2022-2023学年广东省中山市成考专升本高等数学一自考测试卷(含答案)

2022-2023学年广东省中山市成考专升本高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(50题)1.设y=e-5x，则dy=（）A.-5e-5xdxB.-e-5xdxC.e-5xdxD.5e-5xdx

2.

3.A.e-1dx

B.-e-1dx

C.(1+e-1)dx

D.(1-e-1)dx

4.下列各式中正确的是（）。

A.

B.

C.

D.

5.设f'(x)在点x0的某邻域内存在，且f(x0)为f(x)的极大值，则等于()．A.A.2B.1C.0D.-2

6.曲线y=x-3在点(1，1)处的切线斜率为()

A.-1B.-2C.-3D.-47.（）A.A.

B.

C.

D.

8.设x=1为y=x3-ax的极小值点，则a等于()．

A.3

B.

C.1

D.1/3

9.

10.下列反常积分收敛的是()。A.∫1+∞xdx

B.∫1+∞x2dx

C.

D.

11.设f(x)在x=2处可导，且f'(2)=2，则等于()．A.A.1/2B.1C.2D.4

12.

13.已知作用在简支梁上的力F与力偶矩M=Fl，不计杆件自重和接触处摩擦，则以下关于固定铰链支座A的约束反力表述正确的是()。

A.图(a)与图(b)相同B.图(b)与图(c)相同C.三者都相同D.三者都不相同14.A.A.sinx+sin2B.-sinx+sin2C.sinxD.-sinx

15.

A.

B.

C.

D.

16.

17.

18.函数y=ex+arctanx在区间[-1，1]上（）

A.单调减少B.单调增加C.无最大值D.无最小值

19.

20.设f(x)为连续函数，则等于()A.A.

B.

C.

D.

21.设f(x)为连续函数，则下列关系式中正确的是()A.A.

B.

C.

D.

22.

A.

B.

C.

D.

23.

24.

25.f(x)在x=0有二阶连续导数，则f(x)在x=0处()。A.取极小值B.取极大值C.不取极值D.以上都不对

26.

27.

28.

29.

30.设y=2x3，则dy=()．

A.2x2dx

B.6x2dx

C.3x2dx

D.x2dx

31.

32.A.A.

B.0

C.

D.1

33.

34.A.A.4πB.3πC.2πD.π35.A.3B.2C.1D.1/2

36.

A.2x+1B.2xy+1C.x2+1D.2xy

37.

38.下列关于动载荷Kd的叙述不正确的一项是()。

A.公式中，△j为冲击无以静载荷方式作用在被冲击物上时，冲击点沿冲击方向的线位移

B.冲击物G突然加到被冲击物上时，K1=2，这时候的冲击力为突加载荷

C.当时，可近似取

D.动荷因数Ka因为由冲击点的静位移求得，因此不适用于整个冲击系统

39.

40.设z=x2+y2，dz=()。

A.2ex2+y2(xdx+ydy)

B.2ex2+y2(zdy+ydx)

C.ex2+y2(xdx+ydy)

D.2ex2+y2(dx2+dy2)

41.辊轴支座(又称滚动支座)属于()。

A.柔索约束B.光滑面约束C.光滑圆柱铰链约束D.连杆约束

42.

43.对于微分方程y"-2y'+y=xex，利用待定系数法求其特解y*时，下列特解设法正确的是（）。A.y*=(Ax+B)ex

B.y*=x(Ax+B)ex

C.y*=Ax3ex

D.y*=x2(Ax+B)ex

44.A.2B.2xC.2yD.2x+2y45.平面π1：x-2y+3x+1=0，π2：2x+y+2=0的位置关系为()A.垂直B.斜交C.平行不重合D.重合

46.

47.函数f(x)=lnz在区间[1，2]上拉格朗日公式中的ε等于()。

A.ln2

B.ln1

C.lne

D.

48.A.A.0

B.

C.

D.∞

49.

50.

二、填空题(20题)51.设f(0)=0，f'(0)存在，则

52.

53.设函数y=y(x)由方程x2y+y2x+2y=1确定，则y'=______．

54.

55.

56.

57.58.

59.设函数f(x)=x-1/x，则f'(x)=________.

60.

=_________．

61.设z=x2+y2-xy，则dz=__________。

62.二元函数z=x2+3xy+y2+2x，则=________。63.设y=5+lnx，则dy=________。64.设z=sin(x2y)，则=________。

65.

66.二元函数z=x2+y2+1的极小值为_______．67.68.函数y=x3-2x+1在区间[1，2]上的最小值为______．

69.

70.三、计算题(20题)71.72.73.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．74.75.求曲线在点(1，3)处的切线方程．76.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

77.

78.证明：79.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

80.求微分方程的通解．81.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．82.

83.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．84.

85.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．

86.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

87.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．

88.

89.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则

90.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

四、解答题(10题)91.设y=sinx/x，求y'。

92.

93.94.

95.

96.

97.

98.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

99.

100.五、高等数学(0题)101.若f(x一1)=x2+3x+5，则f(x+1)=________。

六、解答题(0题)102.

(1)切点A的坐标(a，a2)．

(2)过切点A的切线方程。

参考答案

1.A

2.C

3.D本题考查了函数的微分的知识点。

4.B

5.C本题考查的知识点为极值的必要条件；在一点导数的定义．

由于f(x0)为f(x)的极大值，且f'(x0)存在，由极值的必要条件可知f'(x0)=0．从而

可知应选C．

6.C由导数的几何意义知，若y=f(x)可导，则曲线在点(x0，f(x0))处必定存在切线，且该切线的斜率为f"(x0)。由于y=x-3，y"=-3x-4，y"|x=1=-3，可知曲线y=x-3在点(1，1)处的切线斜率为-3，故选C。

7.C

8.A解析：本题考查的知识点为判定极值的必要条件．

由于y=x3-ax，y'=3x2-a，令y'=0，可得

由于x=1为y的极小值点，因此y'|x=1=0，从而知

故应选A．

9.B

10.DA，∫1+∞xdx==∞发散；

11.B本题考查的知识点为导数在一点处的定义．

可知应选B．

12.C解析：

13.D

14.D

15.D

故选D．

16.B

17.B

18.B因处处成立，于是函数在（-∞，+∞)内都是单调增加的，故在[-1，1]上单调增加.

19.C

20.D本题考查的知识点为定积分的性质；牛-莱公式．

可知应选D．

21.B本题考查的知识点为：若f(x)可积分，则定积分的值为常数；可变上限积分求导公式的运用．

注意到A左端为定积分，定积分存在时，其值一定为常数，常量的导数等于零．因此A不正确．

由可变上限积分求导公式可知B正确．C、D都不正确．

22.C本题考查的知识点为复合函数导数的运算．

由复合函数的导数链式法则知

可知应选C．

23.D

24.C

25.B；又∵分母x→0∴x=0是驻点；；即f""(0)=一1<0，∴f(x)在x=0处取极大值

26.C

27.C

28.C

29.A

30.B由微分基本公式及四则运算法则可求得．也可以利用dy=y′dx求得故选B．

31.A解析：

32.D本题考查的知识点为拉格朗日中值定理的条件与结论．

可知应选D．

33.B解析：

34.A

35.B，可知应选B。

36.B

37.B

38.D

39.B

40.A∵z=ex+y∴z"=ex2+y22x；zy"=ex2+y22y∴dz=ex2+y22xdx+ex2+y22ydy

41.C

42.B

43.D特征方程为r2-2r+1=0，特征根为r=1(二重根)，f(x)=xex，α=1为特征根，因此原方程特解y*=x2(Ax+B)ex，因此选D。

44.A

45.A本题考查的知识点为两平面的位置关系。两平面的关系可由平面的法向量n1，n2间的关系确定。若n1⊥n2，则两平面必定垂直。若n1//n2，则两平面平行，其中当时，两平面平行，但不重合。当时，两平面重合。若n1与n2既不垂直，也不平行，则两平面斜交。由于n1={1，-2，3}，n2={2，1，0)，n1，n2=0，可知，n1⊥n2，因此π1⊥π2，故选A。

46.D

47.D由拉格朗日定理

48.A本题考查的知识点为“有界变量与无穷小量的乘积为无穷小量”的性质．这表明计算时应该注意问题中的所给条件．

49.B

50.A解析：51.f'(0)本题考查的知识点为导数的定义．

由于f(0)=0，f'(0)存在，因此

本题如果改为计算题，其得分率也会下降，因为有些考生常常出现利用洛必达法则求极限而导致运算错误：

因为题设中只给出f'(0)存在，并没有给出，f'(z)(x≠0)存在，也没有给出，f'(x)连续的条件，因此上述运算的两步都错误．

52.

53.

；本题考查的知识点为隐函数的求导．

将x2y+y2x+2y=1两端关于x求导，(2xy+x2y')+(2yy'x+y2)+2y'=0，(x2+2xy+2)y'+(2xy+y2)=0，因此y'=

54.355.(－∞，＋∞)．

本题考查的知识点为求幂级数的收敛区间．

若ρ＝0，则收敛半径R＝＋∞，收敛区间为(－∞，＋∞)．

若ρ＝＋∞，则收敛半径R＝0，级数仅在点x＝0收敛．

56.11解析：57.5．

本题考查的知识点为二元函数的偏导数．

解法1

解法2

58.

59.1+1/x2

60.。

61.(2x-y)dx+(2y-x)dy62.因为z=x2+3xy+y2+2x，

63.64.设u=x2y，则z=sinu，因此=cosu.x2=x2cos(x2y)。

65.y=1/2y=1/2解析：66.1；本题考查的知识点为二元函数的极值．

可知点(0，0)为z的极小值点，极小值为1．

67.68.0本题考查的知识点为连续函数在闭区间上的最小值问题．

通常求解的思路为：

先求出连续函数f(x)在(a，b)内的所有驻点x1,…，xk．

比较f(x1)，f(x2)，…，f(xk)，f(a)，f(b)，其中最大(小)值即为f(x)在[a，b]上的最大(小)值，相应的x即为，(x)在[a，b]上的最大(小)值点．

由y=x3-2x+1，可得

Y'=3x2-2．

令y'=0得y的驻点为，所给驻点皆不在区间(1，2)内，且当x∈(1，2)时有

Y'=3x2-2＞0．

可知y=x3-2x+1在[1，2]上为单调增加函数，最小值点为x=1，最小值为f(1)=0．

注：也可以比较f(1)，f(2)直接得出其中最小者，即为f(x)在[1，2]上的最小值．

本题中常见的错误是，得到驻点和之后，不讨论它们是否在区间(1，2)内．而是错误地比较

从中确定f(x)在[1，2]上的最小值．则会得到错误结论．

69.

70.

71.

72.

73.

74.75.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

76.由二重积分物理意义知

77.

78.

79.

80.81.函数的定义域为

注意

82.由一阶线性微分方程通解公式有

83.

84.

则

85.

列表：

说明

86.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

87.

88.

89.由等价无穷小量的定义可知

90.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

91.

92.

93.

94.

95.

96.

97.98.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0