5.4几何失真的校正几种典型的几何失真:（a）原图像435.4.1空间变换：坐标的几何校正

设原图像f(x,y)的坐标是x和y，几何畸变了的图像g(x’,y’)的坐标为x’和y’，则两个坐标之间的关系可以用如下变换描述为：其中，X(x,y)和Y(x,y)分别表示引起图像平面上位于(x,y)处的像素的坐标位置发生变化的单值映射变换函数。

（5.60）5.4几何失真的校正5.4.1空间变换：坐标的几何校正设原图像f(x445.4.1空间变换：坐标的几何校正

对于线性失真，X(x,y)和Y(x,y)可分别表示为：

（5.61）（5.62）对于非线性二次失真，X(x,y)和Y(x,y)可分别表示为：

（5.64）（5.63）其中，ai、bi为待定系数。

5.4.1空间变换：坐标的几何校正对于线性失真，455.4.1空间变换：坐标的几何校正

失真图像与校正后的图像的像素点的对应关系：

5.4.1空间变换：坐标的几何校正失真图像465.4.1空间变换：坐标的几何校正

假设四边形区域中的几何失真过程可用如下的双线性方程对来表示为：

（5.65）（5.66）把以上2个公式代入式（5.60）可得：（5.67）（5.68）5.4.1空间变换：坐标的几何校正假设四边475.4.1空间变换：坐标的几何校正

对于图5.5中的两个四边形来说，已知的对应点有4组共8个，根据式（5.67）和式（5.68）可有：

求解由上述8个关系式组成的方程组即可解出8个待定的系数ai、bi，i=1，2，3，4。再把这些系数带入由上述8个关系式组成方程组，就建立了校正四边形区域内所有像素点的空间变换公式（模型）。5.4.1空间变换：坐标的几何校正对于图5.5中48不管是原图像f(x,y)，还是产生了几何畸变的失真图像g(x’,y’)，其像素值都应定义在整数坐标上，也即x、y、x’、y’都应是整数值。然而在图像恢复过程中，根据确定的待定系数建立的空间变换模型计算出的x’和y’可能是非整数值，这样用非整数值的坐标位置(x’，y’)确定的一个到g的映射就会没有灰度定义，所以就要用其周围的整数坐标位置上的像素值来推算该非整数的坐标位置的像素值，实现这种功能的技术就称为灰度插值。5.2.2灰度插值：灰度值恢复5.4几何失真的校正不管是原图像f(x,y)，还是产生了几何畸变的失真图49最近邻插值法示意图:

5.2.2灰度插值：灰度值恢复5.4几何失真的校正所谓最近邻插值，就是将离(x’，y’)点最近的像素的灰度值看作是(x’，y’)点的灰度值赋给理想非失真图像的位于(x，y)处的像素。最近邻插值法示意图:5.2.2灰度插值：灰度值恢50利用最近邻插值法对图像几何畸变进行校正的步骤：（1）确定理想非失真图像和失真图像上的四边形及其对应点，并利用式(5.67)和式(5.68)建立方程组及其变换公式，把整数坐标(x，y)映射到非整数坐标(x’，y’)。（2）选择与(x’，y’)相邻最近的整数坐标。（3）把第（2）步确定的整数坐标处的像素值赋给位于(x，y)处的像素。5.2.2灰度插值：灰度值恢复5.4几何失真的校正利用最近邻插值法对图像几何畸变进行校正的步骤：5.251谢谢谢谢52《数字图像处理》研究生课程第五章图像恢复李俊山主讲第二炮兵工程学院《数字图像处理》研究生课程第五章图像恢复53图像恢复，是一种使退化了的图像去除退化因素，并以最大保真度恢复成原来图像的技术。

图像恢复与图像增强的研究内容有一定的交叉性。

◆图像增强是一种改进图像视觉效果的技术；

◆图像恢复是一种对退化（或品质下降）了的图像去除退化因素，并进而复原或重建被退化了的图像的技术。图像恢复，是一种使退化了的图像去除退化因素，并以最大545.1图像的退化模型

进行图像恢复的基本思路就是找出使原图像退化的因素，将图像的退化过程模型化，并据此采用相反的过程对图像进行处理，从而尽可能地恢复出原图像来。

5.1图像的退化模型进行图像恢复的基本思路555.1图像的退化模型5.1.1常见退化现象的物理模型图5.1常见的4种退化现象的物理模型示意图

5.1图像的退化模型5.1.1常见退化现象的物理模型565.1图像的退化模型5.1.2图像退化模型的表示

图像的退化过程可以理解为施加于原图像上的运算和噪声两者联合作用的结果，由此可得到图像的退化模型为：

并可以表示为：

（5.1）

5.1图像的退化模型5.1.2图像退化模型的表示575.1图像的退化模型5.1.3离散退化模型

1.一维离散退化模型

设f(x)是具有A个均匀采样值的一维离散函数，h(x)为具有C个均匀采样值的系统脉冲响应，g(x)是系统的输出函数。当利用卷积计算时，由A个样本表示的函数与由C个样本表示的另一个函数进行卷积将得到A+C-1个样本序列。5.1图像的退化模型5.1.3离散退化模型1.一585.1.3离散退化模型

1.一维离散退化模型（续1）由于离散卷积和离散傅里叶变换均是针对周期函数定义的，为了避免离散卷积的周期性序列之间发生相互重叠现象，必须对函数和进行周期性延拓，并取M=A+C-1，则有：5.1.3离散退化模型1.一维离散退化模型（续1）595.1.3离散退化模型

1.一维离散退化模型（续2）也即：（5.2）

（5.3）

这时，fe(x)和he(x)均成为周期长度为M的周期性离散函数，且它们两者的卷积为：

（5.4）

5.1.3离散退化模型1.一维离散退化模型（续2）（605.1.3离散退化模型

1.一维离散退化模型（续3）若设：（5.5）（5.6）则可以将式（5.4）改写成矩阵表示形式：

(5.7)5.1.3离散退化模型1.一维离散退化模型（续3）（615.1.3离散退化模型

1.一维离散退化模型（续4）根据he(x)的周期性可知有he(x)=he(x+M)，所以可以将式(5.6)中的H进一步写成：(5.8)

可以看出，矩阵H是一个循环矩阵。5.1.3离散退化模型1.一维离散退化模型（续4）(625.1.3离散退化模型

2.二维离散退化模型设f(x,y)具有A×B个均匀采样值，h(x,y)具有C×D个均匀采样值，并把它们都周期性地延拓成M×N个样本。即有：

（5.9）

（5.10）

5.1.3离散退化模型2.二维离散退化模型设635.1.3离散退化模型

2.二维离散退化模型这时，fe(x,y)和he(x,y)均成为在x和y方向上周期长度分别为M和N的二维周期性离散函数，且它们两者的卷积为：（5.11）

5.1.3离散退化模型2.二维离散退化模型这645.1.4图像的离散退化模型

如果把式（5.1）中的噪声项n(x,y)也离散化，并周期性地延拓成M×N个样本，并记为ne(x,y)，则退化图像的二维离散模型就可以表示成：（5.12）

5.1图像的退化模型5.1.4图像的离散退化模型如果把式（5.1）中655.1.4图像的离散退化模型

并进一步可以将式（5.12）表示成矩阵形式：

（5.13）

也即：

(5.14)且：

(5.15)5.1.4图像的离散退化模型并进一步可以将式（5665.2空间域图像的恢复

图像恢复分类方法：

◆按图像恢复系统的控制方式：自动恢复方法和交互式恢复方法；

◆按对图像恢复是否外加约束条件：无约束恢复方法和有约束恢复方法；

◆按空间域处理技术和频率域处理技术：空间域恢复方法和频率域恢复方法。5.2空间域图像的恢复图像恢复分类方法：675.2空间域图像的恢复

5.2.1基于最小二乘方的代数恢复方法

5.2空间域图像的恢复5.2.1基于最小二乘方的代数恢685.2.1基于最小二乘方的代数恢复方法

1.无约束的最小二乘方恢复由式（5.13）有：当叠加噪声n无法知道时，显然可从g–Hf获得n。由于g是已知的退化图像，所以如果取为f的估计，就可使在最小均方误差的意义下代替Hf，从而可把图像的恢复问题看作是对求下式的最小值：（5.16）

也即求退化后的实际图像g与退化图像的估值的模(范数)平方。这显然是典型的最小二乘方最佳估值问题。5.2.1基于最小二乘方的代数恢复方法1.无约束的最695.2.1基于最小二乘方的代数恢复方法

1.无约束的最小二乘方恢复(续1)对上式中原图像f的估值求偏导数，也即令：∴

（5.17）给上式两端同乘以得：

（5.18）5.2.1基于最小二乘方的代数恢复方法1.无约束的最705.2.1基于最小二乘方的代数恢复方法

1.无约束的最小二乘方恢复(续2)当图像矩阵的尺寸满足M=N，且H为满秩非奇异(即可逆)时，则有：式（5.19）说明：当已知H时，便可由g求出估f的值。（5.19）

5.2.1基于最小二乘方的代数恢复方法1.无约束的最715.2.1基于最小二乘方的代数恢复方法

2.有约束的最小二乘方恢复有约束的最小二乘方恢复方法需要知道噪声的模平方,可以证明，能用噪声的均值和方差表示为：

（5.20）可见，有约束的最小二乘方恢复方法只需要知道噪声的均值和方差。

下面先讨论有约束恢复的一般表示形式，然后在此基础上给出两种具体恢复方法。

5.2.1基于最小二乘方的代数恢复方法2.有约束的最725.2.1基于最小二乘方的代数恢复方法

2.有约束的最小二乘方恢复(续1)设对原图像施加某一线性运算，求在约束条件（5.21）下，使为最小的原图像f的最佳估计。这一问题实际上是求极值问题，故可使用拉格朗日乘数法来实现。5.2.1基于最小二乘方的代数恢复方法2.有约束的最735.2.1基于最小二乘方的代数恢复方法

2.有约束的最小二乘方恢复(续2)利用拉格朗日乘数法构造一辅助函数：

（5.22）令：

（5.23）5.2.1基于最小二乘方的代数恢复方法2.有约束的最745.2.1基于最小二乘方的代数恢复方法

2.有约束的最小二乘方恢复(续3)设，并带入式（5.23）可得：∴

（5.24）5.2.1基于最小二乘方的代数恢复方法2.有约束的最755.2.1基于最小二乘方的代数恢复方法

2.有约束的最小二乘方恢复(续4)由此可得恢复步骤为：

①选取一个r代入式（5.24），把求得的代入式（5.21）；

②当结果大于，减小r，返回①；

③当结果小于，增加r，返回①；

④重复上述迭代过程，直到式（5.21）满足为止。

5.2.1基于最小二乘方的代数恢复方法2.有约束的最765.2.1基于最小二乘方的代数恢复方法

2.有约束的最小二乘方恢复(续5)

2种基于有约束最小二乘方恢复方法的具体恢复方法:（1）最小均方误差滤波（维纳滤波）恢复

（2）最大熵约束恢复

√

5.2.1基于最小二乘方的代数恢复方法2.有约束的最775.2.1基于最小二乘方的代数恢复方法

◆图像恢复的病态性：在图像恢复中，由于在通常情况下是无法得知原图像的本来面目的，所以恢复后的图像只能是原图像的一种近似。其次，由于噪声具有随机性，这就使得模糊图像（即，被噪声污染了的图像）可能有无限多的可能情况，所以恢复后的图像不具有唯一性，这称为图像恢复的病态性。5.2.1基于最小二乘方的代数恢复方法◆图像恢复的病态性785.2.1基于最小二乘方的代数恢复方法

◆图像恢复的奇异性：

由式可知，在不考虑图像噪声的情况下要恢复原图像需要对矩阵H求逆，即：

（5.34）在实际中可能有逆矩阵不存在的情况，但却确实存在着与十分近似的解，这称为恢复问题的奇异性。

5.2.1基于最小二乘方的代数恢复方法◆图像恢复的奇异性795.2空间域图像的恢复

5.2.2匀速直线运动模糊的恢复方法

{自学}5.2空间域图像的恢复5.2.2匀速直线运动模糊的恢复805.3图像噪声与被噪声污染图像的恢复5.3.1常见的噪声及其概率密度函数

（1）高斯噪声高斯噪声是一种源于电子电路噪声和由低照明度或高温带来的传感器噪声。高斯噪声也称为正态噪声，其概率密度函数为：（5.48）其中，高斯随机变量z表示灰度值；μ表示z的平均值或期望值；σ表示z的标准差，而标准差的平方σ2称为z的方差。

5.3图像噪声与被噪声污染图像的恢复5.3.1常见的噪815.3图像噪声与被噪声污染图像的恢复5.3.1常见的噪声及其概率密度函数

高斯噪声是白噪声的一个特例。所谓白噪声，是指图像面上不同点的噪声是不相关的，其功率谱为常量，也即其强度不随频率的增加而衰减。

（1）高斯噪声（续1）5.3图像噪声与被噪声污染图像的恢复5.3.1常见的噪825.3图像噪声与被噪声污染图像的恢复5.3.1常见的噪声及其概率密度函数

（2）瑞利噪声瑞利噪声的概率密度函数为：概率密度的均值和方差分别为：

（5.49）

（5.50）

（5.51）

5.3图像噪声与被噪声污染图像的恢复5.3.1常见的噪835.3图像噪声与被噪声污染图像的恢复5.3.1常见的噪声及其概率密度函数

（2）瑞利噪声(续1)5.3图像噪声与被噪声污染图像的恢复5.3.1常见的噪845.3图像噪声与被噪声污染图像的恢复5.3.1常见的噪声及其概率密度函数

（3）均匀分布噪声均匀分布噪声的概率密度函数为：概率密度的期望值和方差分别为：

（5.52）

（5.53）

（5.54）

5.3图像噪声与被噪声污染图像的恢复5.3.1常见的噪855.3图像噪声与被噪声污染图像的恢复5.3.1常见的噪声及其概率密度函数

（3）均匀分布噪声（续1）5.3图像噪声与被噪声污染图像的恢复5.3.1常见的噪865.3.1常见的噪声及其概率密度函数

（4）脉冲噪声（椒盐噪声）

(双极)脉冲噪声的概率密度为：

（5.55）

式(5.55)表示的脉冲噪声在Pa或Pb均不可能为零，且在脉冲可能是正的，也可能是负值的情况下，称为双极脉冲噪声。5.3.1常见的噪声及其概率密度函数（4）脉冲噪声（875.3.1常见的噪声及其概率密度函数

（4）脉冲噪声（椒盐噪声）(续1)如果b>a，灰度b的值在图像中将显示一个亮点，而灰度a的值在图像中将显示一个暗点。如果Pa或Pb均不可能为零，尤其是它们近似相等时，脉冲噪声值就类似于随机分布在图像上的胡椒和盐粉微粒，所以双极脉冲噪声也称为椒盐噪声.式（5.55）表示的脉冲噪声如果Pa或Pb为零，则脉冲噪声称为单极脉冲噪声。通常情况下脉冲噪声总是数字化为允许的最大值或最小值，所以负脉冲以黑点(胡椒点)出现在图像中，正脉冲以白点（盐点）出现在图像中。

5.3.1常见的噪声及其概率密度函数（4）脉冲噪声885.3.1常见的噪声及其概率密度函数

（4）脉冲噪声（椒盐噪声）(续2)

实验表明：对于上述的四种噪声，椒盐噪声是唯一的一种引起退化的视觉可见的噪声类型。5.3.1常见的噪声及其概率密度函数（4）脉冲噪声（895.3图像噪声与被噪声污染图像的恢复设f(x,y)是一幅原图像，经过退化过程H(x,y)后，形成的退化图像为g(x,y)。当一幅图像中存在的唯一退化因素是噪声n(x,y)，并且噪声与图像不相关时，则在空间域中的退化图像就可以表示为：

在图像中仅存在噪声这唯一的一种退化因素的情况下，图像的恢复和图像的增强就几乎完全没有区别了，也就是说在4.4节中介绍的图像噪声消除方法同样可用于本节的图像恢复。

（5.56）5.3.2被噪声污染图像的恢复

5.3图像噪声与被噪声污染图像的恢复设f(x,y905.3.1常见的噪声及其概率密度函数1.谐波均值滤波设为g(x,y)退化图像，为恢复后的图像，Sxy表示中心在(x，y)点，尺寸为m×n的矩形子图像窗口的坐标。则对图像进行谐波均值滤波的谐波均值滤波器可表示为：

（5.57）谐波均值滤波器善于处理象高斯噪声那样的一类噪声，且对“盐”噪声处理效果很好，但不适用于对“胡椒”噪声的处理。5.3.1常见的噪声及其概率密度函数1.谐波均值滤波（915.3.1常见的噪声及其概率密度函数2.逆谐波均值滤波

对图像进行逆谐波均值滤波的逆谐波均值滤波器可表示为：

（5.58）其中，称为滤波器的阶数。逆谐波均值滤波器适合于减少和消除椒盐噪声。当为正数时，该滤波器用于消除“胡椒”噪声；当为负数时，该滤波器用于消除“盐”噪声。但它不能同时消除“胡椒”噪声和“盐”噪声。当=-1时，逆谐波均值滤波器就退变成谐波均值滤波器。5.3.1常见的噪声及其概率密度函数2.逆谐波均值滤波（925.3.1常见的噪声及其概率密度函数3.中点滤波

对图像进行中点滤波是指在中点滤波器涉及的范围内计算最大值和最小值之间的中点，中点滤波器定义为：（5.59）这种滤波器结合了顺序统计和求平均的优点，对于高斯和均匀随机分布类噪声有最好的效果。

5.3.1常见的噪声及其概率密度函数3.中点滤波（5.5935.3.1常见的噪声及其概率密度函数4.自适应中值滤波

自适应滤波是一种基于由矩形窗口定义的区域内图像的统计特性的一种滤波技术。最典型的自适应滤波器是自适应中值滤波器。与4.4.2节中讨论的中值滤波相比，自适应中值滤波可以处理具有更大概率的冲激噪声，并且在平滑非冲激噪声时可以保存细节，这是传统中值滤波器所无法做到的。5.3.1常见的噪声及其概率密度函数4.自适应中值滤波945.4几何失真的校正几种典型的几何失真:（a）原图像（b）透视失真（c）枕形失真（d）桶形失真

对图像