复变函数与积分变换第2章

第二章解析函数一.复变函数可导,解析的定义二.复变函数可导，解析的判定三.常见复变函数及相关性质第一节解析函数的概念定义复变函数的可导，进而给出解析函数的定义，并分析二者的联系。1.1复变函数的导数定义1.1存在,第三章，我们将看到，若复变函数在一点的邻域内具有一阶导数，则在该点就有任意阶的导数。

从实质上讲，复变函数在一点可导，要比实变函数在一点可导要求要高的多，复杂的多。对于实变函数不具有这样的性质。注:(1)(2)连续与可导的关系例1．解：(3)导数的运算规则与实变函数的导数计算规则相同.?复变函数的可导问题：例1.2

讨论是否可导?解:根据导数的定义=1=2所以，不存在复平面内处处不可导。复平面内处处不可导。“处处可导”(平面内偏导数存在).(4)1.2解析函数的概念定义1.2:奇点。D注:(1)函数解析与可导之间的关系:针对一个点:针对一个区域:在复平面内处处解析。在复平面内处处可导例．解：所以在整个复平面处处解析．所以在整个复平面处处不解析．函数在复平面上处处不解析例．解：(2)与解析相关的结论:（P16定理1.1，1.2）定理1：在区域D内解析函数的和、差、积、商（除去分母为0的点）在D内解析定理2：设函数．如：任何有理分式函数例：小结1.熟练掌握:复变函数的可导与它所对应一对实变函数可导间的关系。2.熟练掌握：区分复变函数的连续与可导，可导与解析两个概念，奇点的两种情况.函数解析与可导之间的关系:针对一个点:针对一个区域:练习一。判断对错:(错)(错)(错)(错)（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分条件也非必要条件（）二。三。B第二节函数解析的充要条件本节主要讨论:复变函数解析的判定问题.预备知识:二元实变函数的可微（必要条件）充分条件：?复变函数的可导问题：2.1.复变函数可导的条件定理2.1证明：必要性充分性进一步可表示为：推论2.1充分条件：（3）将-定理2.1-推广至区域D在区域

内可导的充要条件:2.2函数解析的充要条件定理2.2推论2.2若可导的点构成一个区域,若可导的点只是一个点或不构成区域,（计算步骤）例1．判定下列函数在何处可导，在何处解析？

解：注：函数在复平面内处处不解析这个函数特点：其导数是本身，这个函数就是复变函数中的指数函数．

解：（平面内的直线不够成区域）例：判断函数何处可导,何处解析?解:偏导数复平面内处处连续要求处处成立,才可保证函数处处可导.从而处处解析.比较系数,得例2.2注：小结1.熟练掌握：复变函数何处可导,解析的判定;2.熟练掌握：复变函数导数的公式--P15的求导法则.3.熟练掌握:例3的结论P18—(2.4)(A)0(B)1(C)2(D)-2()()(A)2(B)(C)(D)CA练习题

(A)0(B)1(C)-1(D)任意常数（）C常数第三节初等函数

介绍几种常见的复变函数—指数函数,对数函数,幂函数,三角函数3.1指数函数定义复指数函数的主要思路:1.定义：2．性质：例1．解：据指数的定义，有

例2．解：因为

二、对数函数

与实变量函数一样，对数函数的定义为指数函数的反函数．

1.定义：例3．解：2．性质：三．乘幂与幂函数

定义1：有多少值呢？例2．解：2．幂函数定义2：四、三角函数和双曲函数

1．三角函数两式相加与相减，分别得：

（1）三角函数定义（2）性质（3）三角公式2．双曲函数性质：公式：五、反三角函数和反双曲函数

1．反三角函数2．反双曲函数例3．求下列方程的