微分和积分与微分方程课件

微分和積分

與

微分方程張基昇製作1微分和積分

與

微分方程張基昇製作1目錄數值微分

小等間距數據

寬間距數據寬等間距數據寬不等間距數據數值積分微分方程2目錄數值微分2數值微分數值微分小等間距數據寬等間距寬不等間距3數值微分數值微分3數值微分–小等間距數據數值微分小等間距數據4數值微分–小等間距數據數值微分4數值微分–小等間距數據問：計算在x=2.4時的一次導數值原始範例方程式一次微分式5數值微分–小等間距數據問：計算在x=2.4時的一各階微分式一次微分式兩次微分式三次微分式四次微分式6各階微分式一次微分式6數據表N012345xn0.00.20.40.60.81.0fn5.005.686.527.528.6810.0067891011121.21.41.61.82.02.22.411.4813.1214.9216.8819.0021.2823.727數據表N012345xn0.00.20.40.60.81.數據表N131415161718xn2.62.83.03.23.43.6fn26.3229.0832.0035.0838.3241.72192021222324253.84.04.24.44.64.85.045.2849.0052.8856.9261.1265.4870.008數據表N131415161718xn2.62.83.03.原函數直接微分之結果在x=2.4時，一次導數的計算結果f’(x)=4.*x+3.=4*2.4+3=12.69原函數直接微分之結果在x=2.4時，一次導數的計算結一階導數計算式摘列4種一階導數之數值方法計算式=(26.32-23.72)/0.2=13.0=(26.32-21.28)/(2*0.2)=12.610一階導數計算式摘列4種一階導數之數值方法計算式10一階導數計算式摘列4種一階導數之數值方法計算式=(-29.08+4*26.32-3*23.72)

/(2*0.2)=12.611一階導數計算式摘列4種一階導數之數值方法計算式11一階導數計算式摘列4種一階導數之數值方法計算式=(-29.08+8*26.32-8*21.28

+19.00)/(12*0.2)=12.612一階導數計算式摘列4種一階導數之數值方法計算式12計算通式摘列4種一階導數之數值方法計算式13計算通式摘列4種一階導數之數值方法計算式13偽碼法-計算流程宣告矩陣：dimensionx(50)、f(50)，兩變數都以一維向量宣告。矩陣位址不可使用0，亦即在數據點n=0的x=0.0和f=5.0點，在矩陣是放在x(1)與f(1)的變數中。但在數值方法中，則由n=0為起始，做算式推衍與分析。14偽碼法-計算流程宣告矩陣：dimensionx(50)偽碼法-計算流程宣告變數位元數：依需要宣告如整數、實數、字元是否需要倍準制等等Open

開啟輸入與輸出指定路徑之檔案15偽碼法-計算流程宣告變數位元數：依需要宣告15偽碼法-計算流程Read讀入數據：N=26；數據點Nn=13；計算點Xx=2.4；計算點的值x(i),f(i)，i=1,n；以迴圈讀入數據選擇計算點Xx，確定i=Nn值16偽碼法-計算流程Read讀入數據：16偽碼法-計算流程選擇計算式；依計算準確度選擇Fd1i=(f(i+1)-f(i))/hFd1i=(f(i+1)-f(i-1))/(2*h)Fd1i=(-f(i+2)+4.*f(i+1)–3.*f(i))

/(2.*h)；Fd1i=(-f(i+2)+8.*f(i+1)–8.*f(i-1)

+f(i-2))/(12.*h)Write輸出計算結果17偽碼法-計算流程選擇計算式；依計算準確度選擇17數值微分–寬間距數據數值微分寬等間距數據寬不等間距數據18數值微分–寬間距數據數值微分18數值微分–寬間距數據問：計算在x=2.4時的一次導數值數據之原始範例方程式一次微分式19數值微分–寬間距數據問：計算在x=2.4時的一次泰勒級數展開TheTaylor-SeriesExpansion20泰勒級數展開TheTaylor-SeriesExpans泰勒級數展開TheTaylor-SeriesExpansion21泰勒級數展開TheTaylor-SeriesExpans數值微分–寬間距數據nxnfnnxnfn005；f(1,1)005；f(1,1)1110；f(2,1)1219；f(2,1)2219；f(3,1)2332；f(3,1)3332；f(4,1)3449；f(4,1)4449；f(5,1)4570；f(5,1)5570；f(6,1)5695；f(6,1)22數值微分–寬間距數據nxnfnnxnfn005；f(以多項式取代原函數有一個非線性函數可表示成n階的多項式表示

23以多項式取代原函數有一個非線性函數可表示成n階的多項式表分離差分法級數展開式利用泰勒級數展開的觀念，但採用分離差分法處裡，其表示式為24分離差分法級數展開式利用泰勒級數展開的觀念，但採用分離差分法各階差分式一、二、三階的差分項之表示式25各階差分式一、二、三階的差分項之表示式25差分數據表nxnfnfn[1]fn[2]fn[3]fn[4]fn[5]005---------------1110---------------2219---------------3332---------------4449---------------5570---------------26差分數據表nxnfnfn[1]fn[2]fn[3]fn[等間距數據nxnfnfn[1]fn[2]345005(10-5)/(1-0)=5(9-5)/(2-0)=20001110(19-10)/(2-1)=9(13-9)/(3-1)=200-2219(32-19)/(3-2)=13(17-13)/(4-2)=20--3332(49-32)/(4-3)=17(21-17)/(5-3)=2---4449(70-19)/(5-4)=21------5570---------27等間距數據nxnfnfn[1]fn[2]345005(1不等間距數據nxnfnfn[1]fn[2]345005(19-5)/(2-0)=7(13-7)/(3-0)=20001219(32-19)/(3-2)=13(17-13)/(4-2)=200-2332(49-32)/(4-3)=17(21-17)/(5-3)=20--3449(70-19)/(5-4)=21(25-21)/(6-4)=2---4570(95-70)/(6-5)=25------5695---------28不等間距數據nxnfnfn[1]fn[2]345005(高階差分式各多項式為多階函數，為差分項相乘之之運算，所以高階項微分之結果為29高階差分式各多項式為多階函數，為差分項相乘之之運算，29一次導數計算通式計算一次導數之使用通式一計算一次導數之使用通式二30一次導數計算通式計算一次導數之使用通式一30一次導數計算通式計算使用式三，應用於本範例的計算31一次導數計算通式31偽碼法-計算流程宣告矩陣：dimensionx(10)、f(10,10)，以二維矩陣宣告之範例。矩陣位址不可使用0，亦即數據點n=0的x=0.0和f=5.0點，在矩陣是放在x(1)與f(1,1)的變數中。宣告變數：依需要宣告Open宣告輸入與輸出檔案之路徑32偽碼法-計算流程宣告矩陣：dimensionx(10)偽碼法-計算流程Read讀入數據：N=6；數據點Nn；起算點Xx；計算點x(i),f(i,1)；i=1,n；其餘需要之f(i,2)、f(i,3)、…、f(i,6)等，於插分表建立時宣告數值33偽碼法-計算流程Read讀入數據：33偽碼法-計算流程建立插分表Do迴圈建立差分表f(i,j)=0.0；i=1,n；j=2,nf(i,2)=[f(i+1,1)-f(i,1)]/[x(i+1)-x(i)]；i=1,n-1f(i,3)=[f(i+1,2)-f(i,2)]/[x(i+2)-x(i)]；i=1,n-234偽碼法-計算流程建立插分表34偽碼法-計算流程建立插分表Do迴圈建立差分表f(i,4)=[f(i+1,3)-f(i,3)]/[x(i+3)-x(i)]；i=1,n-3f(i,5)=[f(i+1,4)-f(i,4)]/[x(i+4)-x(i)]；i=1,n-4f(i,6)=[f(i+1,5)-f(i,5)]/[x(i+5)-x(i)]；i=1,n-535偽碼法-計算流程建立插分表35偽碼法-計算流程Set選擇計算之起算點NnSet選擇計算點XxDo迴圈計算i=Nn

Fd1i=f(i,2)+f(i,3)*((Xx-x(i+1)+(Xx-x(i))

+f(i,4)*((Xx-x(i+1)*(Xx-x(i+2))

+(Xx-x(i)*(Xx-x(i+2))+(Xx-x(i)

*(Xx-x(i+1))+…Write輸出計算結果36偽碼法-計算流程Set選擇計算之起算點Nn36數值積分問題積分37數值積分問題積分37數值積分問題數據表以如下方程式建立之數據表提供數據請計算在x=0.0至x=5.0的積分結果為何？38數值積分問題數據表38分析解積分法原始函數之積分結果為145.83339分析解積分法原始函數之積分結果為145.83339數據表N012345xi0.00.20.40.60.81.0f5.005.686.527.528.6810.0067891011121.21.41.61.82.02.22.411.4813.1214.9216.8819.0021.2823.7240數據表N012345xi0.00.20.40.60.81.數據表N131415161718xi2.62.83.03.23.43.6f26.3229.0832.0035.0838.3241.72192021222324253.84.04.24.44.64.85.045.2849.0052.8856.9261.1265.4870.0041數據表N131415161718xi2.62.83.03.函數積分結果與作圖積分結果即是曲線與f(x)=0軸線間在積分之x值區間所涵蓋的面積42函數積分結果與作圖積分結果即是曲線與f(x)=0軸線數值積分計算式數據點數為2、3、4的倍數使用式43數值積分計算式數據點數為2、3、4的倍數使用式43三種積分法區域示意圖積分時，各點函數之比重在算式中呈現圖中未正確呈現函數點貢獻比重(11)*1/2(141)*2/6(1331)*3/844三種積分法區域示意圖積分時，各點函數之比重在算式中呈現44數值積分計算式數據點數有26，可採用梯形法。45數值積分計算式數據點數有26，可採用梯形法。45數值積分計算式數據點數有2+24，可採用1次梯形法與12次辛普森1/3法46數值積分計算式數據點數有2+24，可採用1次梯形法與數值積分計算式數據點數有24+2，可採用12次辛普森1/3法與1次梯形法。47數值積分計算式數據點數有24+2，可採用12次辛普數值積分計算式數據點數有2+24，可採用1次梯形法與8次辛普森3/8法。48數值積分計算式數據點數有2+24，可採用1次梯形法微分方程微分方程49微分方程微分方程49微分方程範例一一個一階微分方程如下，以步幅

h=0.1，求取y的函數值

原函數

50微分方程範例一一個一階微分方程如下，以步幅h=0.1解析之計算式TheTaylor-SeriesExpansion51解析之計算式TheTaylor-SeriesExpans解析之計算式TheTaylor-SeriesMethod52解析之計算式TheTaylor-SeriesMethod範例一計算結果y’=4*x+3nxnyny’nh*y’n10.05.003.00.30020.15.303.40.34030.25.643.80.38040.36.024.20.42050.46.4453範例一計算結果y’=4*x+3nxnyny’nh*微分方程範例二一個一階微分方程如下，以間距

h=0.1，求取

x=0.4時的y值

54微分方程範例二一個一階微分方程如下，以間距h=0.1範例二計算結果y’=-2*x-ynxnyny’nh*y’n10.0-1.00001.00000.1000020.1-0.90000.70000.0700030.2-0.83000.43000.0430040.3-0.78700.18700.0187050.4-0.7683-0.031755範例二計算結果y’=-2*x-ynxny解析之計算式EulerandModifiedEulerMethods

56解析之計算式EulerandModifiedEuler解析之計算式Runge-KuttaMethods

57解析之計算式Runge-KuttaMethods

57您可已曉得！劇情如何發展！敬請期待！58您可已曉得！58微分和積分

與

微分方程張基昇製作59微分和積分

與

微分方程張基昇製作1目錄數值微分

小等間距數據

寬間距數據寬等間距數據寬不等間距數據數值積分微分方程60目錄數值微分2數值微分數值微分小等間距數據寬等間距寬不等間距61數值微分數值微分3數值微分–小等間距數據數值微分小等間距數據62數值微分–小等間距數據數值微分4數值微分–小等間距數據問：計算在x=2.4時的一次導數值原始範例方程式一次微分式63數值微分–小等間距數據問：計算在x=2.4時的一各階微分式一次微分式兩次微分式三次微分式四次微分式64各階微分式一次微分式6數據表N012345xn0.00.20.40.60.81.0fn5.005.686.527.528.6810.0067891011121.21.41.61.82.02.22.411.4813.1214.9216.8819.0021.2823.7265數據表N012345xn0.00.20.40.60.81.數據表N131415161718xn2.62.83.03.23.43.6fn26.3229.0832.0035.0838.3241.72192021222324253.84.04.24.44.64.85.045.2849.0052.8856.9261.1265.4870.0066數據表N131415161718xn2.62.83.03.原函數直接微分之結果在x=2.4時，一次導數的計算結果f’(x)=4.*x+3.=4*2.4+3=12.667原函數直接微分之結果在x=2.4時，一次導數的計算結一階導數計算式摘列4種一階導數之數值方法計算式=(26.32-23.72)/0.2=13.0=(26.32-21.28)/(2*0.2)=12.668一階導數計算式摘列4種一階導數之數值方法計算式10一階導數計算式摘列4種一階導數之數值方法計算式=(-29.08+4*26.32-3*23.72)

/(2*0.2)=12.669一階導數計算式摘列4種一階導數之數值方法計算式11一階導數計算式摘列4種一階導數之數值方法計算式=(-29.08+8*26.32-8*21.28

+19.00)/(12*0.2)=12.670一階導數計算式摘列4種一階導數之數值方法計算式12計算通式摘列4種一階導數之數值方法計算式71計算通式摘列4種一階導數之數值方法計算式13偽碼法-計算流程宣告矩陣：dimensionx(50)、f(50)，兩變數都以一維向量宣告。矩陣位址不可使用0，亦即在數據點n=0的x=0.0和f=5.0點，在矩陣是放在x(1)與f(1)的變數中。但在數值方法中，則由n=0為起始，做算式推衍與分析。72偽碼法-計算流程宣告矩陣：dimensionx(50)偽碼法-計算流程宣告變數位元數：依需要宣告如整數、實數、字元是否需要倍準制等等Open

開啟輸入與輸出指定路徑之檔案73偽碼法-計算流程宣告變數位元數：依需要宣告15偽碼法-計算流程Read讀入數據：N=26；數據點Nn=13；計算點Xx=2.4；計算點的值x(i),f(i)，i=1,n；以迴圈讀入數據選擇計算點Xx，確定i=Nn值74偽碼法-計算流程Read讀入數據：16偽碼法-計算流程選擇計算式；依計算準確度選擇Fd1i=(f(i+1)-f(i))/hFd1i=(f(i+1)-f(i-1))/(2*h)Fd1i=(-f(i+2)+4.*f(i+1)–3.*f(i))

/(2.*h)；Fd1i=(-f(i+2)+8.*f(i+1)–8.*f(i-1)

+f(i-2))/(12.*h)Write輸出計算結果75偽碼法-計算流程選擇計算式；依計算準確度選擇17數值微分–寬間距數據數值微分寬等間距數據寬不等間距數據76數值微分–寬間距數據數值微分18數值微分–寬間距數據問：計算在x=2.4時的一次導數值數據之原始範例方程式一次微分式77數值微分–寬間距數據問：計算在x=2.4時的一次泰勒級數展開TheTaylor-SeriesExpansion78泰勒級數展開TheTaylor-SeriesExpans泰勒級數展開TheTaylor-SeriesExpansion79泰勒級數展開TheTaylor-SeriesExpans數值微分–寬間距數據nxnfnnxnfn005；f(1,1)005；f(1,1)1110；f(2,1)1219；f(2,1)2219；f(3,1)2332；f(3,1)3332；f(4,1)3449；f(4,1)4449；f(5,1)4570；f(5,1)5570；f(6,1)5695；f(6,1)80數值微分–寬間距數據nxnfnnxnfn005；f(以多項式取代原函數有一個非線性函數可表示成n階的多項式表示

81以多項式取代原函數有一個非線性函數可表示成n階的多項式表分離差分法級數展開式利用泰勒級數展開的觀念，但採用分離差分法處裡，其表示式為82分離差分法級數展開式利用泰勒級數展開的觀念，但採用分離差分法各階差分式一、二、三階的差分項之表示式83各階差分式一、二、三階的差分項之表示式25差分數據表nxnfnfn[1]fn[2]fn[3]fn[4]fn[5]005---------------1110---------------2219---------------3332---------------4449---------------5570---------------84差分數據表nxnfnfn[1]fn[2]fn[3]fn[等間距數據nxnfnfn[1]fn[2]345005(10-5)/(1-0)=5(9-5)/(2-0)=20001110(19-10)/(2-1)=9(13-9)/(3-1)=200-2219(32-19)/(3-2)=13(17-13)/(4-2)=20--3332(49-32)/(4-3)=17(21-17)/(5-3)=2---4449(70-19)/(5-4)=21------5570---------85等間距數據nxnfnfn[1]fn[2]345005(1不等間距數據nxnfnfn[1]fn[2]345005(19-5)/(2-0)=7(13-7)/(3-0)=20001219(32-19)/(3-2)=13(17-13)/(4-2)=200-2332(49-32)/(4-3)=17(21-17)/(5-3)=20--3449(70-19)/(5-4)=21(25-21)/(6-4)=2---4570(95-70)/(6-5)=25------5695---------86不等間距數據nxnfnfn[1]fn[2]345005(高階差分式各多項式為多階函數，為差分項相乘之之運算，所以高階項微分之結果為87高階差分式各多項式為多階函數，為差分項相乘之之運算，29一次導數計算通式計算一次導數之使用通式一計算一次導數之使用通式二88一次導數計算通式計算一次導數之使用通式一30一次導數計算通式計算使用式三，應用於本範例的計算89一次導數計算通式31偽碼法-計算流程宣告矩陣：dimensionx(10)、f(10,10)，以二維矩陣宣告之範例。矩陣位址不可使用0，亦即數據點n=0的x=0.0和f=5.0點，在矩陣是放在x(1)與f(1,1)的變數中。宣告變數：依需要宣告Open宣告輸入與輸出檔案之路徑90偽碼法-計算流程宣告矩陣：dimensionx(10)偽碼法-計算流程Read讀入數據：N=6；數據點Nn；起算點Xx；計算點x(i),f(i,1)；i=1,n；其餘需要之f(i,2)、f(i,3)、…、f(i,6)等，於插分表建立時宣告數值91偽碼法-計算流程Read讀入數據：33偽碼法-計算流程建立插分表Do迴圈建立差分表f(i,j)=0.0；i=1,n；j=2,nf(i,2)=[f(i+1,1)-f(i,1)]/[x(i+1)-x(i)]；i=1,n-1f(i,3)=[f(i+1,2)-f(i,2)]/[x(i+2)-x(i)]；i=1,n-292偽碼法-計算流程建立插分表34偽碼法-計算流程建立插分表Do迴圈建立差分表f(i,4)=[f(i+1,3)-f(i,3)]/[x(i+3)-x(i)]；i=1,n-3f(i,5)=[f(i+1,4)-f(i,4)]/[x(i+4)-x(i)]；i=1,n-4f(i,6)=[f(i+1,5)-f(i,5)]/[x(i+5)-x(i)]；i=1,n-593偽碼法-計算流程建立插分表35偽碼法-計算流程Set選擇計算之起算點NnSet選擇計算點XxDo迴圈計算i=Nn

Fd1i=f(i,2)+f(i,3)*((Xx-x(i+1)+(Xx-x(i))

+f(i,4)*((Xx-x(i+1)*(Xx-x(i+2))

+(Xx-x(i)*(Xx-x(i+2))+(Xx-x(i)

*(Xx-x(i+1))+…Write輸出計算結果94偽碼法-計算流程Set選擇計算之起算點Nn36數值積分問題積分95數值積分問題積分37數值積分問題數據表以如下方程式建立之數據表提供數據請計算在x=0.0至x=5.0的積分結果為何？96數值積分問題數據表38分析解積分法原始函數之積分結果為145.83397分析解積分法原始函數之積分結果為145.83339數據表N012345xi0.00.20.40.60.81.0f5.005.686.527.528.6810.0067891011121.21.41.61.82.02.22.411.4813.1214.9216.8819.0021.2823.7298數據表N012345xi0.00.20.40.60.81.數據表N131415161718xi2.62.83.03.23.43.6f26.3229.0832.0035.0838.3241.72192021222324253.84.04.24.44.64.85.045.2849.0052.8856.9261.1265.4870.0099數據表N131415161718xi2.62.83.03.函數積分結果與作圖積分結果即是曲線與f(x)=0軸線間在積分之x值區間所涵蓋的面積100函數積分結果與作圖積分結果即是曲線與f(x)=0軸線數值積分計算式數據點數為2、3、4