平均数中位数众数极差方差标准差课件

§5数据的数字特征平均数、中位数、众数、极差、方差4.2标准差问题引航1.如何求平均数、中位数、众数、极差、方差?2.利用它们进行总体估计的优缺点是什么?1.平均数、中位数、众数、极差出现次数大小顺序中间中间两个数原数据平均数计算公式最大值最大值最小值最小值2.标准差与方差(1)方差的求法:标准差的平方s2叫做方差.s2=_______________________________,其中,xn是样本数据,n是样本容量,是样本平均数.(2)标准差的求法:标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s表示.s=_______________________________.1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据.

(

)(2)平均数、众数、中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势.

(

)(3)极差不受极端值的影响.

(

)【解析】(1)错误.平均数不可能大于每一个数据.(2)正确.从平均数、众数与中位数的含义知正确.(3)错误.极差反映了一组数据变化的最大幅度,它受一组数据中的极端值的影响.答案:(1)×

(2)√

(3)×2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中,男、女生平均分数分别是75,80,则这次考试该年级学生平均分数为________.(2)某射手在一次训练中射击的成绩分别为9.4,9.4,9.4,9.6,9.7,则该射手成绩的方差是__________.(3)一个样本按从小到大的顺序排列为10,12,13,x,17,19,21,24,其中中位数为16,则x=__________.【解析】(1)平均分数=×75+×80=78.答案:78(2)=×(9.4+9.4+9.4+9.6+9.7)=9.5,所以s2=×[(9.4-9.5)2+(9.4-9.5)2+(9.4-9.5)2+(9.6-9.5)2+(9.7-9.5)2]=0.016.答案:0.016(3)由题意知=16,即x=15.答案:15【要点探究】知识点1对平均数、中位数、众数、极差的理解极差、众数、中位数、平均数的比较(1)一组数据的平均数、中位数、极差都是唯一的，众数可能不唯一.(2)求中位数时，，应将数据按按大小顺序排排列，当数据据个数是奇数数时，中间的的那个数据就就是中位数；；当数据个数数是偶数时，，居于中间两两个数的平均均数才是中位位数.可见，中位数数不一定是这这组数据中的的数值.(3)众数是一组数数据中出现次次数最多的数数据，而不是是数据出现的的次数.一组数据的众众数可以有多多个.(4)平均数的大小小与一组数据据里的每个数数据都有关系系，任何一个个数据的变动动都会引起平平均数的变动动；众数的大大小只与这组组数据的部分分数据有关；；中位数也只只与少数的数数据有关；极极差只与这组组数据的最大大值和最小值值有关.【知识拓展】极差、众数、、中位数、平平均数的作用用(1)极差的大小可可以反映该组组数据分散的的程度；众数数体现了样本本数据的最大大集中点，但但它忽视了数数据信息中的的其他数据；；中位数是样样本数据所占占频率的等分分线，它不受受极端值的影影响；平均数数反映了一组组数据的平均均水平，易受受极端值的影影响.(2)实际问题中求求得的众数、、中位数和平平均数应带上上单位.【微思考】(1)在极差、众数数、平均数、、中位数中哪哪些是一定出出现在已知数数据的数？哪哪些不一定出出现在已知数数据中？提示:众数一定出现现在已知数据据中；极差、、平均数、中中位数不一定定出现在已知知数据中.(2)在极差、众数数、平均数、、中位数中哪哪些反映了该该组数据的集集中趋势？哪哪些反映了数数据的分散程程度？提示:众数、平均数数、中位数都都反映了数据据的集中趋势势;极差反映了数数据的分散程程度.【即时练】1.若某校高一年年级8个班参加合唱唱比赛的得分分如茎叶图所所示，则这组组数据的中位位数和平均数数分别是()A．91.5和91.5B．91.5和92C．91和91.5D．92和922.对甲、乙二人人的学习成绩绩进行抽样分分析,各抽4门功课,得到的观测值值如下:问:甲、乙谁的平平均成绩较好好?甲65828085乙75657090【解析】1.选A.中位数为(91+92)=91.5;平均数为(87+89+90+91+92+93+94+96)=91.5.2.(65+82+80+85)=78,(75+65+70+90)=75,知识点2对方差与标准准差的理解标准差、方差差的作用(1)标准差、方差差描述了一组组数据围绕着着平均数波动动的大小，标标准差、方差差越大，数据据的离散程度度越大；标准准差、方差越越小，数据的的离散程度越越小．(2)标准差、方差差为0时，表明样本本数据全相等等，数据没有有波动幅度和和离散性．【微思思考考】(1)在解解决决实实际际问问题题时时，，一一般般采采用用方方差差还还是是标标准准差差？？提示示:方差差与与原原始始数数据据的的单单位位不不同同，，且且平平方方后后可可能能放放大大了了偏偏差差的的程程(2)在计计算算标标准准差差时时，，若若各各样样本本数数据据加加上上或或减减去去一一个个常常数数，，标标准差差的的值值会会变变化提示:不变，因为平均值和每一个样本数据都加上或减去了同一个常数，所以(xi－)2的值不变，所以标准差不变.【即时时练练】1.样本本中中共共有有5个个个体体，，其其值值分分别别为为a,0,1,2,3.若该该样样本本的的平平均均值值为为1，则则样样本本方方差差为为()2.已知知一一个个样样本本为为x,1，y,5，其其中中x，y是方方程程组组的解解，，则则这这个个样样本本的的标标准准差差是是()【解析析】1.选D.由题题可可知知样样本本的的平平均均值值为为1，所以以＝＝1，解解得得a＝－－1，所以以样样本本的的方方差差为为［［(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2］＝＝2.2.选D.因为为x＋y＝2，x2＋y2＝10，所以＝＝(x＋1＋y＋5)＝［(x＋y)＋6］＝2，s2＝［(x－2)2＋(1－2)2＋(y－2)2＋(5－2)2］＝［(x2＋y2)－4(x＋y)＋18］＝×20＝5，所以【题型示范范】类型一众数、中中位数、、平均数数的计算算及应用用【典例1】(1)为了普及环环保知识，，增强环保保意识，某某大学随机机抽取30名学生参加环环保知识测测试，得分分(十分制)如图所示，，假设所得得分值的中位数数为me，众数为m0，平均值为为，则则()A．me＝m0＝B．me＝m0<C．me<m0<D．m0<me<(2)据报道,某公司的33名职工的月月工资(以元为单位位)如下:职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资5500500035003000250020001500①求该公司司职工月工工资的平均均数、中位位数、众数数.②假设副董事事长的工资资从5000元提升到20000元,董事长的工工资从5500元提升到30000元,那么新的平平均数、中中位数、众众数又是什什么?(精确到元)③你认为哪个个统计量更更能反映这这个公司员员工的工资资水平?结合此问题题谈一谈你你的看法.【解题探究】1.题(1)图中最高的的直条对应应的得分是是哪个数字字特征?2.题(2)中3000位于表格中中央,3000是不是中位位数?【探究提示】1.是众数.最高的直条条对应的频频数是10,其得分为5分,5分是众数.2.3000不是中位数数,应该将33个数从小到到大排列,中间的数是是中位数.中位数是1500.【自主解答】(1)选D.由图可知,30名学生的得得分情况依依次为:2个人得3分,3个人得4分,10个人得5分,6个人得6分,3个人得7分,2个人得8分,2个人得9分,2个人得10分.中位数为第第15,16个数(分别为5,6)的平均数,即me=5.5,5出现的次数数最多,故m0=5,于是得m0<me<.(2)①平均数是≈1500＋591＝2091(元)，中位数是1500元，众数是是1500元.②平均数是≈1500＋1788＝3288(元)．中位数是1500元，众数是是1500元．③在这个问问题中，中中位数或众众数均能反反映该公司司员工的工工资水平，，因为公司司中少数人人的工资额额与大多数数人的工资资额差别较较大，这样样导致平均均数偏差较较大，所以以平均数不不能反映这这个公司员员工的工资资水平．【方法技巧】1.众数的求求法在样本数数据中出出现次数数最多的的数据即即为众数数.2.中位数的的求法(1)把数据按按从小到到大的顺顺序排列列.(2)找出排列列后位于于中间位位置的数数据，即即为中位位数.若中间位位置有两两个数据据，则求求出这两两个数据据的平均均数作为为中位数数.3.平均数的的计算公公式一组样本本数据为为x1,x2，…,xn，则样本本平均数数(x1+x2+…+xn).简记为【变式训练练】高一(3)班有男同同学27名，女同同学21名，在一一次语文文测验中中，男同同学的平平均分是是82分，中位位数是75分，女同同学的平平均分是是80分，中位位数是80分．(1)求这次测测验全班班平均(2)估计全班成绩在80分以下(含80分)的同学至少有多少人.(3)分析男同学的平均分与中位数相差较大的主要原因是什么．【解析】(1)利用平均均数计算算公式×(82×27＋80×21)≈81.13(分)．(2)因为男同同学的中中位数是是75，所以至至少有14人得分不不超过75分．又因为女女同学的的中位数数是80，所以至至少有11人得分不不超过80分．所以全班班至少有有25人成绩在在80分以下(含80分)．(3)男同学的的平均分分与中位位数的差差别较大大，说明明男同学学中两极极分化现现象严重重，得分分高的和和得分低低的相差差较大.【误区警示示】刻画一组组数据集集中趋势势的统计计量有平平均数、、中位数数和众数数等，它它们作为为一组数数据的代代表各有有优缺点点，也各各有各的的用处，，从不同同的角度度出发，，不同的的人会选选取不同同的统计计量来表表达同一一组数据据的信息息，不同同的统计计量会侧侧重突出出某一方方面的信信息.【补偿训练】下表是某班40名学生参加““环保知识竞竞赛”的得分分统计表：请参照这个表表解答下列问问题:(1)用含x,y的式子表示该该班参加“环环保知识竞赛赛”的班平均均分f.(2)若该班这次竞竞赛的平均分分为2.5分,求x,y的值.分数012345人数4710x8y【解题指南】第(2)问根据频数之之和为40及平均数为2.5构造方程组求求解.【解析】(1)f=(2)依题意,有类型二方差、标准差差的计算及应应用【典例2】(1)某校甲、乙两两个班级各有有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投投篮练习，每每人投10次，投中的次次数如下表：：则以上两组数数据的方差分分别为________,标准差分别为为__________.学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679(2)甲、乙两支篮篮球队在联赛赛中,各进行10场比赛,得分如下:甲队:100,97,99,96,102,103,104,101,101,100.乙队:97,97,99,95,102,100,104,104,103,102.请计算甲、乙乙两队的方差差与标准差,并判断哪支球球队发挥更为为稳定?【解题探究】1.题(1)中,求方差和标准准差的关键是是什么?2.题(2)中,方差(标准差)与数据的稳定定程度的关系系是什么?【探究提示】1.求方差和标准准差的关键是是先求平均数数,再求方差,最后由方差求求得标准差.2.方差和标准差差都是用来描描述一组数据据波动情况【自主解解答】答案：：0.4，1.2(2)(100＋97＋…＋100)＝100.3，(97＋97＋…＋102)＝100.3，则s甲2＝［［(100－100.3)2＋…＋(100－100.3)2］＝5.61，s乙2＝［［(97－100.3)2＋…＋(102－100.3)2］＝9.21，所以甲甲队的的标准准差为为s甲＝≈≈2.37，乙队队的标标准差差为s乙＝≈≈3.03.由此此可可以以判判断断甲甲队队的的得得分分方方差差小小，，标标准准差差也也相相应应较较小小，，因因此此甲队队在在联联赛赛中中发发挥挥更更为为稳稳定定．．【方法法技技巧巧】1.方差差的的计计算算方方法法(1)一组组样样本本数数据据x1,x2,……,xn的样样本本方方差差的的计计算算公公式式是是(2)用定定义义的的公公式式计计算算方方差差的的一一般般步步骤骤：：ⅰ先求求出出样样本本平平均均数数ⅱ再计计算算一一组组差差：：xi-(i=1,2,……,n);ⅲ计算算ⅱ中差差的的平平方方，，得得到到一一组组新新的的数数据据：：(x1-)2,(x2-)2，…,(xn-)2;ⅳ计算算ⅲ中这这组组新新数数据据的的平平均均数数，，即即为为所所求求的的方方差差s2，即即s2=2.标准准差差的的计计算算方方法法(1)一组组样样本本数数据据x1,x2,……,xn的标标准准差差的的计计算算公公式式是是(2)计算算标标准准差差的的一一般般步步骤骤：：ⅰ先求求出出样样本本方方差差；；ⅱ再求求出出样样本本方方差差的的算算术术平平方方根根，，即即得得样样本本标标准准差差.【变式式训训练练】假定定以以下下数数据据是是甲甲、、乙乙两两个个供供货货商商的的交交货货天天数数．．甲：：10,9,10,10,11,11,9,11,10,10；乙：：8,10,14,7,10,11,10,8,15,12.估计计两两个个供供货货商商的的交交货货情情况况，，并并问问哪哪个个供供货货商商的的交交货货时时间间短短一一些些？？哪哪个个供供货货商商的的交交货货时时间间较较具具有有一一致致性性与与可可靠靠性性？？【解题指南南】直接利用用平均数数、方差差的公式式计算，，然后通通过比较较平均数数、方差差的大小小得出结结论．【解析】(10+9+10+10+11+11+9+11+10+10)=10.1(天),[(10-10.1)2+(9-10.1)2+(10-10.1)2+(10-10.1)2+(11-10.1)2+(11-10.1)2+(9-10.1)2+(11-10.1)2+(10-10.1)2+(10-10.1)2]=0.49;(8+10+14+7+10+11+10+8+15+12)=10.5(天),[(8-10.5)2+(10-10.5)2+(14-10.5)2+(7-10.5)2+(10-10.5)2+(11-10.5)2+(10-10.5)2+(8-10.5)2+(15-10.5)2+(12-10.5)2]=6.05.从交货天数的的平均数来看看,甲供货商的供供货天数短一一些;从方差来看,甲供货商的交交货天数较稳稳定,因此甲供货商商的交货时间间较具有一致致性与可靠性性.【补偿训练】(2013··辽宁高考)为了考察某校校各班参加课课外书法小组组的人数，从从全校随机抽抽取5个班级，把每每个班级参加加该小组的人人数作为样本本数据.已知样本平均均数为7，样本方差为为4，且样本数据据互不相同，，则样本数据据中的最大值值为______.【解题指南】由样本方差得得出五个数的的平方和,再分析各数据据.【解析】设5个班级参加的的人数分别为为x1,x2,x3,x4,x5,则有[(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2+(x5-7)2]=4,即(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2+(x5-7)2=20,①①根据题意知,五个整数的平平方和为20,则必有0+1+1+9+9=20.由|x-7|=3,可得x=10或4,由|x-7|=1可得x=8或6,故参加加的人人数分分别为为4,6,7,8,10.故最大大值为为10.答案:10【拓展类型型】统计图表表与数字字特征的的综合应应用【备选例题题】样本数为为9的四组数数据,他们的平平均数都都是5,条形图如如图所示示,则标准差差最大的的一组是是()A.第一组B.第二组C.第三组D.第四组【解题指南南】可以从频频率条形形图分别别得到四四组样本本数据,计算出标准差差.【解析】选D.第一组中中,样本数据据都为5,数据没有有波动幅幅度,标准差为0;第二组中中,样本数据据为4,4,4,5,5,5,6,6,6,标准差为为第三组中中,样本数据据为3,3,4,4,5,6,6,7,7,标准差为为第四组中中,样本数据据为2,2,2,2,5,8,8,8,8,标准差为为故故标准差最大大的一组组是第四四组.【方法技巧巧】处理统计计图表与与数字的的综合应应用问题题的方法法解决此类类问题,一般有两两种方法法:(1)由图形得得到对应应的样本本数据,计算出平平均数、、方差(标准差).(2)从图形直直观分析析样本数数据的分分布情况况,大致判断平平均数的范范围,并利用数据据的波动性性大小反映映方差(标准差)的大小.此点可称为为方差(标准差)的几何意义义.【变式训练】(2012·安徽高考)甲、乙两人人在一次射射击比赛中中各射靶5次,两人成绩的的条形统计计图如图所所示,则()【解析】选C.甲:4,5,6,7,8,乙:5,5,5,