2010-第4章-图像的几何变换

第四章图像几何变换1图像的位置变换2图像的形状变换34图像错切几何变换基础5三维图像的投影变换第一页，编辑于星期一：八点三十七分。1几何变换基础—一些概念一些概念1图像的几何变换：是指用数学建模的方法来描述图像的位置，大小，形状等变换的方法，是通过数学建模实现对数字图像进行几何变换处理。2几何变换内容：图像的空间平移、比例缩放、旋转、仿射变换和图像插值。3几何变换实质：改变像素的空间位置或估算新空间位置上的像素值。第二页，编辑于星期一：八点三十七分。说明：

[u,v]为变换后图像像素的笛卡尔坐标，[x,y]为原始图像中像素的笛卡尔坐标。这样就得到了原始图像与变换后图像的像素的对应关系。如果,则有，即变换后图像仅是原图像简单拷贝。注意，几何变换不改变像素值，而是改变像素所在的位置。这说明像素的亮度和色彩并不变化，仅仅是像素位置发生改变。1几何变换基础—一些概念4图像几何变换的一般表达式：第三页，编辑于星期一：八点三十七分。1几何变换基础—齐次坐标为什么引入齐次坐标？

在对图像进行操作时候，经常要对图像连续做几次变换。例如做了平移后再做旋转，做放缩等等。因为旋转，放缩等都是线性变换，都可用矩阵表示，这样旋转和放缩就可合并成：

但是平移变换不能写成矩阵形式，也就不能合并到上式中，因为在直角坐标系中，它不是线性变换。因此引入齐次坐标。齐次坐标表示图像的几何变换十分方便。第四页，编辑于星期一：八点三十七分。1几何变换基础—齐次坐标齐次坐标表示所谓齐次坐标表示法就是用N+1维向量表示N维向量。线性代数

如把平面上的点P=[x,y］放到空间去表示为[XYH]，使得x＝X/H，y＝Y/H则称［XYH」是点P的齐次坐标。如规定齐次坐标的第三个分量H必须是1，则称为规范齐次坐标。P=[X,Y」的规范齐次坐标是[xy1]。显然，二维空间中描述的点与齐次坐标空间描述的点是一对多的关系。第五页，编辑于星期一：八点三十七分。1几何变换基础—齐次坐标二维齐次坐标的一般表示形式为[hX,hY,h]。当h=1时，二维坐标点的齐次坐标为[x,y,1]；当h=2时，二维坐标点的齐次坐标为[2x,2y,2]。例如，[2，3，1]、[2，6，2]、[6，9，3]都表示二维空间的点[2，3]。所以，只有当h=1时，二维点的齐次坐标中的x、y数值才与二维坐标中点的位置矢量的x、y值相等。若已知一个其次坐标形式为[hX,hY,h]，则位置矢量

x=hX/h,y=hY/h第六页，编辑于星期一：八点三十七分。1几何变换基础—齐次坐标规范齐次坐标的几何意义相当于点(x,y)落在3D空间H＝1的平面上，如果将XOY平面内的三角形abc的各顶点表示成齐次坐标(xi,yi,1)(i=1,2,3)的形式，就变成H＝1平面内的三角形a1b1c1的各顶点。zxyOabca1b1c1H＝1第七页，编辑于星期一：八点三十七分。1几何变换基础—齐次坐标实现恒等、比例、反射、错切、旋转变换。实现平移变换实现透视变换实现全比例变换第八页，编辑于星期一：八点三十七分。1几何变换基础—齐次坐标由虚线分成四个部分，各部分的功能如下：（1）

abcd

实现图形的比例变换、对称变换、旋转变换和错切变换；（2）[l,m]实现平移变换，l和m分别为x、y方向的平移量，有正、负值之分；（3）[s]使图形产生等比例的变换。s>1，图形缩小；s=1，图形不变；0<s<1，图形放大（4）

pq

作用在透视变换第九页，编辑于星期一：八点三十七分。2图像的位置变换—图像平移平移原理：在图像平移是将一幅图像中所有的点都按照指定的平移量在水平、垂直方向移动，平移后的图像与原图像相同。Tx＝2,Ty＝1第十页，编辑于星期一：八点三十七分。2图像的位置变换—图像平移平移的齐次坐标公式：变换前后图像上的点P0(x0,y0)和P(x1,y1)之间的关系可以用如下的矩阵变换表示为：平移的直角坐标公式：图像的平移非常简单，所用到的是中学学过的直角坐标系的平移变换公式：

第十一页，编辑于星期一：八点三十七分。2图像的位置变换—图像平移平移的逆变换：对变换矩阵求逆，可以得到逆变换

平移后的图像上的每一点都可以在原图像中找到对应的点。直角坐标公式：齐次坐标公式：第十二页，编辑于星期一：八点三十七分。2图像的位置变换—图像平移图像的平移示意图第十三页，编辑于星期一：八点三十七分。2图像的位置变换—图像平移平移的两种处理：其一，平移后，图像被丢失一部分。其二，平移后，图像不丢失，就必须扩大存放已被处理后的图像的矩阵。这种处理称为画布扩大。这种处理，文件大小要改变。设原图的宽和高分别是w1,h1则新图的宽和高变为w1+|tx|和h1+|ty|，加绝对值符号是因为tx、ty有可能为负(即向左，向上移动)。下移1行，右移2列第十四页，编辑于星期一：八点三十七分。2图像的位置变换—图像平移移动前的图移动后的图移动后图象被放大第十五页，编辑于星期一：八点三十七分。2图像的位置变换—图像平移流程设计：(1)取得原图的数据区指针。(2)设定偏移量tx,ty。(3)开辟一个同样大小的缓冲区。(4)对原图依次循环每个像素，每读入一个像素点(x0,y0)，根据它的坐标,找到目标图像的位置（x1=x0-tx,y1=y0-ty），将像素（x0,y0）处的颜色值赋给新图中的（x1,y1）。第十六页，编辑于星期一：八点三十七分。2图像的位置变换—图像平移第十七页，编辑于星期一：八点三十七分。2图像的位置变换—图像镜像镜像分为水平镜像和垂直镜像。镜像原理：水平镜像：以图像的垂直中轴线为中心交换图像的左右两部分。垂直镜像：以图像的水平中轴线为中心交换图像的上下两部分。2.2图像的镜像第十八页，编辑于星期一：八点三十七分。2图像的位置变换—图像镜像水平镜像垂直镜像第十九页，编辑于星期一：八点三十七分。2图像的位置变换—图像镜像水平镜像设图像高度为Height，宽度为Width，原图中的(x0,y0)经过水平镜像后，坐标将变成（Width-x0,y0）。数学表达式

矩阵表达式

x1=Width-x0y1=y0第二十页，编辑于星期一：八点三十七分。2图像的位置变换—图像镜像水平镜像

逆运算表达式逆矩阵表达式第二十一页，编辑于星期一：八点三十七分。2图像的位置变换—图像镜像垂直镜像

点（x0,y0）经过垂直镜像后，坐标将变成为（x0,Height-y0）

数学表达式矩阵表达式

x1=x0y1=Height-y0第二十二页，编辑于星期一：八点三十七分。2图像的位置变换—图像镜像垂直镜象的逆运算：数学表达式矩阵表达式第二十三页，编辑于星期一：八点三十七分。2图像的位置变换—图像镜像流程设计：(1)取得原图的数据区指针。(2)开辟一个同样大小的缓冲区。放新图数据(3)每个像素依次循环。在水平镜像中，将原图中的像素点的水平坐标变成镜像后的坐标(用图像的宽度减去坐标值)再显示到图像上。

垂直镜像中，则对垂直坐标做相应的处理。第二十四页，编辑于星期一：八点三十七分。2图像的位置变换—图像镜像水平镜像源码第二十五页，编辑于星期一：八点三十七分。2图像的位置变换—图像镜像垂直镜像源码第二十六页，编辑于星期一：八点三十七分。2图像的位置变换—图像镜像水平镜像垂直镜像第二十七页，编辑于星期一：八点三十七分。2.3.1图像的旋转理论基础图像的旋转是指以图像中的某一点为原点以逆时针或顺时针的方向旋转一定的角度。2图像的位置变换—旋转注意图像的旋转必须指明图像绕着什么旋转。一般以图像的中心为原点，旋转一定的角度。旋转后，图像的大小一般会改变。143221342134第二十八页，编辑于星期一：八点三十七分。2图像的位置变换—旋转图像的旋转变换也可以用矩阵变换表示。设点P0(x0,y0)旋转角后的对应点为P(x,y)。yOxP0（x0,y0）P(x,y)aqrr旋转前：x0=rCosθy0=rSinθ旋转后：

x=rCos(θ–a

)=rCosθCosa+rSinθSina=x0Cosa+y0Sinay=rSin(θ–a)=rSinθCosa–rCosθSina=-x0Sina+y0Cosa第二十九页，编辑于星期一：八点三十七分。这个计算公式计算出的值为小数，而坐标值为正整数。这个计算公式计算的结果值所在范围与原来的值所在的范围不同。因此需要前期处理：扩大画布，取整处理（解决小数问题），平移处理（解决负数问题）注意是逆时针转角直角坐标系的图像旋转旋转公式：将输入图像绕笛卡尔坐标系的原点逆时针旋转角度，则变换后图像的坐标为：2图像的位置变换—旋转第三十页，编辑于星期一：八点三十七分。2图像的位置变换—旋转上式写成齐次坐标为：

其中，θ角度由正负之分，即点P在XY平面的内绕原点逆时针旋转所形成的角度为正，反之为负。第三十一页，编辑于星期一：八点三十七分。2图像的位置变换—旋转结论：按照图像旋转计算公式获得的结果与想象中的差异很大。图像旋转处理的隐含问题第三十二页，编辑于星期一：八点三十七分。2图像的位置变换—旋转图像旋转之后，出现了两个问题：1）像素的排列不是完全按照原有的相邻关系。这是因为相邻像素之间只能有8个方向，如下图所示。2）会出现许多的空洞点。下面，我们通过一个实际例子，来看这两个问题带来的图像画面效果上的问题。

图像旋转的后处理第三十三页，编辑于星期一：八点三十七分。图像旋转的后处理图像旋转出现的两个问题的本质都是因为像素值的填充是不连续的。因此可以采用插值填充的方法来解决。

第三十四页，编辑于星期一：八点三十七分。图像旋转的后处理临近插值法和均值插值法：临近插值法，就是将判断为空穴位置上的像素值用其相邻行（或列）的像素值来填充。均值插值法：是将空穴像素周围像素值的均值填充。第三十五页，编辑于星期一：八点三十七分。2图像的位置变换—旋转图像旋转示例第三十六页，编辑于星期一：八点三十七分。2图像的位置变换—旋转极坐标旋转和反变换旋转主要了解反变换旋转反变换方法，就是从新图像的像素点坐标反过来求所对应的原图像像素点的坐标。步骤：先确定画布大小确定新图像坐标计算出对应的原图像坐标。这样就把原图像坐标对应到新图像中了。第三十七页，编辑于星期一：八点三十七分。2图像的位置变换—旋转反坐标变换示例原图3×3图像f11f12f13f21f22f23f31f32f33第一步，确定原图旋转后的画布大小，这点我们可从坐标旋转公式计算得到。X’[-1,2],y’[1,4].因此，变换后的画布大小是4×4第二步，新图像的坐标为：x’=-1-1-1-1y’=1234000012341111123422221234第三十八页，编辑于星期一：八点三十七分。2图像的位置变换—旋转第三步，根据反变换公式，得到其对应的原图像F的行，列坐标分布分别为x=0011y=1234111212331223012323340122新图像中像素（0，2）对应的原图像中像素（1，2）.因为把像素（0，2）代入反变换公式得到：x=2*sin30=1y=1.732=2因此对应的原图像中像素（1，2）第三十九页，编辑于星期一：八点三十七分。2图像的位置变换—旋转第四步，旋转后新图像为G=00f130f11f12f13f230f21f22f330f31f320可以看出，新图像G（0.2）像素点放的是原图像F（1，2）像素点总结，可以看出反变换法没有空穴，因此不需要后续的插值处理。第四十页，编辑于星期一：八点三十七分。3图像的形状变换

所谓图像的形状变换是指图像的形状发生了变化，包括：1.平面上的变换（比例变换），即放大、缩小等。2.投影变换，即三维物体投影到平面时所产生的形状变化。第四十一页，编辑于星期一：八点三十七分。3图像的形状变换对于比例变换（放缩），则是给定P点相对于坐标原点沿X方向的比例系数Sx和沿Y方向的比例系数Sy，经变换后，则有：

xi’=Sx.xi

yi’=Sy.yi当Sx=Sy<1时，图形缩小；当Sx=Sy=1时，图形不变；当Sx=Sy>1时，图形放大；当Sx≠Sy

时，图形发生畸变；一般不考虑此情形第四十二页，编辑于星期一：八点三十七分。3图像的形状变换Sx=Sy<1Sx=Sy>1yx比例变换图Sx=Sy=1注意图形放大或缩小时，图形位置都发生了变化。第四十三页，编辑于星期一：八点三十七分。3图像的形状变换比例变换在变换矩阵T中，取Sx，Sy，它们分别表示点P(x,y)沿X和Y方向相对原点的比例变换系数，比例变换矩阵T为：

T=Sx000Sy0001

则比例变换矩阵形式表示为：P’=P•T=[xy1]Sx000Sy0=[xSxySy1]001第四十四页，编辑于星期一：八点三十七分。3图像的形状变换比例变换矩阵的另一种形式是：T=10001000s（式1）比例变换可表示为：

P’=P•T=[xy1]100

010=[xys]00s规范化后得到：说明：式1是一个等比例变换，s是比例变换系数。当s>1时，图形缩小；当s=1时，图形大小不变；当s<1时，图形放大；第四十五页，编辑于星期一：八点三十七分。3图像的形状变换—图像缩小分为按比例缩小和不按比例缩小两种。图像缩小之后，因为承载的信息量小了，所以画布可相应缩小。(a)按比例缩小(b)不按比例缩小图像的缩小第四十六页，编辑于星期一：八点三十七分。3图像的形状变换—图像缩小图像缩小实际上就是对原有的多个数据进行挑选或处理，获得期望缩小尺寸的数据，并且尽量保持原有的特征不丢失。最简单的方法就是等间隔地选取数据。

图像缩小的实现方法第四十七页，编辑于星期一：八点三十七分。3图像的形状变换—图像缩小设原图像大小为M*N,缩小为k1M*k2N，（k1<1，k2<1）。算法步骤如下：1）设旧图像是F(i,j)，i=1,2,…,M,j=1,2,…,N.

新图像是I(x,y),x=1,2,…,k1M,y=1,2,…,k2N.2）I(x,y)=F(c1*i,c2*j)c1=1/k1c2=1/k2c1,c2就是采样间隔第四十八页，编辑于星期一：八点三十七分。3图像的形状变换—图像缩小K1=3/5,k2=3/412345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353679101112131516171825272829303133343536原图像是6×6，并且，k1=3/5,k2=3/4，则新图像是6×0.6=4，6×0.75=5。即新图像是4×5。123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536c1=5/3,c2=4/3第四十九页，编辑于星期一：八点三十七分。3图像的形状变换—图像缩小原图F=f11f12f13f14f15f16新图I=I11I12I13I14I15f21f22f23f24f25f26I21I22I23I24I25f31f32f33f34f35f36I31I32I33I34I35f41f42f43f44f45f46I41I42I43I44I45f51f52f53f54f55f56f61f62f63f64f65f66根据I(x,y)=F(c1*i,c2*j)。I（2,3）=F(5/3*2,4/3*3)=F(3,4)=16。所以，可知i=[1,6],j=[1,6],x=[1,4],y=[1,5].x=[i2,i3,i5,i6],y=[j1,j3,j4,j5,j6].79101112131516171825272829303133343536第五十页，编辑于星期一：八点三十七分。3图像的形状变换—图像放大图像放大从字面上看，是图像缩小的逆操作，但是，从信息处理的角度来看，则难易程度完全不一样。图像缩小是从多个信息中选出所需要的信息，而图像放大则是需要对多出的空位填入适当的值，是信息的估计。第五十一页，编辑于星期一：八点三十七分。3图像的形状变换—图像放大放大原理：如果需要将原图像放大k倍，则将原图像中的每个像素值，填在新图像中对应的k*k大小的子块中。放大5倍显然，当k为整数时，可以采用这种简单的方法。第五十二页，编辑于星期一：八点三十七分。3图像的形状变换—图像放大设原图像大小为M*N,放大为k1M*k2N，（k1>1，k2>1）。算法步骤如下：1）设旧图像是F(i,j)，i=1,2,…,M,j=1,2,…,N.

新图像是I(x,y),x=1,2,…,k1M,y=1,2,…,k2N.2）I(x,y)=F(c1*i,c2*j)

c1=1/k1c2=1/k2第五十三页，编辑于星期一：八点三十七分。3图像的形状变换—图像放大K1=1.5,k2=1.2123334566645666i=[1,2],j=[1,3].x=[1,3],y=[1,4].x=[i1,i2,i2],y=[j1,j2,j3,j3,j3].123456注意：不按比例放大会导致几何畸变。122334556645566c1=2/3,c2=5/6第五十四页，编辑于星期一：八点三十七分。3图像的形状变换—图像放大(1)取得原图的数据区指针。(2)通过对话框获得放大整数比例：kx,ky。更改图象的宽度和高度。(3)每个像素依次循环。计算该象素在原图象中的坐标，将原图的象素值赋给目标象素相应位置kx*ky个值。第五十五页，编辑于星期一：八点三十七分。双线性插值

假设有一副大小为64x64的灰度图像A，现在将图像放大到256x256，不妨令其为图像B，如下图所示。显然，根据简单的几何换算关系，可以知道B图像中(x,y)处的像素值应该对应着A图像中的(x/4,y/4)处的象素值，即

B(x,y)=A(x/4,y/4)（式1）1问题的提出，为什么进行插值？第五十六页，编辑于星期一：八点三十七分。双线性插值我们可以看出，对于B中的(4,4),(4,8),(4,16)…(256,256)这些位置，通过式1就可以计算出其在A中的位置，从而可以得到灰度值。但是，对于B中的(1,1),(1,2),(1,3)…等等这些坐标点而言，如果按照式1计算的话，那么它们在A中对应的坐标不再是整数。比如，对于B中的坐标点(1,1)，其在A中的对应坐标就变成了(0.25,0.25)。对于数字图像而言，小数坐标是没有意义的。因此，必须考虑采用某种方法来得到B中像素点在A中对应位置上的灰度级。为此，引入了插值第五十七页，编辑于星期一：八点三十七分。双线性插值2问题的解决（插值的引入）

处理这一问题的方法被称为图像灰度级插值。常用的插值方式有三种：最近邻域插值、双线性插值、双三次插值。我们现在了解双线性插值。理论上来讲，最近邻域插值的效果最差，双三次插值的效果最好，双线性插值的效果介于两者之间。第五十八页，编辑于星期一：八点三十七分。双线性插值原理3双线性插值的原理：

双线性插值的原理如下图所示。第五十九页，编辑于星期一：八点三十七分。双线性插值原理说明：

首先，根据几何关系，从B图像中的坐标(x,y)得到A图像中的坐标(x/4,y/4)，但是，映射得到的这个坐标(x/4,y/4)并没有刚好位于A图像中的整数坐标上，而是映射到了四个像素坐标(a,b)、(a+1,b)、(a,b+1)、(a+1,b+1)所围成的矩形之间，其中，a、b是A图像的整数坐标。现在的问题就是如何根据A(a,b)、A(a+1,b)、A(a,b+1)、A(a+1,b+1)这四个点上的灰度级求出A(x/4,y/4)处的灰度级。

双线性插值技术采用的方法是：假设A图像的灰度级变化在纵向方向上是线性变化的，这样根据直线方程或者几何比例关系就能够求得(a,y/4)和(a+1,y/4)坐标处的灰度级A(a,y/4)和A(a+1,y/4)。然后，再假设在((a,y/4),A(a,y/4))和(a+1,y/4),A(a+1,y/4))这两点所确定的直线上，灰度级仍然是线性变化的。求出直线方程，于是就可以求得(x/4,y/4)处的灰度级A(x/4,y/4)。这就是双线性插值的基本思路。

其中用到的两个基本假设是：首先灰度级在纵向方向上是线性变化的，然后假定灰度级在横向方向上也是线性变化的。

第六十页，编辑于星期一：八点三十七分。4图像错切错切：图像的错切变换实际上是平面景物在投影平面上的非垂直投影效果。错切变换也称为剪切、错位或错移变换。原理：保持图像上各点的某一坐标值不变，而另一坐标值进行线性变换。坐标不变的轴称为依赖轴，变换的轴称为方向轴。第六十一页，编辑于星期一：八点三十七分。4图像错切（1）沿x轴方向关于y的错切(x方向错切)变换矩阵

Ty->x=100c10(式8-2-12)

001点P(x,y)经Ty->x作用后，得到的P’(x’,y’)。

P’=P•Ty->x=[xy1]100c10=[x+cyy1]001

即

x’=x+cyy’=y第六十二页，编辑于星期一：八点三十七分。4图像错切说明变换前和变换后y值坐标保持不变，而x坐标依赖于初始坐标值（x,y）及参数c的值呈线性变化。下图说明了矩形ABCD经Ty->x矩阵错切后变为一个平行四边形，并且c=tgα，如果c>0，则沿+x方向错切；若c<0，则沿-x方向错切。沿x轴方向关于y的错切变换第六十三页，编辑于星期一：八点三十七分。4图像错切（2）沿y轴方向关于x的错切（y方向错切）

变换矩阵

Tx->y=1b0010

001点P(x,y)经Tx->y作用后，得到的P’(x’,y’)。P’=P•

Tx->y=[xy1]

1b0