数学-微积分课件第五章

1基本思路:求解常系数齐次线性微分方程求特征方程(代数方程)之根转化5.7

常系数齐次线性微分方程

21、二阶常系数齐次线性微分方程:和它的导数只差常数因子,代入①得称②为微分方程①的特征方程,(r

为待定常数),①所以令①的解为②其根称为特征根.31）.当②有两个相异实根则微分方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为时,42）.

特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根取u=x,则得因此原方程的通解为53）.当时,

特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解:

利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为6综上，特征方程:实根特征根通解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.7例1.的通解.解:

特征方程特征根:因此原方程的通解为例2.

求解初值问题解:

特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值问题的解为8（2）若特征方程含k

重实根r,则其通解中必含对应项特征方程:2、推广到n阶常系数齐次线性微分方程:（1）若特征方程含单根r,则其通解中必含对应项9（4）若特征方程含k

重复根则其通解中必含对应项（3）若特征方程含一对单复根则其通解中必含对应项10注意：n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各一个任意常数.11例3.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解为例4.解:

特征方程:特征根:原方程通解:(不难看出,原方程有特解12例5.解:特征方程:即其根为方程通解:13例6.解:

特征方程:特征根为则方程通解

:14小结特征根:(1)当时,通解为(2)当时,通解为(3)当时,通解为可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解.15n阶常系数齐次线性方程解法特征方程为特征方程的根通解中的对应项16思考与练习

求方程的通解.答案:通解为通解为通解为175.8常系数非齐次线性微分方程

18二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据

f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.①—待定系数法19为实数,设特解为其中为待定多项式

,代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,则取从而得到特解形式为为m

次多项式.Q(x)为

m次待定系数多项式20(2)若是特征方程的单根,为m

次多项式,故特解形式为(3)若是特征方程的重根,是m

次多项式,故特解形式为即即21综上，对方程①,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程

.当是特征方程的k重根时,可设特解22例.的一个特解.解:

本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为23例.的通解.

解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为24例.求解定解问题解:本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得故故对应齐次方程通解为原方程通解为由初始条件得25于是所求解为解得26第二步求出如下两个方程的特解分析思路:第一步将f(x)转化为第三步利用叠加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特点27第一步利用欧拉公式将f(x)变形28

第二步

求如下两方程的特解

是特征方程的

k

重根(

k=0,1),故等式两边取共轭:为方程③的特解.②③设则②有特解:29第三步

求原方程的特解

利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解:原方程

均为

m

次多项式.30第四步分析因均为

m

次实多项式.本质上为实函数,31综上:对非齐次方程则可设特解:其中为特征方程的

k

重根(k=0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.32例.

的一个特解

.解:本题特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数,得于是求得一个特解33例.

的通解.

解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为34例.解:(1)特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2)特征方程有根利用叠加原理,可设非齐次方程特解为设出下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:35内容小结为特征方程的k(＝0,1,2)重根,则设特解为为特征方程的k(＝0,1)重根,则设特解为3.上述结论也可推广到高阶方程的情形.36思考与练习时可设特解为时可设特解为提示:1.(填空)

设372.已知二阶常微分方程有特解求微分方程的通解.解:

将特解代入方程得恒等式比较系数得故原方程为对应齐次方程通解:原方程通解为38解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程.的方程(其中形如叫欧拉方程.为常数)特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同．*三、欧拉方程39作变量变换将自变量换为40用表示对自变量求导的运算上述结果可以写为41将上式代入欧拉方程，则化为以为自变量的常系数线性微分方程.求出这个方程的解后，把换为，即得到原方程的解.一般地，例求欧