线代线性代数与解析几何

线性代数与解第五章特征值与特征向量2012123第五章特征值与特征向量 2012年12月3 1/第五章特征值与特征向量1§ 12§ 23§ 3第五章特征值与特征向量 2012年12月3 2/第五章特征值与特征向量,作为工程计算中不可或缺的组成部分特征值和特征向量被广泛用,第五章特征值与特征向量 2012年12月3 3/第五章特征值与特征向量§5.1矩阵的特征值和特征向第五章特征值与特征向量 2012年12月3 4/第五章特征值与特征向量(A

,α ,β

,γ

, (

) Aα (

)

=Aβ

= ) Aγ

第五章特征值与特征向量 2012年12月3 5/第五章特征值与特征向量An阶矩阵,λ是一个数.如果存在非零列向量α(n1矩阵)使得Aα=λA的一个特征值,αA的λ的特征向量,在上面的例子中-1和1A的两个特征值,αβ分别是对应于它们的特征向量;γ则是一个不属于A的任意一个特征值的第五章特征值与特征向量 2012年12月3 6/第五章特征值与特征向量A

,α

̸0,Aα=λα,(A−λE)α=.(λE−A)α0.αλ−

·· λ− ··

= .. ·· λ− ..第五章特征值与特征向量 2012年12月3 7/第五章特征值与特征向量λ−a

·· λ

·· =

.. 即

·· λ−a|λE−A|=Aaij)n×nλnf(λ|λEA|0A的特征方程或特征多项式λEAA的特征矩阵第五章特征值与特征向量 2012年12月3 8/第五章特征值与特征向量征值,所以特征值又叫作特征根.,,提下,AA的特征方程|λE−A|,λi求出(λE−A)X0的非零解,就是对应于λi的全部特征向量.第五章特征值与特征向量 2012年12月3 9/第五章特征值与特征向量 A 001.第五章特征值与特征向量 2012年12月3 10/第五章特征值与特征向量 A 001.解Aλ+ |λE−A|

λ−

λ−

=(λ−1)(λ+1)2=A1,-1(二重第五章特征值与特征向量 2012年12月3 10/第五章特征值与特征向量λ=1(λE−A)X=0中,4x1−4x2=x1=−7x1−5x2=00 1第五章特征值与特征向量 2012年12月3 11/第五章特征值与特征向量λ=−1(λE−A)X=0中,2x1−4x2−7x1−x1−2x2

,2−2x3=4 第五章特征值与特征向量 2012年12月3 12/第五章特征值与特征向量因此A1,-1.10 1

(k1̸=0);

42

(k2̸=0第五章特征值与特征向量 2012年12月3 13/第五章特征值与特征向量, A sin

—sin ?第五章特征值与特征向量 2012年12月3 14/第五章特征值与特征向量平面上旋转变换Tθe1e2 A cossin

cos?解A|λE−A|

λ−cos sin

=λ2−2λcosθ+1= λ−cos第五章特征值与特征向量 2012年12月3 14/第五章特征值与特征向量θ̸=kπ时,cosθ̸=±1,∆=4cos2θ−4<0,在实数范围内无解.于是此矩阵要想在实数范围内存在特征值,θ只kπ.此时,特征方程为|λE−A|=λ2±2λ+1=(λ±1)2=0θ=2kπ时,1(二重).λ=1(λE−A)X=0中, 0

+ 1

(k1k2第五章特征值与特征向量 2012年12月3 15/第五章特征值与特征向量θ=(2k+1)π时,−1(二重).λ=−1代入齐次线性(λE−A)X=0中,求得其基础解系仍为 0

+ 1

(k3k4第五章特征值与特征向量 2012年12月3 16/第五章特征值与特征向量nAAT有相同的特征值第五章特征值与特征向量 2012年12月3 17/第五章特征值与特征向量nAAT有相同的特征值(λE−A)T=λE−AT,|λE−A||(λE−A)T||λE−AT|.AAT,第五章特征值与特征向量 2012年12月3 17/第五章特征值与特征向量nAAT有相同的特征值证明因为(λE−A)T=λE−AT,|λE−A|=|(λE−A)T|=|λE−AT|.AAT,nA=(aij)n×nnλ1λ2···λn,An个特征值之和等于A的迹,λ1+λ2+···+λn=a11+a22+···+An个特征值之积等于A的行列式的值,第五章特征值与特征向量

λ1λ2···λn=

2012年12月3 17/证f(λ)=(λ−λ1)(λ−λ2)···(λ

f(λ)=|λE−A|

λ

−a12···λ−a22···.........................a—

−an2···λ−a展开,λnλn−1(λa11)(λa22···(λann)这一项中,f(λ)1,n1−(a11+a22+···+ann).|λE−A|中λ=0|A|=(−1)n|A|.这样若只写出其前两项和常数项,第五章特征值与特征向量第五章特征值与特征向量 2012年12月3 18/f(λ)=λn−(a11+a22+···+ann)λn−1+···+( λ1+λ2+···+λn=a11+a22+···+ann,λ1λ2···λn=第五章特征值与特征向量 2012年12月3 19/第五章特征值与特征向量λnA的一个特征值,αAλ的一个特征向量λ2A2的一个特征值,αA2λ2的第五章特征值与特征向量 2012年12月3 20/第五章特征值与特征向量λnA的一个特征值,αAλ的一个特征向量.λ2A2的一个特征值,αA2λ2的证明由条件知Aαλα,α̸0.A2α=A(Aα)=A(λα)=λ(Aα)=,此例题不难推广到一般的情形λnA的一个特征值,αAλ的一个特征向量k,λkAk的特征值,αAkλk的一个特征向量.第五章特征值与特征向量 2012年12月3 20/第五章特征值与特征向量更进一步地,f(xamxmam−1xm−1···a1xa0m项式Af(A)=amAmam−1Am−1···a1Aa0E.f(A)α=amAmα+am−1Am−1α+···+a1Aα+=amλmα+am−1λm−1α+···+a1λα+=f(λ)=amλmam−1λm−1···a1λa0f(A)的一个特征值,αf(Af(λ的一个特征向量特别地,A是可逆矩阵时,λ̸=0,Aα=λαA−1Aα=A−1λα,即αλA−1α,A−1α1α1A−1的特征值α λλ第五章特征值与特征向量 2012年12月3 21/第五章特征值与特征向量λ1λ2···λtnA的两两不同的特征值,αi1αi2···=.α11α12···α1r1α21,···αt1···αtrt也是线性无关的第五章特征值与特征向量 2012年12月3 22/第五章特征值与特征向量λ1λ2···λtnA的两两不同的特征值,αi1αi2···,λi的一些线性无关的特征向量(i=12···t).α11α12···,α1r1α21,···,αt1···,αtrt也是线性无关的t=1时由假设α11α12···α1r1是线性无关的t=k时成立,α11α12···,α1r1α21···,αk1···,αkrk是线性无关的,t=k+1时结论同样成立.

a1j

+···

ak+1,j

= j j j=1第五章特征值与特征向量 2012年12月3 22/第五章特征值与特征向量λk+1,

a1λjk+1α1j+··· ak+1,jλk+1αk+1,j ,

1

···

k

ak+1,jλk+1αk+1,jj=1

a1j(λk+1−λ1)α1j+···

akj(λk+1−λk)αkj= j=1α11α12···,α1r1α21···,αk1···,αkrk的,aij(λk+1−λi)= (i=1,2,···,k;j=1,2,···,第五章特征值与特征向量 2012年12月3 23/第五章特征值与特征向量λ1λ2···λt是两两不同的特征值,aij= (i=1,2,···,k;j=1,2,···,

rk+j

ak+1,jαk+1,