湖北省部分重点中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学(理)试题

·PAGE16·湖北省部分重点中学2016－2017学年度上学期高二期中考试数学试卷(理科)命题人：市49中唐和海审题人：武汉中学杨银舟一、选择题（5×12＝60分）1.下列命题正确的是（）A．经过三点确定一个平面B．经过一条直线和一个点确定一个平面C．四边形确定一个平面D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面2.为了解1200名学生对学校教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k为（）A.40B.30C.20D.123.已知直线⊥平面，直线m，给出下列命题：①∥②∥m;③∥m④∥其中正确的命题是（）A．①②③B．②③④C．②④D．①③4.某程序框图如图所示,若输出的S=57,则判断框内为（）A．k>4?B．k>5?C．k>6?D．k>7?5.有5根细木棍，长度分别为1、3、5、7、9(cm)，从中任取三根，能搭成三角形的概率为()A．B．C．D．6.如右图是歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则一定有()A．a1>a2B．a2>a1C．a1＝a2D．a1、a2的大小不确定7.某人5次上班途中所花的时间（单位：min）分别为：x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数是10，方差为2，则的值为（）A．1B．2C．3D．48.两条异面直线a,b所成的角是60°，A为空间一定点，则过点A作一条与直线a,b均成60°的直线，这样的直线能作几条（）A.1条B.2条C.3条D.4条9.如右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中①与平行；②与是异面直线；③与成角；④与垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（）A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④10.如图，在棱长为1的正方体—中，点在线段上运动，给出以下四个命题：①异面直线与所成的角为定值；②二面角的大小为定值；③三棱锥的体积为定值；其中真命题的个数为()A．B． C．D．11.下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归直线方程为，后因某未知原因第5组数据的值模糊不清，此位置数据记为（如下表所示），则利用回归方程可求得实数的值为（）1961972002032041367（A）（B）（C）（D）12.在三棱锥S－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝，SA＝SC＝2，二面角S－AC－B的余弦值是，若点S，A，B，C都在同一球面上，则该球的表面积是()A. B.6C.8D.二、填空题（5×4＝20分）13.已知A表示点，a，b，c表示直线，M，N表示平面，给出以下命题：①a⊥M，若M⊥N，则a∥N②a⊥M，若b∥M,c∥a,则a⊥b,c⊥b③a⊥M，bM,若b∥M，则b⊥a④ab∩=A,c为b在内的射影，若a⊥c，则a⊥b。其中命题成立的是___________14.执行如下图所示的程序框图，若输入的值为8，则输出的值为．15.如右上图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是．16.甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，则有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率为．三、解答题（10+12×5＝70分）17.（10分）某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；（Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．18.（12分）已知：四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别为AB、PD的中点，PA=a，∠PDA=45º(1)求证：AF∥平面PCE；(2)求证：平面PCE⊥平面PCD；(3)求点D到平面PCE的距离.19.（12分）某学校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如下图所示，其中成绩分组区间是：，，，，。（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数与数学成绩相应分数段的人数之比如下表所示，求数学成绩在之外的人数。分数段x：y1：12：13：44：520.已知四棱锥P—GBCD中(如图)，PG⊥平面GBCD，GD∥BC，GD=BC，且BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，PG=4。（Ⅰ）求异面直线GE与PC所成角的余弦值；（Ⅱ）若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC,PF:FC=k,求k的值.21.如图，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面，，，．（Ⅰ）求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角的余弦值；（Ⅱ）直线EA与平面BCD所成角的正弦值.22、如图，已知△AOB，∠AOB＝，∠BAO＝，AB＝4，D为线段AB的中点．若△AOC是△AOB绕直线AO旋转而成的．记二面角B－AO－C的大小为．（Ⅰ）当平面COD⊥平面AOB时，求的值；（Ⅱ）当∈[，]时，求二面角C－OD－B的余弦值的取值范围．

湖北省部分重点中学2016－2017学年度上学期高二期中考试理科数学试题答案1~5、DADAC6~10、BDCCD11、D12、B13、②③④14、815、90°16、16、解：甲比乙早到4小时内乙需等待，甲比乙晚到2小时内甲需等待．以x和y分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则有一艘船停靠泊位时需等待一段时间的充要条件为－2≤x－y≤4，在如图所示的平面直角坐标系内，（x，y）的所有可能结果是边长为24的正方形，而事件A“有一艘船停靠泊位时需等待一段时间”的可能结果 由阴影部分表示．由几何概型公式得： P（A）＝＝． 故有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率是．17、解：（Ⅰ）由题意可知，参加社区服务在时间段[90，95）的学生人数为20×0.04×5=4（人），参加社区服务在时间段[95，100]的学生人数为20×0.02×5=2（人）．所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为4+2=6（人）．…………5分（Ⅱ）设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件A．由（Ⅰ）可知，参加社区服务在时间段[90，95）的学生有4人，记为a，b，c，d；参加社区服务在时间段[95，100]的学生有2人，记为A，B．从这6人中任意选取2人有ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况．事件A包括ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率．…………10分18.（1）取PC的中点为G，连结FG、EG∵FG∥DCFG=DCDC∥ABAE=AB∴FG∥AE且FG＝AE∴四边形AFGE为平行四边形∴AF∥EG又∵AF平面PCEEG平面PCE∴AF∥平面PCE…………4分（2）∵PA⊥平面ABCDAD⊥DC∴PD⊥DC∴∠PDA为二面角P-CD-B的平面角∴∠PDA=45º，即△PAD为等腰直角三角形又∵F为PD的中点AF⊥PD①由DC⊥ADDC⊥PDAD∩PD=D得：DC⊥平面PAD而AF平面PAD∴AF⊥DC②由①②得AF⊥平面PDC而EG∥AF∴EG⊥平面PDC又EG平面PCE∴平面PCE⊥平面PDC…………8分（3）过点D作DH⊥PC于H∵平面PCE⊥平面PDC∴DH⊥平面PEC即DH的长为点D到平面PEC的距离在Rt△PAD中，PA=AD=aPD=a在Rt△PDC中，PD=a,CD=aPC=aDH=a即：点D到平面PCE的距离为a…………12分19、(1)……2分解得………………3分(2)50-60段语文成绩的人数为：60-70段语文成绩的人数为：4分70-80段语文成绩的人数为：80-90段语文成绩的人数为：90-100段语文成绩的人数为：………………5分(3)依题意：50-60段数学成绩的人数=50-60段语文成绩的人数为=5人60-70段数学成绩的的人数为=50-60段语文成绩的人数的一半=70-80段数学成绩的的人数为=80-90段数学成绩的的人数为=90-100段数学成绩的的人数为=……12分20、解法一：（I）如图所示，以G点为原点建立空间直角坐标系o—xyz，则B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，4）故E（1，1，0）故异面直线GE与PC所成角的余弦值为.…………6分（Ⅱ）设F（0，y,z）在平面PGC内过F点作FM⊥GC，M为垂足，则，∴……12分解法二：（Ⅰ）在平面ABCD内，过C点作CH//EG交AD于H，连结PH，则∠PCH（或其补角）就是异面直线GE与PC所成的角.在△PCH中，由余弦定理得，cos∠PCH=∴异面直线GE与PC所成角的余弦值为.…………6分（Ⅱ）在平面GBCD内，过D作DM⊥GC，M为垂足，连结MF，又因为DF⊥GC∴GC⊥平面MFD，∴GC⊥FM由平面PGC⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD∴FM//PG由得GM⊥MD，∴GM=GD·cos45°=，∴………………12分21、（Ⅰ）（法1）过作的平行线，过作的垂线交于，连结，∵，∴，是平面与平面所成二面角的棱．∵平面平面，，∴平面，又∵平面，∴平面，∴，∴是所求二面角的平面角．设，则，，∴，∴．（法2）∵，平面平面，∴以点为原点，直线为轴，直线为轴，建立空间直角坐标系，则轴在平面内（如图）．设，由已知，得，，．C（0，2a,0）∴，，设平面的法向量为，则且，∴∴解之得取，得平面的一个法向量为.又∵平面的一个法向量为．．…………6分（Ⅱ）设EA与平面BCD所成的角为α，EA与平面BCD的法向量所成的角为β，由（1）可知AP⊥CD，又AP⊥BC，∴AP为平面BCD的法向量。由B、C的坐标可得点P的坐标为（a,a,0）,即＝（a,a,0）；由（1）＝（0，a,）,∴sinα===即直线EA与平面BCD所成角的正弦值为………………12分。22、解：（Ⅰ）如图，以O为原点，在平面OBC内垂直于OB的直线为x轴，OB，OA所在的直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系O－xyz，则A(0，0，2)，B(0，2，0)，D(0，1，)，C(