计算方法最佳一致逼近多项式-切比雪夫多项式专题培课件

计算方法最佳一致逼近多项式-切比雪夫多项式计算方法最佳一致逼近多项式-切比雪夫多项式1内容函数逼近的基本概念切比雪夫多项式最佳一致逼近多项式切比雪夫多项式在函数逼近中的应用利用切比雪夫多项式的0点构造最佳逼近多项式的例子内容函数逼近的基本概念2函数逼近的基本概念函数逼近的基本概念3§1函数逼近的基本概念第3章函数逼近与曲线拟合一、函数逼近与函数空间实际应用需要使用简单函数逼近已知复杂函数。BA§1函数逼近的基本概念第3章函数逼近与曲线拟合一、函4定理1具有重要的理论意义；Bernstan多项式收敛到f(x)较慢，不常用。定理1具有重要的理论意义；5xyy=L(x)一致逼近的几何意义Homexyy=L(x)一致逼近的几何意义Home6切比雪夫多项式切比雪夫多项式7由三角表达式定义的多项式切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。切比雪夫(Chebyshev)多项式切比雪夫多项式的0点可以用于构造具有最佳一致逼近性质的插值多项式。切比雪夫多项式的(简单)定义：称为切比雪夫多项式。(2.10)…由三角表达式定切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。切比雪8课堂练习：推出T4(x)切比雪夫多项式的前几项：切比雪夫多项式的表达式课堂练习：推出T4(x)切比雪夫多项式的前几项：切比雪夫多项9切比雪夫多项式的性质（1）基本递推关系切比雪夫多项式的性质（1）基本递推关系10（2）正交性（2）正交性11当m≠n:当m=n≠0当m=n=0根据积化和差公式：当m≠n:当m=n≠0当m=n=0根据积化和差公式：12利用数学归纳法证明：（3）奇偶性利用数学归纳法证明：（3）奇偶性13计算方法最佳一致逼近多项式-切比雪夫多项式专题培课件14（4）切比雪夫多项式的零点………（4）切比雪夫多项式的零点………15接近-1和1的地方越密。过这些0点作平行于y轴的直线，这些直线与上半单位元的交点形成了一个关于圆弧的等距的点的集合。图为T11(x)的零点，一共有11个…接近-1和1的地方越密。过这些0点作平行于y轴的直线，这些直16（5）切比雪夫多项式的极值点……（5）切比雪夫多项式的极值点……17T1(x)T2(x)T3(x)T4(x)T3(x)有3个0值点，4个极值点1-11-1T1(x)T2(x)T3(x)T4(x)T3(x)有3个0值18总结：Tn(x)具有很好的性质。Tn(x)是n阶多项式，具有n个0点，n+1个极值点；有界[-1,1]；T1(x),T3(x),…只含x的奇次项，是奇函数，T2(x),T4(x),…只含x的偶次项，是偶函数。xyHome总结：Tn(x)具有很好的性质。Tn(x)是n阶多项式，具19最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式20§3最佳一致逼近多项式一、基本概念及其理论目的：求一个能够按照绝对值逼近f(x)的最佳n次多项式不超过n次的实系数多项式的全体HnC[a,b]§3最佳一致逼近多项式一、基本概念及其理论目的：求一个21偏差的定义确定的Pn(x)对所有的Pn(x)ϵHn偏差的定义确定的对所有的22计算方法最佳一致逼近多项式-切比雪夫多项式专题培课件23最佳一致逼近多项式的存在性定理p(x)的系数{an}…………Home最佳一致逼近多项式的存在性定理p(x)的系数{an}…………24切比雪夫多项式在函数逼近中的应用切比雪夫多项式在函数逼近中的应用25三、切比雪夫多项式在函数逼近中的应用希望构造最高次幂xn系数为1的多项式：…三、切比雪夫多项式在函数逼近中的应用希望构造最高次幂xn系26三、切比雪夫多项式在函数逼近中的应用证明比较复杂，省略。这个定理的结论非常重要三、切比雪夫多项式在函数逼近中的应用证明比较复杂，省略。这个27怎样才能使得拉格朗日插值多项式成为最佳逼近？偏差估计…怎样才能使得拉格朗日插值多项式成为最佳逼近？偏差估计…28最佳一致逼近0的多项式而上式成立的充分必要条件是x0,x1,…xn是切比雪夫多项式的0点。………最佳一致逼近0的多项式而上式成立的充分必要条件是x0,x129证明：…已知|Tn(x)|<=1证明：…已知30计算方法最佳一致逼近多项式-切比雪夫多项式专题培课件31对任意区间[a,b]，不能直接使用定理7。例如：为将[0,1][-1,1]，可以令：则针对g(t)使用定理7对任意区间[a,b]，不能直接使用定理7。例如：为将[0,32最佳逼近拉格朗日插值多项式的构造步骤Home最佳逼近拉格朗日插值多项式的构造步骤Home33利用切比雪夫多项式的0点构造最佳逼近多项式的例子利用切比雪夫多项式的0点构造最佳逼近多项式的例子34解：利用定理7，构造所求的L4(x)；令：tk例4.求f(x)=ex在[0,1]上的4次最佳一致逼近

多项式L4(x),并且估计误差。解：利用定理7，构造所求的L4(x)；令：tk例4.求f(3501234x0.975530.793900.50.206110.02447ex2.652572.212011.648721.228891.0247701234x0.975530.793900.50.2061136Lagrange插值多项式为经过比较复杂的计算，得：Lagrange插值多项式为经过比较复杂的计算，得：37误差估计：注意到变换x=½(t+1)这说明，在区间[0,1]上使用多项式L4(x)逼近ex

的绝对值误差非常小，避免了龙格现象。T5(t)最高次幂系数为24误差估计：注意到变换x=½(t+1)这说明，在区间[03801234x0.975530.793900.50.206110.02447ex2.652572.212011.648721.228891.02477现在试图用Newton插值多项式逼近01234x0.975530.793900.50.2061139xif[xi]f[xi,xi+1]f[xi,xi+1,xi+2]f[xi,xi+1,xi+2,xi+3]f[xi,xi+1,xi+2,xi+3，xi+4

]x0f(x0)x1f(x1)f[x0,x1]x2f(x2)f[x1,x2]f[x0,x1,x2]x3f(x3)f[x2,x3]f[x1,x2,x3]f[x0,x1,x2,x3]x4f(x4)f[x3,x4]f[x2,x3,x4]f[x1,x2,x3,x4]f[x0,x1,x2,x3,x4]xif[xi]f[xi,xi+1]f[xi,xi+1,40xif(xi)f[xi,xi+1]f[xi,xi+1,xi+2]f[xi,xi+1,xi+2,xi+3]f[xi,xi+1,xi+2,xi+3，xi+4

]0.97552.65260.79392.2122.42620.51.64871.91661.07170.20611.22891.42840.83060.31340.02451.02481.12390.64040.24720.0696xif(xi)f[xi,xi+1]f[xi,xi+1,41计算方法最佳一致逼近多项式-切比雪夫多项式专题培课件42这个结果和使用拉格朗日插值法所得到的结果稍有误差，由具体计算的小数点后位数引起。这个结果和使用拉格朗日插值法所得到的结果稍有误差，由具体计算43例5.求f(x)=1/(1+x2)

在[-5,5]上的10次最佳

一致逼近多项式L10(x),并且估计误差。解：在[-1,1]上的切比雪夫多项式T11(x)的0点

为做变换x=5t,当tϵ[-1,1]的时候，xϵ[-5,5]例5.求f(x)=1/(1+x2)在[-5,5]上的144xyy=L10(x)-55xyy=L10(x)-5545总结最佳逼近：设有函数类A，若存在函数类BⅭA。对函数f(x)ϵA，若存在函数φ*(x)ϵB，使得在某种范数下||f-φ*||<=||f-φ||,φϵB成立。HnC[a,b]特别地，取A=C[a,b]，B=Hn，为不超过n次的实系数多项式的集合。对某函数f(x)ϵC[a,b]，若存在P*(x)ϵHn，使得||f-P*||∞<=||f-P||∞,P(x)ϵHn，则称P*(x)一致地最佳逼近f(x).BA总结最佳逼近：设有函数类A，若存在函数类BⅭA。对函数f(46结论：f(x)要充分光滑，插值节点选取也很特别。总结(续)结论：f(x)要充分光滑，插值节点选取也很特别。总结(续)47作业

P9411Home作业P9411Home48计算方法最佳一致逼近多项式-切比雪夫多项式计算方法最佳一致逼近多项式-切比雪夫多项式49内容函数逼近的基本概念切比雪夫多项式最佳一致逼近多项式切比雪夫多项式在函数逼近中的应用利用切比雪夫多项式的0点构造最佳逼近多项式的例子内容函数逼近的基本概念50函数逼近的基本概念函数逼近的基本概念51§1函数逼近的基本概念第3章函数逼近与曲线拟合一、函数逼近与函数空间实际应用需要使用简单函数逼近已知复杂函数。BA§1函数逼近的基本概念第3章函数逼近与曲线拟合一、函52定理1具有重要的理论意义；Bernstan多项式收敛到f(x)较慢，不常用。定理1具有重要的理论意义；53xyy=L(x)一致逼近的几何意义Homexyy=L(x)一致逼近的几何意义Home54切比雪夫多项式切比雪夫多项式55由三角表达式定义的多项式切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。切比雪夫(Chebyshev)多项式切比雪夫多项式的0点可以用于构造具有最佳一致逼近性质的插值多项式。切比雪夫多项式的(简单)定义：称为切比雪夫多项式。(2.10)…由三角表达式定切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。切比雪56课堂练习：推出T4(x)切比雪夫多项式的前几项：切比雪夫多项式的表达式课堂练习：推出T4(x)切比雪夫多项式的前几项：切比雪夫多项57切比雪夫多项式的性质（1）基本递推关系切比雪夫多项式的性质（1）基本递推关系58（2）正交性（2）正交性59当m≠n:当m=n≠0当m=n=0根据积化和差公式：当m≠n:当m=n≠0当m=n=0根据积化和差公式：60利用数学归纳法证明：（3）奇偶性利用数学归纳法证明：（3）奇偶性61计算方法最佳一致逼近多项式-切比雪夫多项式专题培课件62（4）切比雪夫多项式的零点………（4）切比雪夫多项式的零点………63接近-1和1的地方越密。过这些0点作平行于y轴的直线，这些直线与上半单位元的交点形成了一个关于圆弧的等距的点的集合。图为T11(x)的零点，一共有11个…接近-1和1的地方越密。过这些0点作平行于y轴的直线，这些直64（5）切比雪夫多项式的极值点……（5）切比雪夫多项式的极值点……65T1(x)T2(x)T3(x)T4(x)T3(x)有3个0值点，4个极值点1-11-1T1(x)T2(x)T3(x)T4(x)T3(x)有3个0值66总结：Tn(x)具有很好的性质。Tn(x)是n阶多项式，具有n个0点，n+1个极值点；有界[-1,1]；T1(x),T3(x),…只含x的奇次项，是奇函数，T2(x),T4(x),…只含x的偶次项，是偶函数。xyHome总结：Tn(x)具有很好的性质。Tn(x)是n阶多项式，具67最佳一致逼近多项式最佳一致逼近多项式68§3最佳一致逼近多项式一、基本概念及其理论目的：求一个能够按照绝对值逼近f(x)的最佳n次多项式不超过n次的实系数多项式的全体HnC[a,b]§3最佳一致逼近多项式一、基本概念及其理论目的：求一个69偏差的定义确定的Pn(x)对所有的Pn(x)ϵHn偏差的定义确定的对所有的70计算方法最佳一致逼近多项式-切比雪夫多项式专题培课件71最佳一致逼近多项式的存在性定理p(x)的系数{an}…………Home最佳一致逼近多项式的存在性定理p(x)的系数{an}…………72切比雪夫多项式在函数逼近中的应用切比雪夫多项式在函数逼近中的应用73三、切比雪夫多项式在函数逼近中的应用希望构造最高次幂xn系数为1的多项式：…三、切比雪夫多项式在函数逼近中的应用希望构造最高次幂xn系74三、切比雪夫多项式在函数逼近中的应用证明比较复杂，省略。这个定理的结论非常重要三、切比雪夫多项式在函数逼近中的应用证明比较复杂，省略。这个75怎样才能使得拉格朗日插值多项式成为最佳逼近？偏差估计…怎样才能使得拉格朗日插值多项式成为最佳逼近？偏差估计…76最佳一致逼近0的多项式而上式成立的充分必要条件是x0,x1,…xn是切比雪夫多项式的0点。………最佳一致逼近0的多项式而上式成立的充分必要条件是x0,x177证明：…已知|Tn(x)|<=1证明：…已知78计算方法最佳一致逼近多项式-切比雪夫多项式专题培课件79对任意区间[a,b]，不能直接使用定理7。例如：为将[0,1][-1,1]，可以令：则针对g(t)使用定理7对任意区间[a,b]，不能直接使用定理7。例如：为将[0,80最佳逼近拉格朗日插值多项式的构造步骤Home最佳逼近拉格朗日插值多项式的构造步骤Home81利用切比雪夫多项式的0点构造最佳逼近多项式的例子利用切比雪夫多项式的0点构造最佳逼近多项式的例子82解：利用定理7，构造所求的L4(x)；令：tk例4.求f(x)=ex在[0,1]上的4次最佳一致逼近

多项式L4(x),并且估计误差。解：利用定理7，构造所求的L4(x)；令：tk例4.求f(8301234x0.975530.793900.50.206110.02447ex2.652572.212011.648721.228891.0247701234x0.975530.793900.50.2061184Lagrange插值多项式为经过比较复杂的计算，得：Lagrange插值多项式为经过比较复杂的计算，得：85误差估计：注意到变换x=½(t+1)这说明，在区间[0,1]上使用多项式L4(x)逼近ex

的绝对值误差非常小，避免了龙格现象。T5(t)最高次幂系数为24误差估计：注意到变换x=½(t+1)这说明，在区间[08601234x0.975530.793900.50.206110.02447ex2.652572.212011.648721.228891.02477现在试图用Newton插值多项式逼近01234x0.975530.793900.50.2061187xif[xi]f[xi,xi+1]f[xi,xi+1,xi+2]f[xi,xi+1,xi+2,xi+3]f[xi,xi+1,xi+2,xi+3，xi+4

]x0f(x0)x1f(x1)f[x0,x1]x2f(x2)f[x1,x2]f[x0,x1,x2]x3f(x3)f[x2,x3]f[x1,x2,x3]f[x0,x1,x2,x3]x4f(x4)f[x3,x4]f[x2,x3,x4]f[x1,x2,x3,x4]f[x0,x1,x2,x3,x4]xif[xi]f[xi,xi+1]f[xi,xi+1,88xif(xi)f[xi,xi+1]f[xi,xi+1,xi+2]f[xi,xi+1,xi+2,xi+3]f[xi,xi+1,xi+2,xi+3，xi+4

]0.97552.65260.79392.2122.42620.51.64871.91661.07170.20611.22891.42840.