柔度影响系数位移方程课件

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振动系统的运动微分方程目录1牛顿定律和普遍定理2拉格朗日（Lagrange）运动方程3刚度影响系数

作用力方程4柔度影响系数

位移方程

2返回首页振动系统的运动微

返回首页振动系统的运动微分方程1牛顿定律和普遍定理3返回首页振动系统的运动微

返回首页1牛顿定律和普遍定理1.1质点的运动微分方程1.2质点系动能定理的微分形式1.3刚体平面运动微分方程1.4普遍定理的综合应用4返回首页1牛顿定律和普

返回首页1牛顿定律和普遍定理1.1质点的运动微分方程牛顿第二定律，质点在惯性坐标系中的运动微分方程有以下几种形式

5返回首页1牛顿定律和普

返回首页1牛顿定律和普遍定理1.2质点系动能定理的微分形式设质点系由n个质点组成，其在理想约束的条件下，质点系动能的微分等于作用在质点系的主动力的元功之和。有其中表示作用在质点系上主动力的元功表示质点系动能的微分6返回首页1牛顿定律和普

返回首页1牛顿定律和普遍定理1.3刚体平面运动微分方程刚体的平面运动可简化为具有相同质量的平面图形在固定平面内的运动。应用质心运动定理和相对质心动量矩定理得上式称为刚体平面运动微分方程。应用以上方程可求解平面运动刚体动力学的两类问题

。7返回首页1牛顿定律和普

返回首页1牛顿定律和普遍定理1.4普遍定理的综合应用动量定理、动量矩定理、动能定理从不同的角度建立了质点系的运动变化与其受力之间的关系，称为质系的普遍定理。各个定理都是从不同的方面提出了建立运动微分方程的方法，从而为解决动力学的基本问题提供了依据。8返回首页1牛顿定律和普

返回首页1牛顿定律和普遍定理1.4普遍定理的综合应用解：系统具有一个自由度，建立广义坐标x，坐标原点位于弹簧具有静伸长时圆盘中心的静平衡位置，坐标正方向如图中所示。x取任意值时，系统的动能为例1无重量不可伸长的细绳绕过质量为m、半径R为的均质圆盘。弹簧刚度为k，与细绳相连，如图所示，列写该系统的运动微分方程。9返回首页1牛顿定律和普

返回首页1牛顿定律和普遍定理1.4普遍定理的综合应用x取任意值时，系统的动能为设初始条件为在有限路程中主动力的功为10返回首页1牛顿定律和普

返回首页1牛顿定律和普遍定理1.4普遍定理的综合应用在有限路程中主动力的功为由动能定理的积分形式两边对时间求导数注意到在静平衡位置满足所以微分方程为11返回首页1牛顿定律和普

返回首页例2图示系统中，半径为r的均匀圆盘在槽内作不滑动的滚动。已知圆盘质量为m，槽的半径为R。建立系统的运动方程。其中，为圆盘的角速度，IA=mr2/2是圆盘对质心的转动惯量。图2圆盘微幅振动解：若选择为广义坐标，则系统微幅振动时的动能为圆盘作不滑动的滚动时，存在有1牛顿定律和普遍定理1.4普遍定理的综合应用12返回首页例2图示系统中，

返回首页系统的势能系统微幅振动时的运动方程由动能定理的积分形式两边对时间求导数1牛顿定律和普遍定理1.4普遍定理的综合应用13返回首页系统的势能系统微幅振

返回首页振动系统的运动微分方程2拉格朗日运动方程14返回首页振动系统的运动微

返回首页2拉格朗日（Lagrange）运动方程2.1虚位移原理2.2达朗贝尔（D’Alembert）原理2.3完整的保守系统的拉格朗日运动方程15返回首页2拉格朗日（L

返回首页2拉格朗日（Lagrange）运动方程2.1虚位移原理虚位移原理是分析非自由质点系平衡的最普遍的原理。虚位移原理可表述为：具有理想约束的质点系，在给定位置保持平衡的必要和充分条件是：所有作用于该质点系上的主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。即虚功方程16返回首页2拉格朗日（L

返回首页2拉格朗日（Lagrange）运动方程2.1虚位移原理质点Mi上的主动力和虚位移分别用Fi和ri表示，虚位移原理的矢量表达式为在直角坐标系的投影表达式为虚功方程17返回首页2拉格朗日（L

返回首页2拉格朗日（Lagrange）运动方程2.2达朗贝尔（D’Alembert）原理根据虚功原理，可以得出达朗贝尔原理的另一种叙述方式：在具有理想约束的质点系中，在任一瞬时，作用于各质点上的主动力和虚加的惯性力在任一虚位移上所作虚功之和等于零。这就是动力学普遍方程，即18返回首页2拉格朗日（L

返回首页2拉格朗日（Lagrange）运动方程2.3完整的保守系统的拉格朗日运动方程

拉格朗日方程提供了解决有限自由度完整系统运动的一个普遍的简单而又统一的方法。在t1与t2区间的虚位移qi是任意的，而且qi彼此独立的。因此，得到著名的拉格朗日方程19返回首页2拉格朗日（L

返回首页2拉格朗日（Lagrange）运动方程2.4完整的保守系统的拉格朗日运动方程图3摆振系统例3图示系统，摆的支点在水平方向受到弹性约束，其总刚度为k，摆的质量为m，摆长为l。试用拉格朗日方程求出系统的运动方程。解：（1）选择x及为广义坐标。（2）动能及势能动能：势能：（3）广义外力为零20返回首页2拉格朗日（L

返回首页2拉格朗日（Lagrange）运动方程2.4完整的保守系统的拉格朗日运动方程

（4）运动方程这就是摆的运动方程。当微幅振动时，取cos

≈1，sin=0，并可略去高阶项，则可简化为两式相减得到得到运动方程图5摆振系统21返回首页2拉格朗日（L

返回首页振动系统的运动微分方程3刚度影响系数作用力方程22返回首页振动系统的运动微

返回首页3刚度影响系数作用力方程一般情况下，n个自由度无阻尼系统的自由振动的运动微分方程具有以下形式若用矩阵表示，则可写成式中分别是系统的坐标矢量和加速度矢量0方程中各项均为力的量纲，因此，称之为作用力方程。23返回首页3刚度影响系数

返回首页3刚度影响系数作用力方程质量矩阵刚度矩阵24返回首页3刚度影响系数

返回首页3刚度影响系数作用力方程刚度矩阵中的元素称刚度影响系数(在单自由度系统中，简称弹性常数)。它表示系统单位变形所需的作用力。具体地说，如果使第j个质量沿其坐标方向产生单位位移，沿其它质量的坐标方向施加作用力而使它们保持不动，则沿第i个质量坐标方向施加的力，定义为刚度影响系数kij；在第j个质量坐标方向上施加的力称刚度影响系数kjj。由刚度影响系数的物理意义，可直接写出刚度矩阵，从而建立作用力方程，这种方法称为影响系数法。刚度矩阵25返回首页3刚度影响系数

返回首页3刚度影响系数作用力方程现分析求出图所示的三自由度系统的刚度矩阵。

画出各物块的受力图根据平衡条件，有首先令在此条件下系统保持平衡，按定义需加于三物块的力26返回首页3刚度影响系数

返回首页3刚度影响系数作用力方程画出受力图，则有同理，令画出受力图，有最后令27返回首页3刚度影响系数

返回首页3刚度影响系数作用力方程因此刚度矩阵为刚度矩阵一般是对称的。实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即28返回首页3刚度影响系数

返回首页振动系统的运动微分方程4柔度影响系数位移方程29返回首页振动系统的运动微

返回首页4柔度影响系数位移方程在单自由度的弹簧—质量系统中，若弹簧常数是k，则就是物块上作用单位力时弹簧的变形，称柔度影响系数，用表示。具体地说，仅在第j个质量的坐标方向上受到单位力作用时相应于在第i个质量的坐标方向上产生的位移，即定义为。n自由度系统的柔度矩阵为n阶方阵，其元素称为柔度影响系数，表示单位力产生的位移。30返回首页4柔度影响系数

返回首页4柔度影响系数位移方程现分析求出图所示的三自由度系统的柔度影响系数。

当受到F1作用后，第一个弹簧的变形为，第二和第三个弹簧的变形为零。首先施加单位力这时三物块所产生的静位移分别是所以三物块的位移都是F1F131返回首页4柔度影响系数

返回首页4柔度影响系数位移方程第三个弹簧不受力，故其变形为零。因此有令F2第一和第二弹簧均受单位拉力，其变形分别为32返回首页4柔度影响系数

返回首页4柔度影响系数位移方程F3再令可得到系统的柔度矩阵为33返回首页4柔度影响系数

返回首页4柔度影响系数位移方程柔度矩阵一般也是对称的。实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即系统的柔度矩阵为34返回首页4柔度影响系数

返回首页4柔度影响系数位移方程对于图所示的系统，也可用柔度影响系数来建立其运动微分方程。

系统运动时，质量的惯性力使弹簧产生变形应用叠加原理可得到35返回首页4柔度影响系数

返回首页4柔度影响系数位移方程写成矩阵形式位移方程是非奇异的，即的逆矩阵存在与作用力方程比较36返回首页4柔度影响系数即当刚度矩阵是非奇异时，刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵；当刚度矩阵是奇异时，不存在逆矩阵即无柔度矩阵。此时系统的平衡位置有无限多或者说它有刚体运动。如图示系统具有刚体运动，柔度矩阵不存在。

返回首页4柔度影响系数位移方程柔度矩阵与刚度矩阵之间的关系37即当刚度矩阵是非奇异时，刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵；

返回首页4柔度影响系数位移方程例4试写出图所示刚体AB的刚度矩阵并建立系统的运动微分方程。解：刚体AB在图面内的位置可以由其质心C的坐标yC(以水平位置O为坐标原点，且水平运动不计)和绕C的转角确定。38返回首页4柔度影响系数

返回首页4柔度影响系数位移方程图为时的受力图，分别表示保持系统在该位置平衡，应加在C点的力和力偶矩由刚体AB的平衡条件得到39返回首页4柔度影响系数

返回首页4柔度影响系数位移方程图为时的受力图，分别表示保持系统在该位置平衡，应加在铅直平面内的力偶矩和加在C点的力。由平衡条件得刚度矩阵40返回首页4柔度影响系数

返回首页4柔度影响系数位移方程图为取任意值时，刚体AB作平面运动的受力图，根据达朗贝尔原理，可写出系统的运动微分方程整理后得到41返回首页4柔度影响系数

返回首页4柔度影响系数位移方程例5试求图示悬臂梁的柔度影响系数，并建立其位移方程。(梁的弯曲刚度为EI，其质量不计)解：取y1、

y2为广义坐标，根据柔度影响系数的定义，表示在m1处施加单位力(沿y1方向)并在m1处产生的位移。表示在m2处施加单位力(沿y2方向)并在m2处产生的位移。有按材料力学的挠度公式，则有42返回首页4柔度影响系数

返回首页4柔度影响系数位移方程表示在m2处施加单位力在m1处产生的位移等于在m1处施加单位力在m1处产生的位移。有柔度矩阵为得系统的位移方程43返回首页4柔度影响系数谢谢44谢谢44返回总目录振动系统的运动微分方程振动力学45返回总目录振动系统的运动微分方程振动力学1返回首页

振动系统的运动微分方程目录1牛顿定律和普遍定理2拉格朗日（Lagrange）运动方程3刚度影响系数

作用力方程4柔度影响系数

位移方程

46返回首页振动系统的运动微

返回首页振动系统的运动微分方程1牛顿定律和普遍定理47返回首页振动系统的运动微

返回首页1牛顿定律和普遍定理1.1质点的运动微分方程1.2质点系动能定理的微分形式1.3刚体平面运动微分方程1.4普遍定理的综合应用48返回首页1牛顿定律和普

返回首页1牛顿定律和普遍定理1.1质点的运动微分方程牛顿第二定律，质点在惯性坐标系中的运动微分方程有以下几种形式

49返回首页1牛顿定律和普

返回首页1牛顿定律和普遍定理1.2质点系动能定理的微分形式设质点系由n个质点组成，其在理想约束的条件下，质点系动能的微分等于作用在质点系的主动力的元功之和。有其中表示作用在质点系上主动力的元功表示质点系动能的微分50返回首页1牛顿定律和普

返回首页1牛顿定律和普遍定理1.3刚体平面运动微分方程刚体的平面运动可简化为具有相同质量的平面图形在固定平面内的运动。应用质心运动定理和相对质心动量矩定理得上式称为刚体平面运动微分方程。应用以上方程可求解平面运动刚体动力学的两类问题

。51返回首页1牛顿定律和普

返回首页1牛顿定律和普遍定理1.4普遍定理的综合应用动量定理、动量矩定理、动能定理从不同的角度建立了质点系的运动变化与其受力之间的关系，称为质系的普遍定理。各个定理都是从不同的方面提出了建立运动微分方程的方法，从而为解决动力学的基本问题提供了依据。52返回首页1牛顿定律和普

返回首页1牛顿定律和普遍定理1.4普遍定理的综合应用解：系统具有一个自由度，建立广义坐标x，坐标原点位于弹簧具有静伸长时圆盘中心的静平衡位置，坐标正方向如图中所示。x取任意值时，系统的动能为例1无重量不可伸长的细绳绕过质量为m、半径R为的均质圆盘。弹簧刚度为k，与细绳相连，如图所示，列写该系统的运动微分方程。53返回首页1牛顿定律和普

返回首页1牛顿定律和普遍定理1.4普遍定理的综合应用x取任意值时，系统的动能为设初始条件为在有限路程中主动力的功为54返回首页1牛顿定律和普

返回首页1牛顿定律和普遍定理1.4普遍定理的综合应用在有限路程中主动力的功为由动能定理的积分形式两边对时间求导数注意到在静平衡位置满足所以微分方程为55返回首页1牛顿定律和普

返回首页例2图示系统中，半径为r的均匀圆盘在槽内作不滑动的滚动。已知圆盘质量为m，槽的半径为R。建立系统的运动方程。其中，为圆盘的角速度，IA=mr2/2是圆盘对质心的转动惯量。图2圆盘微幅振动解：若选择为广义坐标，则系统微幅振动时的动能为圆盘作不滑动的滚动时，存在有1牛顿定律和普遍定理1.4普遍定理的综合应用56返回首页例2图示系统中，

返回首页系统的势能系统微幅振动时的运动方程由动能定理的积分形式两边对时间求导数1牛顿定律和普遍定理1.4普遍定理的综合应用57返回首页系统的势能系统微幅振

返回首页振动系统的运动微分方程2拉格朗日运动方程58返回首页振动系统的运动微

返回首页2拉格朗日（Lagrange）运动方程2.1虚位移原理2.2达朗贝尔（D’Alembert）原理2.3完整的保守系统的拉格朗日运动方程59返回首页2拉格朗日（L

返回首页2拉格朗日（Lagrange）运动方程2.1虚位移原理虚位移原理是分析非自由质点系平衡的最普遍的原理。虚位移原理可表述为：具有理想约束的质点系，在给定位置保持平衡的必要和充分条件是：所有作用于该质点系上的主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。即虚功方程60返回首页2拉格朗日（L

返回首页2拉格朗日（Lagrange）运动方程2.1虚位移原理质点Mi上的主动力和虚位移分别用Fi和ri表示，虚位移原理的矢量表达式为在直角坐标系的投影表达式为虚功方程61返回首页2拉格朗日（L

返回首页2拉格朗日（Lagrange）运动方程2.2达朗贝尔（D’Alembert）原理根据虚功原理，可以得出达朗贝尔原理的另一种叙述方式：在具有理想约束的质点系中，在任一瞬时，作用于各质点上的主动力和虚加的惯性力在任一虚位移上所作虚功之和等于零。这就是动力学普遍方程，即62返回首页2拉格朗日（L

返回首页2拉格朗日（Lagrange）运动方程2.3完整的保守系统的拉格朗日运动方程

拉格朗日方程提供了解决有限自由度完整系统运动的一个普遍的简单而又统一的方法。在t1与t2区间的虚位移qi是任意的，而且qi彼此独立的。因此，得到著名的拉格朗日方程63返回首页2拉格朗日（L

返回首页2拉格朗日（Lagrange）运动方程2.4完整的保守系统的拉格朗日运动方程图3摆振系统例3图示系统，摆的支点在水平方向受到弹性约束，其总刚度为k，摆的质量为m，摆长为l。试用拉格朗日方程求出系统的运动方程。解：（1）选择x及为广义坐标。（2）动能及势能动能：势能：（3）广义外力为零64返回首页2拉格朗日（L

返回首页2拉格朗日（Lagrange）运动方程2.4完整的保守系统的拉格朗日运动方程

（4）运动方程这就是摆的运动方程。当微幅振动时，取cos

≈1，sin=0，并可略去高阶项，则可简化为两式相减得到得到运动方程图5摆振系统65返回首页2拉格朗日（L

返回首页振动系统的运动微分方程3刚度影响系数作用力方程66返回首页振动系统的运动微

返回首页3刚度影响系数作用力方程一般情况下，n个自由度无阻尼系统的自由振动的运动微分方程具有以下形式若用矩阵表示，则可写成式中分别是系统的坐标矢量和加速度矢量0方程中各项均为力的量纲，因此，称之为作用力方程。67返回首页3刚度影响系数

返回首页3刚度影响系数作用力方程质量矩阵刚度矩阵68返回首页3刚度影响系数

返回首页3刚度影响系数作用力方程刚度矩阵中的元素称刚度影响系数(在单自由度系统中，简称弹性常数)。它表示系统单位变形所需的作用力。具体地说，如果使第j个质量沿其坐标方向产生单位位移，沿其它质量的坐标方向施加作用力而使它们保持不动，则沿第i个质量坐标方向施加的力，定义为刚度影响系数kij；在第j个质量坐标方向上施加的力称刚度影响系数kjj。由刚度影响系数的物理意义，可直接写出刚度矩阵，从而建立作用力方程，这种方法称为影响系数法。刚度矩阵69返回首页3刚度影响系数

返回首页3刚度影响系数作用力方程现分析求出图所示的三自由度系统的刚度矩阵。

画出各物块的受力图根据平衡条件，有首先令在此条件下系统保持平衡，按定义需加于三物块的力70返回首页3刚度影响系数

返回首页3刚度影响系数作用力方程画出受力图，则有同理，令画出受力图，有最后令71返回首页3刚度影响系数

返回首页3刚度影响系数作用力方程因此刚度矩阵为刚度矩阵一般是对称的。实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即72返回首页3刚度影响系数

返回首页振动系统的运动微分方程4柔度影响系数位移方程73返回首页振动系统的运动微

返回首页4柔度影响系数位移方程在单自由度的弹簧—质量系统中，若弹簧常数是k，则就是物块上作用单位力时弹簧的变形，称柔度影响系数，用表示。具体地说，仅在第j个质量的坐标方向上受到单位力作用时相应于在第i个质量的坐标方向上产生的位移，即定义为。n自由度系统的柔度矩阵为n阶方阵，其元素称为柔度影响系数，表示单位力产生的位移。74返回首页4柔度影响系数

返回首页4柔度影响系数位移方程现分析求出图所示的三自由度系统的柔度影响系数。

当受到F1作用后，第一个弹簧的变形为，第二和第三个弹簧的变形为零。首先施加单位力这时三物块所产生的静位移分别是所以三物块的位移都是F1F175返回首页4柔度影响系数

返回首页4柔度影响系数位移方程第三个弹簧不受力，故其变形为零。因此有令F2第一和第二弹簧均受单位拉力，其变形分别为76返回首页4柔度影响系数

返回首页4柔度影响系数位移方程F3再令可得到系统的柔度矩阵为77返回首页4柔度影响系数

返回首页4柔度影响系数位移方程柔度矩阵一般也是对称的。实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即系统的柔度矩阵为78返回首页4柔度影响系数

返回首页4柔度影响系数位移方程对于图所示的系统，也可用柔度影响系数来建立其运动微分方程。

系统运动时，质量的惯性力使弹簧产生变形应用叠加原理可得到79返回首页4柔度影响系数