2022-2023学年广东省韶关市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)

2022-2023学年广东省韶关市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(50题)1.设函数f(x)=COS2x，则f′(x)=()．

A.2sin2x

B.-2sin2x

C.sin2x

D.-sin2x

2.级数(k为非零正常数)()．A.A.条件收敛B.绝对收敛C.收敛性与k有关D.发散

3.若x→x0时，α(x)、β(x)都是无穷小(β(x)≠0)，则x→x0时，α(x)/β(x)A.A.为无穷小B.为无穷大C.不存在，也不是无穷大D.为不定型

4.设函数f(x)=2sinx，则f'(x)等于()．A.A.2sinxB.2cosxC.-2sinxD.-2cosx．

5.

6.当x→0时，2x+x2是x的A.A.等价无穷小B.较低阶无穷小C.较高阶无穷小D.同阶但不等价的无穷小7.A.2B.1C.1/2D.-2

8.

9.

10.

11.

12.

A.必定存在且值为0B.必定存在且值可能为0C.必定存在且值一定不为0D.可能不存在

13.

14.

15.

16.

17.∫sin5xdx等于()．

A.A.

B.

C.

D.

18.

19.

20.函数y=ex+arctanx在区间[-1,1]上

A.单调减少B.单调增加C.无最大值D.无最小值

21.

A.0

B.cos2-cos1

C.sin1-sin2

D.sin2-sin1

22.设f(x)在点x0处取得极值，则()

A.f"(x0)不存在或f"(x0)=0

B.f"(x0)必定不存在

C.f"(x0)必定存在且f"(x0)=0

D.f"(x0)必定存在，不一定为零

23.

A.1

B.

C.0

D.

24.

25.下列关系正确的是()。A.

B.

C.

D.

26.微分方程y''-2y'=x的特解应设为

A.AxB.Ax+BC.Ax2+BxD.Ax2+Bx+c27.设f(x)在点x0的某邻域内有定义，且，则f'(x0)等于()．A.-1B.-1/2C.1/2D.1

28.

29.设y=x2-e2，则y=

A.2x-2e

B.2x-e2

C.2x-e

D.2x

30.当α＜x＜b时，f'(x)＜0，f'(x)＞0。则在区间(α，b)内曲线段y=f(x)的图形A.A.沿x轴正向下降且为凹B.沿x轴正向下降且为凸C.沿x轴正向上升且为凹D.沿x轴正向上升且为凸31.设k＞0，则级数为()．A.A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.收敛性与k有关32.A.A.0B.1/2C.1D.233.若∫f(x)dx=F(x)+C，则∫f(2x)dx等于()．A.A.2F(2x)+CB.F(2x)+CC.F(x)+CD.F(2x)/2+C34.A.3B.2C.1D.1/2

35.设Y=e-3x，则dy等于()．

A.e-3xdx

B.-e-3xdx

C.-3e-3xdx

D.3e-3xdx

36.在稳定性计算中，若用欧拉公式算得压杆的临界压力为Fcr，而实际上压杆属于中柔度压杆，则()。

A.并不影响压杆的临界压力值

B.实际的临界压力大于Fcr，是偏于安全的

C.实际的临界压力小于Fcr，是偏于不安全的

D.实际的临界压力大于Fcr，是偏于不安全的

37.

38.

39.已知y=ksin2x的一个原函数为y=cos2x，则k等于()。A.2B.1C.-1D.-240.设z=ysinx，则等于()．A.A.-cosxB.-ycosxC.cosxD.ycosx41.等于()．A.A.0

B.

C.

D.∞

42.

43.设y=cos4x，则dy=（）。A.4sin4xdxB.-4sin4xdxC.(1/4)sin4xdxD.-(1/4)sin4xdx

44.

45.点M(4，-3，5)到Ox轴的距离d=()A.A.

B.

C.

D.

46.

47.方程x2+y2-z=0表示的二次曲面是

A.椭圆面B.圆锥面C.旋转抛物面D.柱面48.A.A.arctanx2

B.2xarctanx

C.2xarctanx2

D.

49.下列函数在指定区间上满足罗尔中值定理条件的是

A.

B.f(x)=(x-4)2，x∈[-2，4]

C.

D.f(x)=｜x｜，x∈[-1，1]

50.

二、填空题(20题)51.

52.函数f(x)=ex，g(x)=sinx，则f[g(x)]=__________。53.54.

55.设y=lnx，则y'=_________。

56.

57.

58.

59.

60.

61.曲线y=2x2-x+1在点(1，2)处的切线方程为__________。

62.

63.

64.65.级数的收敛区间为______．

66.设f(x)=e5x，则f(x)的n阶导数f(n)(x)=__________．

67.

68.微分方程y'+9y=0的通解为______．69.设y=sinx2，则dy=______．

70.

三、计算题(20题)71.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．72.73.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．74.求微分方程的通解．75.76.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．77.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则78.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．79.求曲线在点(1，3)处的切线方程．80.

81.82.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．

83.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

84.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

85.

86.

87.证明：88.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

89.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．90.

四、解答题(10题)91.

92.求由曲线y2=(x-1)3和直线x=2所围成的图形绕x轴旋转所得的旋转体的体积.

93.94.设y=x2+sinx，求y'．

95.

96.

97.求z=x2+y2在条件x+y=1下的条件极值．

98.

99.

100.计算二重积分

，其中D是由直线

及y=1围

成的平面区域．五、高等数学(0题)101.若

，则

六、解答题(0题)102.

参考答案

1.B由复合函数求导法则，可得

故选B．

2.A

3.D

4.B本题考查的知识点为导数的运算．

f(x)=2sinx，

f'(x)=2(sinx)'=2cosx，

可知应选B．

5.A

6.D

7.A本题考查了等价无穷小的代换的知识点。

8.B

9.B解析：

10.C解析：

11.D

12.B

13.B

14.C

15.D

16.D

17.A本题考查的知识点为不定积分的换元积分法．

，可知应选D．

18.C

19.B解析：

20.B本题考查了函数的单调性的知识点，

因y'=ex+1/（1+x2）＞0处处成立,于是函数在(-∞,+∞)内都是单调增加的，故在[-1,1]上单调增加。

21.A由于定积分

存在，它表示一个确定的数值，其导数为零，因此选A．

22.A若点x0为f(x)的极值点，可能为两种情形之一：(1)若f(x)在点x0处可导，由极值的必要条件可知f"(x0)=0；(2)如f(x)=|x|在点x=0处取得极小值，但f(x)=|x|在点x=0处不可导，这表明在极值点处，函数可能不可导。故选A。

23.B

24.B

25.B由不定积分的性质可知，故选B．

26.C本题考查了二阶常系数微分方程的特解的知识点。

因f(x)=x为一次函数,且特征方程为r2-2r=0,得特征根为r1=0,r2=2.于是特解应设为y*=(Ax+B)x=Ax2+Bx.

27.B由导数的定义可知

可知，故应选B。

28.D

29.D

30.A由于在(α，b)内f'(x)＜0，可知f(x)单调减少。由于f"(x)＞0，

可知曲线y=f'(x)在(α，b)内为凹，因此选A。

31.A本题考查的知识点为级数的绝对收敛与条件收敛．

由于为莱布尼茨级数，为条件收敛．而为莱布尼茨级数乘以数-k，可知应选A．

32.C本题考查的知识点为函数连续性的概念．

33.D本题考查的知识点为不定积分的第一换元积分法(凑微分法)．

由题设知∫f(x)dx=F(x)+C，因此

可知应选D．

34.B，可知应选B。

35.C

36.B

37.D

38.B

39.D本题考查的知识点为可变限积分求导。由原函数的定义可知(cos2x)'=ksin2x，而(cos2x)'=(-sin2x)·2，可知k=-2。

40.C本题考查的知识点为高阶偏导数．

由于z=ysinx，因此

可知应选C．

41.A

42.A

43.B

44.C

45.B

46.C

47.C

48.C

49.C

50.D

51.11解析：52.由f(x)=exg(x)=sinx；∴f[g(x)]=f[sinx]=esinx

53.

54.

55.1/x

56.

57.2x-4y+8z-7=0

58.

解析：

59.

60.

61.y-2=3(x-1)(或写为y=3x-1)y-2=3(x-1)(或写为y=3x-1)

62.2

63.

64.

65.(-1，1)本题考查的知识点为求幂级数的收敛区间．

所给级数为不缺项情形．

可知收敛半径，因此收敛区间为

(-1，1)．

注：《纲》中指出，收敛区间为(-R，R)，不包括端点．

本题一些考生填1，这是误将收敛区间看作收敛半径，多数是由于考试时过于紧张而导致的错误．

66.

67.

解析：本题考查的知识点为不定积分的凑微分法．

68.y=Ce-9x本题考查的知识点为求解可分离变量微分方程．

分离变量

两端分别积分

lny=-9x+C1，y=Ce-9x．69.2xcosx2dx本题考查的知识点为一元函数的微分．

由于y=sinx2，y'=cosx2·(x2)'=2xcosx2，故dy=y'dx=2xcosx2dx．

70.

71.

72.

73.函数的定义域为

注意

74.

75.

76.

77.由等价无穷小量的定义可知

78.

列表：

说明

79.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

80.

则

81.

82.由二重积分物理意义知

83.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

84.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

85.

86.

87.

88.

89.90.由一阶线性微分方程通解公式有

91.

92.

注：本题关键是确定积分区间，曲线为y2=(x-1)3.由y2≥0知x-1≥0即x≥1，又与直线x=2所围成的图形，所以积分区间为[1，2].

93.94.由导数的四则运算法则可知y'=(x+sinx)'=x'+(sinx)'=1+cosx．

95.

96.97.构造拉格朗日函数

可解得唯一组解x=1/2,y=1/2.所给问题可以解释为在直线x+y=1上求到原点的距离平方最大或最小的点．由于实际上只能存在距离平方的最小值，不存在最大值，因此(1/2,1/2)为所给问题的极小值点．极小值为

本题考查的知识点为二元函数的条件极值．

通常的求解方法是引入拉格朗日函数，当求出可能极值点之后，往往利用所给问题的实际意义或几何意义判定其是否为极值点．

98.

99.