2017-2018学年同步备课套餐之高一物理人教浙江专版必修2讲义：第六章 4

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精4万有引力理论的成就学习目标1。了解万有引力定律在天文学上的重要应用．2．了解“计算天体质量”的基本思路．3．掌握运用万有引力定律和圆周运动知识分析天体运动问题的思路.考试要求必考c一、计算天体的质量1．称量地球的质量(1）思路：若不考虑地球自转，地球表面的物体的重力等于地球对物体的万有引力．（2)关系式:mg＝Geq\f(Mm，R2)。（3）结果:M＝eq\f（gR2,G),只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量．2．太阳质量的计算(1)思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力．(2）关系式：eq\f(GMm,r2）＝meq\f(4π2，T2)r。（3)结论：M＝eq\f（4π2r3,GT2），只要知道行星绕太阳运动的周期T和半径r就可以计算出太阳的质量．(4）推广：若已知卫星绕行星运动的周期T和卫星与行星之间的距离r，可计算行星的质量M.二、发现未知天体1．海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新"行星的轨道。1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星．2．其他天体的发现:近100年来,人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体．［即学即用]1．判断下列说法的正误．(1)地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有引力．（×)（2）若只知道某行星绕太阳做圆周运动的半径，则可以求出太阳的质量．(×）（3)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径，可以求出地球的质量．(×）(4)天王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的．(×)(5）牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道．(×）(6）海王星、冥王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性．（√)2．已知引力常量G＝6。67×10－11N·m2/kg2，重力加速度g＝9。8m/s2，地球半径R＝6.4×106m，则可知地球的质量约为()A．2×1018kg B．2×1020kgC．6×1022kg D．6×1024kg答案D一、天体质量和密度的计算［导学探究］1．卡文迪许在实验室测出了引力常量G的值,他称自己是“可以称量地球质量的人”．（1)他测量的依据是什么？(2)若还已知地球表面重力加速度g，地球半径R,求地球的质量和密度．答案（1)若忽略地球自转的影响,在地球表面上物体受到的重力等于地球对物体的万有引力．（2）由mg＝Geq\f（Mm，R2)，得：M＝eq\f（gR2，G)ρ＝eq\f（M,V)＝eq\f（M,\f（4，3)πR3)＝eq\f(3g，4πGR).2．如果知道地球绕太阳的公转周期T和它与太阳的距离r，能求出太阳的质量吗？若要求太阳的密度，还需要哪些量？答案由eq\f（GM太m地，r2)＝m地eq\f(4π2,T2)r知M太＝eq\f（4π2r3,GT2)，因此可以求出太阳的质量．由密度公式ρ＝eq\f（M太，\f（4,3）πR\o\al(3,太）)可知，若要求太阳的密度还需要知道太阳的半径．［知识深化]天体质量和密度的计算方法“自力更生法"“借助外援法"情景已知天体（如地球）的半径R和天体（如地球）表面的重力加速度g行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动思路物体在天体(如地球)表面的重力近似等于天体（如地球)与物体间的万有引力：mg＝Geq\f(Mm，R2）行星或卫星受到的万有引力充当向心力：Geq\f（Mm,r2）＝m(eq\f（2π,T)）2r(或Geq\f(Mm，r2）＝meq\f(v2,r））(或Geq\f（Mm,r2）＝mω2r）天体质量天体(如地球)质量：M＝eq\f(gR2,G）中心天体质量：M＝eq\f（4π2r3，GT2)(M＝eq\f（rv2,G)或M＝eq\f(r3ω2，G））天体密度ρ＝eq\f（M,\f(4,3)πR3)＝eq\f（3g,4πRG)ρ＝eq\f（M，\f（4，3)πR3）＝eq\f(3πr3，GT2R3)（以T为例）说明利用mg＝eq\f（GMm，R2）求M是忽略了天体自转，且g为天体表面的重力加速度由F引＝F向求M，求得的是中心天体的质量，而不是做圆周运动的天体质量例1假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星．若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1,已知万有引力常量为G。(1)则该天体的密度是多少？（2)若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得卫星在该处做圆周运动的周期为T2,则该天体的密度又是多少？答案(1)eq\f（3π，GT\o\al（2,1))（2)eq\f(3πR＋h3,GT\o\al(2，2)R3）解析设卫星的质量为m,天体的质量为M。（1)卫星贴近天体表面运动时有Geq\f（Mm，R2)＝meq\f（4π2，T\o\al(2,1）)R，M＝eq\f（4π2R3，GT\o\al（2，1)）根据数学知识可知天体的体积为V＝eq\f（4,3）πR3故该天体的密度为ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(4π2R3,GT\o\al(2,1)·\f（4，3)πR3)＝eq\f（3π,GT\o\al(2,1)）。（2）卫星距天体表面的高度为h时,忽略自转有Geq\f（Mm,R＋h2)＝meq\f（4π2,T\o\al(2,2））(R＋h)M＝eq\f（4π2R＋h3，GT\o\al(2,2）)ρ＝eq\f（M,V)＝eq\f(4π2R＋h3,GT\o\al(2，2)·\f(4，3）πR3）＝eq\f（3πR＋h3，GT\o\al（2，2）R3）。注意区分R、r、h的意义：一般地，R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径，h指卫星距离星球表面的高度，r＝R＋h.针对训练1过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内,行星“51pegb”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51pegb”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的eq\f（1,20）。该中心恒星与太阳的质量的比值约为（）A。eq\f(1,10）B．1C．5D．10答案B解析由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f（4π2,T2）r得M∝eq\f(r3,T2)已知eq\f（r51,r地）＝eq\f(1，20)，eq\f(T51,T地）＝eq\f(4,365)，则eq\f(M51,M地）＝(eq\f（1，20））3×（eq\f(365，4）)2≈1，B项正确．二、天体运动的分析与计算例2地球的两颗人造卫星质量之比m1∶m2＝1∶2,轨道半径之比r1∶r2＝1∶2。求：（1)两卫星的线速度大小之比；（2)两卫星的角速度之比；(3)两卫星的运行周期之比；(4)两卫星的向心力大小之比．答案见解析解析设地球的质量为M,两颗人造卫星的线速度分别为v1、v2，角速度分别为ω1、ω2，运行周期分别为T1、T2,向心力分别为F1、F2。(1）根据万有引力和圆周运动规律Geq\f（mM，r2)＝meq\f（v2,r)得v＝eq\r（\f（GM,r）)，所以eq\f(v1，v2）＝eq\r（\f（\f(GM，r1)，\f（GM,r2）)）＝eq\r（\f(r2，r1））＝eq\r（\f(2,1））＝eq\f（\r(2），1）故二者线速度之比为eq\r（2)∶1.(2)根据圆周运动规律v＝ωr得ω＝eq\f(v，r)所以eq\f（ω1,ω2）＝eq\f(v1，v2)·eq\f(r2，r1)＝eq\f(2\r（2），1），故二者角速度之比为2eq\r（2）∶1.(3)根据圆周运动规律T＝eq\f(2π,ω),所以eq\f（T1,T2）＝eq\f（ω2,ω1）＝eq\f(1,2\r(2))故二者运行周期之比为1∶2eq\r(2）.(4）根据万有引力充当向心力公式F＝Geq\f(mM,r2）所以eq\f（F1,F2）＝eq\f(m1，m2)·eq\f(r\o\al(2，2),r\o\al（2，1））＝eq\f(2,1)，故二者向心力之比为2∶1。解决天体运动的关键点：（1)紧扣物理模型:就是将天体的运动看成是匀速圆周运动．(2）紧扣物体做圆周运动的动力学特征：即天体的向心力由万有引力提供．（3)记住一个结论：在向心加速度、线速度、角速度和周期四个物理量中，只有周期的值随着轨道半径的增大而增大,其余的三个都随轨道半径的增大而减小．针对训练2假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离,那么(）A．地球公转的周期大于火星公转的周期B．地球公转的线速度小于火星公转的线速度C．地球公转的加速度小于火星公转的加速度D．地球公转的角速度大于火星公转的角速度答案D解析两行星绕太阳运动的向心力均由万有引力提供，所以有Geq\f(Mm，r2）＝meq\f（v2，r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2)r＝man,解得v＝eq\r(\f(GM,r)），T＝2πeq\r（\f(r3,GM))，ω＝eq\r（\f(GM，r3）），an＝eq\f（GM，r2），根据题意r火>r地,所以有T地〈T火，v地〉v火，a地>a火，ω地>ω火，故A、B、C错误，D正确．1．（天体质量的计算)已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离r和月球绕地球运行的周期T，仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有(）A．月球的质量 B．地球的质量C．地球的半径 D．地球的密度答案B解析由天体运动规律知Geq\f（Mm，r2）＝meq\f(4π2,T2)r可得地球质量M＝eq\f（4π2r3,GT2)，由于不知道地球的半径,无法求地球的密度，故选项B正确．2．(天体的质量和密度的计算)一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度,仅仅需要（）A．测定飞船的运行周期 B．测定飞船的环绕半径C．测定行星的体积 D．测定飞船的运行速度答案A解析取飞船为研究对象，由Geq\f(Mm,R2)＝mReq\f(4π2，T2）及M＝eq\f(4,3)πR3ρ，知ρ＝eq\f（3π，GT2),故选A.3．（运行参量的比较)2009年2月11日，俄罗斯的“宇宙－2251"卫星和美国的“铱－33”卫星在西伯利亚上空约805km处发生碰撞，这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件．碰撞过程中产生的大量碎片可能会影响太空环境．假定有甲、乙两块碎片绕地球运动的轨道都是圆，甲的运行速率比乙的大,则下列说法中正确的是()A．甲的运行周期一定比乙的长B．甲距地面的高度一定比乙的高C．甲的向心力一定比乙的小D．甲的向心加速度一定比乙的大答案D解析甲的速率大,由Geq\f（Mm，r2）＝meq\f（v2，r），得v＝eq\r(\f（GM,r)），由此可知，甲碎片的轨道半径小,故B错；由Geq\f(Mm，r2）＝mreq\f（4π2,T2),得T＝eq\r(\f(4π2r3,GM）），可知甲的周期小，故A错；由于未知两碎片的质量,无法判断向心力的大小，故C错误;由eq\f（GMm,r2)＝man得an＝eq\f(GM,r2），可知甲的向心加速度比乙的大，故D对．4.(运行参量的比较）如图1所示,a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星,它们距地面的高度分别是R和2R（R为地球半径）．下列说法中正确的是（)图1A．a、b的线速度大小之比是eq\r(2)∶1B．a、b的周期之比是1∶2eq\r(2)C．a、b的角速度大小之比是3eq\r(6）∶4D．a、b的向心加速度大小之比是9∶2答案C解析两卫星均做匀速圆周运动,F万＝F向,向心力选不同的表达式分别分析．由eq\f(GMm，r2)＝meq\f(v2,r）得eq\f（v1，v2)＝eq\r(\f(r2,r1））＝eq\r（\f（3R，2R））＝eq\f(\r（6）,2)，故A错误．由eq\f（GMm，r2）＝mreq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(2π，T)））2得eq\f（T1，T2）＝eq\r(\f(r\o\al（3,1）,r\o\al(3,2)))＝eq\f(2\r(6)，9），故B错误．由eq\f（GMm，r2)＝mrω2得eq\f(ω1,ω2)＝eq\r(\f(r\o\al（3,2）,r\o\al（3,1))）＝eq\f(3\r(6），4），故C正确．由eq\f（GMm，r2）＝man得eq\f(an1，an2）＝eq\f(r\o\al(2，2），r\o\al(2,1））＝eq\f（9，4），故D错误．课时作业一、单选题1．把太阳系各行星的运动近似看成匀速圆周运动，则离太阳越远的行星（)A．周期越小 B．线速度越小C．角速度越大 D．加速度越大答案B解析行星绕太阳做匀速圆周运动，所需的向心力由太阳对行星的引力提供，由Geq\f(Mm,r2）＝meq\f（v2，r)得v＝eq\r(\f(GM,r))，可知r越大，线速度越小,B正确．由Geq\f(Mm,r2）＝mω2r得ω＝eq\r（\f（GM，r3）),可知r越大，角速度越小,C错．由eq\f(GMm,r2）＝m(eq\f(2π,T))2r得T＝2πeq\r(\f(r3,GM）)，可知r越大，周期T越大，A错．由Geq\f（Mm,r2）＝man得an＝eq\f（GM,r2)，可知r越大，加速度an越小，D错．2．欧洲航天局由卫星观测发现银河系中心存在一个超大型黑洞,命名为MCG63015,由于黑洞的强大引力，周围物质大量掉入黑洞,假定银河系中心仅此一个黑洞，已知太阳系绕银河系中心做匀速圆周运动,下列哪组数据可估算该黑洞的质量（万有引力常量G是已知的）（）A．地球绕太阳公转的周期和线速度B．太阳的质量和运行线速度C．太阳运动的周期和太阳到MCG63015的距离D．地球运行的线速度和太阳到MCG63015的距离答案C3．据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行的圆形工作轨道距月球表面分别约为200km和100km，运行速率分别为v1和v2。那么，v1和v2的比值为(月球半径取1700km）(）A.eq\f（19,18）B.eq\r（\f（19,18)）C。eq\r（\f（18,19））D。eq\f(18,19）答案C解析根据卫星运动的向心力由万有引力提供,有Geq\f（Mm,r＋h2）＝meq\f（v2,r＋h），那么卫星的线速度跟其轨道半径的平方根成反比，则有eq\f(v1,v2)＝eq\f（\r(r＋h2）,\r(r＋h1))＝eq\r(\f(18，19）).4．有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处的重力加速度的4倍,则该星球的质量是地球质量的（)A.eq\f（1,4）倍 B．4倍C．16倍 D．64倍答案D解析由Geq\f（Mm，R2）＝mg得M＝geq\f（R2,G)，ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(\f(gR2,G)，\f(4,3）πR3）＝eq\f（3g，4πGR）所以R＝eq\f（3g，4πGρ)，则eq\f（R,R地）＝eq\f(g，g地)＝4根据M＝eq\f(gR2,G）＝eq\f（4g地·16R\o\al(2,地)，G）＝eq\f(64g地R\o\al(2，地),G）＝64M地，所以D项正确．5．火星直径约为地球直径的一半,质量约为地球质量的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径约为地球绕太阳公转轨道半径的1.5倍．根据以上数据，下列说法中正确的是（)A．火星表面重力加速度的数值比地球表面的大B．火星公转的周期比地球的长C．火星公转的线速度比地球的大D．火星公转的向心加速度比地球的大答案B解析由Geq\f（Mm,R2)＝mg得g＝Geq\f(M,R2）,计算得火星表面的重力加速度约为地球表面的eq\f(2，5)，A错;由Geq\f(Mm,r2)＝m（eq\f（2π,T)）2r得T＝2πeq\r(\f(r3，GM))，公转轨道半径大的周期长,B对；周期长的线速度小(或由v＝eq\r(\f（GM,r)）判断轨道半径大的线速度小），C错；公转向心加速度an＝Geq\f(M，r2),轨道半径大的向心加速度小，D错．故选B。6．如图1所示，“天宫二号”在距离地面393km的近圆轨道上运行．已知万有引力常量G＝6。67×10－11N·m2/kg2,地球质量M＝6.0×1024kg，地球半径R＝6。4×103km。由以上数据可估算（）图1A．“天宫二号”的质量B．“天宫二号”的运行速度C．“天宫二号"受到的向心力D．地球对“天宫二号”的引力答案B7．若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球公转周期和公转轨道半径分别为t和r，则太阳质量与地球质量之比为（)A.eq\f(R3t2,r3T2) B.eq\f(R3T2，r3t2）C。eq\f(R3t2,r2T3) D。eq\f(R2T3,r2t3）答案A解析无论地球绕太阳公转,还是月球绕地球公转，统一的公式为eq\f(GMm，R\o\al（2,0）)＝meq\f(4π2R0，T\o\al(2,0）)，即M∝eq\f(R\o\al（3，0)，T\o\al(2,0))，所以eq\f(M日，M地）＝eq\f(R3t2，r3T2）。8．a、b、c、d是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星．其中a、c的轨道相交于P，b、d在同一个圆轨道上，b、c轨道在同一平面上．某时刻四颗卫星的运行方向及位置如图2所示,下列说法中正确的是(）图2A．a、c的加速度大小相等，且大于b的加速度B．b、c的角速度大小相等，且小于a的角速度C．a、c的线速度大小相等,且小于d的线速度D．a、c存在在P点相撞的危险答案A解析由Geq\f（Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2,T2）r＝man可知，选项B、C错误，选项A正确;因a、c轨道半径相同,周期相同，既然题图时刻不相撞，以后就不可能相撞了，选项D错误．9．两颗行星A和B各有一颗卫星a和b,卫星轨道接近各自行星的表面，如果两行星的质量之比为eq\f（MA,MB）＝p，两行星半径之比为eq\f（RA,RB）＝q,则两个卫星的周期之比eq\f(Ta，Tb）为(）A。eq\r(pq) B．qeq\r(p）C．peq\r（\f(p,q）） D．qeq\r(\f（q，p))答案D解析卫星做圆周运动时，万有引力提供圆周运动的向心力，则有：Geq\f(Mm,R2）＝mR(eq\f(2π,T)）2，得T＝eq\r(\f（4π2R3，GM)）,解得：eq\f(Ta，Tb)＝qeq\