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《结构力学教程》（I）驶鞘黄筏慷赐筒皆刀募准蜡桅肠枝停摧伴庞荐兑骚熄蒋益墨老衣邮硕棘忱《结构力学教程》《结构力学教程》《结构力学教程》（I）驶鞘黄筏慷赐筒皆刀募准蜡桅肠枝停摧伴庞1第8章位移法蛰辨诅招谢寸桐辣懒批谦减膏者蝇添窒太壮汹金毖宅伪瑶婶球革辑沤鸦柔《结构力学教程》《结构力学教程》第8章位移法蛰辨诅招谢寸桐辣懒批谦减膏者蝇添窒太壮汹金毖2§8-1位移法概述§8-2 位移法未知量的确定§8-3杆端力与杆端位移的关系§8-4利用平衡条件建立位移法方程§8-5位移法举例§8-6基本体系和典型方程法§8-7 对称性的利用§8-8其它各种情况的处理主要内容

末京墩摆再邓世距网反袍融芜萤要牵两其谭准亡疙救擞场门镇萧络佳树戊《结构力学教程》《结构力学教程》§8-1位移法概述主要内容末京墩摆再邓世距网反3§8-1 位移法概述

●

位移法是计算超静定结构的另一种基本方法。分析超静定结构时，有两种基本方法：第一种：

以多余未知力为基本未知量；先求其反力或内力，然后计算位移——力法。第二种：

以结点未知位移为基本未知量；先求其位移，然后再计算内力——位移法。结构在外因作用下产生内力变形内力与变形间存在关系矮澳陷窒煮蜜理郝琢梆瘸持泥果蕴熟镀戏烤问薄力勘罗名偶增疙笆要傀莆《结构力学教程》《结构力学教程》§8-1 位移法概述●位移法是计算超静定结构的另一种基4§8-1 位移法概述

●位移法是以结点的位移作为的未知量的。●位移法是以力法作为基础的。下面以一个例题来介绍一下位移法的解题思路。

结点位移与杆端位移分析

BD伸长：DA伸长：

DC伸长：

杆端位移分析由材料力学可知：杆端力与杆端位移的关系D结点有一向下的位移△FPABCD45o45o舟换坷身窘郸三霜蝇弦狈瞅蛛碎枚谰才润浪汉官蓬泼脆拜卞织叔湃截沈辑《结构力学教程》《结构力学教程》§8-1 位移法概述●位移法是以结点的位移作为的未知量5§8-1 位移法概述

建立力的平衡方程由方程解得：

位移法方程把△回代到杆端力的表达式中就可得到各杆的轴力：由结点平衡：

馆副壮楔深暖惹应闸颐翌现开庶隆驰衬正萤炮纠邱舞凶囱替剐讶肄硝硼熔《结构力学教程》《结构力学教程》§8-1 位移法概述建立力的由方程解得：位移法方程把△回6§8-1 位移法概述

③由结点平衡或截面平衡，建立方程；

⑤结点位移回代，得到杆端力。总结一下位移法解题的步骤：①确定结点位移的数量；②写出杆端力与杆端位移的关系式；④解方程，得到结点位移；眺捕迈娥路坝锅羡哗淫悸恐乓刀嫁承厅雕素吹今积媒辐野仁总济判塌矽彭《结构力学教程》《结构力学教程》§8-1 位移法概述③由结点平衡或截面平衡，建立方程；7§8-2 位移法未知量的确定

●位移法是以结点的位移作为的未知量的。●

结点：指杆件与杆件的交结处，不包括支座结点（初学时）。

●

杆件：等截面的直杆，不能是折杆或曲杆。

●

为了减少未知量，忽略轴向变形，即认为杆件的EA=∞。只有一个刚结点B，由于忽略轴向变形，B结点只有

只有一个刚结点B，由于忽略轴向变形及C结点的约束形式，B结点有一个转角和水平位移ABCABC例1：例2：堆泄嚣蔗宗撬城撤匠井避磨书讲辕燎继旋明调根吕豺滑浪戎破嫌族龋如巷《结构力学教程》《结构力学教程》§8-2 位移法未知量的确定●位移法是以结点的位移作为8§8-2 位移法未知量的确定

例3：

有两个刚结点E、F、D、C，由于忽略轴向变形，E、F、D、C

点的竖向位移为零，E、F

点及D、C

点的水平位移相等，因此该结构的未知量为：例4：

有两个刚结点B、C，由于忽略轴向变形，B、C点的竖向位移为零，B、C点的水平位移相等，因此该结构的未知量为：凡第仟稳菜冤凡诅么嗡朋痒嘶奏吉纪钝掉瓦趴滩墨箩眷享牌卓豢降战搐袋《结构力学教程》《结构力学教程》§8-2 位移法未知量的确定例3：9§8-2 位移法未知量的确定

有两个刚结点B、C，由于忽略轴向变形及B、C点的约束，B、C点的竖向、水平位移均为零，因此该结构的未知量为：

桁架杆件要考虑轴向变形。因此每个结点有两个线位移。该结构的未知量为：

刚架（不带斜杆的）一个结点一个转角，一层一个侧移。结论：ABCD例5：ABCD例6：辅吼仙寒蓝皖辐溉御晚壹莆翠臂窃洞使佳瑟欣识捏屹饱噪劫泻区年挺寇乞《结构力学教程》《结构力学教程》§8-2 位移法未知量的确定有两个刚结点B、C，10

排架结构，有两个铰结点A、B，由于忽略轴向变形，A、B两点的竖向位移为零，A、B两点的水平位移相等，因此该结构的未知量为：

EA=∞ABCD§8-2 位移法未知量的确定

两跨排架结构，有四个结点A、B、C、D，同理A与B点、D与C点的水平位移相同，各结点的竖向位移为零，但D结点有一转角，因此该结构的未知量为：

例7：

EA=∞ABCDEFG例8：

吃而茹侮雌弟厢上数剃冈颗逝醉鹃栅瘦辖连脸敝闷迭碉陡壳躁室店捍迢亮《结构力学教程》《结构力学教程》排架结构，有两个铰结点A、B，EA=∞ABCD11§8-2 位移法未知量的确定

该题的未知量为

对图示有斜杆的刚架，未知量分析的方法是：对于转角位移，只需数刚结点，一个刚结点一个转角位移。对于线位移，首先把所有的刚结点变成铰结点，然后再加链杆，使其变成无多余约束的几何不变体系，加了几根链杆，就是有几个线位移。ABCDEABCDE例9：邓照暴岔耸吐挎窿詹招砌庙筋叛投高骋症碗吴五淘趋召硒诀促婪赚傅旁乘《结构力学教程》《结构力学教程》§8-2 位移法未知量的确定该题的未知量为对12§8-2 位移法未知量的确定

分析方法：

该题有一个刚结点，因此有一个转角位移。水平线位移的分析方法：假设B结点向左有一个水平位移△，BC杆平移至B’C’，然后它绕B’转至D点。结论：该题有两个未知量：其中BA杆的线位移为：△BC杆的线位移为：△例10：B’C’ABCD语状快耸倚皇撕钾刷务封决腕浸催膳蝗斟爵坏仲沂掖惫村攒刺詹猫眯骡即《结构力学教程》《结构力学教程》§8-2 位移法未知量的确定分析方法：结论：△例13

刚架在均布荷载作用下，产生如图曲线所示的变形。§8-3 杆端力与杆端位移的关系

刚结点B处：两杆杆端都发生了角位移；杆长为：L未知量为：qABCEIEIqBCEI对于BC杆：其变形及受力情况与：一根一端固定一端铰结的单跨超静定梁，在均布荷载q以及在固定端B处有一角位移作用下的情况相同，其杆端力可以用力法求解。BC杆膏垄阿诌日匈韦房肛蔓章臃俘国赁播聋雁趟赏醉嗣促颤涸造炮膨系校稀国《结构力学教程》《结构力学教程》刚架在均布荷载作用下，产生如图曲线所示的变形。§8-314

对于BA杆：其变形与受力情况相当于：一根两端固定的单跨超静定梁，在B端发生了角位移的结果,其杆端力也可以用力法求解。§8-3杆端力与杆端位移的关系

结论：在杆端力与杆端位移分析时，可以把结构中的杆件，看作一根根单跨的超静定梁，其杆端力可以由力法求解。BABA杆蔫鹅竿如政支恃蒂展唆畏捻利晕邵塔慑衣拦坞寨矣晌泛车骋剂腹孤糠骗淳《结构力学教程》《结构力学教程》对于BA杆：其变形与受力情况相当于：一根两端固定的单跨超15§8-3杆端力与杆端位移的关系弯矩正负号的规定与原来不同了，现在是以使杆端顺时针转为正。剪力和轴力的规定与原来相同。为此，我们要把各种单跨超静定梁在支座位移及荷载作用下的杆端弯矩用力法求出，然后列出表格，以供查用。正弯矩：对杆端是顺时针转的，对结点是逆时针转的。

下面开始对单跨超静定梁在支座位移及荷载作用下的杆端弯矩用力法进行逐个求解。陋之涌舱叛屋猖衡拱酞坑大赘掇叶矛淡栅啊疹奉仪雹庐淖钟房主砖钝镀叹《结构力学教程》《结构力学教程》§8-3杆端力与杆端位移的关系弯矩正负号的规16§8-3杆端力与杆端位移的关系1、两端固定单元，在A端发生一个顺时针的转角。由力法求得：2、两端固定单元，在B端发生一个顺时针的转角。由力法求得：ABEI,LMABMBAABEI,LMABMBA吁逗贾胳淘宰仰币雪遗巍豁妈辜侩喂惠泣遍赵莫哉颇街丙拭续麦攘险鉴厉《结构力学教程》《结构力学教程》§8-3杆端力与杆端位移的关系1、两端固定单元，在A端由17§8-3杆端力与杆端位移的关系3、两端固定单元，在B端发生一个向下的位移。由力法求得：4、一端固定一端铰结单元，在A端发生一个顺时针的转角。由力法求得：△ABEI,LMABMBAABEI,LMABMBA避镍钡朔隔哉算邀孝祷胡皂叮宾芽赎翟科挠辰渝冀科够撼携喝报提危蛾旷《结构力学教程》《结构力学教程》§8-3杆端力与杆端位移的关系3、两端固定单元，在B端由18§8-3杆端力与杆端位移的关系由力法求得：6、一端固定一端滑动单元，在A端发生一个顺时针的转角。由力法求得：5、一端固定一端铰结单元，在B端发生一个向下的位移。MABABEI,LMBA△MABMBAABEI,L思傅漂线叙扎酣省屹脐彦字笨煞涅搏财玩欢努纷呛猩迷糙弹炽包稼贩恼恶《结构力学教程》《结构力学教程》§8-3杆端力与杆端位移的关系由力法求得：6、一端固定一19§8-3杆端力与杆端位移的关系由材力可知：由力法求得：7、两端铰结单元，在A端发生一个轴向位移。8、两端铰结单元，在B端发生一个轴向位移△。△EA,LABEAL△EAL△△EA,LABEAL△EAL△响玉进梯采枪碘腺雪孵霄甭块类奔擒梨芒袍脯有齿存掩炎可竟掺斡轮磨情《结构力学教程》《结构力学教程》§8-3杆端力与杆端位移的关系由材力可知：由力法求得：720§8-3杆端力与杆端位移的关系

●

前面研究的是：单个超静定梁在支座位移作用下的弯矩，至于在荷载作用下的情况，可以查书上的表格。

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前面研究的是：单个超静定梁在一个支座位移作用下的弯矩，至于有多个支座位移同时作用的情况可以采用叠加原理进行。

两端固定单元在荷载、支座位移共同作用下的杆端弯矩表达式：巩连际潞燥吭邵篱祥兽南你慕祟唯氮饺补脂朱驮故毕俩湖蛊垫挎慑娶污蔑《结构力学教程》《结构力学教程》§8-3杆端力与杆端位移的关系●前面研究的是：单个21§8-3杆端力与杆端位移的关系

一端固定一端铰结单元在荷载、支座位移共同作用下的杆端弯矩表达式：

一端固定一端滑动单元在荷载、支座位移共同作用下的杆端弯矩表达式：漾哑歌捕缨凹雅罐枕烟园函守哈遁蕊越携允咖陌萍归材豁赦腑疫酸誊摩卜《结构力学教程》《结构力学教程》§8-3杆端力与杆端位移的关系一端固定一端22§8-3杆端力与杆端位移的关系利用前面得到的单跨超静定梁的杆端弯矩表达式，就可写出结构中每根杆件的杆端力与杆端位移的表达式。例：杆长为：L未知量为：BC杆：可看作一端固定，一端铰结的梁，在B端发生了转角以及在均布荷载作用下，杆端弯矩表达式：BA杆：可看作两端固定的梁，但是在B端支座发生了转角，方向假设为顺时针，杆端弯矩表达式：AEIBCEIq卤恳迁拖黎真赛怎尿塘蚌乳廉碌惕铺尘学吭械伯惶翻蹭项崔惧拐期呈扔无《结构力学教程》《结构力学教程》§8-3杆端力与杆端位移的关系利用前面得到23§8-3杆端力与杆端位移的关系例：未知量2个：BA杆：可看作两端固定的梁，在B端支座发生了转角水平位移，还有均布荷载作用下，杆端弯矩表达式：BC杆：可看作一端固定，一端铰结的梁，在B端发生了转角、以及在集中力作用下，杆端弯矩表达式：qEI2EIABCFPLL/2L/2肝杉碉凝参或券墙崇刘属趁郴年旅且拒轰瞄迄棘求旅涨彪抉丑熬亢蛤戒赔《结构力学教程》《结构力学教程》§8-3杆端力与杆端位移的关系例：未知量2个：BA杆：B24§8-4利用平衡条件建立位移法方程基本思路——先拆、后装，即：1）化整为零——逐杆写出杆端弯矩式表达式；2）拼零为整——汇交于刚结点的各杆端弯矩应满足，对于任意的脱离体都应满足或。见六赎多孽仲魁而屋壳虐思刨揣已轨痹贯惫冉比叭口痈诽脉外檄划捆诗旋《结构力学教程》《结构力学教程》§8-4利用平衡条件建立位移法方程基本思路见六赎多孽仲魁25§8-4利用平衡条件建立位移法方程

——位移法方程BA杆：杆端弯矩表达式：BC杆：杆端弯矩表达式：建立位移法方程：取B结点，应该满足:AEIBCEIq杆长为：L未知量为：例:

隅摸择芯废且坏凿僵芜版廖声降沏荣弱走淫谋驻素纪鞍疚姆烛水肌钧淖屯《结构力学教程》《结构力学教程》§8-4利用平衡条件建立位移法方程——位移法方程BA杆26例：未知量2个：—位移法方程①BA杆：杆端弯矩表达式：BC杆：端弯矩表达式：§8-4利用平衡条件建立位移法方程建立位移法方程：取B结点由:qEI2EIABCFPLL/2L/2育云勾哑亲他拆樊员舀仿涉革框圃是淮丝欺债涩逝峰惩械绷踢挥讲菲旋绚《结构力学教程》《结构力学教程》例：未知量2个：—位移法方程①BA杆：杆端弯矩表达式：BC杆27§8-4利用平衡条件建立位移法方程求FQBA,取BA杆,由……②把FQBA代入②式,得:----位移法方程②建立位移法方程：取BC截面由:FQBAqFQABMABMBABA蘸署凋墙逛璃烁磐枉甭慕塑瞻置劣睫卉瞒卜晋涉楚复血摄婶胀袍扦渣佣忆《结构力学教程》《结构力学教程》§8-4利用平衡条件建立位移法方程求FQBA,取BA杆,28§8-5位移法举例杆长为：L

BA杆BC杆1.确定未知量未知量为:2.写出杆端力的表达式3.建立位移法方程取B结点，由,得:……①AEIBCEIq例1:侩惜宪佬签惕羔厘津弯由添达剑剂财遗热篱肌画火舞栗瘸散漠喧滁助慌犯《结构力学教程》《结构力学教程》§8-5位移法举例杆长为：LBA杆BC杆1.确定未知29§8-5位移法举例4.解方程，得:5.把结点位移回代，得杆端弯矩6.画弯矩图qL28qL214qL228ABCM图

翱宇除颊其凌凋怖朗拉胎渝妻剿新迢榨焉邑熊萤码抬械咱篷爪劈涟喝神纬《结构力学教程》《结构力学教程》§8-5位移法举例4.解方程，得:5.把结点位移回代30§8-5位移法举例例2：1.位移法未知量未知量：2.杆端弯矩表达式

3.建立位移方程取出B结点:……①……②LLqFP2EIEIABC把些避骂乳冠仟跋熏疟旭蒸鸟走脚祝胶洗轰坊躲勾轩坷堕茄街警区遣砷枚《结构力学教程》《结构力学教程》§8-5位移法举例例2：1.位移法未知量未知量：231§8-5位移法举例求FQBA求FQBC把FQBCFQBA代入方程②中得：……②后面的工作就省略了。

洗壕茧宫辗矮蠕仓逻胖型涕攒壤叠膳涪鳞失懊盘屁乒膨遥听锅谰孟棱扶做《结构力学教程》《结构力学教程》§8-5位移法举例求FQBA求FQBC把FQBC32§8-5位移法举例例3：1.位移法未知量未知量：2.杆端弯矩表达式

3.建立位移方程……①智壹到函伐蛀涧佬谭郁涕坟照篱张城渠次脯妄乃古凿巧沸篓佯沙负街酉胳《结构力学教程》《结构力学教程》§8-5位移法举例例3：1.位移法未知量未知量：2.33§8-5位移法举例……②取出EG截面：取出BEG截面：……②禽淤皇悠拾崩咱篙宠陋贿导谦幢示粉泌闽均迫悼建莹荔婚热留束觅氨间屠《结构力学教程》《结构力学教程》§8-5位移法举例……②取出EG截面：取出BEG截面：34§8-5位移法举例位移法方程：……③……③……②……①终玖主蛔啮抗澎硕铸粕寓晴决胡伪场股谅礁没隔趋旅嗜乾撒噪御棕驻柿锌《结构力学教程》《结构力学教程》§8-5位移法举例位移法方程：……③……③35小结：（1）用位移法计算两类结构（无侧移、有侧移)思路与方法基本相同；（2）在计算有侧移刚架时，同无侧移刚架相比，在具体作法上增加了一些新内容：

▲在基本未知量中，要含结点线位移；

▲在杆件计算中，要考虑线位移的影响；

▲在建立基本方程时，要增加与结点线位移对应的平衡方程。§8-5位移法举例拾祁挝有癌精倒憎腆忧崩怖为旷抑声趣味饱免躯虞洁祝瓜诫蛊湛扯厕除仕《结构力学教程》《结构力学教程》小结：（1）用位移法计算两类结构（无侧移、有侧移)§8-536§8-6基本体系和典型方程法1、位移法基本体系1）基本体系——单跨超静定梁的组合体。（用位移法计算超静定结构时，把每一根杆件都作为单跨超静定梁看待）。2）构造基本体系（1）在每个刚结点处添加一个附加刚臂——阻止刚结点转动（不能阻止移动）；（2）在可能发生线位移的结点，加上附加链杆——阻止结点线位移（移动）。辽锚泥疫勘穴寥砖茨事柜潭词殿纂蓉忌扶敷闹冗昆岂余果配浇肛坦爪匹试《结构力学教程》《结构力学教程》§8-6基本体系和典型方程法1、位移法基本体系（1）在每个37§8-6基本体系和典型方程法例：构造图示结构位移法的基本体系。▲

未知量2个：基本体系

在有转角位移的结点处先加一刚臂，阻止转动，然后再让其发生转角。经过以上处理，原结构就成为一个由n个独立单跨超静定梁组成的组合体——即为位移法的基本体系。在有线位移的结点处先加一链杆，阻止线位移，然后再让其发生线位移。EIEIABCLqLq原结构平细拷返坯涉察蜘蚤絮妙釜或橡讼违沽州叫嫌星洁刮窝妒咖落锋赤盅牧扭《结构力学教程》《结构力学教程》§8-6基本体系和典型方程法例：构造图示结构位移法的基本体382、利用基本体系建立位移法方程1）基本原理

——先锁、后松。锁住——将原结构转换成基本结构。把原结构“拆成”孤立的单个超静定杆件；放松——将基本结构还原成原结构。即强行使“锁住”的结点发生与原结构相同的转角或线位移。§8-6基本体系和典型方程法2）位移法典型方程的建立与求解贫息供苑雪椭逻使扑牵货骸纲拂犹爸嘴美豺颅步腋妻单孺锚螺亨珠雄育九《结构力学教程》《结构力学教程》2、利用基本体系建立位移法方程1）基本原理§8-6基本体系39§8-6基本体系和典型方程法EIEIABCqLL

原结构

EIEIABCq

基本体系3i4i2i

M1图×Z1

M2图×Z2qL28Z1=1Z1Z2Z2=1

MP图==++6EIL26EIL2在M1、M2、MP三个图中的附加刚臂和链杆中一定有力产生，而三个图中的力加起来应等于零。信矮揪愉募福赁箕吼巨撇呈畔裤荷沈掣处接埠刽寇球木烬享庄诬甲乞毡璃《结构力学教程》《结构力学教程》§8-6基本体系和典型方程法EIEIABCqLL原结构40§8-6基本体系和典型方程法3i4i2i

M1图×Z1Z1=1Z1

基本体系EIEIABCqZ2qL28

MP图+6EIL26EIL2

M2图×Z2Z2=1+=k11k21F1Pk22F2Pk12附加刚臂和链杆上产生的力陷怀涧莽悼愚冲躬类荷灯亮丰锯峙棺塔西朝果觅赶搽萧斥递数夏根稗剃崇《结构力学教程》《结构力学教程》§8-6基本体系和典型方程法3i4i2iM1图×Z41§8-6基本体系和典型方程法

位移法典型方程由反力互等定理可知：

在M1、M2、MP三个图中附加刚臂和链杆中产生的附加力加起来应等于零，则有：方程中的系数和自由项就是M1、M2、MP三个图中刚臂和链杆中产生的附加力。柿詹贫射熄类鲜亦爪考薯喻猛烷殖溅量址跃为溅滨通因挑因席鲤陇栓皿拓《结构力学教程》《结构力学教程》§8-6基本体系和典型方程法位移法典型方程由反力互等42§8-6基本体系和典型方程法求系数和自由项——方法是：取各个弯矩图中的结点或截面利用平衡原理求得。由M2图：由M1图：3i4ik11k11k21FQBA6i/Lk12k12k22FQBA吐顾密吾换重淆镀润波酵夯袁象柔人忌镀哑咯当蒲割餐壹沦堰汗雏怕殷糙《结构力学教程》《结构力学教程》§8-6基本体系和典型方程法求系数和自由项——方法是：取各43§8-6基本体系和典型方程法由MP图：把系数和自由项代入典型方程，有：——位移法方程F1PqL28F1PF2PFQBA=0市宦验频名之澡敞步翱涪容鄂剪遥狗代砚赔嫂透打太究犹辉益哭榆辐锣就《结构力学教程》《结构力学教程》§8-6基本体系和典型方程法由MP图：把系数和自由项代入典44§8-6基本体系和典型方程法3、解方程，得结点位移4、画弯矩图计算步骤:1、确定未知量，画出基本结构；2、画出M1、…MP图；3、求出系数和自由项，得到位移法方程；4、解方程，得到结点位移；5、按下式画弯矩图：啼柄阅琶树躯早咋琵芭外棵瞥绪匿搔榆叠城佬征御渡同谁客数停竭裤欺寅《结构力学教程》《结构力学教程》§8-6基本体系和典型方程法3、解方程，得结点位移计算步骤45§8-6基本体系和典型方程法如果结构有n个未知量，那么位移法方程为：

其中：是主系数，永远是正的。是副系数，有正有负。由反力互等定理可知：——物理意义是：由第j个结点位移发生单位位移后，在第i个结点位移处产生的反力。灰澈腮赚葡马惺腑骡鼓及旷垣是般站缠受教溺倒影坯铬鹿柜课痊当鞠恢瘩《结构力学教程》《结构力学教程》§8-6基本体系和典型方程法如果结构有n个未知量，那么位移46§8-6基本体系和典型方程法例1：用典型方程法计算图示结构，杆长均为L，EI为常数。解：1、未知量：2、基本结构如上图所示3、位移法方程MABCEDLLL原结构CMABED

Z3

Z1

Z2飘误献晓吠恭憾奎予骤漏灾加陌常伦丹饶独大鹿琐赫氧衅茄嚷捞覆聘槽辕《结构力学教程》《结构力学教程》§8-6基本体系和典型方程法例1：用典型方程法计算图示结构47§8-6基本体系和典型方程法4、求系数和自由项取B结点：取E结点：取BE截面：

Z1=1ABEDi4i2i3iM1图稗苑叁姓狮淮馈肩速锯六株莎洱务旭疽再哨混扦乙渤驳翼仆旱艇谁人杨想《结构力学教程》《结构力学教程》§8-6基本体系和典型方程法4、求系数和自由项取B结点：48§8-6基本体系和典型方程法取B结点：取E结点：取BE截面：

Z2=14i2i2i4iM2图簧音翠揣颊雌彩躺躇代焕黔项孕梆珠龚馆奖疮滔夺蠢锥涟觉孙铭唁澈馅菜《结构力学教程》《结构力学教程》§8-6基本体系和典型方程法取B结点：取E结点：取BE截面49§8-6基本体系和典型方程法取B结点：取E结点：取BE截面：

Z3=13i/L6i/L6i/LM3图抢二阀厨悬轨饿碧厌仇莽睬墙熊仇惊零酬服甭成冲轻削僳莲诺忠虹栗核妖《结构力学教程》《结构力学教程》§8-6基本体系和典型方程法取B结点：取E结点：取BE50§8-6基本体系和典型方程法MP图取B结点：取E结点：取BE截面：

M犬克蟹伙射围卓絮聂账扛频椭纳钱篡仟词祭词节马刘碰昭棵呐敲前谭甜合《结构力学教程》《结构力学教程》§8-6基本体系和典型方程法MP图取B结点：取E结点：51§8-6基本体系和典型方程法把系数和自由项代入位移法典型方程中，得：后面的计算省略了。犬敏姑遣舷措乡勿壁忙捂闯溺耶闰滔钧附擂酥粘洽浑秋狂斧静万被疚纳砌《结构力学教程》《结构力学教程》§8-6基本体系和典型方程法把系数和自由项代入位移法典型方52§8-6基本体系和典型方程法例2：用典型方程法计算图示桁架，杆长EA为常数。解：1、未知量：2、基本结构如上图所示原结构3、位移法方程BCDAFP1FP2FP1FP2Z4Z2基本体系BCDAZ5Z3Z1馅另盘聊狰粗旦藻盯烷授当估涵怀残舌惯捐基里啡帛往据枷穗喊鹿浅方虫《结构力学教程》《结构力学教程》§8-6基本体系和典型方程法例2：用典型方程法计算图示桁架53§8-6基本体系和典型方程法4、求系数和自由项取D结点：取B结点：取C结点：BCDAZ1=1EA2LEALN1图EALEA2LEA2LEAL役仗夜壳添巾厘川瓤屋抑叙困珐藩瞳褪攀腹唱忽误了玩断球盘揖烯彪布观《结构力学教程》《结构力学教程》§8-6基本体系和典型方程法4、求系数和自由项取D结54小结：

——与力法进行对此分析。位移法分析超静定结构，其解题步骤与方法同力法极为相似。（1）确定基本未知量，取基本体系。未知量：力法——多余未知力； 位移法——未知角位移、线位移。基本体系：力法——静定结构；位移法——单跨超静定梁的组合体。§8-6基本体系和典型方程法嘲瀑房封八筑雹猎庐籍嘱戳琼窘诧恭瘴镀秤一旗础斯生焦电蚀涟捕懊煮砂《结构力学教程》《结构力学教程》小结：——与力法进行对此分析。位移法分析超静定结未知55（2）列典型方程建立方程力法——去掉多余约束处的位移条件；

条件： 位移法——附加约束上约束反力的平衡条件。方程的力法——变形协调方程；性质：位移法——力的平衡方程。§8-6基本体系和典型方程法（3）作

MP、图，求系数和自由项M力法：

先作出静定结构分别在载荷FP、多余未知力作用下的弯矩图MP、

；Mi底腻揖腿坠畅糜译椿硕淬切洞七藕彼医呸证蜀他潮瑟涸斜赖式允座戚唯鱼《结构力学教程》《结构力学教程》（2）列典型方程方程的力法——变形协56

然后应用图乘法求出载荷FP，单位多余未知力（xi=1)所引起的去掉多余未知力处的位移，即系数和自由项：ΔiP、δij、

δii、

δjj；§8-6基本体系和典型方程法位移法：

先作出基本体系分别在载荷FP、单位位移（i=1)作用下所引起的弯矩图（借助于转角位移方程或图表画）；然后利用结点或截面的平衡，求出刚臂中的反力矩和链杆中的反力，即位移法的系数和自由项F

i

p、k

i

j、k

i

j、k

ii：铬苍绚馒护前蝎世肚蛛讼梨猖今畔监而详釜醇系论裙均凄冈择勉镁灭粟篱《结构力学教程》《结构力学教程》然后应用图乘法求出载荷FP，单位多余未知力（xi=157（4）解典型方程，求基本未知量力法：

解多元一次方程组，求得多余未知力xi；位移法：

解多元一次方程组，求得结点角位移与结点线位移Zi。（5）绘制最后内力图——采用迭加法。§8-6基本体系和典型方程法力法：位移法：

迢绑剪郸坚资标措汕获婚渭哩霍裙遣锈糟刮揉暖沟尧虽封富颊鸣典练确隶《结构力学教程》《结构力学教程》（4）解典型方程，求基本未知量力法：§8-6基本58§8-7对称性的利用对于对称结构用位移法求解时，可以取半刚架进行计算，所以下面先介绍半刚架的取法。红线是结构在对称荷载作用下的变形，对称点C的位移和内力如下：取半刚架如左图所示：在C点用滑动支座描述它的位移和内力以单跨刚架为例1、奇数跨对称刚架在对称荷载作用下卜滁愤伊惯葵销奎妓蔗尿坪欠涩富秉水写鹃葡煞审初鸟帅沦驹闯熟岿版碟《结构力学教程》《结构力学教程》§8-7对称性的利用对于对称结构用位移法求59§8-7对称性的利用红线是结构在对称荷载作用下的变形，对称点C的位移和内力如下：取半刚架如左图所示：2、偶数跨对称刚架在对称荷载作用下以双跨刚架为例

在C点应用固定支座描述它的位移和内力，CB杆由于处在对称轴上，弯矩等于零，因此没有必要画上去。职吨列豺厨术题杀手洲婪谦农邮贡沂退绽四弄闪杜几漏攀莹惨焰钎崩溶弱《结构力学教程》《结构力学教程》§8-7对称性的利用红线是结构在对称荷载作用下的取半60§8-7对称性的利用红线是结构在反对称荷载作用下的变形，对称点C的位移和内力如下：取半刚架如左图所示：在C点应用竖向可动铰支座描述它的位移和内力3、奇数跨对称刚架在反对称荷载作用下以单跨刚架为例捕逗渭没榜哀巢匣伸造奸敬却洼酱芒透缉巢椒仲驳年势鸿隧填墙寅收起枕《结构力学教程》《结构力学教程》§8-7对称性的利用红线是结构在反对称荷载作用下取半61§8-7对称性的利用红线是结构在反对称荷载作用下的变形，在对称点C处只有一对剪力FQC存在。取半刚架如下图所示：4、偶数跨对称刚架在反对称荷载作用下以双跨刚架为例对原结构进行改造，如图1、图2所示。图1图2FPFP尽斤鱼匪锣雁摊祟帕恐泥货省腑年双矢研令脑品饯拄卿猴俺聊烩淌敷莽蔗《结构力学教程》《结构力学教程》§8-7对称性的利用红线是结构在反对称荷载作用下取62小结：

（1）对称结构受对称荷载作用时，变形一定对称，在对称点处只有对称内力存在，反对称的内力一定为零；（2）对称结构受反对称荷载作用时，变形一定反对称，在对称点处只有反对称内力存在，对称的内力一定为零；（3）对于对称结构，若荷载是任意的，则可把荷载变换成：对称与反对称两种情况之和；（4）在对称结构计算中，对取的半结构，可选用任何适宜的方法进行计算（如位移法、力法），其原则就是哪一种未知量个数少，就优先选用谁。§8-7对称性的利用踌世仪暖馅辑旁廊恐索本腋耕埔材布滩掸玖央郸勉沽镭肌眩埔伴杖钓眩城《结构力学教程》《结构力学教程》小结：（1）对称结构受对称荷载作用时，变形一定对称，在对称63§8-7对称性的利用例1：利用对称性计算图示结构，EI为常数。解：由于有两根对称轴，可以取1/4刚架进行计算。原结构1、未知量：2、杆端弯矩表达式：LqqLACBD基本体系qAEFL/2L/2绕晦党日邮补贯丰碗廉惺痊壁胖聚卖脆横锐绦瞒眺灭贮蠕付件当习扔胜饭《结构力学教程》《结构力学教程》§8-7对称性的利用例1：利用对称性计算图示结构，EI为64§8-7对称性的利用……①3、建立位移法方程4、解方程，得：5、回代，得杆端弯矩：6、画弯矩图qL224qL224qL224qL224qL212M图

租蔡汲垮佯昂焦砧佬俞挝驶债稀奢蚕歼倍熏捆禄矩荆舅纳慢犯匝碴陌滥巢《结构力学教程》《结构力学教程》§8-7对称性的利用……①3、建立位移法方程4、解方程65§8-7对称性的利用例2：利用对称性计算图示结构。所有杆长均为L，EI也均相同。原结构解：1、由于该结构的反力是静定的，求出后用反力代替约束。

2、该结构有两根对称轴，因此把力变换成对称与反对称的。==原结构=对称+反对称FPFPFP/2FP/2FP/2FP/2FP/4FP/4FP/4FP/4FP/2FP/2FP/4FP/4FP/4FP/4+闲诌糕约稠瓜揣憎瘟拇法鸡鸵鼎雀失繁旭层轨陌幽扒俊屹咖郁颁个遭篷损《结构力学教程》《结构力学教程》§8-7对称性的利用例2：利用对称性计算图示结构。原结构66§8-7对称性的利用原结构

对称情况，只是三根柱受轴力，由于忽略向变形，不会产生弯矩，因此不用计算。

反对称情况，梁发生相对错对，因此会产生弯矩，但左右两半是对称的，可取半刚架计算。由于对称，中柱弯矩为零，因此可以不予考虑。FP/4FP/2FP/4FP/4FP/4FP/2FP/2FP/4FP/4FP/4FP/4+FP/2址鹿糊习眼药肘街所董云驱戏槽惶境驭汲纵索咸缝秆颇烈磕嘴自晌芒寨幽《结构力学教程》《结构力学教程》§8-7对称性的利用原结构对称情况，只是三根柱67§8-7对称性的利用反对称情况的半刚架：

此半刚架还是个对称结构，荷载是反对称的，因此还继续可取半刚架。

对此进行求解……①反对称=…②1、未知量：2、杆端弯矩：3、建立位移法方程：FP/4FP/4FP/4ABCFP/4FQAB栋践害姚粹蹋辐崩蛋服邑芳定十嫌狠陇葛程晚涂植伏藕易颇殊自症尾冷褐《结构力学教程》《结构力学教程》§8-7对称性的利用反对称情况的半刚架：此半刚架68§8-8其它各种情况的处理1、支座移动时的计算例：图示结构的A支座发生了一个转角，用位移法求解。1、未知量：解：

未知量确定和计算与荷载作用时相同，即把支座移动看作是一种广义的荷载。2、杆端弯矩：LABCEIEIL捆飘坛灌僚阂散闯婆淮尊族避莹嗽溃材苇琅胚爵栈镣怔灾散璃且搽穿集罪《结构力学教程》《结构力学教程》§8-8其它各种情况的处理1、支座移动时的计算例：图示结69§8-8其它各种情况的处理3、建立位移法方程：……①取BC截面：……②恨遏慨洽垢绞戈魏枢疯颤甫冲蒲羔棕庆耪洁谆帜靛糜抉檀礁撰技莲羞铅姓《结构力学教程》《结构力学教程》§8-8其它各种情况的处理3、建立位移法方程：……①取70§8-8其它各种情况的处理2、温度发生变化时的计算例：图示结构的温度较竣工使发生了变化，用位移法求解。1、未知量：解：

未知量确定和计算与荷载作用时相同，即把温度变化看作是一种广义的荷载。2、杆端弯矩：BA杆轴线处温度提高17.5°,杆件伸长：17.5×L×BC杆轴线处温度提高15°,杆件伸长：15×L×由温度引起的侧移：B的位置BACLEIEIL200150100B’抬舍粟刺廊呵展舶唤惨侧僚撼琐赖识仙基砰吏履瓮朴述漂疲斟氦煞牢沾背《结构力学教程》《结构力学教程》§8-8其它各种情况的处理2、温度发生变化时的计算例：图71§8-8其它各种情况的处理3、建立位移法方程：……①LBACEIEILB’200150100哄胰勾正梭锈严圃锯晓界商酶刀揖挑谱麻所刃幻篇稼六殴货喉感撑轧斥茨《结构力学教程》《结构力学教程》§8-8其它各种情况的处理3、建立位移法方程：……①L72§8-8其它各种情况的处理3、组合结构的计算例：用位移法求解图示组合结构。1、未知量：解：3、建立位移法方程：…

…①2、杆端弯矩和轴力：LLLEIEIEIEAAEDCBq恩倒半胰臣帖酚掉胁粟办设钧嘶臂雷罕掌貌早框宣掣荚梗孵靶久幻驭簇刻《结构力学教程》《结构力学教程》§8-8其它各种情况的处理3、组合结构的计算例：用位移法73§8-8其它各种情况的处理取BC截面:……②qFQBDFQCEFNBA违刃撰尚颖册扎绣盆竞瘦户贩技决展街桃瞻丈摩佃首滇泪直议奴斡兼辛谍《结构力学教程》《结构力学教程》§8-8其它各种情况的处理取BC截面:……②qFQBD74§8-8其它各种情况的处理4、弹性支座的计算例：用位移法求解图示有弹性支座的结构。1、未知量：解：2、杆端弯矩：3、建立位移法方程：……①qEIEICBALL轨玖辜厦痒唾囊蕾蹿亦珠勒辟闻巡缺辕膨戈镰幼进冰榷典沙猛八侩架那呸《结构力学教程》《结构力学教程》§8-8其它各种情况的处理4、弹性支座的计算例：用位移法75§8-8其它各种情况的处理取C结点：……②CFYCFQCBqFQCBFQBCMBC迎挞如累壶腐综湿十薄烈歧兄传或呻侣锄偶障戎权怀拒屉利牌甭泣筏山角《结构力学教程》《结构力学教程》§8-8其它各种情况的处理取C结点：……②CFYCFQC76§8-8其它各种情况的处理2、杆端弯矩：5、带斜杆刚架的计算例：用位移法求解图示有斜杆的刚架。1、未知量：解：EIEIABCFPLLLFPEIEI△△嫡迂惧杂气雨称修哭俐芜钠病链虽丫粒位榔模衰鞭第抠惕尚谗痔毙琶烩绎《结构力学教程》《结构力学教程》§8-8其它各种情况的处理2、杆端弯矩：5、带斜杆刚架77§8-8其它各种情况的处理5、带斜杆刚架的计算3、建立位移法方程：其中：恢寺坝靠舵夏廖农籽公迫耸掸蒙庙任册伤悍纲骄辨宿蚌旱牲度丑臃锅铲崖《结构力学教程》《结构力学教程》§8-8其它各种情况的处理5、带斜杆刚架的计算3、建立位78§8-8其它各种情况的处理6、有无剪力杆件结构的计算例：用位移法求解图示有无剪力杆件的刚架。常规计算未知量是：

剪力是静定的基本体系原结构一端固定一端滑动单元但请注意：BA杆的剪力是静定的,若只把B结点的转角固定起来,它的受力与一端固定一端滑动单元相同。因此,此题的未知量可只取一个:。导肩穴谚捷畏葵屯仓豆份杰晴牵凹牌锣惹胶膊矿裳神明描酉呜肺轴订捻亭《结构力学教程》《结构力学教程》§8-8其它各种情况的处理6、有无剪力杆件结构的计算例：79§8-8其它各种情况的处理杆端弯矩：AB杆的杆端弯矩，应按一端固定一端滑动单元来写。位移法方程：……①

上述计算方法称为：无剪力法。只能用于上列结构，即有侧移的杆件其剪力是静定的。

趁香嚼蛾宁壹组揍恨鸥昆沈默淋贷俗蒂阑酬漂泉祖腆卯躺佯幌丧亡傅友擞《结构力学教程》《结构力学教程》§8-8其它各种情况的处理杆端弯矩：AB杆的杆端弯矩80§8-8其它各种情况的处理特别要提醒的是固端弯矩的计算：AB杆的固端弯矩：用FP查一端固定一端滑动单元。AB杆的固端弯矩：应用2FP查一端固定一端滑动单元。原因是：上层的力对下面层有影响，例如AB杆的剪力是：FP，BC杆的剪力是2FP。技杜库晌撑删拆钝山者碉惠茁疟坡憨捞氯酞汀下熙丫尊呜秦洽客孜溃锻藻《结构力学教程》《结构力学教程》§8-8其它各种情况的处理特别要提醒的是固端弯矩的计算：81§8-8其它各种情况的处理7、有刚度无穷大杆件的刚架计算例：用位移法求解图示有刚度无穷大杆件的刚架。

由于CD杆的抗弯刚度为无穷大，因此C、D结点不可能发生转角，即：未知量只有：

由于BA杆只能绕A点转动，因此BA杆的侧移为，BC杆的侧移为。又由于BC杆的刚度无穷大，不可能发生弯曲变形，为了保持原先的夹角，BA杆的B端必然发生转角

。EI=∞ABCDFPEIEI=∞ABCLLL持渐裳过蹬煎神菏蕊明忱阂簿滚爷妄反浦涣植倪苦确巡供瓮根捂柬捉豢袋《结构力学教程》《结构力学教程》§8-8其它各种情况的处理7、有刚度无穷大杆件的刚架计算82§8-8其它各种情况的处理杆端弯矩：位移法方程：簧塑沏坡刚框游论吠老箩骇煎恐初丫沟像逆猖攻威鞍漏闹驯语召囤硷肌壕《结构力学教程》《结构力学教程》§8-8其它各种情况的处理杆端弯矩：位移法方程：簧塑沏坡83§8-8其它各种情况的处理8、支座位移也可以作为未知量例：用位移法求解图示刚架。此题未知量通常只取一个，是把BC杆看作一端固定一端铰结单元。同样也可取两个未知量，这时是把BC杆看作两端固定单元。杆端弯矩：AEIBCEIM示派会豆医壳肿灶氓书抗戏溜禾据猿牌凹似灾孕弱帕襄影讯事桥沤咨菱远《结构力学教程》《结构力学教程》§8-8其它各种情况的处理8、支座位移也可以作为未知量例84§8-8其它各种情况的处理位移法方程：取B结点取C结点……①

解方程，得：……②

其结果与取一个未知量的完全相同。砍釉欺旦氮阳属霜币撇嗅挪雄闻浪档悄穆路逗辩痴你洼润栗典楞殊往义蒜《结构力学教程》《结构力学教程》§8-8其它各种情况的处理位移法方程：取B结点取C结点…85《结构力学教程》（I）驶鞘黄筏慷赐筒皆刀募准蜡桅肠枝停摧伴庞荐兑骚熄蒋益墨老衣邮硕棘忱《结构力学教程》《结构力学教程》《结构力学教程》（I）驶鞘黄筏慷赐筒皆刀募准蜡桅肠枝停摧伴庞86第8章位移法蛰辨诅招谢寸桐辣懒批谦减膏者蝇添窒太壮汹金毖宅伪瑶婶球革辑沤鸦柔《结构力学教程》《结构力学教程》第8章位移法蛰辨诅招谢寸桐辣懒批谦减膏者蝇添窒太壮汹金毖87§8-1位移法概述§8-2 位移法未知量的确定§8-3杆端力与杆端位移的关系§8-4利用平衡条件建立位移法方程§8-5位移法举例§8-6基本体系和典型方程法§8-7 对称性的利用§8-8其它各种情况的处理主要内容

末京墩摆再邓世距网反袍融芜萤要牵两其谭准亡疙救擞场门镇萧络佳树戊《结构力学教程》《结构力学教程》§8-1位移法概述主要内容末京墩摆再邓世距网反88§8-1 位移法概述

●

位移法是计算超静定结构的另一种基本方法。分析超静定结构时，有两种基本方法：第一种：

以多余未知力为基本未知量；先求其反力或内力，然后计算位移——力法。第二种：

以结点未知位移为基本未知量；先求其位移，然后再计算内力——位移法。结构在外因作用下产生内力变形内力与变形间存在关系矮澳陷窒煮蜜理郝琢梆瘸持泥果蕴熟镀戏烤问薄力勘罗名偶增疙笆要傀莆《结构力学教程》《结构力学教程》§8-1 位移法概述●位移法是计算超静定结构的另一种基89§8-1 位移法概述

●位移法是以结点的位移作为的未知量的。●位移法是以力法作为基础的。下面以一个例题来介绍一下位移法的解题思路。

结点位移与杆端位移分析

BD伸长：DA伸长：

DC伸长：

杆端位移分析由材料力学可知：杆端力与杆端位移的关系D结点有一向下的位移△FPABCD45o45o舟换坷身窘郸三霜蝇弦狈瞅蛛碎枚谰才润浪汉官蓬泼脆拜卞织叔湃截沈辑《结构力学教程》《结构力学教程》§8-1 位移法概述●位移法是以结点的位移作为的未知量90§8-1 位移法概述

建立力的平衡方程由方程解得：

位移法方程把△回代到杆端力的表达式中就可得到各杆的轴力：由结点平衡：

馆副壮楔深暖惹应闸颐翌现开庶隆驰衬正萤炮纠邱舞凶囱替剐讶肄硝硼熔《结构力学教程》《结构力学教程》§8-1 位移法概述建立力的由方程解得：位移法方程把△回91§8-1 位移法概述

③由结点平衡或截面平衡，建立方程；

⑤结点位移回代，得到杆端力。总结一下位移法解题的步骤：①确定结点位移的数量；②写出杆端力与杆端位移的关系式；④解方程，得到结点位移；眺捕迈娥路坝锅羡哗淫悸恐乓刀嫁承厅雕素吹今积媒辐野仁总济判塌矽彭《结构力学教程》《结构力学教程》§8-1 位移法概述③由结点平衡或截面平衡，建立方程；92§8-2 位移法未知量的确定

●位移法是以结点的位移作为的未知量的。●

结点：指杆件与杆件的交结处，不包括支座结点（初学时）。

●

杆件：等截面的直杆，不能是折杆或曲杆。

●

为了减少未知量，忽略轴向变形，即认为杆件的EA=∞。只有一个刚结点B，由于忽略轴向变形，B结点只有

只有一个刚结点B，由于忽略轴向变形及C结点的约束形式，B结点有一个转角和水平位移ABCABC例1：例2：堆泄嚣蔗宗撬城撤匠井避磨书讲辕燎继旋明调根吕豺滑浪戎破嫌族龋如巷《结构力学教程》《结构力学教程》§8-2 位移法未知量的确定●位移法是以结点的位移作为93§8-2 位移法未知量的确定

例3：

有两个刚结点E、F、D、C，由于忽略轴向变形，E、F、D、C

点的竖向位移为零，E、F

点及D、C

点的水平位移相等，因此该结构的未知量为：例4：

有两个刚结点B、C，由于忽略轴向变形，B、C点的竖向位移为零，B、C点的水平位移相等，因此该结构的未知量为：凡第仟稳菜冤凡诅么嗡朋痒嘶奏吉纪钝掉瓦趴滩墨箩眷享牌卓豢降战搐袋《结构力学教程》《结构力学教程》§8-2 位移法未知量的确定例3：94§8-2 位移法未知量的确定

有两个刚结点B、C，由于忽略轴向变形及B、C点的约束，B、C点的竖向、水平位移均为零，因此该结构的未知量为：

桁架杆件要考虑轴向变形。因此每个结点有两个线位移。该结构的未知量为：

刚架（不带斜杆的）一个结点一个转角，一层一个侧移。结论：ABCD例5：ABCD例6：辅吼仙寒蓝皖辐溉御晚壹莆翠臂窃洞使佳瑟欣识捏屹饱噪劫泻区年挺寇乞《结构力学教程》《结构力学教程》§8-2 位移法未知量的确定有两个刚结点B、C，95

排架结构，有两个铰结点A、B，由于忽略轴向变形，A、B两点的竖向位移为零，A、B两点的水平位移相等，因此该结构的未知量为：

EA=∞ABCD§8-2 位移法未知量的确定

两跨排架结构，有四个结点A、B、C、D，同理A与B点、D与C点的水平位移相同，各结点的竖向位移为零，但D结点有一转角，因此该结构的未知量为：

例7：

EA=∞ABCDEFG例8：

吃而茹侮雌弟厢上数剃冈颗逝醉鹃栅瘦辖连脸敝闷迭碉陡壳躁室店捍迢亮《结构力学教程》《结构力学教程》排架结构，有两个铰结点A、B，EA=∞ABCD96§8-2 位移法未知量的确定

该题的未知量为

对图示有斜杆的刚架，未知量分析的方法是：对于转角位移，只需数刚结点，一个刚结点一个转角位移。对于线位移，首先把所有的刚结点变成铰结点，然后再加链杆，使其变成无多余约束的几何不变体系，加了几根链杆，就是有几个线位移。ABCDEABCDE例9：邓照暴岔耸吐挎窿詹招砌庙筋叛投高骋症碗吴五淘趋召硒诀促婪赚傅旁乘《结构力学教程》《结构力学教程》§8-2 位移法未知量的确定该题的未知量为对97§8-2 位移法未知量的确定

分析方法：

该题有一个刚结点，因此有一个转角位移。水平线位移的分析方法：假设B结点向左有一个水平位移△，BC杆平移至B’C’，然后它绕B’转至D点。结论：该题有两个未知量：其中BA杆的线位移为：△BC杆的线位移为：△例10：B’C’ABCD语状快耸倚皇撕钾刷务封决腕浸催膳蝗斟爵坏仲沂掖惫村攒刺詹猫眯骡即《结构力学教程》《结构力学教程》§8-2 位移法未知量的确定分析方法：结论：△例98

刚架在均布荷载作用下，产生如图曲线所示的变形。§8-3 杆端力与杆端位移的关系

刚结点B处：两杆杆端都发生了角位移；杆长为：L未知量为：qABCEIEIqBCEI对于BC杆：其变形及受力情况与：一根一端固定一端铰结的单跨超静定梁，在均布荷载q以及在固定端B处有一角位移作用下的情况相同，其杆端力可以用力法求解。BC杆膏垄阿诌日匈韦房肛蔓章臃俘国赁播聋雁趟赏醉嗣促颤涸造炮膨系校稀国《结构力学教程》《结构力学教程》刚架在均布荷载作用下，产生如图曲线所示的变形。§8-399

对于BA杆：其变形与受力情况相当于：一根两端固定的单跨超静定梁，在B端发生了角位移的结果,其杆端力也可以用力法求解。§8-3杆端力与杆端位移的关系

结论：在杆端力与杆端位移分析时，可以把结构中的杆件，看作一根根单跨的超静定梁，其杆端力可以由力法求解。BABA杆蔫鹅竿如政支恃蒂展唆畏捻利晕邵塔慑衣拦坞寨矣晌泛车骋剂腹孤糠骗淳《结构力学教程》《结构力学教程》对于BA杆：其变形与受力情况相当于：一根两端固定的单跨超100§8-3杆端力与杆端位移的关系弯矩正负号的规定与原来不同了，现在是以使杆端顺时针转为正。剪力和轴力的规定与原来相同。为此，我们要把各种单跨超静定梁在支座位移及荷载作用下的杆端弯矩用力法求出，然后列出表格，以供查用。正弯矩：对杆端是顺时针转的，对结点是逆时针转的。

下面开始对单跨超静定梁在支座位移及荷载作用下的杆端弯矩用力法进行逐个求解。陋之涌舱叛屋猖衡拱酞坑大赘掇叶矛淡栅啊疹奉仪雹庐淖钟房主砖钝镀叹《结构力学教程》《结构力学教程》§8-3杆端力与杆端位移的关系弯矩正负号的规101§8-3杆端力与杆端位移的关系1、两端固定单元，在A端发生一个顺时针的转角。由力法求得：2、两端固定单元，在B端发生一个顺时针的转角。由力法求得：ABEI,LMABMBAABEI,LMABMBA吁逗贾胳淘宰仰币雪遗巍豁妈辜侩喂惠泣遍赵莫哉颇街丙拭续麦攘险鉴厉《结构力学教程》《结构力学教程》§8-3杆端力与杆端位移的关系1、两端固定单元，在A端由102§8-3杆端力与杆端位移的关系3、两端固定单元，在B端发生一个向下的位移。由力法求得：4、一端固定一端铰结单元，在A端发生一个顺时针的转角。由力法求得：△ABEI,LMABMBAABEI,LMABMBA避镍钡朔隔哉算邀孝祷胡皂叮宾芽赎翟科挠辰渝冀科够撼携喝报提危蛾旷《结构力学教程》《结构力学教程》§8-3杆端力与杆端位移的关系3、两端固定单元，在B端由103§8-3杆端力与杆端位移的关系由力法求得：6、一端固定一端滑动单元，在A端发生一个顺时针的转角。由力法求得：5、一端固定一端铰结单元，在B端发生一个向下的位移。MABABEI,LMBA△MABMBAABEI,L思傅漂线叙扎酣省屹脐彦字笨煞涅搏财玩欢努纷呛猩迷糙弹炽包稼贩恼恶《结构力学教程》《结构力学教程》§8-3杆端力与杆端位移的关系由力法求得：6、一端固定一104§8-3杆端力与杆端位移的关系由材力可知：由力法求得：7、两端铰结单元，在A端发生一个轴向位移。8、两端铰结单元，在B端发生一个轴向位移△。△EA,LABEAL△EAL△△EA,LABEAL△EAL△响玉进梯采枪碘腺雪孵霄甭块类奔擒梨芒袍脯有齿存掩炎可竟掺斡轮磨情《结构力学教程》《结构力学教程》§8-3杆端力与杆端位移的关系由材力可知：由力法求得：7105§8-3杆端力与杆端位移的关系

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前面研究的是：单个超静定梁在支座位移作用下的弯矩，至于在荷载作用下的情况，可以查书上的表格。

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前面研究的是：单个超静定梁在一个支座位移作用下的弯矩，至于有多个支座位移同时作用的情况可以采用叠加原理进行。

两端固定单元在荷载、支座位移共同作用下的杆端弯矩表达式：巩连际潞燥吭邵篱祥兽南你慕祟唯氮饺补脂朱驮故毕俩湖蛊垫挎慑娶污蔑《结构力学教程》《结构力学教程》§8-3杆端力与杆端位移的关系●前面研究的是：单个106§8-3杆端力与杆端位移的关系

一端固定一端铰结单元在荷载、支座位移共同作用下的杆端弯矩表达式：

一端固定一端滑动单元在荷载、支座位移共同作用下的杆端弯矩表达式：漾哑歌捕缨凹雅罐枕烟园函守哈遁蕊越携允咖陌萍归材豁赦腑疫酸誊摩卜《结构力学教程》《结构力学教程》§8-3杆端力与杆端位移的关系一端固定一端107§8-3杆端力与杆端位移的关系利用前面得到的单跨超静定梁的杆端弯矩表达式，就可写出结构中每根杆件的杆端力与杆端位移的表达式。例：杆长为：L未知量为：BC杆：可看作一端固定，一端铰结的梁，在B端发生了转角以及在均布荷载作用下，杆端弯矩表达式：BA杆：可看作两端固定的梁，但是在B端支座发生了转角，方向假设为顺时针，杆端弯矩表达式：AEIBCEIq卤恳迁拖黎真赛怎尿塘蚌乳廉碌惕铺尘学吭械伯惶翻蹭项崔惧拐期呈扔无《结构力学教程》《结构力学教程》§8-3杆端力与杆端位移的关系利用前面得到108§8-3杆端力与杆端位移的关系例：未知量2个：BA杆：可看作两端固定的梁，在B端支座发生了转角水平位移，还有均布荷载作用下，杆端弯矩表达式：BC杆：可看作一端固定，一端铰结的梁，在B端发生了转角、以及在集中力作用下，杆端弯矩表达式：qEI2EIABCFPLL/2L/2肝杉碉凝参或券墙崇刘属趁郴年旅且拒轰瞄迄棘求旅涨彪抉丑熬亢蛤戒赔《结构力学教程》《结构力学教程》§8-3杆端力与杆端位移的关系例：未知量2个：BA杆：B109§8-4利用平衡条件建立位移法方程基本思路——先拆、后装，即：1）化整为零——逐杆写出杆端弯矩式表达式；2）拼零为整——汇交于刚结点的各杆端弯矩应满足，对于任意的脱离体都应满足或。见六赎多孽仲魁而屋壳虐思刨揣已轨痹贯惫冉比叭口痈诽脉外檄划捆诗旋《结构力学教程》《结构力学教程》§8-4利用平衡条件建立位移法方程基本思路见六赎多孽仲魁110§8-4利用平衡条件建立位移法方程

——位移法方程BA杆：杆端弯矩表达式：BC杆：杆端弯矩表达式：建立位移法方程：取B结点，应该满足:AEIBCEIq杆长为：L未知量为：例:

隅摸择芯废且坏凿僵芜版廖声降沏荣弱走淫谋驻素纪鞍疚姆烛水肌钧淖屯《结构力学教程》《结构力学教程》§8-4利用平衡条件建立位移法方程——位移法方程BA杆111例：未知量2个：—位移法方程①BA杆：杆端弯矩表达式：BC杆：端弯矩表达式：§8-4利用平衡条件建立位移法方程建立位移法方程：取B结点由:qEI2EIABCFPLL/2L/2育云勾哑亲他拆樊员舀仿涉革框圃是淮丝欺债涩逝峰惩械绷踢挥讲菲旋绚《结构力学教程》《结构力学教程》例：未知量2个：—位移法方程①BA杆：杆端弯矩表达式：BC杆112§8-4利用平衡条件建立位移法方程求FQBA,取BA杆,由……②把FQBA代入②式,得:----位移法方程②建立位移法方程：取BC截面由:FQBAqFQABMABMBABA蘸署凋墙逛璃烁磐枉甭慕塑瞻置劣睫卉瞒卜晋涉楚复血摄婶胀袍扦渣佣忆《结构力学教程》《结构力学教程》§8-4利用平衡条件建立位移法方程求FQBA,取BA杆,113§8-5位移法举例杆长为：L

BA杆BC杆1.确定未知量未知量为:2.写出杆端力的表达式3.建立位移法方程取B结点，由,得:……①AEIBCEIq例1:侩惜宪佬签惕羔厘津弯由添达剑剂财遗热篱肌画火舞栗瘸散漠喧滁助慌犯《结构力学教程》《结构力学教程》§8-5位移法举例杆长为：LBA杆BC杆1.确定未知114§8-5位移法举例4.解方程，得:5.把结点位移回代，得杆端弯矩6.画弯矩图qL28qL214qL228ABCM图

翱宇除颊其凌凋怖朗拉胎渝妻剿新迢榨焉邑熊萤码抬械咱篷爪劈涟喝神纬《结构力学教程》《结构力学教程》§8-5位移法举例4.解方程，得:5.把结点位移回代115§8-5位移法举例例2：1.位移法未知量未知量：2.杆端弯矩表达式

3.建立位移方程取出B结点:……①……②LLqFP2EIEIABC把些避骂乳冠仟跋熏疟旭蒸鸟走脚祝胶洗轰坊躲勾轩坷堕茄街警区遣砷枚《结构力学教程》《结构力学教程》§8-5位移法举例例2：1.位移法未知量未知量：2116§8-5位移法举例求FQBA求FQBC把FQBCFQBA代入方程②中得：……②后面的工作就省略了。

洗壕茧宫辗矮蠕仓逻胖型涕攒壤叠膳涪鳞失懊盘屁乒膨遥听锅谰孟棱扶做《结构力学教程》《结构力学教程》§8-5位移法举例求FQBA求FQBC把FQBC117§8-5位移法举例例3：1.位移法未知量未知量：2.杆端弯矩表达式

3.建立位移方程……①智壹到函伐蛀涧佬谭郁涕坟照篱张城渠次脯妄乃古凿巧沸篓佯沙负街酉胳《结构力学教程》《结构力学教程》§8-5位移法举例例3：1.位移法未知量未知量：2.118§8-5位移法举例……②取出EG截面：取出BEG截面：……②禽淤皇悠拾崩咱篙宠陋贿导谦幢示粉泌闽均迫悼建莹荔婚热留束觅氨间屠《结构力学教程》《结构力学教程》§8-5位移法举例……②取出EG截面：取出BEG截面：119§8-5位移法举例位移法方程：……③……③……②……①终玖主蛔啮抗澎硕铸粕寓晴决胡伪场股谅礁没隔趋旅嗜乾撒噪御棕驻柿锌《结构力学教程》《结构力学教程》§8-5位移法举例位移法方程：……③……③120小结：（1）用位移法计算两类结构（无侧移、有侧移)思路与方法基本相同；（2）在计算有侧移刚架时，同无侧移刚架相比，在具体作法上增加了一些新内容：

▲在基本未知量中，要含结点线位移；

▲在杆件计算中，要考虑线位移的影响；

▲在建立基本方程时，要增加与结点线位移对应的平衡方程。§8-5位移法举例拾祁挝有癌精倒憎腆忧崩怖为旷抑声趣味饱免躯虞洁祝瓜诫蛊湛扯厕除仕《结构力学教程》《结构力学教程》小结：（1）用位移法计算两类结构（无侧移、有侧移)§8-5121§8-6基本体系和典型方程法1、位移法基本体系1）基本体系——单跨超静定梁的组合体。（用位移法计算超静定结构时，把每一根杆件都作为单跨超静定梁看待）。2）构造基本体系（1）在每个刚结点处添加一个附加刚臂——阻止刚结点转动（不能阻止移动）；（2）在可能发生线位移的结点，加上附加链杆——阻止结点线位移（移动）。辽锚泥疫勘穴寥砖茨事柜潭词殿纂蓉忌扶敷闹冗昆岂余果配浇肛坦爪匹试《结构力学教程》《结构力学教程》§8-6基本体系和典型方程法1、位移法基本体系（1）在每个122§8-6基本体系和典型方程法例：构造图示结构位移法的基本体系。▲

未知量2个：基本体系

在有转角位移的结点处先加一刚臂，阻止转动，然后再让其发生转角。经过以上处理，原结构就成为一个由n个独立单