难点01分段函数的性质图像与应用解析版

WORD专业资料.难点一分段函数的性质、图象以与应用新课标下高考数学题中以分段函数为载体，考查函数的图像、性质等知识的习题倍受青睐.所谓的分段函数是指自变量X在不同的取值围对应关系不同的函数，由分段函数本身的特点，使得一个函数在各段上有不同的解析式，所以可将一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、抽象函数融合在一个题目之中，考查多个知识点.因而分段函数已成为高考命题的一个热点.纵观近几年高考对于分段函数的性质、图象的考查，重点放在函数的奇偶性、周期性以与函数的零点问题与分段函数结合上；要求学生有较强的抽象思维能力、作图能力以与准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握比较模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目本身就是压轴题确实不易之外，主要是学生的作图能力普遍较弱，还有就是没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.1分段函数与函数值分段函数:定义域中各段的与的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的.分段函数是一个函数，定义域、值域都是各段的并集.分段函数中的问题一般是求解析式、值域或最值，讨论奇偶性、单调性等.分段函数的处理方法:分段函数分段研究.一般将具体函数或与抽象函数结合，通过考查对数、指数的运算形成的函数求值问题．例1[2015高考新课标2，理5改编]设函数,.思路分析：首先注意到，，又，所以，从而可以求出最终的值.点评：分段函数的对应关系是借助几个不同的表达式来表示的，在求值时代入哪个解析式，一定要看清自变量的取值在哪一个区间上，从而选定相应的关系式代入计算，同时还要注意函数的周期性、奇偶性等，特别要注意分段区间端点的取舍．2分段函数与图象：分段函数的图象分段画.例2[省外国语学校2015届高三上学期期中考试数学理科试卷]函数的图象为.思路分析：先简函数得，分段可画出函数图象.点评：化简函数解析式是作出函数图象的关键．3分段函数与方程已知函数值求自变量或其它参数的值的问题，一般按自变量的取值围分类讨论，通过解方程而得到.例3[2015高考，13]已知函数，，则方程实根的个数为思路分析：由，所以，从而，即或，只需画出与以与与的图像，先画出与的图像，再通过函数图像平移、对称变化画出以上两种情况下的图像，通过观察交点个数即可得出实根个数.点评：分段函数的对应关系是借助几个不同的表达式来表示的，要将方程化为几个具体的方程来解决．一些对数型方程不能直接求出其零点，常通过平移、对称变换转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法将方程根的个数转化为对应函数零点个数，而函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数．这时函数图像是解题关键，不仅要研究其走势（单调性，极值点、渐近线等），而且要明确其变化速度快慢.4分段函数与不等式将分段函数与不等式结合，考查函数单调性与解不等式知识，体现分类讨论思想.例4[2016届省实验中学高三第一次诊断性考试]已知函数，若，则的取值围是.思路分析：对于分段函数，需要根据的不同取值，带入不同的表达式，当时，，于是由得，再根据恒成立，只需，，从而解出；当时，按照以上方法同样可以求出，最终满足以上两个条件得出.点评：分段函数的对应关系是借助几个不同的表达式来表示的，方程需按自变量的取值围分类讨论，将不等式化为几个具体的不等式来解决．5分段函数与零点解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．例5[2016届省市一中高三一轮考试二]已知函数，若关于的方程有8个不同的实数根，则的取值围是．思路分析：先画出函数的图象，由图象观察出与图像的交点个数，令，从而讨论的根的情况，最后用线性规划的思想求出的取值围.显然当直线过点O时截距最小即z最小，当过点P（2，1）时，截距最大即z最大，但因为不等式组表示的区域不包含点O，点P，所以．点评：方程解的个数问题解法：研究程的实根常将参数移到一边转化为值域问题．（1）已知含参数方程有解，求参数围问题．一般可作为代数问题求解，即对进行参变分离，得到的形式，则所求a的围就是的值域．（2）当研究程的实根个数问题，即方程的实数根个数问题时，也常要进行参变分离，得到的形式，然后借助数形结合（几何法）思想求解．（3）将方程化为形如,常常是一边的函数图像是确定的，另一边的图像是动的，找到符合题意的临界值，然后总结答案即可．本题即为该法．6分段函数与解析式分段函数是定义域中各段的x与y的对应法则不同，函数式是分两段或几段给出的.因此求解析式时，也是分段求解析式的.例6对定义域分别为的函数，规定：函数，若则的解析式=．思路分析：由不同条件下的表达式不同，写出各段表达式，根据不同定义域的情况，写出对应的表达式.点评：分段函数解析式要根据不同定义域写出相应的解析式.7分段函数与周期和最值分段函数的值域是各段值域的并集，最大值是各段最大值中的最大者是函数的最大值，最小值是各段最小值中的最小者，一般可借助于图像来解决.例7[2016届省一中高三上学期期中理科数学试卷]已知函数，若存在使得函数的值域为，则实数的取值围是．思路分析：本题告知我们函数的值域，求a的围，需要先研究的单调性，从而求出k的取值围，再考虑的单调性问题，求出.解析：因为在上是减函数，所以，由函数为值域知，解得．令，则＝，知在上为减函数，在为增函数．又由，得，且，则必有．如图所示．易知．点评：本题解答如果不能正确作出函数的图象就无法利用数形结合法直观求解，同时如果确定出函数图象后，不能正确求得切线的取值围也不能得到正确的结果，因此解答本题的关键是求出的围，不然会误认为．例8[市第一中学2015届高三上学期第二次月考，理13]已知定义在R上的函数满足：且，，则方程在区间[，1]上的所有实根之和为_____________．思路分析：由题意得：在区间上为奇函数且为增函数，由得周期为2，，在同一坐标系中分别和图象，然后注意的图象的对称中心为（2，2）即可求出所有实根之和.点评：分段函数结合周期性以与对称性的问题，要特别注意周期性、对称性的应用．综合上面的七种类型，解决分段函数函数问题类型，涉与到很多数学思想主、方法；分段函数首先是函数，且是一个函数，不是多个函数；分段函数的处理方法:分段函数分段研究；解题中务必看清自变量在哪一段，该代哪个解析式，这样就要分段讨论、求解，即要重视分类讨论思想在解题过程中的应用.1.练高考1.[2015高考，理10]已知函数，则，的最小值是．[答案]，.2.[2015高考，理14]若函数（且）的值域是，则实数的取值围是．[答案][解析]当，故，要使得函数的值域为，只需（）的值域包含于，故，所以，所以，解得，所以实数的取值围是．3.[2015高考，理8改编]已知函数函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值围是.[答案]4.[2015高考山东，理10改编]设函数QUOTE则满足的取值围是．[答案][解析]当时，，所以，，即符合题意.当时，,若，则，即：，所以适合题意综上，的取值围是.5.[2015高考新课标2，理10]如图，长方形的边，，是的中点，点沿着边，与运动，记．将动到、两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为xx[答案]B6.[2015高考，理15]已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值围是.[答案].[解析]试题分析：分析题意可知，问题等价于方程与方程的根的个数和为，若两个方程各有一个根：则可知关于的不等式组有解，∴，从而；若方程无解，方程有2个根：则可知关于的不等式组有解，从而，综上，实数的取值围是.2.练模拟1.[2016届省月考试题]已知函数，若，则的取值围是．[答案]2．[2016届市诊断考试数学]设函数，若存在唯一的，满足，则正实数的最小值是．[答案][解析]试题分析：为分段函数，易得其值域为：，又因为值域为：，，其值域为，所以值域为上有两个解，所以若存在唯一的，满足，须使，即解得：，所以当时，若存在唯一的，满足，所以解得：（舍去）或，所以的最小值为：.3.[省七中2015届数学阶段性测试，理6]函数的图象是．[答案]B4.[2016届省市三校联考]已知函数在区间上是增函数,则常数的取值围是．[答案][解析]试题分析：若在上是增函数，易判断在区间单调递增，函数在单掉递增，所以只需满足，解得：，所以答案为C．5.[2016届省东部株洲二中六校12月联考]已知函数，若函数恰有个零点，则的取值围是．A．B．C．D．[答案]6.[实验中学2015届高三上学期第一次阶段考试数学，理8]已知关于的方程在有且仅有两根，记为，则命题①，②，③，④中正确的是．[答案]③[解析]由，即得方程在上有两个不同的解，作出的图象，可见，直线与在时相切才符合，此时有，又，.3.练原创1.设函数对于所有的正实数，均有，且，则使得的最小的正实数的值为．[答案]416.[解析]2．已知函数，若存在实数，，，，满足，且，则的取值围是．[答案].[解析]试题分析：由题意得，，又∵，即，，，∴.3.已知奇函数和偶函数分别满足，，若存在实数a，使得成立，则实数b的取值围是．[答案][解析]∵为奇函数，且∴的图象关于原点对称，如右图，当时，取最大值，且为1；当时，最小，且为．∵为偶函数，且，∴的图象关于y轴对称，