《晶体综合计算》

《晶体综合计算》岳阳市一中何厚文解读：本部分知识在新高考中更多是以主观填空题形式考查，考查学生分析图象的能力，能正确分析晶胞或简单结构中所含的粒子个数、粒子位置关系，从而计算粒子间距、晶体密度、空间利用率等。考查了晶体结构、定量计算，考查了宏观辨识与微观探析、证据推理和模型认知。一、关键能力，层级突破1.粒子间距的计算【例1】(2022·全国Ⅰ卷节选)在普通铝中加入少量Cu和Mg后，形成一种称为拉维斯相的MgCu2微小晶粒，其分散在Al中可使得铝材的硬度增加、延展性减小，形成所谓“坚铝”，是制造飞机的主要材料。图(a)是MgCu2的拉维斯结构，Mg以金刚石方式堆积，八面体空隙和半数的四面体空隙中，填入以四面体方式排列的Cu。图(b)是沿立方格子对角面取得的截图。可见，Cu原子之间最短距离x＝__________pm，Mg原子之间最短距离y＝__________pm。设阿伏加德罗常数的值为NA，则MgCu2的密度是__________g·cm－3(列出计算表达式)。【解析】根据晶胞结构可知Cu原子之间最短距离为面对角线的eq\f(1,4)，由于棱长是apm，则面对角线是eq\r(2)apm，则x＝eq\f(\r(2),4)apm；Mg原子之间最短距离为体对角线的eq\f(1,4)，由于棱长是apm，则体对角线是eq\r(3)apm，则y＝eq\f(\r(3),4)a；根据晶胞结构可知晶胞中含有镁原子的个数是8×eq\f(1,8)＋6×eq\f(1,2)＋4＝8，则Cu原子个数为16，晶胞的质量是eq\f(8×24＋16×64,NA)g。由于棱长是apm，则MgCu2的密度eq\f(8×24＋16×64,NAa3×10－30)g·cm－3。答案：eq\f(\r(2),4)aeq\f(\r(3),4)aeq\f(8×24＋16×64,NAa3×10－30)2.粒子坐标的计算【例2】(2022·全国Ⅱ卷节选)近年来我国科学家发现了一系列意义重大的铁系超导材料，其中一类为Fe­Sm­As­F­O组成的化合物。一种四方结构的超导化合物的晶胞如图1所示，晶胞中Sm和As原子的投影位置如图2所示。以晶胞参数为单位长度建立的坐标系可以表示晶胞中各原子的位置，称作原子分数坐标，例如图1中原子1的坐标为(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，eq\f(1,2))，则原子2和3的坐标分别为________、________。【解析】图1中原子1的坐标为(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，eq\f(1,2))，原子2位于面心，坐标为(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，0)，原子3位于棱心，坐标为(0，0，eq\f(1,2))。答案：(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，0)(0，0，eq\f(1,2))3.晶体密度的计算【例3】(2022·全国Ⅱ卷节选)钙钛矿(CaTiO3)型化合物是一类可用于生产太阳能电池、传感器、固体电阻器等的功能材料，回答下列问题：(1)CaTiO3的晶胞如图(a)所示，其组成元素的电负性大小顺序是________；金属离子与氧离子间的作用力为________，Ca2＋的配位数是________。(2)一种立方钙钛矿结构的金属卤化物光电材料的组成为Pb2＋、I－和有机碱离子CH3NHeq\o\al(\s\up1(＋),\s\do1(3))，其晶胞如图(b)所示。其中Pb2＋与图(a)中________的空间位置相同，有机碱CH3NHeq\o\al(\s\up1(＋),\s\do1(3))中，N原子的杂化轨道类型是________；若晶胞参数为anm，则晶体密度为________g·cm－3(列出计算式)。【解析】(1)同一周期自左到右的电负性逐渐增大，同一主族自上而下的电负性逐渐减小，即O＞S＞Se＞Ti＞Ca；阴阳离子之间存在离子键，由晶体结构知Ca2＋的周围与其最近且等距离的O2－有12个，故配位数是12。(2)图(b)中Pb2＋周围围绕6个I－，图(a)中Ti4＋周围围绕6个O2－，故位置相同。有机碱CH3NHeq\o\al(\s\up1(＋),\s\do1(3))中，N原子的价层电子对数为4，所以氮原子的杂化形式为sp3；由晶体结构知晶胞中含有3个I－、1个Pb2＋、1个CH3NHeq\o\al(\s\up1(＋),\s\do1(3))，晶胞的质量为(eq\f(3,NA)×127＋eq\f(1,NA)×207＋eq\f(1,NA)×32)g＝eq\f(620,NA)g，则晶体密度为eq\f(\f(620,NA),a3)g·nm－3＝eq\f(620,a3×NA)×1021g·cm－3。答案：(1)O＞Ti＞Ca离子键12(2)Ti4＋sp3eq\f(620,a3×NA)×10214.空间利用率的计算【例4】第四周期某些元素的相关化合物在化工、医药、材料等领域有着广泛应用。钛(Ti)被誉为“21世纪金属”，Ti晶体的堆积方式是六方最密堆积如图B所示，晶胞可用如图C表示。设金属Ti的原子半径为acm，空间利用率为________。设晶胞中A点原子的坐标为(1，0，0)，C点原子的坐标为(0，1，0)，D点原子的坐标为(0，0，1)，则B点原子的坐标为______________________。【解析】晶胞中B与连线原子形成正四面体，紧密相邻，设金属Ti的原子半径为acm，则晶胞底面棱长为2acm，晶胞底面为菱形，锐角为60°，底面积＝2acm×2acm×sin60°＝2eq\r(3)a2cm2，正四面体的高＝eq\r(（2a）2－[\f(2,3)×（2a×cos30°）]2)cm＝eq\f(2\r(6),3)acm，故晶胞的高为2×eq\f(2\r(6),3)acm，晶胞体积＝2eq\r(3)a2cm2×2×eq\f(2\r(6),3)acm，晶胞中Ti原子数目为2，晶胞中原子总体积＝2×eq\f(4,3)πa3cm3，空间利用率＝[2×eq\f(4,3)πa3cm3÷(2eq\r(3)a2cm2×2×eq\f(2\r(6),3)acm)]×100%＝eq\f(\r(2)π,6)×100%≈74%。由各原子坐标参数，可知A处于x轴，C处于y轴，D处于z轴，B处于晶胞中三棱锥的中心位置，距离上、下底面距离相等，为B的参数z的值＝，B在底面投影B′处于AC连线上且AB′长度为AC长度的eq\f(1,3)。则B′到左侧面距离为C的eq\f(1,3)，即为参数y＝eq\f(1,3)×1＝eq\f(1,3)，则B′到后平面距离为A的eq\f(2,3)，即为参数x＝eq\f(2,3)×1＝eq\f(2,3)，故B的坐标为(eq\f(2,3)，eq\f(1,3)，eq\f(1,2))。答案：74%(eq\f(2,3)，eq\f(1,3)，eq\f(1,2))二、技法总结1．晶胞计算相关公式：(1)晶胞质量＝晶胞占有的微粒的质量＝晶胞占有的微粒数×eq\f(M,NA)。(2)晶体中体心立方堆积、面心立方堆积中的几组公式(设棱长为a)①面对角线长＝eq\r(2)a。②体对角线长＝eq\r(3)a。③体心立方堆积4r＝eq\r(3)a(r为原子半径)。④面心立方堆积4r＝eq\r(2)a(r为原子半径)。(3)空间利用率＝eq\f(晶胞占有的微粒体积,晶胞体积)。2．涉及晶胞图的相关计算：(1)计算晶胞中的粒子数目或计算化学式。(2)计算晶胞参数，如密度、摩尔质量、粒子在空间的坐标点。(3)计算晶胞中粒子之间的距离。三、题组训练1．(粒子间距的计算)自从第一次合成稀有气体元素的化合物XePtF6以来，人们又相继发现了氙的一系列化合物，如XeF2、XeF4等。图甲为XeF4的结构示意图，图乙为XeF2晶体的晶胞结构图。下列有关说法错误的是()A．XeF4是由极性键构成的非极性分子B．XeF2晶体属于分子晶体C．一个XeF2晶胞中实际拥有4个XeF2D．XeF2晶体中距离最近的两个XeF2之间的距离为eq\f(\r(3)a,2)(a为晶胞参数)【解析】选C。根据XeF4的结构示意图判断，Xe和F之间形成极性键，该分子为平面正方形，为非极性分子，故A正确；XeF2为一个分子，XeF2晶体由这样的分子构成，所以是分子晶体，故B正确；一个XeF2晶胞中实际拥有XeF2的数目为8×eq\f(1,8)＋1＝2个，故C错误；根据晶胞结构分析，体心的XeF2与每个顶点的XeF2之间的距离最近，最近的距离为eq\f(\r(3)a,2)，故D正确。2．(粒子坐标的计算)以晶胞参数为单位长度建立的坐标系可以表示晶胞中各原子的位置，称作原子分数坐标。氧化镍原子分数坐标参数A为(0，0，0)，B为(1，1，1)，则C的坐标参数为()A．(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，eq\f(1,2)) B．(1，1，eq\f(1,2))C．(eq\f(1,2)，1，eq\f(1,2)) D．(1，eq\f(1,2)，eq\f(1,2))【解析】选D。C位于右侧面的面心处，已知A为(0，0，0)，B为(1，1，1)，则C在xy平面的投影为(1，eq\f(1,2))，在z方向投影为eq\f(1,2)，所以C的坐标参数为(1，eq\f(1,2)，eq\f(1,2))。3.(晶体密度的计算)钒的某种氧化物的立方晶胞结构如图所示，晶胞参数为apm。下列说法错误的是()A．该钒的氧化物的化学式为VO2B．V原子在该晶体中的堆积方式为体心立方C．V原子的配位数与O原子的配位数之比为1∶2D．该晶胞的密度为eq\f(2×（51＋16×2）,（a×10－10）3××1023)g·cm－3【解析】选C。晶胞中V原子位于顶点和体心，数目为1＋8×eq\f(1,8)＝2；O原子位于上下面上和体内，数目＝2＋4×eq\f(1,2)＝4，二者原子数目之比为1∶2，故氧化物化学式为VO2，故A正确；晶胞中V原子位于顶点和体心，符合体心立方的堆积方式，故B正确；体心V原子的配位数为6，O原子配位数为3，所以V原子的配位数与O原子的配位数之比为2∶1，故C错误；m＝eq\f(2×51＋4×16,NA)g，V＝a3pm3＝(a×10－10)3cm3，ρ＝eq\f(m,V)＝eq\f(2×（51＋16×2）,（a×10－10）3××1023)g·cm－3，故D正确。4．(粒子坐标、晶体密度的计算)我国科学家合成太阳能电池材料(CH3NH3)PbI3，其晶体结构如图，属于立方晶系，晶体密度为ρg·cm－3。其中A代表(CH3NH3)＋；原子坐标参数A为(0，0，0)，B为(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，eq\f(1,2))，下列说法错误的是()A．B代表Pb2＋B．每个晶胞含有I－的数目为6C．M的原子坐标参数为(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，0)D．(CH3NH3)PbI3的摩尔质量为ρ·a3××10－7g·mol－1【解析】选B。A的数目为8×eq\f(1,8)＋4×eq\f(1,4)＝2个，A代表(CH3NH3)＋；而B代表微粒数也为2，则B是Pb2＋，故A正确；每个晶胞含有I－数目为6×eq\f(1,2)＝3个，不是6个，故B错误；M点处于xOy面，坐标是(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，0)，故C正确；取1mol晶胞，则有×1023个晶胞，1mol晶胞质量为Mg，密度为ρ＝eq\f(M,×1023×a3×10－30)g·cm－3，所以摩尔质量为M＝ρ·a3·×10－7g·mol－1，故D正确。5．(粒子间距、晶体密度的计算)(1)①KIO3晶体是一种性能良好的非线性光学材料，具有钙钛矿型的立方结构，棱长为a＝nm，晶胞中K、I、O分别处于顶角、体心、面心位置，如图1所示。K与O间的最短距离为__________nm，与K紧邻的O个数为____________。②在KIO3晶胞结构的另一种表示中，I处于各顶角位置，则K处于__________位置，O处于_________位置。(2)MgO具有NaCl型结构(如图2)，晶胞面对角线上的O2－紧密相邻，X射线衍射实验测得MgO的晶胞参数为a＝nm，则r(O2－)为__________nm。MnO也属于NaCl型结构，晶胞参数为a′＝nm，则r(Mn2＋)为__________nm。【解析】(1)①K与O间的最短距离为面对角线的一半，则K与O间的最短距离为eq\f(\r(2),2)×nm≈nm，以顶点K研究，与之相邻的O位于面心，顶点为12个面共有，面心为2个晶胞共用，即与K紧邻的O个数为eq\f(3×8,2)＝12；②将图中晶胞扩展为2×2×2结构，8个晶胞体心的8个I构成新立方晶胞的顶点，可知K处于新晶胞体心、O原子处于新晶胞棱心。(2)MgO晶胞面对角线上的O2－紧密相邻，2个O2－核间距(即2个O2－半径之和)等于晶胞棱长的eq\f(\r(2),2)，故r(O2－)＝nm×eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)≈nm，2r(O2－)＋2r(Mn2＋)＝nm，则r(Mn2＋)＝nm。答案：(1)①12②体心棱心(2)四、加固训练1．食盐晶体是由钠离子(图中的“”)和氯离子(图中的“”)组成的，且均为等距离的交错排列。已知食盐的密度是g·cm－3，阿伏加德罗常数为×1023mol－1。在食盐晶体中两个距离最近的钠离子中心间的距离最接近于()A．×10－8cmB．×10－8cmC．×10－8cm D．×10－8cm【解析】选C。从NaCl晶体结构模型中分割出一个小立方体，如图所示，a表示其棱长，d表示两个Na＋中心间的距离。每个小立方体含Na＋：eq\f(1,8)×4＝eq\f(1,2)，含Cl－：eq\f(1,8)×4＝eq\f(1,2)，即每个小立方体含Na＋—Cl－离子对eq\f(1,2)个。则有a3·g·cm－3＝eq\f(\f(1,2)×g·mol－1,×1023mol－1)，解得a≈×10－8cm，又因为d＝eq\r(2)a，故食盐晶体中两个距离最近的Na＋中心间的距离为d＝eq\r(2)××10－8c