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文档简介

§4.3泰勒级数一、泰勒(Taylor)定理二、将函数展开为泰勒级数的方法z0DC一、泰勒(Taylor)定理则当时，有定理设函数在区域

D

内解析，C

为

D

的边界，其中，证明(略)

Rl

为

D

内包围

点的z0的任意一条闭曲线。l(进入证明?)一、泰勒(Taylor)定理注(1)为什么只能在圆域上展开为幂级数，z0RDC而不是在整个解析区域

D

上展开？回答这是由于受到幂级数本身的收敛性质的限制：

幂级数的收敛域必须是圆域。

幂级数一旦收敛，其和函数一定解析。一、泰勒(Taylor)定理注(2)展开式中的系数还可以用下列方法直接给出。方法一一、泰勒(Taylor)定理注(2)展开式中的系数还可以用下列方法直接给出。方法二z0RDCl一、泰勒(Taylor)定理注(3)对于一个给定的函数，用任何方法展开为幂级数，其结果都是一样的，即具有唯一性。将函数在点展开为幂级数。比如方法一

利用已知的结果(§4.2

):方法二

利用泰勒定理

:方法三

利用长除法。(长除法)一、泰勒(Taylor)定理注(4)对于一个给定的函数，能不能在不具体展开为幂级数的情况下，就知道其收敛域？可以知道。函数在点展开为泰勒级数，其收敛半径结论等于从点到的最近一个奇点的距离。(1)幂级数在收敛圆内解析，

因此奇点

不可能理由在收敛圆内；(2)奇点

也不可能在收敛圆外，不然收敛半径还可以扩大，故奇点

只能在收敛圆周上。二、将函数展开为泰勒级数的方法1.直接展开法利用泰勒定理，直接计算展开系数将函数在点展开为幂级数。例解二、将函数展开为泰勒级数的方法1.直接展开法利用泰勒定理，直接计算展开系数同理可得二、将函数展开为泰勒级数的方法2.间接展开法根据唯一性，利用一些已知的展开式，通过有理运算、代换运算、逐项求导、逐项求积等方法展开。两个重要的已知展开式故收敛半径函数有奇点解函数有奇点故收敛半径(1)(2)(1)解将函数分别在点展开为幂级数。例(2)解将函数分别在点展开为幂级数。例(1)解(2)解解将函数在点展开为幂级数。例将函数在点展开为幂级数。例解解将函数在点展开为幂级数。例*泰勒级数的应用举例

——

计算斐波拉契数列的通项1.斐波拉契LeonardoFibonacci，约1170

~

约1240，意大利业余数学家。3.斐波拉契数列2.兔子问题一对(超级)小兔，在它们出生的第三个月开始，每月又可生一对(超级)小兔，问

n

个月后，共可得到多少对兔子？4.计算斐波拉契数列的通项(1)变换z令由有将代入上式并求解得泰勒级数的应用举例

——

计算斐波拉契数列的通项4.计算斐波拉契数列的通项(2)泰勒级数展开其中，泰勒级数的应用举例

——

计算斐波拉契数列的通项DCz0作圆G

，附：泰勒定理的证明RzrGz由柯西积分公式有由有如图以为圆心，为半径z0证明设z为G

内任意一点。附：泰勒定理的证明证明其中，

下面需证明交换次序DCz0zrGz附：泰勒定理的证明证明由

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