套利定价模型课件

第六章套利定价模型第六章套利定价模型一、因子模型

（一）概述

因子模型(factormodel)由夏普于1963年提出，是一种假设证券的收益率与不同的因子或者指标的运动有关的经济模型系统性风险因素：对大多数资产产生影响的风险，只是每种资产受影响的程度不同而已。

例如：GNP、利率、通胀非系统性风险因素：对某一种资产或某一类资产发生影响的风险。

例如：公司的高管变更、研发信息、销售信息、竞争对手的信息一、因子模型（一）概述一、因子模型股票的收益：R=E（R）+U

E（R）：期望收益；

U：非期望收益，即风险收益把风险收益U分为系统风险m和非系统风险两个部分。非系统因素之间不相关，即：相关系数

R=E（R）+m+预期到的系统风险系统风险中的变动部分非系统风险一、因子模型股票的收益：R=E（R）+U预期一、因子模型

假定考虑通胀、GNP和利率三个系统性风险因素，它们与股票收益相关的系数为、、，则：

期望收益率非期望部分一、因子模型假定考虑通胀、GNP和利一、因子模型

例：年初预测：期望通胀率=5％，期望GNP增长率=2％，期望利率变动=0。β系数：βI=2，βGNP=1，βr=－1.8实际结果：①实际通胀率=7％，实际GNP增长率=1％，实际利率变动=－2％②公司成功实施新的企业战略，这一没有预料到的发展使公司股票收益增长5％③同期股票市场的平均收益，R＝4％一、因子模型例：年初预测：期望通胀率=5％一、因子模型

则各系统风险因素的异动

FI＝7％－5％＝2％

FGNP＝1％－2％＝－1％

Fr＝－2％－0＝－2％系统风险因素异动对该公司股票收益的影响：

m＝βIFI＋βGNPFGNP＋βrFr

＝2×2%＋1×（-1％）＋（-1.8）×（-2％）＝6.6

总风险收益=m＋ε＝6.6%+5%=11.6%

总收益R＝E(R)＋m＋ε＝4％＋11.6％＝15.6%一、因子模型则各系统风险因素的异动一、因子模型

（二）单因子模型

单因子模型相对CAPM解决了两个问题，一是提供一种简化地应用CAPM的方式；二是细分影响总体市场环境变化的宏观因素。

一、因子模型（二）单因子模型

假设仅考虑经济增长GDP对公司股票收益率的影响，即只考虑GDP变化对风险补偿的影响。

历史数据库年GDP增长率（%）证券收益率（%）1234565.76.47.97.05.12.914.319.223.415.69.213.0一、因子模型

假设仅考虑经济增长GDP对公司股票收益率这一关系也可用下面的图形表示

24201612844826••••••9这一关系也可用下面的图形表示24201612844826•一、因子模型

使用一元回归分析的统计技术做一条直线来拟合图中的点。那么，图中这条直线的回归方程则为：

Ri=4%+2GDP

回归方程和直线都表示较高预期的GDP与较高的证券收益率相关联。一、因子模型使用一元回归分析的统计技术一、因子模型

任一给定证券的实际回报率由于含有非因素回报率的缘故而位于拟合直线的上方或下方。因此对例中的单因子模型所反映的关系的完整描述为：

任何一个证券的收益由三部分构成：αi：宏观因素期望变化为零时的收益，是投资者对证券的期初收益；βiG：系统性风险收益，即随整个市场运动变化不确定性（非预期的）的收益，且变化的敏感度是βi，测量因子风险；εi：与国内生产总值无关因素的作用，是非系统性风险收益（既测量非因子风险），即只与单个证券相关的非预期事件形成的非预期收益。一、因子模型任一给定证券的实际回报率

1、单因子模型的一般形式

一般地，单因子模型认为有一个因素F对证券收益产生广泛影响，这种影响力通过对每种证券i在任意时期t的建立如下方程来反映：

其中：

是证券i在t时期的（实际）收益率,

是宏观因素在t期的值，

是证券i对宏观因素的敏感度，

是一个均值为零的随机变量，

是当宏观因素均值为零时证券的收益率。一、因子模型

1、单因子模型的一般形式一、因子模型一、因子模型

2、单因子模型有如下假设：

收益率的生成过程由上述回归方程描述

对每一证券i，每一证券的残差与宏观因素不相关，这意味着因素的结果对随机误差的结果没有任何影响：证券i与j的残差不相关，这意味着一种证券的随机误差结果对任意其他证券的随机误差结果不产生任何影响。换句话说，两种证券的回报率仅仅通过对因素的共同反应而相关联：

一、因子模型2、单因子模型有如下假设：

上述方程中证券i的期望收益、方差、协方差分别为：期望收益率：一、因子模型

上述方程中证券i的期望收益、方差、协方差分别

方差：

其中，

是因素的方差，

是随机误差项的方差

因而证券i收益率的方差分为两个部分：系统风险

，主要由宏观因素影响产生；非系统风险残差方差，主要由微观因素影响产生一、因子模型

不能分散可分散方差：一、因子模型不能分散可分散协方差：一、因子模型协方差只取决于市场风险。协方差：一、因子模型协方差只取决于市场风险。

3、单因子模型中表示的系统风险与非系统风险

因子模型是一个描述证券收益生成的模型。

表示非系统风险；

表示系统风险，其中，

表示宏观因素均值为零时证券的期望收益。

Return

一、因子模型

因子风险非因子风险 3、单因子模型中表示的系统风险与非系统风险一、因子一、因子模型

（三）资本资产定价模型与因子模型

1、市场模型(MarketModel)用证券市场指数来作为影响证券价格的单因素，此时的单因子模型被称为市场模型。市场模型实际上是单因素模型的一个特例。一、因子模型（三）资本资产定价模型与因子模型一、因子模型

假设一种股票在某一特定时期内的收益率与同一时期证券市场指数（如标准普尔500指数）的收益率相联系，即如果行情上扬，则很可能该股票价格会上升，市场行情下降，则该股票很可能下跌。因此，可以用市场模型的方程表示这一关系：式中：代表某一给定时期证券i的收益率；

I代表市场指数；代表相同时期市场指数I的收益率；是随机误差项一、因子模型假设一种股票在某一特定时期内一、因子模型

例子：考虑股票A，有αIi=2%，ßI

i=1.2，这意味着股票A的市场模型为：

因此，如果市场指数回报率为10%，则证券A的回报率预期为14%（=2%+1.2*10%）。同样，如果市场预期的回报率为-5%，则证券A的预期回报率为-4%。

注意：由于随机误差项的存在（表示证券回报率中没有被市场模型所完全解释的部分），当市场指数上升10%或下降5%时，证券A的回报率将不会准确地为14%或-4%。即，实际回报率和所给定市场指数回报率之间的差额将归结于随机误差项的影响。一、因子模型例子：考虑股票A，有αIi=2%，ß一、因子模型2、资本资产定价模型与因子模型的关系CAPM可视为一个特殊的单因子模型，在那里的市场组合收益率rM实质上就是一个单因素。以市场组合的收益率的风险补偿来作为宏观经济指数，于是有：,或者

（实际上这是证券i对市场组合收益的回归方程，其回归直线就是证券i的特征线）一、因子模型2、资本资产定价模型与因子模一、因子模型但资本资产定价模是一个资产定价的均衡模型，而因子模型却不是。例如，比较分别由因子模型和资本资产定价模型得到的证券的预期收益率：前者不是一个均衡模型，而后者是均衡模型一、因子模型但资本资产定价模是一个资产定价一、因子模型单因子模型中参数αi和βi与资本资产定价模型中单因素βi之间存在怎样的关系呢？例如，如果实际收益率可以看作是由单因子模型产生，其中因素F是市场组合的收益率rM，那么预期收益率将等于：

根据资本资产定价模型，如果均衡存在，则一、因子模型单因子模型中参数αi和βi与资一、因子模型这意味着，单因子模型和资本资产定价模型的参数之间必然存在下列关系：一、因子模型这意味着，单因子模型和资本资产一、因子模型可以再从以下角度看两个贝塔的关系：证券i的风险补偿与市场组合的风险补偿的协方差是：从而

这里的βi和资本资产定价模型（证券市场线）里的β系数是完全一样的，这也就是为什么把指数模型里对宏观经济变量的敏感度也定义为β的原因一、因子模型可以再从以下角度看两个贝塔的一、因子模型在资本资产定价模型和市场模型中都有一个被称为ß值的斜率，并且这两个模型或多或少地包含了市场，但是它们之间却有明显的区别：资本资产定价模型是一个均衡模型，它描述证券的价格如何确定；市场模型是一个因子模型。资本资产定价模型是相对于整个市场组合而言的，即相对于市场中所有证券的集合。而市场模型是相对于某个市场指数而言，即基于市场中的一个样本。

但是在实际操作中，由于不能确切知道市场组合的构成，所以一般用市场指数来代替，因此可以用市场模型中测算的ß值来代替资本资产定价模型中的ß值。

Return

一、因子模型在资本资产定价模型和市场模型中一、因子模型（四）多因子模型1、多因子模型的经验基础经济状况影响着大部分企业，因而对经济前景的预期的变化被认为对绝大部分证券的收益率产生深刻影响。然而经济并不是一个简单、统一的实体，因而我们需要确认一些具有广泛作用的共同影响力，比如：国内生产总值；利率水平；通货膨胀率；石油价格水平。多因子模型对现实的近似程度更高。这一简化形式使得证券组合理论广泛应用于实际成为可能，尤其是20世纪70年代以来计算机的发展和普及以及软件的成套化和市场化，极大地促进了现代证券组合理论在实践中的应用。一、因子模型（四）多因子模型一、因子模型

2、多因子模型（Multifactormodels）

当考虑多个因素对证券收益率的影响时，则产生多因子模型，多因子模型更加清晰明确解释了系统风险，从而有可能展示不同的股票对不同的因素有不同的敏感性。

一、因子模型2、多因子模型（Multif一、因子模型

多因子模型的假设条件：在多因子模型中，各因子之间不存在相关关系。即Fi与Fj之间均协方差为零；证券的残差与因子之间协方差为零。

Cov(εi，Fi)=0两种证券收益率εi和εj之间的协方差为零。

εi的均值E（εi）=0，一切εi，εj不相关，即

Cov（εi,εj）=0

一、因子模型多因子模型的假设条件：一、因子模型（1）单一证券的双因子模型

双因子模型在t时期的方程式为：F1t和F2t是两个对证券回报率具有普遍影响的因素，βi1和βi2分别是证券i对两个因素的敏感性。同单因子模型一样，εit是随机误差项，αi是当两个因素都取值为0是证券i的预期回报率。在双因素模型中，我们需要为每种证券估计4个参数：αi,βi1,βi2以及随机误差的标准差εit。对每个因素，需要估计两个参数：因素的预期值以及因素的方差。此外还要估计两个因素的协方差cov(F1,F2)。一、因子模型（1）单一证券的双因子模型一、因子模型预期收益率：利用上述估计值，证券i的预期收益率可以由下式计算得出：方差：根据双因子模型，任意证券i的方差为：一、因子模型预期收益率：利用上述估计值，证一、因子模型（2）单一证券的多因子模型一般式

一、因子模型（2）单一证券的多因子模型一一、因子模型

3、投资组合的因子模型用N种股票构建一个组合：单因子模型：Ri＝αi+βiF+εi

（i＝1，2，…，N）

（1）组合的收益：

RP＝X1R1＋X2R2＋X3R3＋…＋XNRN

＝X1（α1+β1F+ε1）＋X2（α2+β2F+ε2）＋…＋XN（αN+βNF+εN）＝（X1

α1＋X2α2＋…＋XNα

N）＋（X1β1＋X2β2＋…＋XNβN）F＋（X1ε1＋X2ε2＋…＋XNεN）一、因子模型3、投资组合的因子模型一、因子模型

（2）证券组合单因子的风险描述任意两种证券之间的协方差为：

故组合的方差为：一、因子模型（2）证券组合单因子的风险描一、因子模型

（3）证券组合多因子的风险描述证券i收益率的方差：证券i和j之间的协方差：（不考虑因子之间的相关性）

Return一、因子模型（3）证券组合多因子的风险描述一、因子模型

练习题1：基于单因子模型，有两种证券A和B有：

1、计算每一种证券的标准差

2、假定A证券在组合中的比重为XA=40%，B证券的比重为XB=60%，计算组合的方差一、因子模型练习题1：一、因子模型

解：（1）单一证券单因子的风险衡量：一、因子模型解：（1）单一证券单因子的风险衡量：一、因子模型

（2）证券组合单因子的风险衡量一、因子模型（2）证券组合单因子的风险衡量一、因子模型

练习题2：考虑一个如下特征的两证券投资组合：证券零因素因素1因素2非因素风险比例（期望收益）敏感度敏感度（方差）

A2%0.32.01.96%0.7B3%0.51.81.00%0.3

假定两因素不相关，因素1的期望值为15%，标准差为20%；因素2的期望值为4%，标准差为5%。计算组合的期望收益率与标准差一、因子模型练习题2：考虑一个如下特征的两证券一、因子模型

解：（1）证券组合多因子的收益衡量：一、因子模型解：（1）证券组合多因子的收益衡量：一、因子模型

（2）证券组合多因子的风险衡量一、因子模型（2）证券组合多因子的风险衡量二、套利定价模型（APT）罗斯(Ross)1976年提出的套利定价理论，是作为CAPM的替代物。CAPM的验证涉及到对市场组合是否有效的验证，但这在实证上是不可行的。于是针对CAPM的单因子模型，Ross提出目前被统称为APT的多因子模型。APT拓展了更多影响风险资产收益的因素，并根据无套利原则，得到风险资产均衡收益与多个因素之间存在线性关系的结论。二、套利定价模型（APT）罗斯(Ross)19二、套利定价模型（APT）（一）套利定价理论(ArbitragePricingTheory)的假设和逻辑起点

1、假设条件：资本市场处于竞争均衡状态；投资者是非满足的，喜爱更多财富；任何证券的预期收益率可用因子模型表示；不同证券的剩余收益之间不相关，且协方差为0；市场上证券的种类远远大于因子的数目与CAPM的假设相同二、套利定价模型（APT）（一）套利定价理二、套利定价模型（APT）APT模型不需要以下的假设单期投资；不存在税收的问题；投资者能以无风险利率自由地借入和贷出资金；投资者以回报率的均值和方差选择投资组合。二、套利定价模型（APT）APT模型不需二、套利定价模型（APT）2、套利定价理论模型的逻辑起点——因子模型与充分分散风险的投资组合（1）因子模型在套利定理理论中，先从考察一个单因子模型入手，这个模型假设只有单个系统因素影响证券的收益。资产收益的不确定性来自两个方面：共同或宏观经济因素和厂商的特别风险。二、套利定价模型（APT）2、套利定价理论二、套利定价模型（APT）如果用F表示共同因素期望值的偏差，表示厂商i对该因素的敏感性，表示厂商特定的扰动，则该单因子模型表明厂商的实际收益等于其初始期望收益加上一项由未预料的整个经济事件引起（零期望值）的随机量，再加上另一项由厂商特定事件引起（零期望值）的随机量。其公式为：条件是：二、套利定价模型（APT）如果用F表示共同因二、套利定价模型（APT）

例子：假设宏观因素F代表GNP的意外的百分比变化，而舆论认为今年GNP将变化4％。我们还假定一种股票的值为1.2。如果GNP只增长了3％，则F值为－1％，表明在与期望增长相比较时，实际增长有1％的失望。给定该股票的值，可将失望转化为一项表示比先前的预测低1.2％的股票的收益。这项宏观的意外加上厂商特定的扰动，就决定了该股票的收益对其原始期望值的全部偏离程度。二、套利定价模型（APT）例子：二、套利定价模型（APT）（2）充分分散风险的投资组合假如一个投资组合是充分分散风险的，那它的厂商特定风险(非系统风险)可以被分散掉，保留下来的只有因素（系统）风险，即收益与风险为：

其中，

二、套利定价模型（APT）（2）充分分散风险的投二、套利定价模型（APT）定义“充分分散的投资组合”为：满足按比例分散持有足够大数量的证券组合，而每一种证券i的数量又小到可以使非系统方差被忽略掉。既然非系统风险因素可以被分散掉，那么只有系统风险在市场均衡中控制证券的风险溢价。在充分分散的投资组合中，各个厂商之间的非系统风险相互抵偿，因此，在一个证券组合中，与其期望收益相关的就只有系统风险了。

Return二、套利定价模型（APT）定义“充分分散的二、套利定价模型（APT）（二）套利及套利的发生1、具有相同值的套利如果两个充分分散化的投资组合有相同的值，那它们在市场均衡时必定有相同的预期收益。否则有套利机会出现，通过套利使二者的预期收益率相等。二、套利定价模型（APT）（二）套利及套利的发二、套利定价模型（APT）例子：

二、套利定价模型（APT）例子：二、套利定价模型（APT）已知分散化的投资组合的收益是：（单因素）套利组合的构成及套利过程：（0.10＋1.0×F）×100万美元（在资产组合A上作多头）－（0.08＋1.0×F）×100万美元（在资产组合B上作空头）0.02×100万美元＝20000美元（净收益）这样，就获得了一项无风险利润。这项策略要求净投资为零。我们应继续需求一个尽可能大的投资规模，直至两个组合间的收益差消失为止。具有相同值的投资组合在市场均衡时一定具有相同的期望收益，否则将存在无风险套利机会，通过套利使二者预期收益相等。二、套利定价模型（APT）已知分散化的投二、套利定价模型（APT）2、具有不相同值的套利对于有不同值的充分分散化的投资组合，其预期收益率中风险补偿必须正比于值，不然也将发生无风险套利：二、套利定价模型（APT）2、具有不相同二、套利定价模型（APT）

例子二、套利定价模型（APT）例子二、套利定价模型（APT）假定无风险收益率rf＝4％，有一充分分散化的投资组合C的，具有预期收益率6％。在图中，代表投资组合C的点位于连接无风险资产和资产组合A的直线下方。现在我们来看另一个投资组合D，这个组合一半由组合A、另一半由无风险资产组成。这样，组合D的，预期收益率是0.5×4％＋0.5×10％＝7％。组合D和组合C的值相等而预期收益率不等，会发生套利。二、套利定价模型（APT）假定无风险收益率二、套利定价模型（APT）套利组合及套利过程做D多头：（0.5×0.04＋0.5×0.1＋0.5F）100万做C空头：－（0.06＋0.5F）100万1万结果：套利组合的收益为正；收益无风险，即套利组合对因素的敏感度为零；净投资为零。二、套利定价模型（APT）套利组合及套利过程二、套利定价模型（APT）3、多因素的套利两个宏观因素的模型：假设因素F1代表对GDP预期值的偏离，因素F2则代表未预期到的通货膨胀率的变化，它们的预期值都等于零，因为它们代表的都是对预期值的偏离。同样代表企业特有的风险，也是对预期值的偏离，其预期值也为零。二、套利定价模型（APT）3、多因素的套利二、套利定价模型（APT）引入因素组合概念：因素组合是非系统风险已经充分分散化或消除掉的组合，并且它对其中一个因素的值为1而对其他因素的值都为0，。因素组合的作用：用因素组合作为基准组合来定价。将因素组合的期望收益记为，则因素组合的风险补偿：

二、套利定价模型（APT）引入因素组合概念二、套利定价模型（APT）例子：如果有两个因素组合的期望收益分别为10％和12％，无风险资产收益为4％。现在来看任意一个充分分散化的投资组合A，它对两个宏观因素的值分别是和，则A的预期收益一定为13％，否则有套利风险。如果投资组合A的预期收益率不等于13％，例如是12％，则可以构筑如下的组合头寸：取权重为50％的因素组合1，权重为75％的因素组合2，再加上权重为－25％的无风险证券（权重是负数意味着以无风险利率借入），构成一个新的组合。二、套利定价模型（APT）例子：如果有两个二、套利定价模型（APT）这个组合的预期收益率为0.5×10％＋0.75×12％－0.25×4％＝13％。同时构筑这个组合的多头和组合A的空头，就能套取无风险利润。计算如下：到期套利组合多头的收益：13％＋0.5×F1＋0.75×F2到期组合A空头的支付：－（12％＋0.5×F1＋0.75×F2）净利润：1％

结果：套利组合的收益为正；收益无风险，即套利组合对因素的敏感度为零；净投资为零。二、套利定价模型（APT）这个组合的预期收二、套利定价模型（APT）从这个简单的例子我们可以发现，套利组合是这样构筑的，对于任意一个暴露在F1和F2，这两个宏观因素的系统风险下的任意投资组合P，分别以其值、为权重选取因素组合1和2，再加上权重为1－－，无风险证券（若1－－<0，表示无风险证券的卖空或以无风险利率借入资金）。这一套利组合实际上复制了组合P，所以组合P可由此套利组合给出定价：二、套利定价模型（APT）从这个简单的例子二、套利定价模型（APT）从投资组合A的例子看，A的风险补偿：

于是，A投资组合总的预期收益率就是无风险收益率加上总的风险补偿，为13％。A投资组合的总风险补偿应当是投资者承受这两种宏观因素的系统风险所应得到的风险补偿的和。而每种宏观因素的系统风险的补偿等于相对于该因素的β值乘以因素组合的风险补偿。二、套利定价模型（APT）从投资组合A的例二、套利定价模型（APT）

（三）套利定价模型

1、套利机会存在的条件设市场有N种证券，wi表示投资者对证券持有权数的变化。不需要投资者增加任何投资。

二、套利定价模型（APT）（三）套利定价模型二、套利定价模型（APT）

套利证券组合的因子F的敏感程度为零，就是它不受因子风险影响，它是证券敏感度的加权平均数，公式为：，N需大于j。即：同时满足这两个条件的任何一组解将成为潜在的套利组合，即满足自融资和无风险套利条件。二、套利定价模型（APT）二、套利定价模型（APT）套利组合的预期收益率必须是正数：因此，当一个组合满足上述三个方程时，便存在一个能获得不承担风险的正的收益的套利组合。二、套利定价模型（APT）套利组合的预期收益率必须是正数：二、套利定价模型（APT）2、套利定价方程当套利机会不存在时，市场均衡。那么，当各种证券的期望收益处于什么状态时，没有套利机会呢？当且仅当期望收益率是敏感性的线性函数时，上述三个方程的连立解不存在，即不存在套利机会，这时市场达到均衡。即有：其中：是零系统风险（）资产或零贝塔组合的期望收益率；（j=1,2,…,k）可以被解释为k个相互独立的因子风险溢价；是第k个风险溢价和资产i之间的定价关系。二、套利定价模型（APT）2、套利定价方程二、套利定价模型（APT）如果市场有无风险资产，上式即为套利定价方程：或：其中，是因素组合的风险补偿：。——即资产的期望收益率是建立在资产的因子敏感系数和因子的风险溢价之上的。每项资产i的期望收益率E（Ri）都可以表示成无风险利率和该资产对k个共同因子风险溢价的线形组合。

二、套利定价模型（APT）如果市场有无风险二、套利定价模型（APT）

构造一个组合：

用Farkas引理可以证明

。期望收益的加权非系统风险的加权二、套利定价模型（APT） 构造一个组合：期望收益非系二、套利定价模型（APT）

推导：假定投资者目前持有一个由N种证券构成的零投入、零风险的投资组合P，其中每种证券的权重为，有：二、套利定价模型（APT）推导：假定二、套利定价模型（APT）

根据套利定价理论的假设有（假设我们选择的样本足够大，那么项可以被近似地忽略

）：二、套利定价模型（APT）根据套利定价二、套利定价模型（APT）根据无套利理论，零投入，零风险，只能获得零收益，所以有：根据线性代数知识，向量满足条件：

则由Farkas引理，期望收益率向量一定可以表示成单位常向量和因子敏感度向量的线性组合，即存在k+1个常数

，使得：二、套利定价模型（APT）根据无套利理论二、套利定价模型（APT）

如何确定中的

?

（1）先确定如果存在一种无风险资产，即所有的，其期望收益率为rf，则有：所以：

即二、套利定价模型（APT）如何确定二、套利定价模型（APT）

（2）再确定

可以通过构建k个只对某一因子具有敏感度、对其它因子无敏感度的纯投资组合（即因子组合），来分别确定k个系数。假定构建的某组合只对第j个因子具有敏感度，其它因子敏感度为零，则这个第j个因子的纯投资组合的期望收益率为：二、套利定价模型（APT）（2）再确定二、套利定价模型（APT）

表示对因子j的敏感系数为1、对其他因子敏感系数为0的证券组合的期望收益率。表示对因子j的敏感系数为1、对其他因子敏感系数为0的证券组合的超额收益率。确定了K+1个，可以得到：——套利定价模型因子二、套利定价模型（APT）因子二、套利定价模型（APT）根据套利定价模型，可以在E（ri)-βi坐标空间画出套利定价线

Return二、套利定价模型（APT）根据套利定价模型，可以在E（ri)二、套利定价模型（APT）

例子：单因素套利组合假定投资者拥有3种证券，他所持有的每种证券当前的市值为4,000,000美元。这三种证券具有如下的期望回报率和敏感性。这样的预期回报率与因素敏感性是否代表一个均衡状态？预期收益率ri(%)敏感因子bi证券1150.9证券2213.0证券3121.8二、套利定价模型（APT）例子：单因素套二、套利定价模型（APT）

套利组合（0.1，0.075，－0.175）买卖行为导致套利机会减少最终消失，如果找不到满足预期收益率大于0的资产组合，此时存在非负的常数，使得预期回报率和敏感性之间满足如下线性关系：二、套利定价模型（APT）二、套利定价模型（APT）二、套利定价模型（APT）二、套利定价模型（APT）

例子：多因素套利组合假定证券的回报率可由两个因素的因子模型产生：4种证券具有如下的预期回报率和敏感性：E（ri）bi1Bi2证券1150.92.0证券2213.01.5证券3121.80.7证券482.03.2二、套利定价模型（APT）例子：多因素套二、套利定价模型（APT）组合套利（0.1，0.088，－0.108，－0.08）通过购买证券1和2，同时出售证券3和4，使得证券1和2价格上涨，3和4价格下跌，推动市场均衡。即当满足前面三个等式的组合的预期回报率为0，均衡达到。如果找不到满足预期收益率大于0的资产组合，此时存在非负的常数，使得预期回报率和敏感性之间满足如下线性关系：二、套利定价模型（APT）二、套利定价模型（APT）（三）APT与CAPM的联系与比较

1、二者的联系单因子模型：

两因子模型：

APT是一个多因素模型，它假设均衡中的资产收益取决于多个不同的外生因素，而CAPM中的资产收益只取决于一个单一的市场组合因素。从这个意义上看，CAPM只是APT的一个特例。二、套利定价模型（APT）（三）APT与C二、套利定价模型（APT）2、APT和CAPM的比较APT和CAPM最根本的区别在于，CAPM是典型的收益/风险权衡所主导的市场均衡，APT特别强调的是无套利均衡原则。无风险套利机会建立市场均衡价格和收益/风险权衡关系建立市场价格均衡关系有着本质区别：收益/风险权衡关系所主导的市场价格均衡，一旦价格失衡，就会有很多投资者调整自己的投资组合来重建市场均衡；但每个投资者只对自己的头寸作有限范围的调整。套利则不然，一旦出现套利机会，每一个套利者都会尽可能大的构筑头寸，因此从理论上来讲，只需少数几位（甚至只需一位）套利者就可以重建市场均衡。二、套利定价模型（APT）2、APT和C二、套利定价模型（APT）APT不需要CAPM赖以成立的那些有关市场假设的条件：(1)虽然APT和CAPM都假定投资者有单调递增的效用函数，并且是风险规避者，但是原始CAPM将投资者的效用函数假定为二次函数就更加严格了。(2)APT对收益率的概率分布不做任何假定，投资者也不必在均值——方差基础上选择投资组合。(3)APT不需要假定市场投资组合存在。因此也就不存在CAPM中市场指数代替市场组合产生的误差。(4)APT不需要对无风险资产的存在以及在无风险利率下的借入和贷出做出严格假设，这一点与实际状况更吻合。二、套利定价模型（APT）APT不需要CAPM赖以成立的那些二、套利定价模型（APT）

APT模型比CAPM模型更易于计算

CAPM模型与单因素模型需要输入的变量个数比较：

CAPM模型中的协方差数(COV(ri,rj)的个数)＝[n(n-1)]/2；再加上n个均值，n个方差项以及1个无风险利率，一共应该是：

单因素模型总共才：n个均值，n个方差，n个残差项的方差，n个因子敏感系数，1个市场指数，1个无风险利率。计总共有4n＋2项。二、套利定价模型（APT）APT模型比CAPM模型更易于计二、套利定价模型（APT）

资产个数资产组合模型单因素模

2610521221066421005151402300454511202二、套利定价模型（APT）资产个数

第六章套利定价模型第六章套利定价模型一、因子模型

（一）概述

因子模型(factormodel)由夏普于1963年提出，是一种假设证券的收益率与不同的因子或者指标的运动有关的经济模型系统性风险因素：对大多数资产产生影响的风险，只是每种资产受影响的程度不同而已。

例如：GNP、利率、通胀非系统性风险因素：对某一种资产或某一类资产发生影响的风险。

例如：公司的高管变更、研发信息、销售信息、竞争对手的信息一、因子模型（一）概述一、因子模型股票的收益：R=E（R）+U

E（R）：期望收益；

U：非期望收益，即风险收益把风险收益U分为系统风险m和非系统风险两个部分。非系统因素之间不相关，即：相关系数

R=E（R）+m+预期到的系统风险系统风险中的变动部分非系统风险一、因子模型股票的收益：R=E（R）+U预期一、因子模型

假定考虑通胀、GNP和利率三个系统性风险因素，它们与股票收益相关的系数为、、，则：

期望收益率非期望部分一、因子模型假定考虑通胀、GNP和利一、因子模型

例：年初预测：期望通胀率=5％，期望GNP增长率=2％，期望利率变动=0。β系数：βI=2，βGNP=1，βr=－1.8实际结果：①实际通胀率=7％，实际GNP增长率=1％，实际利率变动=－2％②公司成功实施新的企业战略，这一没有预料到的发展使公司股票收益增长5％③同期股票市场的平均收益，R＝4％一、因子模型例：年初预测：期望通胀率=5％一、因子模型

则各系统风险因素的异动

FI＝7％－5％＝2％

FGNP＝1％－2％＝－1％

Fr＝－2％－0＝－2％系统风险因素异动对该公司股票收益的影响：

m＝βIFI＋βGNPFGNP＋βrFr

＝2×2%＋1×（-1％）＋（-1.8）×（-2％）＝6.6

总风险收益=m＋ε＝6.6%+5%=11.6%

总收益R＝E(R)＋m＋ε＝4％＋11.6％＝15.6%一、因子模型则各系统风险因素的异动一、因子模型

（二）单因子模型

单因子模型相对CAPM解决了两个问题，一是提供一种简化地应用CAPM的方式；二是细分影响总体市场环境变化的宏观因素。

一、因子模型（二）单因子模型

假设仅考虑经济增长GDP对公司股票收益率的影响，即只考虑GDP变化对风险补偿的影响。

历史数据库年GDP增长率（%）证券收益率（%）1234565.76.47.97.05.12.914.319.223.415.69.213.0一、因子模型

假设仅考虑经济增长GDP对公司股票收益率这一关系也可用下面的图形表示

24201612844826••••••94这一关系也可用下面的图形表示24201612844826•一、因子模型

使用一元回归分析的统计技术做一条直线来拟合图中的点。那么，图中这条直线的回归方程则为：

Ri=4%+2GDP

回归方程和直线都表示较高预期的GDP与较高的证券收益率相关联。一、因子模型使用一元回归分析的统计技术一、因子模型

任一给定证券的实际回报率由于含有非因素回报率的缘故而位于拟合直线的上方或下方。因此对例中的单因子模型所反映的关系的完整描述为：

任何一个证券的收益由三部分构成：αi：宏观因素期望变化为零时的收益，是投资者对证券的期初收益；βiG：系统性风险收益，即随整个市场运动变化不确定性（非预期的）的收益，且变化的敏感度是βi，测量因子风险；εi：与国内生产总值无关因素的作用，是非系统性风险收益（既测量非因子风险），即只与单个证券相关的非预期事件形成的非预期收益。一、因子模型任一给定证券的实际回报率

1、单因子模型的一般形式

一般地，单因子模型认为有一个因素F对证券收益产生广泛影响，这种影响力通过对每种证券i在任意时期t的建立如下方程来反映：

其中：

是证券i在t时期的（实际）收益率,

是宏观因素在t期的值，

是证券i对宏观因素的敏感度，

是一个均值为零的随机变量，

是当宏观因素均值为零时证券的收益率。一、因子模型

1、单因子模型的一般形式一、因子模型一、因子模型

2、单因子模型有如下假设：

收益率的生成过程由上述回归方程描述

对每一证券i，每一证券的残差与宏观因素不相关，这意味着因素的结果对随机误差的结果没有任何影响：证券i与j的残差不相关，这意味着一种证券的随机误差结果对任意其他证券的随机误差结果不产生任何影响。换句话说，两种证券的回报率仅仅通过对因素的共同反应而相关联：

一、因子模型2、单因子模型有如下假设：

上述方程中证券i的期望收益、方差、协方差分别为：期望收益率：一、因子模型

上述方程中证券i的期望收益、方差、协方差分别

方差：

其中，

是因素的方差，

是随机误差项的方差

因而证券i收益率的方差分为两个部分：系统风险

，主要由宏观因素影响产生；非系统风险残差方差，主要由微观因素影响产生一、因子模型

不能分散可分散方差：一、因子模型不能分散可分散协方差：一、因子模型协方差只取决于市场风险。协方差：一、因子模型协方差只取决于市场风险。

3、单因子模型中表示的系统风险与非系统风险

因子模型是一个描述证券收益生成的模型。

表示非系统风险；

表示系统风险，其中，

表示宏观因素均值为零时证券的期望收益。

Return

一、因子模型

因子风险非因子风险 3、单因子模型中表示的系统风险与非系统风险一、因子一、因子模型

（三）资本资产定价模型与因子模型

1、市场模型(MarketModel)用证券市场指数来作为影响证券价格的单因素，此时的单因子模型被称为市场模型。市场模型实际上是单因素模型的一个特例。一、因子模型（三）资本资产定价模型与因子模型一、因子模型

假设一种股票在某一特定时期内的收益率与同一时期证券市场指数（如标准普尔500指数）的收益率相联系，即如果行情上扬，则很可能该股票价格会上升，市场行情下降，则该股票很可能下跌。因此，可以用市场模型的方程表示这一关系：式中：代表某一给定时期证券i的收益率；

I代表市场指数；代表相同时期市场指数I的收益率；是随机误差项一、因子模型假设一种股票在某一特定时期内一、因子模型

例子：考虑股票A，有αIi=2%，ßI

i=1.2，这意味着股票A的市场模型为：

因此，如果市场指数回报率为10%，则证券A的回报率预期为14%（=2%+1.2*10%）。同样，如果市场预期的回报率为-5%，则证券A的预期回报率为-4%。

注意：由于随机误差项的存在（表示证券回报率中没有被市场模型所完全解释的部分），当市场指数上升10%或下降5%时，证券A的回报率将不会准确地为14%或-4%。即，实际回报率和所给定市场指数回报率之间的差额将归结于随机误差项的影响。一、因子模型例子：考虑股票A，有αIi=2%，ß一、因子模型2、资本资产定价模型与因子模型的关系CAPM可视为一个特殊的单因子模型，在那里的市场组合收益率rM实质上就是一个单因素。以市场组合的收益率的风险补偿来作为宏观经济指数，于是有：,或者

（实际上这是证券i对市场组合收益的回归方程，其回归直线就是证券i的特征线）一、因子模型2、资本资产定价模型与因子模一、因子模型但资本资产定价模是一个资产定价的均衡模型，而因子模型却不是。例如，比较分别由因子模型和资本资产定价模型得到的证券的预期收益率：前者不是一个均衡模型，而后者是均衡模型一、因子模型但资本资产定价模是一个资产定价一、因子模型单因子模型中参数αi和βi与资本资产定价模型中单因素βi之间存在怎样的关系呢？例如，如果实际收益率可以看作是由单因子模型产生，其中因素F是市场组合的收益率rM，那么预期收益率将等于：

根据资本资产定价模型，如果均衡存在，则一、因子模型单因子模型中参数αi和βi与资一、因子模型这意味着，单因子模型和资本资产定价模型的参数之间必然存在下列关系：一、因子模型这意味着，单因子模型和资本资产一、因子模型可以再从以下角度看两个贝塔的关系：证券i的风险补偿与市场组合的风险补偿的协方差是：从而

这里的βi和资本资产定价模型（证券市场线）里的β系数是完全一样的，这也就是为什么把指数模型里对宏观经济变量的敏感度也定义为β的原因一、因子模型可以再从以下角度看两个贝塔的一、因子模型在资本资产定价模型和市场模型中都有一个被称为ß值的斜率，并且这两个模型或多或少地包含了市场，但是它们之间却有明显的区别：资本资产定价模型是一个均衡模型，它描述证券的价格如何确定；市场模型是一个因子模型。资本资产定价模型是相对于整个市场组合而言的，即相对于市场中所有证券的集合。而市场模型是相对于某个市场指数而言，即基于市场中的一个样本。

但是在实际操作中，由于不能确切知道市场组合的构成，所以一般用市场指数来代替，因此可以用市场模型中测算的ß值来代替资本资产定价模型中的ß值。

Return

一、因子模型在资本资产定价模型和市场模型中一、因子模型（四）多因子模型1、多因子模型的经验基础经济状况影响着大部分企业，因而对经济前景的预期的变化被认为对绝大部分证券的收益率产生深刻影响。然而经济并不是一个简单、统一的实体，因而我们需要确认一些具有广泛作用的共同影响力，比如：国内生产总值；利率水平；通货膨胀率；石油价格水平。多因子模型对现实的近似程度更高。这一简化形式使得证券组合理论广泛应用于实际成为可能，尤其是20世纪70年代以来计算机的发展和普及以及软件的成套化和市场化，极大地促进了现代证券组合理论在实践中的应用。一、因子模型（四）多因子模型一、因子模型

2、多因子模型（Multifactormodels）

当考虑多个因素对证券收益率的影响时，则产生多因子模型，多因子模型更加清晰明确解释了系统风险，从而有可能展示不同的股票对不同的因素有不同的敏感性。

一、因子模型2、多因子模型（Multif一、因子模型

多因子模型的假设条件：在多因子模型中，各因子之间不存在相关关系。即Fi与Fj之间均协方差为零；证券的残差与因子之间协方差为零。

Cov(εi，Fi)=0两种证券收益率εi和εj之间的协方差为零。

εi的均值E（εi）=0，一切εi，εj不相关，即

Cov（εi,εj）=0

一、因子模型多因子模型的假设条件：一、因子模型（1）单一证券的双因子模型

双因子模型在t时期的方程式为：F1t和F2t是两个对证券回报率具有普遍影响的因素，βi1和βi2分别是证券i对两个因素的敏感性。同单因子模型一样，εit是随机误差项，αi是当两个因素都取值为0是证券i的预期回报率。在双因素模型中，我们需要为每种证券估计4个参数：αi,βi1,βi2以及随机误差的标准差εit。对每个因素，需要估计两个参数：因素的预期值以及因素的方差。此外还要估计两个因素的协方差cov(F1,F2)。一、因子模型（1）单一证券的双因子模型一、因子模型预期收益率：利用上述估计值，证券i的预期收益率可以由下式计算得出：方差：根据双因子模型，任意证券i的方差为：一、因子模型预期收益率：利用上述估计值，证一、因子模型（2）单一证券的多因子模型一般式

一、因子模型（2）单一证券的多因子模型一一、因子模型

3、投资组合的因子模型用N种股票构建一个组合：单因子模型：Ri＝αi+βiF+εi

（i＝1，2，…，N）

（1）组合的收益：

RP＝X1R1＋X2R2＋X3R3＋…＋XNRN

＝X1（α1+β1F+ε1）＋X2（α2+β2F+ε2）＋…＋XN（αN+βNF+εN）＝（X1

α1＋X2α2＋…＋XNα

N）＋（X1β1＋X2β2＋…＋XNβN）F＋（X1ε1＋X2ε2＋…＋XNεN）一、因子模型3、投资组合的因子模型一、因子模型

（2）证券组合单因子的风险描述任意两种证券之间的协方差为：

故组合的方差为：一、因子模型（2）证券组合单因子的风险描一、因子模型

（3）证券组合多因子的风险描述证券i收益率的方差：证券i和j之间的协方差：（不考虑因子之间的相关性）

Return一、因子模型（3）证券组合多因子的风险描述一、因子模型

练习题1：基于单因子模型，有两种证券A和B有：

1、计算每一种证券的标准差

2、假定A证券在组合中的比重为XA=40%，B证券的比重为XB=60%，计算组合的方差一、因子模型练习题1：一、因子模型

解：（1）单一证券单因子的风险衡量：一、因子模型解：（1）单一证券单因子的风险衡量：一、因子模型

（2）证券组合单因子的风险衡量一、因子模型（2）证券组合单因子的风险衡量一、因子模型

练习题2：考虑一个如下特征的两证券投资组合：证券零因素因素1因素2非因素风险比例（期望收益）敏感度敏感度（方差）

A2%0.32.01.96%0.7B3%0.51.81.00%0.3

假定两因素不相关，因素1的期望值为15%，标准差为20%；因素2的期望值为4%，标准差为5%。计算组合的期望收益率与标准差一、因子模型练习题2：考虑一个如下特征的两证券一、因子模型

解：（1）证券组合多因子的收益衡量：一、因子模型解：（1）证券组合多因