理论力学-动能定理

Mf2Mf1F1F2FN2FN1FrmaC=F1-F2-FrCW

从汽车的驱动问题看动量方法与能量方法从动量定理提供的方法，分析汽车的驱动力F1－汽车行驶的驱动力F1>F2＋Fr汽车向前行驶1

从汽车的驱动问题看动量方法与能量方法如果发动机的功率很小而摩擦力很大如果发动机的功率很大而摩擦力很小将会怎样？如何评价发动机功率对驱动汽车行驶的作用？2§14-1力的功a.常力的功b.变力的功FMM1M2S功是代数量，其国际单位制为

J（焦耳）。34c.几种常见力的功（1）重力的功x重力作功仅与质点运动始末位置的高度差有关，与运动轨迹形状无关。质点系：5（2）弹性力的功6（3）定轴转动刚体上作用力的功yxzrAFFxyA7（4）平面运动刚体上力系的功MiCFidrCdriCd8§14-2质点和质点系的动能质点的动能质点系的动能动能和动量都是表征机械运动的量，前者与质点速度的平方成正比，是一个标量；后者与质点速度的一次方成正比，是一个矢量，它们是机械运动的两种度量。动能与功的量纲相同，也为J。9刚体的动能a.平动刚体的动能b.定轴转动刚体的动能virimiyxz10c.平面运动刚体的动能PCdvCCvC11§14-2动能定理1.质点的动能定理122.质点系的动能定理质点系动能的增量，等于作用于质点系全部力所作的元功的和微分形式。质点系在某一段运动过程中动能的改变量，等于作用于质点系全部力所作功的和积分形式。133.理想约束约束反力作功等于零的约束理想约束。′FdrOABF1dr1dr2F2OF12CFFN144.内力的功

FA

和FB在drA

和drB上所作之元功OxzyFAFBABrArB这一结果表明：当两点之间的距离发生变化时，这两点之间的内力所作之元功不等于零。15工程上几种内力作功的情形◆作为整体考察，所有发动机的内力都是有功力。例如汽车内燃机工作时，气缸内膨胀的气体质点之间的内力；气体质点与活塞之间的内力；气体质点与气缸内壁间的内力；这些内力都要作功。◆有相对滑动的两个物体之间的摩擦力作负功。对于简单的刚体系统，将力分为主动力和约束反力，当其为理想约束时，约束反力不作功。16例题1已知：摩擦阻力为车重的0.2倍，空车重G0

求：G/G0=？解：取车研究对象，设弹簧的最大变形为m(1)车下滑到弹簧压缩至最大lm30°k(2)车卸料后又弹回原位置，由动能定理得由动能定理得解得：17OPWv例题2均质圆轮半径为R、质量为m，圆轮对转轴的转动惯量为JO。圆轮在重物P带动下绕固定轴O转动，已知重物重量为W。求：重物下落的加速度s解：取系统为研究对象主动力的功：由动能定理得：将上式对时间求导，并注意18OPWvs由动能定理得：将上式对时间求导，并注意解得：19例题3已知：m

，R,f

，。求：纯滚时盘心的加速度。CFNmgvCF解：取系统为研究对象s主动力的功：由动能定理得：解得：20例题4求：轴Ⅰ的角加速度。已知：J1

，J2

，R1，R2

，i12=

R2/R1

M1

，

M2

。ⅠⅡM1M2解：取系统为研究对象由运动学可知：主动力的功：21ⅠⅡM1M2由动能定理得：将上式对时间求导，并注意解得：22例题5BACPmgvC解：取杆为研究对象主动力的功：由动能定理得：解得：23BACPmgvC由动能定理得：解得：将方程对时间求导，并注意解得：24ABBAO例题6已知：两均质杆质量为m

，长度为l,

轮B质量为m

。求：轮B的速度。解：取系统为研究对象vBvAAB由运动学可知，AB杆速度瞬心在A点主动力的功：由动能定理得：解得：25例题7OBCDAm1gsv解：取系统为研究对象P由运动学可知：主动力的功：由动能定理得：26OBCDAm1gsvP由动能定理得：解得：27OCBPOACBPF例题8已知：轮O质量为m，P，f

。求：轮O移动距离S时轮的角速度、角加速度。FTFNmg解：取轮O为研究对象主动力的功：由动能定理得：28OCBPOACBPFFTFNmg由动能定理得：解得：29

关于摩擦力的作功

0OFNFM

功是力与其作用点位移的点乘。这里“位移”并不是力作用点在空间中的位移，而是指受力物体上受力作用那一点的位移。CMF30§14-4功率·功率方程·机械效率1.功率力的功率－力所作之功对时间的变化率力的功率等于切向力与其作用点速度的标积。作用在转动刚体上的力矩或力偶矩的功率等于力矩或力偶矩与刚体转动角速度的标积。312.功率方程质点系动能定理的微分形式等式两边同除以dt

质点系动能对时间的一阶导数等于作用在系统上所有有功力的功率之代数和。——

功率方程——

输入功率——

有用功率，输出功率——

无用功率，损耗功率323.机械效率——

系统的总效率例题9车床电动机的功率P输入＝5.4kW

。传动零件之间的磨擦损耗功率为输入功率的30％。工件的直径d＝100mm。

求：转速n=42r/min和

n=112r/min的允许最大切削力。33例题9车床电动机的功率P输入＝5.4kW

。传动零件之间的磨擦损耗功率为输入功率的30％。工件的直径d＝100mm。

求：转速n=42r/min和

n=112r/min的允许最大切削力。解：车床正常工作时，工件匀速旋转，动能无变化其中切削力F与工件在切削力作用点的速度v同向34例题9车床电动机的功率P输入＝5.4kW

。传动零件之间的磨擦损耗功率为输入功率的30％。工件的直径d＝100mm。

求：转速n=42r/min和

n=112r/min的允许最大切削力。切削力F与工件在切削力作用点的速度v同向当

n=42r/min

时当

n=112r/min

时35BAE例题10已知：轮A质量为m2，R，杆AB

质量m1

，长l。求：

=45°点A在初瞬时的加速度。m2gABEBACvBvAvE解：取系统为研究对象，在任意角时m1g由运动学可知：系统总动能：36BAEm2gABEBACvBvAvEm1g系统的总功率：代入功率方程：注意到

和vA都是t

的函数，且有：37BAEm2gABEBACvBvAvEm1g注意到初瞬时：vA

=0，

==45°38§14-5势力场·势能·机械能守恒定律1.势力场

如果一物体在某空间任一位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力作用，则这部分空间称为——力场。如果物体在某力场内运动，作用于物体的力所作的功只与力作用点的初始位置和终了位置有关，而与该点的轨迹形状无关，这种力场称为——势力场（保守力场）。2.势能在势力场中，质点从点M运动到任选的点M0，有势力所作的功称为质点在点M相对于点M0的势能，以V表示为39a.重力场中的势能b.弹性力场中的势能取M0为零势能点，则点M的势能为：取弹簧自然位置为零势能点，则有：40c.万有引力场中的势能取无穷远处为零势能点，则有：★有势力所作的功等于质点系在运动过程的初始与终了位置的势能的差。413.机械能守恒定律●保守系统

—仅在有势力作用下的系统。●

机械能

—系统所具有的动能与势能的总称。●机械能守恒

—系统仅在有势力作用下运动时，其机械能保持恒定。42动力学普遍定理动量定理动量矩动量动能定理动量方法能量方法§14-6质点系普遍定理的综合应用43动力学两类问题与分析程序主动力质点系运动质点系运动动约束力非自由质点系一般分析程序：先避开未知约束力，求解运动量；然后再现在合适的定理，确定动约束力。44动力学两类问题与分析程序需要特别注意自由度的概念，注意分析约束的性质确定：系统是单自由度还是多自由度；是一处约束还是多处约束；是理想约束还是非理想约束。对于具有理想约束，特别是具有多处约束的一个自由度系统，一般先应用动能定理分析运动，然后再采用动量定理或动量矩定理，确定动约束力。对于具有一处约束的系统，或者虽然具有多处约束的系统，但所要求的是瞬时二阶运动量和未知约束力，这时可以联合应用动量定理和动量矩定理。对于二自由度系统或多自由度系统，需要综合应用动能定理、动量定理、动量矩定理。这种情形下需要特别注意系统的守恒情形。45BO2例题11AO130oDWWWM均质圆轮A和B的半径均为r，圆轮A和B以及物块D的重量均为W，圆轮B上作用有力偶矩为M的力偶，且3Wr/2>M>Wr/2。圆轮A在斜面上作纯滚动。不计圆轮B的轴承的摩擦力。求：1、物块D的加速度；

2、二圆轮之间的绳索所受拉力；

3、圆轮B处的轴承约束力。46BO2AO130oDWWWM

解：首先，讨论系统的自由度、约束以及广义坐标的选择。自由度：1约束：多约束广义坐标：sDOsD解：1、确定物块的加速度对系统整体应用动能定理47BO2AO130oDWWWMsDO解：1、确定物块的加速度将所有运动量都表示成广义坐标sD的形式为求物块的加速度，将等式两边对时间求一阶导数，得到当M>Wr/2，aD>0，物块向上运动48DBO2WWFTFByFBxM

解：2、确定圆轮A和B之间绳索的拉力AO1DWMBO230oWW

解除圆轮B轴承处的约束，将AB段绳索截开，对圆轮B、绳索和物块D组成的局部系统应用动量矩定理根据运动学关系49DBO2WWFTFByFBxM

解：3、确定圆轮B轴承处的动约束力对圆轮B、绳索和物块D组成的局部系统应用质心运动定理50AO30°C例题12均质圆盘O放置在光滑的水平面上，质量为m，半径为R，匀质细杆OA长为l，质量为m。开始时杆在铅垂位置，且系统静止。求：杆运动到图示位置时的角速度。解：首先，讨论系统的自由度、约束以及广义坐标的选择。自由度：2约束：多约束广义坐标：xO，x51AO30°C解：取系统为研究对象，因轮置于光滑面上，固其作平动。设其速度为vO。杆转动的角速度为。AO30°CvCA对系统整体应用动能定理由刚体的平面运动分析得52AO30°CAO30°CvCA由系统在水平方向的动量守恒得将vO代入动能定理方程可解得53结论与讨论关于动量和动能的再讨论正确计算刚体平面运动时的动能速度(角速度)分析与动能计算关于三个动力学定理的综合应用关于动能定理与机械能守恒关于溜溜球与人造卫星的溜溜消旋54关于汽车驱动问题的结论发动机给出的主动力偶克服阻力和阻力偶作功使汽车的动能增加；与汽车行驶方向相同的摩擦力克服方向相反的摩擦力与空气的阻力使汽车的动量增加。如果路面很滑，摩擦力很小，发动机功率再大汽车也只能打滑，而不能向前行驶；反之，如果路面很粗糙，摩擦力可以很大，而发动机不能发出足够大的功率，汽车同样不能向前行驶。结论与讨论关于动量和动能的再讨论55运动员跑步时，脚底与地面之间的摩擦力并不作功，其作用是使运动员的动量增加；小腿的肌肉(比目鱼肌)收缩产生内力而作功，使运动员的动能增加。二者都是运动员跑步前进的驱动力。结论与讨论关于动量和动能的再讨论56应用动能定理时，很重要的是，正确计算系统的动能。特别是正确计算刚体平面运动的动能。因此，要正确应用柯希尼定理。质点系的动能(绝对运动动能)，等于系统跟随质心平移的动能(牵连运动动能)与相对于质心平移系运动的动能(相对运动动能)之和。结论与讨论正确计算刚体平面运动时的动能57ABOxx

均质杆AB长度为l、质量为m,A端与小圆滚轮铰接，小圆滚轮的重量不计。广义坐标q=(x,)。请判断关于系统动能的下列表达式是否正确：结论与讨论正确计算刚体平面运动时的动能58ORr

0C*行星轮机构中，小圆轮的质量为m。请判断关于小圆轮动能的下列表达式是否正确？结论与讨论正确计算刚体平面运动时的动能59计算动能必须正确确定速度或角速度。为此需要首先分析运动，进而选择相应的方法计算速度或角速度。确定速度和角速度的方法

点的运动学分析方法——选择合适的描述点的运动坐标系，写出的运动方程或方程组，再将方程或方程组对时间求一次导数，即得点的速度。

点的复合运动分析方法——正确选择动点和动系，确定牵连速度、相对速度和绝对速度。

刚体平面运动分析方法——建立在速度合成定理基础上的基点法、速度投影法、瞬时速度中心法。结论与讨论速度(角速度)分析与动能计算60确定速度和角速度的方法CAr半径为r的大圆环，不计质量，绕O轴旋转。大圆环上套有质量为m的小圆环A。小圆环在光滑的大圆环上自由滑动。怎样确定小圆环的速度，进而确定其动能？Oxy结论与讨论速度(角速度)分析与动能计算61墙面地面ABl,mvAOxy长度为l

，质量为m的均质杆件AB，杆件两端A和B分别沿光滑的墙面和地面滑动，A端的速度为vA。怎样确定杆件AB的速度，进而确定其动能？确定速度和角速度的方法结论与讨论速度(角速度)分析与动能计算62动量定理、动量矩定理和动能定理的比较动量定理、动量矩定理和动能定理都是描述质点系整体运动的变化与质点系所受的作用力之间的关系。整体运动的变化所受的作用力动量定理动能定理动量矩定理动量力(冲量)动量矩力矩动能力的功动量定理、动量矩定理和动能定理都可以用于求解动力学的两类基本问题。结论与讨论关于几个动力学定理的综合应用63动量定理、动量矩定理和动能定理的比较动量定理、动量矩定理一般限于研究物体机械运动范围内的运动变化问题。动能定理可以用于研究机械运动与其他运动形式之间的运动转化问题。结论与讨论关于几个动力学定理的综合应用64关于几个动力学定理的综合应用动量定理、动量矩定理和动能定理的比较动量定理、动量矩定理的表达式为矢量形式，描述质点系整体运动时，不仅涉及有关运动量的大小，而且涉及运动量的方向。动能定理的表达式为标量形式，描述质点系整体运动时，不涉及运动量的方向，无论质点系如何运动，动能定理只能提供一个方程。动量定理、动量矩定理的表达式中含有时间参数。动能定理的表达式中含有路程参数。结论与讨论65动量定理、动量矩定理和动能定理的比较动量定理、动量矩定理的表达式中只包含外力，而不包含内力(内力的主矢和主矩均为零)动能定理的表达式中可以包含主动力和约束力，主动力中可以是外力，也可以是内力(可变质点系)；对于理想约束，则只包含主动力。关于几个动力学定理的综合应用结论与讨论66动量定理、动量矩定理和动能定理的比较分析和解决复杂系统的动力学问题时，选择哪一个定理的原则是：

1、所要求的运动量在所选择的定理中能不能比较容易地表达出来；

2、在所选择的定理表达式中，不出现相关的未知力。对于由多个刚体组成的复杂系统，求解动力学问题时，如果选用动量定理或动量矩定理，需要将系统拆开，不仅涉及的方程数目比较多，而且会涉及求解联立方程。如果选用动能定理，对于受理想约束的系统，可以不必将系统拆开，而直接对系统整体应用动能定理，建立一个标量方程，求得速度或加速度(角速度或角加速度)。关于几个动力学定理的综合应用结论与讨论67BC动量定理、动量矩定理和动能定理的比较AWWk,l0Oxx为求物块A下降至任意位置(x)时的加速度，可以采用哪一个动力学定理