2019年上海闵行区上海交通大学自主招生数学试卷-学生用卷

第第5页，共5页2019年上海闵行区上海交通大学自主招生数学试卷学生用卷一、综合题（本大题共18小题）1、【来源】2019年上海闵行区上海交通大学自主招生第1题𝑓𝑥)=𝑥+𝑏𝑥+4𝑓g30)=5𝑓3．2、【来源】2019年上海闵行区上海交通大学自主招生第2题已知0<𝑎<1，0<𝜃<𝜋，若𝑥=(sin𝜃)log𝑎sin𝜃，𝑦=(cos𝜃)log𝑎tan𝜃，𝑧=(sin𝜃)log𝑎tan𝜃，4试比较𝑥，𝑦，𝑧的大小．3、【来源】2019年上海闵行区上海交通大学自主招生第3题已知方程𝑥4+𝑎𝑥−4=0各个实根为𝑥1

，𝑥2

，⋯，𝑥𝑘

(𝑘⩽4)(𝑥,4)，𝑖=均𝑖𝑥𝑖𝑖在直线𝑦=𝑥同侧，求𝑎的取值范围．4、【来源】2019年上海闵行区上海交通大学自主招生第4题已知复数𝑧满足|𝑧|=1，且𝑧2−2𝑎𝑧+𝑎2−𝑎=0，求负实数𝑎的值．5、【来源】2019年上海闵行区上海交通大学自主招生第5题若方程𝑥3−3𝑥2+(𝑚+2)𝑥−𝑚=0的三个根可以作为三角形的三边长，求𝑚的范围．6、【来源】2019年上海闵行区上海交通大学自主招生第6题对于𝑚，𝑛∈𝐙+，若(√3+i)𝑚=(1−i)𝑛，求𝑛−𝑚的最小值．7、【来源】2019年上海闵行区上海交通大学自主招生第7题{𝑛1=𝑛=1)√3𝑛∈，求𝑛的最小值．8、【来源】2019年上海闵行区上海交通大学自主招生第8题设𝑥 −√22019展开式𝑥奇次幂的项的和𝑆𝑥，𝑆√2．92019年上海闵行区上海交通大学自主招生第9题已知𝑥，𝑦，𝑧不全为0，求

𝑥𝑦2𝑦𝑧

最大值．𝑥2𝑦2𝑧210、【来源】2019年上海闵行区上海交通大学自主招生第10题已知△𝐴𝐵𝐶的面积为2，𝐷在线段𝐴𝐵上，𝐸在线段𝐴𝐶上，𝐹在线段𝐷𝐸上，且满足𝐴𝐷

=

=𝑦，𝐷𝐹𝐷𝐸

=𝑧，𝑦 𝑧−𝑥=△𝐵𝐷𝐹的面积的最大值．

𝐴𝐵 𝐴𝐶11、【来源】2019年上海闵行区上海交通大学自主招生第11题对定义域内任意的𝑥，𝑦，若满足𝑓（ ）．A.𝑓𝑥 =B.𝑓𝑥 =𝑥3C.𝑓𝑥 =log2𝑥𝑓𝑓𝑥 =D.

𝑥𝑦2

⩽𝑓𝑥𝑓 𝑦𝑓𝑥为凸函数，下列函数是凸函数的是212、【来源】2019年上海闵行区上海交通大学自主招生第12题已知复数𝑧1，𝑧2所对应的点为𝐴，𝐵，若|𝑧1|=4，且满足4𝑧2−𝑧2

=0，求△𝐴𝑂𝐵的面积．1 213、【来源】2019年上海闵行区上海交通大学自主招生第13实𝑎，𝑏满4𝑎2−5𝑎𝑏 4𝑏2=𝑎2 𝑏2最大值．14、【来源】2019年上海闵行区上海交通大学自主招生第14在△𝐴𝐵𝐶中，满𝑎 𝑐=3𝑏，tan𝐴tan𝐶．2 2152019年上海闵行区上海交通大学自主招生第15𝑎𝑛是7𝑛𝑎2𝑎2019．16、【来源】2019年上海闵行区上海交通大学自主招生第16题𝑂△𝐴𝐵𝐶的外心，𝑂到三𝑎，𝑏，𝑐的距离分别则( )A.𝑘:𝑚:𝑛=𝑎:𝑏:𝑐B.𝑘:𝑚:𝑛=1:1:1𝑎 𝑏 𝑐C.𝑘:𝑚:𝑛=sin𝐴:sin𝐵:sin𝐶D.𝑘:𝑚:𝑛=cos𝐴:cos𝐵:cos𝐶17、【来源】2019年上海闵行区上海交通大学自主招生第17题定义平面上两(𝑚,𝑏)的折线距离𝑑=|𝑚−𝑎|+|𝑛−𝑏|，若平面上一𝑃到(3,1)，(3,5)，(−2,4)，(4,4)，(6,6)的折线距离之和最小，𝑃点坐标为 18、【来源】2019年上海闵行区上海交通大学自主招生第18题已𝐴={(𝑥,𝑦)|𝑦⩾𝑥2}，𝐵={(𝑥,𝑦)|𝑥2+(𝑦−𝑎)2⩽𝐴∩𝐵=𝐵的充要条件( )A.𝑎=54B.𝑎⩾54C.𝑎⩾1D.0<𝑎<11、【答案】3．;2、【答案】𝑥<𝑧<𝑦;3、【答案】𝑎>6或𝑎<−6;4、【答案】𝑎=1