材料力学第9章-梁的挠度和刚度计算课件

第9章平面弯杆弯曲变形与刚度计算9.1挠曲线挠度和转角9.2挠曲线近似微分方程9.3积分法求梁的变形9.4叠加法求梁的变形9.5梁的刚度条件与合理刚度设计9.6用变形比较法解简单超静定梁第9章平面弯杆弯曲变形与刚度计算9.11、梁的变形特点PxCC1w(x)qw(x)挠度：梁截面形心在垂直于梁的初始轴线方向的位移转角：梁截面相对于变形前的位置转过的角度挠曲线9.1挠曲线挠度和转角平面假设小变形（小挠度）挠曲线：梁弯曲后，梁轴线所成的曲线挠曲线方程1、梁的变形特点PxCC1w(x)qw(x)挠度：梁截面形心2，意义工业厂房钢筋混凝土吊梁普通机车主轴符号给定：正值的挠度向下，负值的向上；正值的转角为顺时针转相，负值的位逆时针转向2，意义工业厂房钢筋混凝土吊梁普通机车主轴符号给定：3，影响变形的因素4，计算变形的方法积分法、叠加法、能量法、………3，影响变形的因素4，计算变形的方法积分法、叠加法、能量法、1、挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程小变形M>0M<09.2挠曲线近似微分方程1、挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程小变形M>0M*思考：*思考：1、挠曲线方程（弹性曲线）9.3积分法求梁的变形1、挠曲线方程（弹性曲线）9.3积分法求梁的变形2、边界条件、连续条件PDPABC2、边界条件、连续条件PDPABC*注意问题什么时候需要分段积分？如何确定极值？PL1L2ABC*注意问题什么时候需要分段积分？如何确定极值？PL1L2A例9.1求等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。

弯矩方程

微分方程的积分边界条件、连续条件PLxw例9.1求等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。

弹性曲线方程最大挠度及最大转角xPLw弹性曲线方程最大挠度及最大转角xPLwLq0BA例9.2均布荷载下的简支梁，EI已知，求挠度及两端截面的转角。解：1确定反力2求出弯矩方程x3

微分方程的积分4边界条件、连续条件Lq0BA例9.2均布荷载下的简支梁，EI已知，求挠度及两5梁的转角方程和挠曲线方程6梁的最大挠度：根据对称性7梁两端的转角5梁的转角方程和挠曲线方程6梁的最大挠度：根据对称性例9.3集中力下的简支梁，EI已知，求挠曲线方程和转角方程，最大挠度及最大转角。FalAB解：1确定反力2求出弯矩方程3

微分方程的积分例9.3集中力下的简支梁，EI已知，求挠曲线方程和转角方积分一次：再积分一次：4边界条件、连续条件边界条件连续条件积分成数为积分一次：再积分一次：4边界条件、连续条件边界条件连续条件5梁的转角方程和挠曲线方程6最大转角5梁的转角方程和挠曲线方程6最大转角6最大挠度6最大挠度例、试用积分法求图示梁的转角方程和挠曲线方程，并求截面的转角和截面的挠度。设常量。

解：1确定反力2求出弯矩方程3

微分方程的积分例、试用积分法求图示梁的转角方程和挠曲线方程，并求截面的转角4边界条件、连续条件5梁的转角方程和挠曲线方程4边界条件、连续条件5梁的转角方程和挠曲线方程在小变形条件下，材料服从虎克定律几个载荷共同作用的变形

===各个载荷单独作用的变形之和叠加原理9.4叠加法求梁的变形内力与外力成线性关系在小变形条件下，材料服从虎克定律几个载荷共同作用的变形==LBAxBAxBAx+=例9.4简支梁的EI已知，用叠加法求梁跨中截面的位移和支座B的转角。载荷分解如图

均布载荷单独作用时集中力偶单独作用时

叠加LBAxBAxBAx+=例9.4简支梁的EI已知，用叠加+=例9.5简支梁的EI已知，用叠加法求梁跨中截面的位移和两端截面的转角。载荷分解如图

对称均布载荷单独作用时集中力偶单独作用时xxx+=例9.5简支梁的EI已知，用叠加法求梁载荷分解如图

叠加叠加例用叠加原理求A点转角和C点挠度。载荷分解如图

查简单载荷变形表=+PABqAB

qPABCaa例用叠加原理求A点转角和C点挠度。载荷分解如图查简单

AAAqqPP=+BBBCaa叠加

AAAqqPP=+BBBCaa叠加材料力学第9章-梁的挠度和刚度计算课件材料力学第9章-梁的挠度和刚度计算课件材料力学第9章-梁的挠度和刚度计算课件逐段刚性法：

研究前一段梁时，暂将后面的各段梁视为刚体，前一段梁末端截面的位移为后一段梁提供一个刚体位移；在研究后一段梁时，将已变形的前一段梁的挠曲线刚性化，再将各段梁的变形叠加在前一段梁的所提供的刚性位移上，从而得到后一段梁的总位移逐段刚性法：9.6用逐段刚性法求阶梯悬臂梁自由端的挠度和转角把变形后的AC刚性化把未变形CB刚性化求AC的变形时，CB刚化

AC变形引起CB的变形9.6用逐段刚性法求阶梯悬臂梁自由端的挠度和转角把变形求CB的变形，把变形后的AC刚化，此时CB可看成以C为固定端的悬臂梁把变形后的AC刚性化B截面的位移等于AC段变形引起CB的刚性位移和CB自身弯曲引起的位移求CB的变形，把变形后的AC刚化，此时CB可看成以C为固9.7用逐段刚性法求解简支外伸梁的挠度把未变形BC刚性化把变形后的AB刚性化求AB的变形时，把BC刚化

AB变形引起BC的变形9.7用逐段刚性法求解简支外伸梁的挠度把未变形BC刚性求BC的变形，把变形后的AB刚化，此时BC可看成以B为固定端的悬臂梁把变形后的AB刚性化C截面的位移等于AB段变形引起BC的刚性位移和BC自身弯曲引起的位移求BC的变形，把变形后的AB刚化，此时BC可看成以B为固9.5梁的刚度条件与合理刚度设计9.5.1梁的刚度条件—抗扭刚度9.5梁的刚度条件与合理刚度设计9.5.1梁、校核刚度

*三种计算、设计截面尺寸、设计载荷、校核刚度*三种计算、设计截面尺寸、设计载荷PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB例

空心圆杆，d=40mm、D=80mm，E=210GPa，工程规定C点的[w/L]=0.00001,B点的[]=0.001弧度,校核此杆的刚度。PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1校核刚度不安全校核刚度不安全材料力学第9章-梁的挠度和刚度计算课件材料力学第9章-梁的挠度和刚度计算课件9.5.2梁的合理刚度设计梁跨度的选取

制作约束和加载方式的合理安排梁截面的合理选取

梁材料的合理选取9.5.2梁的合理刚度设计梁跨度的选取制作约束建立静定基

用反力代替多余约束的结构=q0LABq0LFBABLq0MABA1、处理方法变形协调方程物理方程平衡方程——静定基9.6用变形比较法解简单超静定梁建立静定基用反力代替多余约束的结构=q0LABq0L变形协调方程+q0LFBAB=FBABq0AB物理方程补充方程变形协调方程+q0LFBAB=FBABq0AB物理方程约束力确定后，3便成为静定结构，所以其它支座的约束反力可以方便求出约束力确定后，3便成为静定结构，所以其求图示CD杆的轴力FN，已知梁ABC的抗弯刚度为EI，杆CD的抗拉、抗压刚度为EA设CD的轴力为FN

协调方程物理关系代入协调方程求图示CD杆的轴力FN，已知梁ABC的抗弯刚度为EI，杆CD一长为

L的悬臂梁

CD，在其端点

D处经一滚柱由下面另一悬臂梁

AB实行弹性加固，

已知梁CD的抗弯刚度为EI，梁

AB的抗弯刚度为2EI，现在梁AB的B端作用一垂直于AB梁、大小为P的力，求C处的约束反力。

附表：一长为L的悬臂梁CD，在其端点D处经一滚柱由下面另解：1.解除D处的弹性约束，则变形协调条件为4．研究CD杆2.物理关系3.代入变形协调条件解：1.解除D处的弹性约束，4．研究CD杆2.物理知识回顾KnowledgeReview祝您成功！知识回顾KnowledgeReview祝您成功！

第9章平面弯杆弯曲变形与刚度计算9.1挠曲线挠度和转角9.2挠曲线近似微分方程9.3积分法求梁的变形9.4叠加法求梁的变形9.5梁的刚度条件与合理刚度设计9.6用变形比较法解简单超静定梁第9章平面弯杆弯曲变形与刚度计算9.11、梁的变形特点PxCC1w(x)qw(x)挠度：梁截面形心在垂直于梁的初始轴线方向的位移转角：梁截面相对于变形前的位置转过的角度挠曲线9.1挠曲线挠度和转角平面假设小变形（小挠度）挠曲线：梁弯曲后，梁轴线所成的曲线挠曲线方程1、梁的变形特点PxCC1w(x)qw(x)挠度：梁截面形心2，意义工业厂房钢筋混凝土吊梁普通机车主轴符号给定：正值的挠度向下，负值的向上；正值的转角为顺时针转相，负值的位逆时针转向2，意义工业厂房钢筋混凝土吊梁普通机车主轴符号给定：3，影响变形的因素4，计算变形的方法积分法、叠加法、能量法、………3，影响变形的因素4，计算变形的方法积分法、叠加法、能量法、1、挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程小变形M>0M<09.2挠曲线近似微分方程1、挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程小变形M>0M*思考：*思考：1、挠曲线方程（弹性曲线）9.3积分法求梁的变形1、挠曲线方程（弹性曲线）9.3积分法求梁的变形2、边界条件、连续条件PDPABC2、边界条件、连续条件PDPABC*注意问题什么时候需要分段积分？如何确定极值？PL1L2ABC*注意问题什么时候需要分段积分？如何确定极值？PL1L2A例9.1求等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。

弯矩方程

微分方程的积分边界条件、连续条件PLxw例9.1求等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。

弹性曲线方程最大挠度及最大转角xPLw弹性曲线方程最大挠度及最大转角xPLwLq0BA例9.2均布荷载下的简支梁，EI已知，求挠度及两端截面的转角。解：1确定反力2求出弯矩方程x3

微分方程的积分4边界条件、连续条件Lq0BA例9.2均布荷载下的简支梁，EI已知，求挠度及两5梁的转角方程和挠曲线方程6梁的最大挠度：根据对称性7梁两端的转角5梁的转角方程和挠曲线方程6梁的最大挠度：根据对称性例9.3集中力下的简支梁，EI已知，求挠曲线方程和转角方程，最大挠度及最大转角。FalAB解：1确定反力2求出弯矩方程3

微分方程的积分例9.3集中力下的简支梁，EI已知，求挠曲线方程和转角方积分一次：再积分一次：4边界条件、连续条件边界条件连续条件积分成数为积分一次：再积分一次：4边界条件、连续条件边界条件连续条件5梁的转角方程和挠曲线方程6最大转角5梁的转角方程和挠曲线方程6最大转角6最大挠度6最大挠度例、试用积分法求图示梁的转角方程和挠曲线方程，并求截面的转角和截面的挠度。设常量。

解：1确定反力2求出弯矩方程3

微分方程的积分例、试用积分法求图示梁的转角方程和挠曲线方程，并求截面的转角4边界条件、连续条件5梁的转角方程和挠曲线方程4边界条件、连续条件5梁的转角方程和挠曲线方程在小变形条件下，材料服从虎克定律几个载荷共同作用的变形

===各个载荷单独作用的变形之和叠加原理9.4叠加法求梁的变形内力与外力成线性关系在小变形条件下，材料服从虎克定律几个载荷共同作用的变形==LBAxBAxBAx+=例9.4简支梁的EI已知，用叠加法求梁跨中截面的位移和支座B的转角。载荷分解如图

均布载荷单独作用时集中力偶单独作用时

叠加LBAxBAxBAx+=例9.4简支梁的EI已知，用叠加+=例9.5简支梁的EI已知，用叠加法求梁跨中截面的位移和两端截面的转角。载荷分解如图

对称均布载荷单独作用时集中力偶单独作用时xxx+=例9.5简支梁的EI已知，用叠加法求梁载荷分解如图

叠加叠加例用叠加原理求A点转角和C点挠度。载荷分解如图

查简单载荷变形表=+PABqAB

qPABCaa例用叠加原理求A点转角和C点挠度。载荷分解如图查简单

AAAqqPP=+BBBCaa叠加

AAAqqPP=+BBBCaa叠加材料力学第9章-梁的挠度和刚度计算课件材料力学第9章-梁的挠度和刚度计算课件材料力学第9章-梁的挠度和刚度计算课件逐段刚性法：

研究前一段梁时，暂将后面的各段梁视为刚体，前一段梁末端截面的位移为后一段梁提供一个刚体位移；在研究后一段梁时，将已变形的前一段梁的挠曲线刚性化，再将各段梁的变形叠加在前一段梁的所提供的刚性位移上，从而得到后一段梁的总位移逐段刚性法：9.6用逐段刚性法求阶梯悬臂梁自由端的挠度和转角把变形后的AC刚性化把未变形CB刚性化求AC的变形时，CB刚化

AC变形引起CB的变形9.6用逐段刚性法求阶梯悬臂梁自由端的挠度和转角把变形求CB的变形，把变形后的AC刚化，此时CB可看成以C为固定端的悬臂梁把变形后的AC刚性化B截面的位移等于AC段变形引起CB的刚性位移和CB自身弯曲引起的位移求CB的变形，把变形后的AC刚化，此时CB可看成以C为固9.7用逐段刚性法求解简支外伸梁的挠度把未变形BC刚性化把变形后的AB刚性化求AB的变形时，把BC刚化

AB变形引起BC的变形9.7用逐段刚性法求解简支外伸梁的挠度把未变形BC刚性求BC的变形，把变形后的AB刚化，此时BC可看成以B为固定端的悬臂梁把变形后的AB刚性化C截面的位移等于AB段变形引起BC的刚性位移和BC自身弯曲引起的位移求BC的变形，把变形后的AB刚化，此时BC可看成以B为固9.5梁的刚度条件与合理刚度设计9.5.1梁的刚度条件—抗扭刚度9.5梁的刚度条件与合理刚度设计9.5.1梁、校核刚度

*三种计算、设计截面尺寸、设计载荷、校核刚度*三种计算、设计截面尺寸、设计载荷PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB例

空心圆杆，d=40mm、D=80mm，E=210GPa，工程规定C点的[w/L]=0.00001,B点的[]=0.001弧度,校核此杆的刚度。PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1校核刚度不安全校核刚度不安全材料力学第9章-梁的挠度和刚度计算课件材料力学第9章-梁的挠度和刚度计算课件9.5.2梁的合理刚度设计梁跨度的选取

制作约束和加载方