2022届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第3节圆的方程课时作业【含答案】

第八章平面解析几何授课提示：对应学生用书第319页[A组基础保分练]1．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则“E＝F＝0且D＜0”是“圆C与y轴相切于原点”A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A2．经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为()A．(x－1)2＋y2＝1B．(x－1)2＋(y－1)2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．(x－1)2＋(y－1)2＝2答案：B3．在平面直角坐标系xOy中，已知A(－1,0)，B(0,1)，则满足|PA|2－|PB|2＝4且在圆x2＋y2＝4上的点P的个数为()A．0 B．1C．2 D．3解析：设P(x，y)，则由|PA|2－|PB|2＝4，得(x＋1)2＋y2－x2－(y－1)2＝4，所以x＋y－2＝0.求满足条件的点P的个数即为求直线与圆的交点个数，圆心到直线的距离为eq\f(|0＋0－2|,\r(2）＝eq\r(2)＜2＝r，所以直线与圆相交，交点个数为2.故满足条件的点P有2个．答案：C4．(高考全国卷Ⅱ)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为()A.eq\f(\r(5),5) B．eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(3\r(5),5) D．eq\f(4\r(5),5)答案：B5．已知圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b对称，则a－bA．(－∞，0) B．(－∞，4)C．(－4，＋∞) D．(4，＋∞)答案：B6．过点M(2,2)的直线l与坐标轴的正方向分别相交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为8，则△OAB外接圆的标准方程是()A．(x－2)2＋(y－2)2＝8B．(x－1)2＋(y－2)2＝8C．(x＋2)2＋(y－2)2＝8D．(x－1)2＋(y＋2)2＝8解析：设直线l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a＞0，b＞0)，由直线l过点M(2，2)，得eq\f(2,a)＋eq\f(2,b)＝1.又S△OAB＝eq\f(1,2)ab＝8，所以a＝4，b＝4，所以△OAB是等腰直角三角形，且M是斜边AB的中点，则△OAB外接圆的圆心是点M(2,2)，半径|OM|＝2eq\r(2)，所以△OAB外接圆的标准方程是(x－2)2＋(y－2)2＝8.答案：A7．已知点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上运动，则eq\f(y－1,x－2)的最大值为________．答案：eq\f(\r(3),3)8．(银川模拟)已知圆x2＋y2＝4，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上动点，若∠PBQ＝90°，则线段PQ中点的轨迹方程为________．答案：x2＋y2－x－y－1＝09．一圆经过A(4,2)，B(－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程．解析：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以x1＋x2＝－D.令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以y1＋y2＝－E.由题意知－D－E＝2，即D＋E＋2＝0.①又因为圆过点A，B，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0.②1＋9－D＋3E＋F＝0.③解①②③组成的方程组得D＝－2，E＝0，F＝－12.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.10．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4eq\r(10).(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程．解析：(1)由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1,2)，则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得a＋b－3＝0.①又因为直径|CD|＝4eq\r(10)，所以|PA|＝2eq\r(10)，所以(a＋1)2＋b2＝40.②由①②解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝6）或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝－2.）所以圆心P(－3,6)或P(5，－2)．所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.[B组能力提升练]1．(多选题)(山东青岛检测)已知圆C过点M(1，－2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是()A．满足条件的圆C的圆心在一条直线上B．满足条件的圆C有且只有一个C．点(2，－1)在满足条件的圆C上D．满足条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为4eq\r(2)解析：因为圆C和两个坐标轴都相切，且过点M(1，－2)，所以设圆心坐标为(a，－a)(a＞0)，故圆心在直线y＝－x上，A正确；圆C的方程为(x－a)2＋(y＋a)2＝a2，把点M的坐标代入可得a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，则圆心坐标为(1，－1)或(5，－5)，所以满足条件的圆C有且只有两个，故B错误；圆C的方程分别为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，(x－5)2＋(y＋5)2＝25，将点(2，－1)代入可知满足(x－1)2＋(y＋1)2＝1，故C正确；它们的圆心距为eq\r(5－12＋－5＋12)＝4eq\r(2)，D正确．答案：ACD2．圆x2＋y2－4x－4y＋m＝0上动点P到直线x＋y＋2＝0的最小距离为2eq\r(2)，则m＝()A．－10 B．－6C．6 D．10答案：C3．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2与y轴在第二象限所围区域的面积为S，直线y＝2x＋b将圆C分为两部分，其中一部分的面积也为S，则b＝()A．－eq\r(6) B．±eq\r(6)C．－eq\r(5) D．±eq\r(5)解析：结合图形(图略)及题意知，圆心C(1,2)到y轴的距离与到直线y＝2x＋b的距离相等，易知C(1,2)到y轴的距离为1，则eq\f(|2×1－2＋b|,\r(22＋－12）＝1，解得b＝±eq\r(5).答案：D4．已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)，则eq\f(n－3,m＋2)的最大值为()A．3＋eq\r(2) B．1＋eq\r(2)C．1＋eq\r(3) D．2＋eq\r(3)解析：由题可知eq\f(n－3,m＋2)表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，其中eq\f(n－3,m＋2)＝k，将圆C的方程化为标准方程得(x－2)2＋(y－7)2＝8，C(2,7)，半径r＝2eq\r(2)，由直线MQ与圆C有交点，得eq\f(|2k－7＋2k＋3|,\r(1＋k2）≤2eq\r(2)，解得2－eq\r(3)≤k≤2＋eq\r(3)，∴eq\f(n－3,m＋2)的最大值为2＋eq\r(3).答案：D5．(临沂模拟)已知圆心在直线x－3y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，且截x轴所得的弦长为4eq\r(2)，则圆C的标准方程为________．答案：(x－3)2＋(y－1)2＝96．已知点P是圆x2＋y2＝1上的任意一点，A(－5,0)，B(b,0)(b≠－5)，若eq\f(|PA|,|PB|)＝λ(λ为定值)，则λb＝________.解析：设点P(xP，yP)，∵|PA|＝λ|PB|，A(－5,0)，B(b,0)，∴(xP＋5)2＋yeq\o\al(2,P)＝λ2[(xP－b)2＋yeq\o\al(2,P)]，∴xeq\o\al(2,P)＋yeq\o\al(2,P)＋10xP＋25＝λ2(xeq\o\al(2,P)＋yeq\o\al(2,P)－2bxP＋b2)．∵P在圆x2＋y2＝1上，∴xeq\o\al(2,P)＋yeq\o\al(2,P)＝1，∴10xP＋26＝λ2(1－2bxP＋b2)，∴(10＋2bλ2)xP＝λ2＋b2λ2－26，要使上式对xP∈[－1,1]恒成立，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10＋2bλ2＝0，,λ2＋b2λ2－26＝0，）得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－\f(1,5)，,λ2＝25）或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－5，,λ2＝1）(不符合题意，舍去)．∵λ＞0，∴λ＝5，∴λb＝－1.答案：－17．设m∈R，已知直线x＋my＝0过定点A，直线mx－y－2m＋4＝0过定点B，直线x＋my＝0和直线mx－y－2m＋4＝0交于点(1)求动点P的轨迹方程；(2)求|PA|·|PB|的最大值．解析：(1)由已知可知，直线x＋my＝0和直线mx－y－2m＋4＝0分别过定点A(0,0)，B(2,4)，又m×1＋m×(－1)＝0，所以两直线垂直，故两直线的交点P(x，y)的轨迹为以AB为直径的圆，圆心为AB的中点(1,2)，半径r＝eq\f(|AB|,2)＝eq\r(5)，故动点P的轨迹方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.(2)由(1)可知定点A(0,0)，B(2,4)，且两直线垂直，P为圆(x－1)2＋(y－2)2＝5上的点，则PA⊥PB，|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝22＋42＝20，则|PA|·|PB|≤eq\f(|PA|2＋|PB|2,2)＝10，当且仅当|PA|＝|PB|时等号成立，所以|PA|·|PB|的最大值为10.[C组创新应用练]1．(海口模拟)已知实数x，y满足x2＋y2＝4(y≥0)，则m＝eq\r(3)x＋y的取值范围是()A．(－2eq\r(3)，4) B．[－2eq\r(3)，4]C．[－4,4] D．[－4,2eq\r(3)]解析：x2＋y2＝4(y≥0)表示圆x2＋y2＝4的上半部分，如图所示，直线eq\r(3)x＋y－m＝0的斜率为－eq\r(3)，在y轴上的截距为m.当直线eq\r(3)x＋y－m＝0过点(－2,0)时，m＝－2eq\r(3).设圆心(0,0)到直线eq\r(3)x＋y－m＝0的距离为d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥－2\r(3)，,d≤2，）即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥－2\r(3)，,\f(|－m|,2)≤2.）解得m∈[－2eq\r(3)，4]．答案：B2．设命题p：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x＋3y－12≥0，,k－x≥0，,x＋3y≤12）(x，y，k∈R且k＞0)；命题q：(x－3)2＋y2≤25(x，y∈R)．若p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是________．解析：如图所示：命题p表示的范围是图中△ABC的内部(含边界)，命题q表示的范围是以点(3,0)为圆心，5为半径的圆及圆内部分，p是q的充分不必要条件．实际上只需A，B，C三点都在圆内(或圆上)即可．由题知Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k，4－\f(4,3)k），则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＞0，,k－32＋\f(16,9)3－k2≤25，）解得0＜k≤6.答案：(0,6]3．如果直线2ax－by＋14＝0(a＞0，b＞0)和函数f(x)＝mx＋1＋1(m＞0，m≠1)的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆(x－a＋1)2＋(y＋b－2)2＝25的内部或圆上，那么eq\f(b,a)的取值范围为________．解析：易知函数f(x)＝mx＋1＋1(m＞0，m≠1)的图象过定点(－1，2)，∴直线2ax－by＋14＝