2020届高考数学：解三角形常见题型及技巧-学案

精选优质文档-----倾情为你奉上精选优质文档-----倾情为你奉上专心---专注---专业专心---专注---专业精选优质文档-----倾情为你奉上专心---专注---专业高考解三角形常见题型及技巧【基础知识】1．正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R其中2R为△ABC外接圆直径。变式1：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC。变式2：，，变式3：a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC。2．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。（边换角后）sin2A＝sin2B＋sin2C－2sinBsinCcosA。变式1：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)。变式2：a2＝（b＋c）2－2bc（1+cosA）（题目已知b＋c，bc或可求时常用）3．解三角形（知道三个元素，且含有边）(1)已知三边a，b，c或两边a，b及夹角C都用余弦定理(2)已知两边a，b及一边对角A,一般先用正弦定理，求sinB，sinB＝eq\f(bsinA,a)。(3)已知一边a及两角A，B(或B，C)用正弦定理(已知两角，第三角就可以求）。4．三角形常用面积公式(1)S＝eq\f(1,2)a·h。(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(abc,4R)。(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)。5.在△ABC中，常有以下结论：1．∠A＋∠B＋∠C＝π。2．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。3．sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2)。4.大边对大角，大角对大边（若A不是最大角，则A一定是锐角）5.中线定理、角平分线定理【解题技巧】1、题目中给出等式时：先观察是否存在边的齐次、角正弦的齐次，然后进行边、角互化如“”可转化为“”等（也可角化边），如“”不可转化为“”.等式中同时出现A,B,C三个角时，一定是会把一个角化掉（或另两个角合并成一个角），用另外两角代替，再展开，例：sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，则把B化掉，sin(A＋C)＋sinAsinC－sinAcosC＝0，展开后sinC(sinA＋cosA)＝0，sinA＋cosA＝0，所以tanA＝－1，题目中出现化简时，①出现同角正余弦相乘、半角，用二倍角公式化简，例如,，②出现sinAcosC＋sinCcosA时，可以合并为sin(A+C)4、求两个角倍数的加减运算的正余弦值时，一般展开计算，把每个角的正余弦算出来，例如：求sin(2A－B)=sin2AcosB－cos2AsinB，然后把算出的B,2A的正余弦值代入，即可求得。5、代换思想①边之比与角之比可以互化，即，注意题目求值时可以互化求值②等式中出现平方项（）或两边乘积（bc）时，一般用余弦定理代换或求解，例：出现+-时，用2bccos替换③当等式中出现同角的正余弦且求其中一个值时，考虑平方，然后用平方和等于1代换调，用解方程的方法解出。例，两边平方，整理得，解得，6、第三边上一点与顶点连线，经常用到以这个点为顶点的角的正弦值相等，余弦值相反列等式。7、面积、范围问题：①建立如“”之间的等量关系与不等关系，可以通过均值不等式、三角函数有界性求出，②全部转化为角的关系，建立函数关系式，如，从而求出范围。【例题讲解】【例1】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sineq\f(B,2)－coseq\f(B,2)＝eq\f(1,4)。(1)求cosB的值；(2)若b2－a2＝eq\f(\r(31),4)ac，求eq\f(sinC,sinA)的值。解析：（1）出现半角，想到用倍角公式，所以需要平方（2）出现平方运算，且有ac，想到用余弦定理。求角之比=求边之比【解】将sineq\f(B,2)－coseq\f(B,2)＝eq\f(1,4)两边同时平方得，1－sinB＝eq\f(1,16)，得sinB＝eq\f(15,16)，故cosB＝±eq\f(\r(31),16)，又sineq\f(B,2)－coseq\f(B,2)＝eq\f(1,4)>0，所以sineq\f(B,2)>coseq\f(B,2)，所以eq\f(B,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，所以B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，故cosB＝－eq\f(\r(31),16)。(2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋eq\f(\r(31),4)ac，所以eq\f(\r(31),4)a＝c－2acosB＝c＋eq\f(\r(31),8)a，所以c＝eq\f(\r(31),8)a，故eq\f(sinC,sinA)＝eq\f(\r(31),8)。【例2】（2018新课标全国Ⅱ理科）在中，，，，则A． B．C． D．【解析】出现半角用倍角公式，求出cosC,然后知道两边一角，余弦定理因为cos所以AB2【答案】A【例3】（2019新课标全国Ⅲ理科）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围。【解析】（1）首先边齐次进行代换，然后化简（2）已知一个角和一条边，求面积取值范围，把面积化为关于角的一个式子求出。【例4】（2017新课标全国Ⅰ理科）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为.（1）求sinBsinC;（2）若6cosBcosC=1，a=3，求的周长.【解析】（1）由题设得，即.由正弦定理得.故.（2）由题设及（1）得，即.所以，故.由题设得，即.由余弦定理得，即，得.故的周长为.【答案】（1）；（2）.【例5】（2017新课标全国Ⅱ理科）的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，的面积为，求．【解析】（1）同时出现三个角时，都会用到进行代换，出现时，用倍角公式代换，（2）已知，可求用变形公式【解】（1）由题设及，可得，故．上式两边平方，整理得，解得(舍去)，．（2）由得，故．又，则．由余弦定理及得：所以．【例6】（2016新课标全国Ⅰ理科）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（I）求C；（II）若的面积为，求的周长．【解析】（1）出现等式，首先观察是否齐次，能否边角互化，等式中边能化角，再化解（2）根据面积求出ab，然后已知c，只需再求a+b【解】（I）由已知及正弦定理得，．故．可得，所以．（II）由已知，．又，所以．由已知及余弦定理得，．故，从而．所以的周长为．练习1．在中，内角的对边分别为，已知，，，则A． B． C． D．或2．已知的内角的对边分别为,且,则A． B． C． D．3．已知是的内角，分别是角的对边.若,（1）求角的大小；（2）若，的面积为，为的中点，求.4．中，角所对的边分别为，且.（1）求角；（2）若为的中点，，求的面积.5．已知中，角所对的边分别为，且的面积，，.（1）求、的值；（2）证明：.答案1．【答案】C【解析】，由余弦定理可得：，由正弦定理可得：，∴为锐角，．2．【答案】C【解析】由题，由正弦定理得，所以即，所以在中.又因为