离散型随机变量及分布分析课件

第二章离散型随机变量及分布第二章离散型随机变量及分布本章要点本章引入随机变量的概念,讨论几种类型的随机变量一、一维离散型随机变量及分布二、一维离散型随机变量的常用分布及相应的分布.主要内容有:三、二维离散随机变量的联合分布与边缘分布四、随机变量的独立性五、随机变量函数的分布本章要点本章引入随机变量的概念,讨论几种类型的随一、随机变量

1.随机变量例1设随机试验为抛硬币试验,我们以符号表示出出现正面,出现反面.现的是正面,符号表示出现的是反面,为了更好的刻画这类随机试验,我们

用一个数对应一个试验的结果，由此引入一个变量一、随机变量1.随机变量例1设随机试验例2设随机试验为一次打靶试验,其基本结果是中与击中目标,未击中目标.不中.同样可以引入变量:也有很多试验，其结果本身就用数来表示的.例如在一大批产品中有5%的次品，从中抽取10件产品，其中的次品数在抽取之前是不确定的，我们可以引进变量来表示其中的次品数，其取值为例2设随机试验为一次打靶试验,其基本结果是例3设随机试验表示射击试验,以表示首次命中时所进行过的射击次数.则的取值为将上面的问题一般化,我们引入下面概念.例3设随机试验表示射击试验,以表示定义设为随机试验,为样本空间,定义在上的函数称为上的（一维）随机变量.记为定义设为随机试验,为样本空间,定引入了随机变量以后,随机事件及相应的概率可以用随机变量方式加以刻画.记表示“取到的一只产品是不合格品”,再以表例如,某厂生产的灯泡按国家标准其合格品的寿命时间应该不小于小时.此时示取出的灯泡的寿命,则事件可以表示为对应的概率可以表示为引入了随机变量以后,随机事件及相应的概率可以用随二、概率函数在上节的几个例子中,我们看到问题中所涉及的几个随机变量的取值为有限多个或“可列”多个,这类随机变量称为离散型随机变量.二、概率函数在上节的几个例子中,我们看到问题中所

1.离散型随机变量和概率函数设为离散型随机变量,的可能取值为事件的概率为即:称⑴式为随机变量的分布（分布律）,又称为概率函⑴数.上式又可用表格的形式给出:满足1.离散型随机变量和概率函数设为注：随机变量的取值按从小到大的顺序排列，概率为零的项不必列出.其中为某一实数集.注：随机变量的取值按从小到大的顺序排列，概率为零的项不必列出例4设袋中有5球,编号为从袋中随机地解以表示取到球的编号,则的取值为因1同理,取一球,以表示取到的球的编号,求的分布.号球只有一个,故例4设袋中有5球,编号为及从而随机变量的分布律为及从而随机变量的分布律为例设袋中有5球,编号分别为机地取3个球,以解表示取到的3个球中的最大编号,求

的分布律.的取值为的分布律为：从袋中随例设袋中有5球,编号分别为机地取3个球,例

设随机试验表示射击试验,以表示首次命中时所进行过的射击次数.则的取值为设每次命中目标的概率为0.8，求随机变量的分布律及解：分布律为例设随机试验表示射击试验,以表⑴分布若随机变量的取值为0,1,相应的概率记为则称服从分布.记为⑶一个只有两个基本结果的随机试验,都可转化为分布.三、常用离散型随机变量⑴分布若随机变量的习惯上,分布又常写成⑷习惯上,分布又常写成⑷⑵二项分布在重贝努利试验中,若以表示事件在次试验中⑸分布律为⑹出现的次数.则的取值为相应的概率为:⑵二项分布在重贝努利试验中,若以其中为事件发生的概率.则称服从参数为的在概率论中,二项分布是一个重要的分布.在许多独二项分布,记成立重复试验中,都具有二项分布的形式.分布是二项分布在时的特殊情况.其中为事件发生的概率.则称服从参数为例6某特效药的临床有效率为0.95，今有10人服用，问至少有8人治愈的概率有多少？解设为10人中治愈的人数，则例6某特效药的临床有效率为0.95，今有10人服用，问至例7已知某公司生产的螺丝钉的次品率为0.01,并设解由条件,以表示包内螺丝钉为次品的件数,则包各个螺丝钉是否为次品是独立的.这家公司将10个螺丝钉包成一包出售,并保证若发现包内多于一个次品就可退款.问卖出的某包螺钉被退回的概率有多大？被退回意味着故所求的概率为被退回的概率近似等于0.43%.例7已知某公司生产的螺丝钉的次品率为0.01,例8设有保险公司的某保险险种有1000人投保,每个解以随机变量表示在未来一年中这1000个投保人死人在一年内死亡的概率为0.005,且每个人在一年内是否死亡是相互独立的.试求在未来一年中这1000个投保人死亡人数不超过10个人的概率.亡的人数,则相应的问题转变为求概率由可得例8设有保险公司的某保险险种有1000人投保,在上式中直接计算是比较设当很大很小且适中时有⑻在上例中,取则有困难的,为此我们引入一个简便的计算方法——即二项分布的逼近,称为泊松定理.在上式中直接计算即在未来一年中这1000个投保人死亡人数不超过10个人的概率为0.986.即在未来一年中这1000个投保人死亡人数不超过10个人的概率⑶泊松分布设随机变量的取值为相应的分布律⑼则称随机变量服从参数为的泊松分布,记为泊松分布的计算:查表为⑶泊松分布设随机变量的取值为例9设求解查表得例10设某交通道口一分钟的汽车流量为随机变量求在一分钟内至少有2辆车通过的解所求概率为概率。例9设求解例11设某小区有电梯200部,每台电梯发生故障的可⑴在同一时刻恰好有5部电梯发生故障的概率;⑵在同一时刻至少有3部电梯发生故障的概率;⑶至少配备多少维修工人,使能以95%的概率,保证当解以表示在同一时刻发生故障的电梯数,则由条件取所以能性为0.02,求电梯发生故障时,有维修工人进行维修.得例11设某小区有电梯200部,每台电梯发生故障的⑴由计算公式⑻得⑵⑶记配备的维修工人数为若能有维修工人能进行维修,则所以原问题由概率来反映,即为⑴由计算公式⑻得⑵⑶记配备的维修工人数为若能有维从而查表得故取即配备8名维修人员,使能以95%的概率,保证当电梯发生故障时,一定有维修工人进行维修.从而⑷几何分布设随机变量的取值为相应的概率函数为称随机变量服从参数为的几何分布,记为⑽⑷几何分布设随机变量的取值为相应的概例12某人投篮的命中率为0.4，假定各次投篮是否命中相互独立，设次数，求表示他首次投中时累计已投篮的的分布律，并求取奇数的概率.解：随机变量的分布律为随机变量取奇数的概率为例12某人投篮的命中率为0.4，假定各次投篮是否命中相互(5)超几何分布产品的抽样检验是经常遇到的一类实际问题.假定在件产品中有表示的分布律为：件次品，从中抽取件进行检验，用件中的次品数，则服从超几何分布，(5)超几何分布产品的抽样检验是经常遇到的一类实际问题.假定例13设15件产品中有2件次品，从中任取3件，以表示3件中的次品数，求解的分布律为的分布律.例13设15件产品中有2件次品，从中任取3件，以表示3件在上例中，若将无放回抽样改为有放回抽样，则3件中的次品数在上例中，若将无放回抽样改为有放回抽样，则3件中的次品数四、二维随机变量及分布设是随机试验,是相应的样本空间,一个从到的二元函数即称为一个二维随机变量.记为称随机变量的取值规律及相应的概率为的二维分布.

1.联合概率函数四、二维随机变量及分布设是随机试验,设为二维随机变量,若它的取值为有限多个或设为二维随机变量,取值为⑾称⑾式为随机变量的联合分布律或联合概率函数.可列多个,则称为二维离散型随机变量.相应的概率为满足设为二维随机变量,若它的⑾式又可用分布表的形式给出:注：全为零的行或列不必列出，变量的取值按从小到大的顺序排列。⑾式又可用分布表的形式给出:注：全为零的行或列不必列由二维离散型随机变量的概率函数容易求出随机变量落在平面上某个区域中的概率.事实上,对给定的平面区域则有⑿由二维离散型随机变量的概率函数容易求出随机变量落在平例12设袋中有5球,编号为今从袋中取二球解由条件,随机变量的可能取值为因号当先取号球,此时还剩4球,其中2号球有2个,故（不放回）,分别以表示第一、二次取到的球的编号,求的分布律.球只有一个,故例12设袋中有5球,编号为相仿地,有由此得到分布表相仿地,有由此得到分布表离散型随机变量及分布分析课件

2.边缘概率函数设为二维离散型随机变量,取值为⒀由此,随机变量的取值为相应的概率⒁为联合概率函数为2.边缘概率函数设为称其为随机变量的边缘概率函数.同样定义⒂称其为随机变量的边缘概率函数.称其为随机变量的边缘概率函数.同样定义⒂称其为随例13设二维随机变量有概率函数求边缘概率函数.解对上表分别作行和及列和,得:例13设二维随机变量有概率函数求由此得边缘概率函数分别为:及由此得边缘概率函数分别为:及例14袋中有10个球,其中红球8个,白球2个,从袋中随机取2次球,每次一个（不放回）,定义第一次取出的是红球,第一次取出的是白球,第二次取出的是红球,第二次取出的是白球,求的联合分布律及边缘分布律.解由要求,二维随机变量的可能取值只有四个,例14袋中有10个球,其中红球8个,白球2个又:事件表示第一和第二次取到的都是红球,因而同理:又:事件表示第一和第二次取到的都是红球,因而同理:由此得到联合分布律为:相应的边缘分布律为:由此得到联合分布律为:相应的边缘分布律为:及及五、随机变量的独立性与条件分布

1.随机变量的独立性在上一目的例12中,若采用放回抽样,则联合概率函数和边缘概率函数分别为:五、随机变量的独立性与条件分布1.随机变量的独立性注意到,此时对任意的有上式表明事件是独立的事件.由此引入下面的定义.注意到,此时对任意的有上式表明事件是独立的事件.定义设随机变量的联合概率函数为如果联合概率函数恰为两个边缘概率函数的乘积,即则称随机变量与相互独立.⒃注：若存在一点则称随机变量与不相互独立.定义设随机变量的联合概率函数为如例15设是二维随机变量,相应的分布律为解因随机变量的边缘分布分别为判断是否独立.例15设是二维随机变量,相因此随机变量不独立.因此随机变量不独立.例16设随机变量的联合分布律为已知求的值，并讨论随机变量的独立性。解不独立.例16设随机变量的联合分布律为已知求的值，并讨论随机变量例抛3次均匀硬币以表示正面向上的次数，以表示正面出现次数与反面出现次数差的绝对值，求的联合分布与边缘分布，并讨论变量之间的独立性.例抛3次均匀硬币以表示正面向上的次数，以表示正面出现次55随机变量的联合分布与边缘分布分别为变量之间是不独立的.随机变量的联合分布与边缘分布分别为变量之间是不独立的.我们可以把两个随机变量独立的概念推广到有限个变量中去.如果n个随机变量的联合概率函数恰为n个边缘概率函数的乘积，则称这n个随机变量相互独立,即对随机变量的任意取值上式都成立.我们可以把两个随机变量独立的概念推广到有限个变量中去.如果n57六、随机变量函数的分布

1.一维随机变量函数的概率函数设是离散型随机变量,概率函数为即有分布律六、随机变量函数的分布1.一维随机变量函数的概率函数若为一已知函数,则随机变量的⒅取值为则相应的概率函数为当若为一已知函数,则例14设为离散型随机变量,概率函数为求随机变量的分布.解1.因函数为单调函数,所以随机变量的概率函数为随机变量的取值为例14设为离散型随机变量,概率函数为求随机变

2.的取值为而由此得到相应的概率函数为:2.的取值为例15设有概率函数求的概率函数.解的取值为相应的分布律为例15设有概率函数求设是二维离散型随机变量,相应的分布律为设为任意一个二元函数,则随机变量的相应取值为相应的概率为:

2.二维随机变量的函数的分布设是二维离散型随机变量,⒆⒆例16设是二维离散型随机变量,分布列为求:⑴⑵⑶的概率函数.解⑴则的取值为相应的概率为例16设是二维离散型随机变量,⑵此时,的取值为得到的概率分布为:⑶此时,的取值为得到的概率分布为:⑵例17设是二维离散型随机变量,分布列为求:⑴⑵⑶的概率分布.解⑴则的取值为相应的概率为例17设是二维离散型随机变量,同理可计算其它概率,由此得分布率为⑵此时,的取值为相应的分布为同理可计算其它概率,由此得分布率为⑵⑶此时,的取值为相应的概率分布为⑶例20设二维随机变量的两个边缘概率函数分别为已知与相互独立,求下列随机变量的概率函数:⑴⑵的联合分布律与边缘分布律.求例20设二维随机变量的两个边解二维随机变量的联合概率函数为由独立性⑴的取值为且解二维随机变量的联合概率函数同理可得其它情况,由此得到概率函数同理可得其它情况,由此得到概率函数(2)(2)定理设是独立同分布的随机变量,且记则定理设相互独立,⑴当时,⑵当时,定理设定理设是相互独立的随机变量,对于任意一个整数随机变量与相互独立.注意该定理的逆命题并不成立.特殊地，当相互独立时也相互独立.定理设七、部分作业解答七、部分作业解答2.2试确定常数使得下列函数成为概率函数:⑴⑵解⑴因⑵因2.2试确定常数使得下列函数成为概率函数:2.4已知随机变量的概率函数如下表:求一元二次方程有实数根的概率.解因方程有实数根此时因而相应的概率为2.4已知随机变量的概率函数如下表:求一元二次方程有2.6设随机变量已知试求解因即有由此得所以2.6设随机变量已知试求解因即有由此得所以2.10某地有个人参加了人寿保险,每人缴纳保险金元,年内死亡时家属可以从保险公司领取元.假定该地年内人口死亡率为且死亡是相对独立的,求该公司年内赢利不少于元的概率.解设表示该地区一年内死亡的人数,则所求概率为此时所以2.10某地有个人参加了人寿保险现的点数,表示次出现的点数的最大者.试求⑴与的联合概率函数;⑵与⑶的边缘概率函数.解⑴因表示掷出的点数均为所以2.14把一颗骰子独立地向上抛次.设表示第次出现的点数,表示次出现的点数的最大者.试求⑴同样所以而为不可能事件,所以注意到表示第一个点数为第二个点数为表示第一个点数为第二个点可以是或是所以同样所以而为不可能事件,所以注意到表示第一个点数同理可得其它概率,由此得联合概率函数:同理可得其它概率,由此得联合概率函数:离散型随机变量及分布分析课件⑵由上表容易得到:⑶边缘概率函数为对角线的和⑵由上表容易得到:⑶边缘概率函数为对角线的和离散型随机变量及分布分析课件2.17设与独立同分布,它们都服从分布试求的联合概率函数.解由条件得与的概率函数分别为:再由独立性得联合概率函数为:2.17设与独立同分布,它们都服离散型随机变量及分布分析课件2.18设随机变量的联合概率函数如下表:试问各取何值时,与相互独立?解边缘分布为2.18设随机变量的联合概率函数如下由独立性得行和列和由独立性得行和列和再由再由2.19已知随机变量与的概率函数为已知⑴试求的联合概率函数.⑵是否相互独立?为什么?2.19已知随机变量与的概率函数为已知解因所以设联合概率函数及边缘概率函数分别为解因所以设联合概率函数及边缘概率函数分别为由此得由此得所以,联合概率函数为因所以不独立.所以,联合概率函数为因所以不独立.2.24已知随机变量服从集合上的均匀分布,试求与的概率函数.解由条件知的概率函数为容易得到与的概率函数分别为2.24已知随机变量服从集合上的均匀分布,离散型随机变量及分布分析课件2.26设与的联合概率函数为⑴分别求出的概率函数;⑵试求与的联合概率函数.解⑴的可能取值为2.26设与的联合概率函数为⑴分别求出同理有其它情况,由此得概率函数的可能取值为同理有其它情况,由此得概率函数的可能取值为同理有其它情况,由此得概率函数同理有其它情况,由此得概率函数⑵注意到:⑵注意到:所以同理可得其它概率,由此得概率函数所以同理可得其它概率,由此得概率函数2.29设是相互独立的随机变量,且每个试求随机变量的概率函数.解因因而概率函数为而的取值为对应的概率为2.29设是相互独立的随机变量,且每个试求随机变离散型随机变量及分布分析课件第二章离散型随机变量及分布第二章离散型随机变量及分布本章要点本章引入随机变量的概念,讨论几种类型的随机变量一、一维离散型随机变量及分布二、一维离散型随机变量的常用分布及相应的分布.主要内容有:三、二维离散随机变量的联合分布与边缘分布四、随机变量的独立性五、随机变量函数的分布本章要点本章引入随机变量的概念,讨论几种类型的随一、随机变量

1.随机变量例1设随机试验为抛硬币试验,我们以符号表示出出现正面,出现反面.现的是正面,符号表示出现的是反面,为了更好的刻画这类随机试验,我们

用一个数对应一个试验的结果，由此引入一个变量一、随机变量1.随机变量例1设随机试验例2设随机试验为一次打靶试验,其基本结果是中与击中目标,未击中目标.不中.同样可以引入变量:也有很多试验，其结果本身就用数来表示的.例如在一大批产品中有5%的次品，从中抽取10件产品，其中的次品数在抽取之前是不确定的，我们可以引进变量来表示其中的次品数，其取值为例2设随机试验为一次打靶试验,其基本结果是例3设随机试验表示射击试验,以表示首次命中时所进行过的射击次数.则的取值为将上面的问题一般化,我们引入下面概念.例3设随机试验表示射击试验,以表示定义设为随机试验,为样本空间,定义在上的函数称为上的（一维）随机变量.记为定义设为随机试验,为样本空间,定引入了随机变量以后,随机事件及相应的概率可以用随机变量方式加以刻画.记表示“取到的一只产品是不合格品”,再以表例如,某厂生产的灯泡按国家标准其合格品的寿命时间应该不小于小时.此时示取出的灯泡的寿命,则事件可以表示为对应的概率可以表示为引入了随机变量以后,随机事件及相应的概率可以用随二、概率函数在上节的几个例子中,我们看到问题中所涉及的几个随机变量的取值为有限多个或“可列”多个,这类随机变量称为离散型随机变量.二、概率函数在上节的几个例子中,我们看到问题中所

1.离散型随机变量和概率函数设为离散型随机变量,的可能取值为事件的概率为即:称⑴式为随机变量的分布（分布律）,又称为概率函⑴数.上式又可用表格的形式给出:满足1.离散型随机变量和概率函数设为注：随机变量的取值按从小到大的顺序排列，概率为零的项不必列出.其中为某一实数集.注：随机变量的取值按从小到大的顺序排列，概率为零的项不必列出例4设袋中有5球,编号为从袋中随机地解以表示取到球的编号,则的取值为因1同理,取一球,以表示取到的球的编号,求的分布.号球只有一个,故例4设袋中有5球,编号为及从而随机变量的分布律为及从而随机变量的分布律为例设袋中有5球,编号分别为机地取3个球,以解表示取到的3个球中的最大编号,求

的分布律.的取值为的分布律为：从袋中随例设袋中有5球,编号分别为机地取3个球,例

设随机试验表示射击试验,以表示首次命中时所进行过的射击次数.则的取值为设每次命中目标的概率为0.8，求随机变量的分布律及解：分布律为例设随机试验表示射击试验,以表⑴分布若随机变量的取值为0,1,相应的概率记为则称服从分布.记为⑶一个只有两个基本结果的随机试验,都可转化为分布.三、常用离散型随机变量⑴分布若随机变量的习惯上,分布又常写成⑷习惯上,分布又常写成⑷⑵二项分布在重贝努利试验中,若以表示事件在次试验中⑸分布律为⑹出现的次数.则的取值为相应的概率为:⑵二项分布在重贝努利试验中,若以其中为事件发生的概率.则称服从参数为的在概率论中,二项分布是一个重要的分布.在许多独二项分布,记成立重复试验中,都具有二项分布的形式.分布是二项分布在时的特殊情况.其中为事件发生的概率.则称服从参数为例6某特效药的临床有效率为0.95，今有10人服用，问至少有8人治愈的概率有多少？解设为10人中治愈的人数，则例6某特效药的临床有效率为0.95，今有10人服用，问至例7已知某公司生产的螺丝钉的次品率为0.01,并设解由条件,以表示包内螺丝钉为次品的件数,则包各个螺丝钉是否为次品是独立的.这家公司将10个螺丝钉包成一包出售,并保证若发现包内多于一个次品就可退款.问卖出的某包螺钉被退回的概率有多大？被退回意味着故所求的概率为被退回的概率近似等于0.43%.例7已知某公司生产的螺丝钉的次品率为0.01,例8设有保险公司的某保险险种有1000人投保,每个解以随机变量表示在未来一年中这1000个投保人死人在一年内死亡的概率为0.005,且每个人在一年内是否死亡是相互独立的.试求在未来一年中这1000个投保人死亡人数不超过10个人的概率.亡的人数,则相应的问题转变为求概率由可得例8设有保险公司的某保险险种有1000人投保,在上式中直接计算是比较设当很大很小且适中时有⑻在上例中,取则有困难的,为此我们引入一个简便的计算方法——即二项分布的逼近,称为泊松定理.在上式中直接计算即在未来一年中这1000个投保人死亡人数不超过10个人的概率为0.986.即在未来一年中这1000个投保人死亡人数不超过10个人的概率⑶泊松分布设随机变量的取值为相应的分布律⑼则称随机变量服从参数为的泊松分布,记为泊松分布的计算:查表为⑶泊松分布设随机变量的取值为例9设求解查表得例10设某交通道口一分钟的汽车流量为随机变量求在一分钟内至少有2辆车通过的解所求概率为概率。例9设求解例11设某小区有电梯200部,每台电梯发生故障的可⑴在同一时刻恰好有5部电梯发生故障的概率;⑵在同一时刻至少有3部电梯发生故障的概率;⑶至少配备多少维修工人,使能以95%的概率,保证当解以表示在同一时刻发生故障的电梯数,则由条件取所以能性为0.02,求电梯发生故障时,有维修工人进行维修.得例11设某小区有电梯200部,每台电梯发生故障的⑴由计算公式⑻得⑵⑶记配备的维修工人数为若能有维修工人能进行维修,则所以原问题由概率来反映,即为⑴由计算公式⑻得⑵⑶记配备的维修工人数为若能有维从而查表得故取即配备8名维修人员,使能以95%的概率,保证当电梯发生故障时,一定有维修工人进行维修.从而⑷几何分布设随机变量的取值为相应的概率函数为称随机变量服从参数为的几何分布,记为⑽⑷几何分布设随机变量的取值为相应的概例12某人投篮的命中率为0.4，假定各次投篮是否命中相互独立，设次数，求表示他首次投中时累计已投篮的的分布律，并求取奇数的概率.解：随机变量的分布律为随机变量取奇数的概率为例12某人投篮的命中率为0.4，假定各次投篮是否命中相互(5)超几何分布产品的抽样检验是经常遇到的一类实际问题.假定在件产品中有表示的分布律为：件次品，从中抽取件进行检验，用件中的次品数，则服从超几何分布，(5)超几何分布产品的抽样检验是经常遇到的一类实际问题.假定例13设15件产品中有2件次品，从中任取3件，以表示3件中的次品数，求解的分布律为的分布律.例13设15件产品中有2件次品，从中任取3件，以表示3件在上例中，若将无放回抽样改为有放回抽样，则3件中的次品数在上例中，若将无放回抽样改为有放回抽样，则3件中的次品数四、二维随机变量及分布设是随机试验,是相应的样本空间,一个从到的二元函数即称为一个二维随机变量.记为称随机变量的取值规律及相应的概率为的二维分布.

1.联合概率函数四、二维随机变量及分布设是随机试验,设为二维随机变量,若它的取值为有限多个或设为二维随机变量,取值为⑾称⑾式为随机变量的联合分布律或联合概率函数.可列多个,则称为二维离散型随机变量.相应的概率为满足设为二维随机变量,若它的⑾式又可用分布表的形式给出:注：全为零的行或列不必列出，变量的取值按从小到大的顺序排列。⑾式又可用分布表的形式给出:注：全为零的行或列不必列由二维离散型随机变量的概率函数容易求出随机变量落在平面上某个区域中的概率.事实上,对给定的平面区域则有⑿由二维离散型随机变量的概率函数容易求出随机变量落在平例12设袋中有5球,编号为今从袋中取二球解由条件,随机变量的可能取值为因号当先取号球,此时还剩4球,其中2号球有2个,故（不放回）,分别以表示第一、二次取到的球的编号,求的分布律.球只有一个,故例12设袋中有5球,编号为相仿地,有由此得到分布表相仿地,有由此得到分布表离散型随机变量及分布分析课件

2.边缘概率函数设为二维离散型随机变量,取值为⒀由此,随机变量的取值为相应的概率⒁为联合概率函数为2.边缘概率函数设为称其为随机变量的边缘概率函数.同样定义⒂称其为随机变量的边缘概率函数.称其为随机变量的边缘概率函数.同样定义⒂称其为随例13设二维随机变量有概率函数求边缘概率函数.解对上表分别作行和及列和,得:例13设二维随机变量有概率函数求由此得边缘概率函数分别为:及由此得边缘概率函数分别为:及例14袋中有10个球,其中红球8个,白球2个,从袋中随机取2次球,每次一个（不放回）,定义第一次取出的是红球,第一次取出的是白球,第二次取出的是红球,第二次取出的是白球,求的联合分布律及边缘分布律.解由要求,二维随机变量的可能取值只有四个,例14袋中有10个球,其中红球8个,白球2个又:事件表示第一和第二次取到的都是红球,因而同理:又:事件表示第一和第二次取到的都是红球,因而同理:由此得到联合分布律为:相应的边缘分布律为:由此得到联合分布律为:相应的边缘分布律为:及及五、随机变量的独立性与条件分布

1.随机变量的独立性在上一目的例12中,若采用放回抽样,则联合概率函数和边缘概率函数分别为:五、随机变量的独立性与条件分布1.随机变量的独立性注意到,此时对任意的有上式表明事件是独立的事件.由此引入下面的定义.注意到,此时对任意的有上式表明事件是独立的事件.定义设随机变量的联合概率函数为如果联合概率函数恰为两个边缘概率函数的乘积,即则称随机变量与相互独立.⒃注：若存在一点则称随机变量与不相互独立.定义设随机变量的联合概率函数为如例15设是二维随机变量,相应的分布律为解因随机变量的边缘分布分别为判断是否独立.例15设是二维随机变量,相因此随机变量不独立.因此随机变量不独立.例16设随机变量的联合分布律为已知求的值，并讨论随机变量的独立性。解不独立.例16设随机变量的联合分布律为已知求的值，并讨论随机变量例抛3次均匀硬币以表示正面向上的次数，以表示正面出现次数与反面出现次数差的绝对值，求的联合分布与边缘分布，并讨论变量之间的独立性.例抛3次均匀硬币以表示正面向上的次数，以表示正面出现次159随机变量的联合分布与边缘分布分别为变量之间是不独立的.随机变量的联合分布与边缘分布分别为变量之间是不独立的.我们可以把两个随机变量独立的概念推广到有限个变量中去.如果n个随机变量的联合概率函数恰为n个边缘概率函数的乘积，则称这n个随机变量相互独立,即对随机变量的任意取值上式都成立.我们可以把两个随机变量独立的概念推广到有限个变量中去.如果n161六、随机变量函数的分布

1.一维随机变量函数的概率函数设是离散型随机变量,概率函数为即有分布律六、随机变量函数的分布1.一维随机变量函数的概率函数若为一已知函数,则随机变量的⒅取值为则相应的概率函数为当若为一已知函数,则例14设为离散型随机变量,概率函数为求随机变量的分布.解1.因函数为单调函数,所以随机变量的概率函数为随机变量的取值为例14设为离散型随机变量,概率函数为求随机变

2.的取值为而由此得到相应的概率函数为:2.的取值为例15设有概率函数求的概率函数.解的取值为相应的分布律为例15设有概率函数求设是二维离散型随机变量,相应的分布律为设为任意一个二元函数,则随机变量的相应取值为相应的概率为:

2.二维随机变量的函数的分布设是二维离散型随机变量,⒆⒆例16设是二维离散型随机变量,分布列为求:⑴⑵⑶的概率函数.解⑴则的取值为相应的概率为例16设是二维离散型随机变量,⑵此时,的取值为得到的概率分布为:⑶此时,的取值为得到的概率分布为:⑵例17设是二维离散型随机变量,分布列为求:⑴⑵⑶的概率分布.解⑴则的取值为相应的概率为例17设是二维离散型随机变量,同理可计算其它概率,由此得分布率为⑵此时,的取值为相应的分布为同理可计算其它概率,由此得分布率为⑵⑶此时,的取值为相应的概率分布为⑶例20设二维随机变量的两个边缘概率函数分别为已知与相互独立,求下列随机变量的概率函数:⑴⑵的联合分布律与边缘分布律.求例20设二维随机变量的两个边解二维随机变量的联合概率函数为由独立性⑴的取值为且解二维随机变量的联合概率函数同理可得其它情况,由此得到概率函数同理可得其它情况,由此得到概率函数(2)(2)定理设是独立同分布的随机变量,且记则定理设相互独立,⑴当